湖南省湘潭县凤凰中学2025届数学高一下期末预测试题含解析

湖南省湘潭县凤凰中学2025届数学高一下期末预测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．下列说法正确的是（）A．命题“若，则.”的否命题是“若，则.”B．是函数在定义域上单调递增的充分不必要条件C．D．若命题，则2．设直线系．下列四个命题中不正确的是（）A．存在一个圆与所有直线相交B．存在一个圆与所有直线不相交C．存在一个圆与所有直线相切D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等3．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中①②③与为异面直线④以上四个命题中，正确的序号是（）A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④4．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，则角（）A． B． C． D．5．已知,,三点,则的形状是()A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等腰直角三角形6．已知函数的图象如图所示，则的解析式为（）A． B．C． D．7．在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，则的面积为（）A． B． C． D．8．已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是()A． B．C． D．9．某同学用收集到的6组数据对（xi，yi）（i＝1，2，3，4，5，6）制作成如图所示的散点图（点旁的数据为该点坐标），并由最小二乘法计算得到回归直线l的方程：x，相关指数为r．现给出以下3个结论：①r>0；②直线l恰好过点D；③1；其中正确的结论是A．①② B．①③C．②③ D．①②③10．已知随机事件和互斥，且,.则（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝7，S6＝63，则an＝_____12．已知，若数列满足，，则等于________13．已知等差数列的前项和为，且，，则；14．已知正数、满足，则的最小值是________．15．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，的面积等于，则外接圆的面积为______．16．直线与圆交于两点，若为等边三角形，则______．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知直线与圆相交于，两点．（1）若，求；（2）在轴上是否存在点，使得当变化时，总有直线、的斜率之和为0，若存在，求出点的坐标：若不存在，说明理由．18．若，讨论关于x的方程在上的解的个数.19．等差数列中，，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求的值．20．随着高校自主招生活动的持续开展，我市高中生掀起了参与数学兴趣小组的热潮.为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各自随机抽取了40名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了6个区间：、、、、、，整理得到如下频率分布直方图：（1）试估计甲高中学生一周内平均每天学习数学的时间的中位数甲（精确到0.01）；（2）判断从甲、乙两所高中各自随机抽取的40名学生一周内平均每天学习数学的时间的平均值甲与乙及方差甲与乙的大小关系（只需写出结论），并计算其中的甲、甲（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.21．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，F，G分别为线段BC，PB，AD的中点．（1）证明：EF∥平面PAC；（2）证明：平面PCG∥平面AEF；（3）在线段BD上找一点H，使得FH∥平面PCG，并说明理由．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】“若p则q”的否命题是“若则”，所以A错。在定义上并不是单调递增函数，所以B错。不存在，C错。全称性命题的否定是特称性命题，D对，选D.2、D【解析】

对于含变量的直线问题可采用赋特殊值法进行求解【详解】因为所以点到中每条直线的距离即为圆的全体切线组成的集合，所以存在圆心在，半径大于1的圆与中所有直线相交,A正确也存在圆心在，半径小于1的圆与中所有直线均不相交，B正确也存在圆心在半径等于1的圆与中所有直线相切，C正确故正确因为中的直线与以为圆心，半径为1的圆相切,所以中的直线所能围成的正三角形面积不都相等，如图

与

均为等边三角形而面积不等,故错误，答案选D.【点睛】本题从点到直线的距离关系出发，考查了圆的切线与圆的位置关系，解决此类题型应学会将条件进行有效转化.3、D【解析】

作出直观图,根据正方体的结构特征进行判断.【详解】作出正方体得到直观图如图所示:由直观图可知,与为互相垂直的异面直线,故①不正确;,故②正确;与为异面直线,故③正确;由正方体性质可知平面,故,故④正确.故选:D【点睛】本题考查了正方体的结构特征,直线,平面的平行于垂直,属于基础题.4、C【解析】

利用余弦定理求三角形的一个内角的余弦值，可得的值，得到答案．【详解】在中，因为，即，利用余弦定理可得，又由,所以，故选C．【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，其中解答中根据题设条件，合理利用余弦定理求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5、D【解析】

计算三角形三边长度，通过边关系进行判断.【详解】由两点之间的距离公式可得：，，，因为，且故该三角形为等腰直角三角形.故选：D.【点睛】本题考查两点之间的距离公式，属基础题.6、D【解析】

由函数图象求出，由周期求出，由五点发作图求出的值，即可求出函数的解析式.【详解】解：根据函数的图象，可得，，所以.再根据五点法作图可得，所以，故.故选：D.【点睛】本题主要考查由函数的部分图像求解析式，属于基础题.7、B【解析】

由正弦定理得，利用余弦定理可求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】，，又，，由余弦定理可得，可得，所以，的面积为.故选：B.【点睛】本题考查三角形面积的计算，同时也考查了余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.8、A【解析】试题分析：因为与正相关，排除选项C、D，又因为线性回归方程恒过样本点的中心，故排除选项B；故选A．考点：线性回归直线.9、A【解析】由图可知这些点分布在一条斜率大于零的直线附近，所以为正相关，即相关系数因为所以回归直线的方程必过点，即直线恰好过点；因为直线斜率接近于AD斜率，而，所以③错误，综上正确结论是①②，选A.10、D【解析】

根据互斥事件的概率公式可求得，利用对立事件概率公式求得结果.【详解】与互斥本题正确选项：【点睛】本题考查概率中的互斥事件、对立事件概率公式的应用，属于基础题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

利用等比数列的前n项和公式列出方程组，求出首项与公比，由此能求出该数列的通项公式．【详解】由题意，,不合题意舍去；当等比数列的前n项和为，即，解得，所以，故答案为：．【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12、【解析】

根据首项、递推公式，结合函数的解析式，求出的值，可以发现数列是周期数列，求出周期，利用数列的周期性可以求出的值.【详解】，所以数列是以5为周期的数列，因为20能被5整除，所以.【点睛】本题考查了数列的周期性，考查了数学运算能力.13、1【解析】

若数列{an}为等差数列则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m仍然成等差数列．所以S10，S20-S10，S30-S20仍然成等差数列．因为在等差数列{an}中有S10=10，S20=30，所以S30=1．故答案为1．14、.【解析】

利用等式得，将代数式与代数式相乘，利用基本不等式求出的最小值，由此可得出的最小值.【详解】，所以，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是，故答案为：.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题时要对代数式进行合理配凑，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15、4π【解析】

利用三角形面积公式求解,再利用余弦定理求得,进而得到外接圆半径,再求面积即可.【详解】由，解得．．解得．，解得．∴△ABC外接圆的面积为4π．故答案为：4π．【点睛】本题主要考查了解三角形中正余弦与面积公式的运用,属于基础题型.16、或【解析】

根据题意可得圆心到直线的距离为，根据点到直线的距离公式列方程解出即可.【详解】圆，即，圆的圆心为，半径为，∵直线与圆交于两点且为等边三角形，∴，故圆心到直线的距离为，即，解得或，故答案为或.【点睛】本题主要考查了直线和圆相交的弦长公式，以及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）存在.【解析】

（1）由题得到的距离为，即得，解方程即得解；（2）设，，存在点满足题意，即，把韦达定理代入方程化简即得解.【详解】（1）因为圆，所以圆心坐标为，半径为2，因为，所以到的距离为，由点到直线的距离公式可得：，解得．（2）设，，则得，因为，所以，，设存在点满足题意，即，所以，因为，所以，所以，解得．所以存在点符合题意．【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和圆的探究性问题的解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.18、答案不唯一，见解析【解析】

首先将方程化简为，再画出的图像，根据和交点的个数即可求出方程根的个数.【详解】由题知：，，.令，，图像如图所示：当或，即或时，无解，即方程无解.当，即时，得到，则方程有两个解.当，即时，得到在有两个解，则方程有四个解.当，即时，得到或，则方程有四个解.当，即时，得到在有一个解，则方程有两个解.当，即时，得到，则方程有一个解.综上所述：当或时，即方程无解，当时，方程有一个解.当或时，方程有两个解.当时，方程有四个解.【点睛】本题主要考查函数的零点问题，同时考查了分类讨论的思想，数形结合为解题的关键，属于难题.19、（1）；（2）【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为．由已知得，解得．所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．所以．考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法．20、（1）；（2）甲乙，甲乙，甲=，甲=【解析】

（1）根据每组小矩形的面积确定中位数所在区间，即可求解；（2）根据直方图特征即可判定甲乙，甲乙，根据平均数和方差的公式分别计算求值.【详解】（1）由甲高中频率分布直方图可得：第一组频率0.1，第二组频率0.2，第三组频率0.3，所以中位数在第三组，甲；（2）根据两个频率分布直方图可得：甲乙，甲乙甲=甲=【点睛】此题考查频率分布直方图，根据两组直方图特征判断中位数和方差的大小关系，求中位数，平均数和方差，关键在于熟练掌握相关数据的求法，准确计算得解.21、（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】

（1）证明，EF∥平面PAC即得证；（2）证明AE∥平面PCG，EF∥平面PCG，平面PCG∥平面AEF即得证；（3）设AE，GC与BD分别交于M，N两点，证明N点为所找的H点．【详解】（1）证明：∵E、F分别是BC，BP中点，∴，∵PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，∴EF∥平面PAC．（2）证明：∵E