2023年高考分类题库考点35 立体几何中的向量方法

考点35立体几何中的向量方法20.(2023·新高考Ⅱ卷·T20)已知在三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E为BC中点.(1)证明:BC⊥DA;(2)若点F满足=,求二面角D-AB-F的正弦值.【命题意图】本题以立体几何为载体,设置简单命题情境,考查利用建立空间直角坐标系解决立体几何的常规问题.突出考查直观想象、逻辑推理及数学运算的核心素养.【解题指导】(1)根据题意易证BC⊥平面ADE,从而证得BC⊥DA;(2)由题可证AE⊥平面BCD,所以以点E为原点,ED,EB,EA所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,再求出平面ABD,平面ABF的一个法向量,根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出.【解析】方法一:(1)连接AE,DE,设DA=DB=DC=2,因为∠ADB=∠ADC=60°,所以△ADB≌△ADC,因此AB=AC=2,又因为BE=CE,所以AE⊥BC,同理DE⊥BC,又因为AE∩DE=E,所以BC⊥平面ADE,因为DA⊂平面ADE,所以BC⊥DA.(2)设DA=DB=DC=2,∠BDC=90°,由(1)得DE⊥BC,AB=AC=2,则DE=BE=CE=AE=1,可得AE2+DE2=AD2,因此AE⊥DE,由(1)得AE⊥BC,又DE∩BC=E,所以AE⊥平面BDC.因此以E为原点,分别以ED,EB,EA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D(1,0,0),A(0,0,1),E(0,0,0),B(0,1,0),可得==(-1,0,1),=(0,0,-1),=(-1,1,0),=(0,1,-1),=(-1,0,0),设平面ABD,平面ABF的法向量分别是m=(x,y,z),n=(a,b,c),所以取x=1,则m=(1,1,1),同理n=(0,1,1),设平面ABD与平面ABF的夹角为θ,则cosθ=|m·n||所以sinθ=33,即二面角D-AB-F的正弦值为3方法二:(1)连接AE,DE,因为DB=DC,E为BC的中点,所以DE⊥BC,因为DB=DC,∠ADB=∠ADC=60°,DA为公共边,所以△ADB≌△ADC,所以AB=AC,所以AE⊥BC,又AE∩DE=E,AE,DE⊂平面ADE,所以BC⊥平面ADE,故BC⊥DA.(2)不妨设DA=DB=DC=2,得AB=AC=2,BC=22,DE=2,在Rt△AEB中,得AE=2,所以AE2+DE2=AD2,即AE⊥DE.又AE⊥BC,DE∩BC=E,BC,DE⊂平面BCD,所以AE⊥平面BCD.如图以E为原点,分别以ED,EB,EA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则E(0,0,0),A(0,0,2),D(2,0,0),B(0,2,0),又==(-2,0,2),得F(-2,0,2),又=(0,2,-2),=(-2,2,0),=(-2,-2,2),设平面DAB的法向量n=(x,y,z),则令x=1,得n=(1,1,1),同理可得平面ABF的一个法向量m=(0,1,1),设平面DAB与平面ABF的夹角为θ,则cosθ=m·n|m||n|所以sinθ=33故二面角D-AB-F的正弦值为3318.(2023·新高考Ⅰ卷·T18)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.(1)证明:B2C2∥A2D2;(2)点P在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150°时,求B2P.【命题意图】本题考查线线位置关系的判断、二面角的向量表示,考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、运算能力.【解析】(1)作A2A'⊥BB1于A',D2D'⊥CC1于D',则A2A'D2D'.在平行四边形A2D2D'A'中,A2D2∥A'D'.又C2D'=B2A'=1,则C2B2∥D'A'∥A2D2,得证.(2)如图建立空间直角坐标系,设P(0,0,h),C2(2,0,3),A2(0,2,1),D2(2,2,2),设二面角P-A2C2-D2为θ=5π6.=(2,0,1),=(2,-2,2),=(0,-2,h-1),设平面A2D2C2的法向量为n1=(x,y,z),由,得2x+z=02x-2y+2z=0,令z=-