新教材2021-2022学年高中数学人教B版必修第一册学案：3. 3 函数的应用(一)

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3.3函数的应用(一)

新课程标准学业水平要求

★水平一

i.r解和体会函数模型在社会生活及科研中的广泛应用.(数学抽象)

理解川函数构建数学模2.初步体会-次函数、：次函数、基本不等式的广泛应川•能运川函数思想解决现实生

型的基本过程.运用模型活中的简单问题.(直观想象)

思想发现和提出问题、分3.会应用基本不等式求某些函数的最值;能够解决-些简单的实际问题.(数学运算)

析和解决问题.★水平二

收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型.体会借助函数刻画实

际问题.感悟数学模型中参数的现实意义.(逻辑推理)

》基础认知•自主学习④

1.什么是一次函数与二次函数？

BB

寸心2.基本不等式的内容是什么？

II

1.一次函数模型

形如y=kx+b的函数为一次函数模型，其中H0.

2.二次函数模型

(1)一般式：y=ax2+bx+c(a^O).

e1」、(।b124ac—b2

(2)顶点式：y=a[x+氏J+—元一(a/)).

(3)两点式：y=a(x—xi)(x—X2)(ar0).

思考

一次、二次函数模型的定义域都是全体实数，在实际应用问题中，定

义域一定是全体实数吗？

提示：不一定，要根据应用问题中的自变量的实际意义确定.

3.均值不等式

o—I—b

如果a,b是正数，那么亍矩（当且仅当a=b时取“=”）

思考

均值不等式适用的条件是什么？

提示：（1）代数式中各项必须都是正数.

（2）代数式中含变数的各项的和或积必须是常数；

（3）等号成立的条件必须存在.

基础小测

1.辨析记忆（对的打y"，错的打“X”）.

（1）在选择实际问题的函数模型时，必须使所有采集的数据都适合函数

模型的解+析式.（X）

提示：只要大部分数据适合就可以.

⑵实际应用问题中自变量的取值范围由函数模型的解+析式唯一确

定.（X）

提示：由解+析式、自变量的实际意义共同确定.

⑶利用函数模型得到数据后，要用该数据解释需要解决的实际问

题.（4）

提示：建立数学模型是为解决实际问题服务的，得出的数据要能解释

实际问题.

2.一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，

过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行

驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图像可以近似地刻画出这列火车

的速度变化情况的是（）

选8.根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A,D;

然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C.

3.某商品进货单价为30元，按40元一个销售，能卖40个；若销售

价格每涨1元，销量减少1个，要获得最大利润，此商品的销售单价

应是()

A.55元8.50元C.56元Q.48元

选A设销售单价为x元，总利润为W元，

则W=(x-30)[40-1x(x-40)]=-x2+11Ox-2400=-(x-55)2+

625,

所以x=55时获得最大利润为625元.

4.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺把二

氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少

为4003最多为6003月处理成本y(元)与月处理量x⑺之间的函数关

系可近似地表示为y=；X2—200x+80000,为使每/的平均处理成本

最低，该单位每月处理量应为()

A.200rB.300/

C.400fD.600f

选c由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为、x+阻幽-

20。2/P平-200=200,当且仅尺x=^,即x=400时,

等号成立，故该单位每月处理量为400吨时，可使每吨的平均处理成

本最低.

5.（教材例题改编）某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件

利润为8元.每提高一个档次，每件利润增加2元.用同样的工时，

可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则

每天获得利润最大时生产产品的档次是（）

A.7B.8C.9D.10

选C由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获利润是生产件数与

每件的利润的乘积，y=[8+2（k—1）][60—3（k—1）]=-6k2+108k

+378（l<k<10）,配方可得y=-6（k-9）2+864,

所以当k=9时，获得利润最大.

除能力形成•合作探究。

类型一一次函数模型（数学建模）

题组训练

1.某商场将彩电的售价先按进价提高40%,然后“八折优惠”，结果每

台彩电利润为360元，那么彩电的进价是（）

A.2000元B.2500元C.3000元D.3500元

选C.设进价为％元，得1.4xO8-x=360,解得%=3000,故选C.

2.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关

系，其图像如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量

时的收入是（）

A.310元B.300元C.290元D.280元

选B.设函数解+析式为）=&+伙原0）,

函数图像过点（1,800）,（2,1300）,

供+、=800,

则《

'2k+b=\300

k=500,

解得

8=300,

所以y=500x+300,当尤=0时，y=300.

所以营销人员没有销售量时的收入是300元.

解题策略

应用分段函数时的三个注意点

⑴分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.

(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.

(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论.

类型二二次函数的应用(数学建模)

【典例】山东省寿光市绿色富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具

竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地.上市时，外商李经理按市场

价格10元/千克在本市收购了2000kg香菇存放入冷库中.据预测，香

菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需

要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同

时，平均每天有6kg的香菇损坏不能出售.

(1)若存放％天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额

为y元，试写出y与％之间的函数关系式.

【思路导引】销售金额=售价x销售量.

由题意y与％之间的函数关系式为

产(10+0.5%)(2000—6%)

=-3^+940%+20000(1<^<110,且%为整数).

⑵李经理如果想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出

曲？

【思路导引】表示出利润=销售总金额一收购成本一各种费用，再求

存放时间.

由题意令一3%2+940%+20000-10x2000-340x=22500,解方程得：

xi=50,及=150(不合题意，舍去)，故需将这批香菇存放50天后出售.

⑶李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是

多少？

【思路导引】对利润的表达式配方求最值.

设利润为卬，由题意得

vv=-3^+940^+20000-10x2000—340%

=一3(%—100)2+30000.

因为q=—3<0,所以抛物线开口方向向下，

所以x=100时，卬最大=30000,

所以李经理将这批香菇存放100天后出售可获得最大利润，最大利润

是30000元.

解题策略

利用二次函数求最值的方法及注意点

(1)方法：根据实际问题建立函数模型解+析式后，可利用配方法、判别

式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中

的利润最大、用料最省等最值问题.

⑵注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符.

跟踪训练

(2021•通榆高一检测)某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，

平均每天能售出8台，为了增加销量，商场决定采取适当的降价措施.调

查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台.

⑴假设每台冰箱降价1元，商场每天销售冰箱的利润就是y元，请写

出y与％的函数关系式；

(2)每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高

利润是多少？

X

(1)根据题意，得降价％元后的销售量为8+4X—台，所以)，=(2400

-2000-x)(8+4x金，犬>0

2

gpy=——%2+24工+3200,x>0.

22

(2)y=—石/+24%+3200=-x(%—150)2+5000,

当X=150时，Jmax=5000,

所以每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最高，最高利润是5000

元.

类型三基本不等式的应用(数学运算、数学建模)

【典例】某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋

至少10层，每层2000n?的楼房.经测算，如果将楼房建为其忘10)

层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位：元).为了使楼房每

平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

【思路导引】平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,

平均购地费用购=地瑞总费端用量，建设层数％必须为正整数.

设楼房每平方米的平均综合费用为f(x)元,

一c,2160X10000

贝If(x)=(560+48x)4--2OQOx-

=560+48x+,°(x>10,x£N*).

X

所以fix)=560+48%+1°80°

>560+2^/48x10800=2000,

10800

当且仅当48x=--------,即x=15时取等号.

因此，当％=15时，段）取最小值<15）=2000,即为了使楼房每平方米

的平均综合费用最少，该楼房应建为15层.

解题策略

基本不等式解决实际问题的关注点

在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法：①

先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；②建立相应

的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；③在定

义域内，求出函数的最大值或最小值；④根据实际背景写出答案.

跟踪训练

某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为400平方米的三级污水处理

池，平面图如图所示.池外圈建造单价为每米200元，中间两条隔墙

建造单价为每米250元,池底建造单价为每平方米80元（池壁的厚度忽

略不计，且池无盖）.试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求

出最低造价.

设污水处理池的长为％米，

则宽为W米，总造价y=，x+2•乎，200+2X

250呼+80x400=400^+^]+32000>400x

当且仅当％=——，即％=30时取等号.故污水处理池的长为30米、

X

40

宽为至米时，最低造价为56000元.

畿备选类型分段函数模型（数学建模）

【典例】对于季节性服装的销售，当旺季来临时、价格呈上升趋势，

设某服装开始时定价为10元，并且每周涨价2元，5周后开始保持20

元的价格平稳销售；10周后旺季过去，平均每周减价2元，直到16

周后，该服装不再销售.

⑴试建立价格〃与周数，之间的函数解+析式.

⑵若此服装每周进货一次，每件进价Q与周数t之间的关系为Q=~

0.125（/-8）2+12,16],PN,试问该服装第几周每件销售利

润最大？最大值是多少？

【思路导引】

列出/在不同范建立第/周每件销售利求函数的

围时p的解析式润与I的函数解析式最大值

10+2/,?e[0,5],

(l)p=520,?e(5,10],小N,

.40-2/,ze(10,16],/£N.

⑵设第t周时每件销售利润为L(t),则L(t)=p-Q,即LQ)=

'10+2r+0.125(L8)2-12,re[0,5],yN,

<20+0.125(L8)2-12,日5,10],£N,

、40—2，+0.125。-8)2—12,户(10,16],/GN,

’0.125F+6,f£[0,5],

=<0.125(L8)2+8,fG(5,10],?GN,

、0.125-―4，+36,ze(10,16],/£N.

当££[0,5],时,L(。单调递增,L(t)max=L(5)=9.125;

当，£(5,10],/£N时，L(t)max=£(6)=L(10)=8.5;

当，£(10,16],时，£Q)单调递减，L(t)max=L(ll)=7.125.

由9.125〉8.5>7.125,知入⑺max=9.125.

所以第5周每件销售利润最大，最大值为9.125元.

解题策略

⑴现蜃生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个

人所得税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型.

⑵分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其

看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要

注意各段自变量的范围，特别是端点值.

跟踪训练

李庄村某社区电费收取有以下两种方案供农户选择：

方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度，每度0.4元，

超过30度时，超过部分按每度0.5元.

方案二：不收管理费，每度0.48元.

(1)求方案一收费〃%)元与用电量％(度)间的函数关系.

当0S后30时，L(x)=2+0.4x;

当%>30时，£(%)=2+30x0.4+(%-30)x0.5

‘2+0.4%,0<A<30,

=0.5%—1,所以£(%)=<

|0.5x—1,%>30,

⑵小李家九月份按方案一交费34元，问小李家该月用电多少度？

当0<x<30时，L(x)<L(30)=14,

故小李家九月份用电超过30度，

由0.5%—1=34得％=70,故小李家该月用电70度.

⑶小李家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？

方案二收费用%)=0.48%,后0,令〃%)<£(%),

当03烂30时，2+0.4x<0.48%,解得，25位30,

当%>30时,0.5%—10.48%,解得，30a<50,

综上可得小李家月用电量在(25,50)时，选择方案一比选择方案二更好.

除学情诊断•课堂测评«

1.(2021•天津高一检测)若一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm,

则燃烧剩下的高度//(cm)与燃烧时间，(小时)的函数关系用图像表示为

()

选B.依题设可知，蜡烛高度//与燃烧时间/之间构成一次函数关系，

又因为函数图像必过点(0,20),(4,0)两点，且该图像应为一条线段.所

以选B.

2.(教材例题改编)建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池,

如果池底和池壁的造价分别为120元/nA80元/nR那么水池的最低

总造价为元.

设池底一边长为％m,总造价为y元.则y=4xl20+2(2x+2x?x80

=320(%+3+480(X>0).

4r~4

因为>2\x--=4,

4

当且仅当即时取等号，

x=x-x=2

所以ymin=480+320x4=l760(元).

答案：1760

3.某种商品在第双上烂30,%£N*)天的销售价格(单位：元)为“r)=

10+2%，1<A<10

cu1s”，第X天的销售量(单位：件)为g(x)=30—%,则第

35一10〈烂30

14天该商品的销售收入为元，在这30天中，该商品日销售收

入的最大值为元.

由题意可得f(14)g(14)=28xl6=448(元)，

即第14天该商品的销售收入为448元.

C(10+2x)(30-x),l<x<10

销售收入y=x£N*

(30—x),10<x<30

2/+50x+300,l<^<10

即1,x£N*.

l^92-50x+l050,10X30

(25、2

当1W烂10时，y=—2A：2+50X+300=—2(%—gj+612.5,

故当x=10时，y取最大值，ymax=600,

当10〈烂30时，易知y<；xl02-50xl0+l050=600,

故当％=10,时该商品日销售收入最大，最大值为600元.

答案：448600

4.已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设

某商人持有资金120万元，他可以在九至〃的任意时刻买卖这两种商

品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在〃时刻卖出所

有商品，那么他将获得的最大利润是万元.

价格/元

otihhh时间

甲6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120+6=20（万份），在尬时

刻全部卖出，

此时获利20x2=40（万元），乙4元时，该商人买入乙商品，可以买（120

+40）+4=40（万份）,在以时刻全部卖出，此时获利40x2=80（万元），

共获利40+80=120（万元）.

答案：120

数学情境阅读系列

系列之二分段函数的实际应