甘肃省庆阳市环县第四中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

环县四中2023~2024学年度第二学期期中考试高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：湘教版选择性必修第二册第一章~第二章.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数，则（）A. B.1 C. D.22.已知，则下列向量中与平行的是（）A. B. C. D.3.设点，，.若，则点的坐标为（）A. B. C. D.4.已知函数，则的极小值点为（）A. B.1 C. D.5.已知函数，则（）A. B. C. D.6.在平行六面体中，点是线段BD上的一点，且，设，，，则（）A. B.C. D.7.已知函数，若，则下列式子大小关系正确的是（）A. B.C. D.8.如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形.若，且，则的长为（）A. B. C. D.5二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.10.已知空间向量，，则下列说法正确的是（）A. B.C.与夹角的余弦值为 D.若，则，，共面11.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.在区间上单调递减 B.在区间上单调递增C.在处取得极大值 D.在处取得极大值12.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的极值点为 B.的最小值为C.有两个零点 D.直线是曲线的一条切线三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知在一次降雨过程中，某地降雨量（单位：mm）与时间（单位：min）的函数关系可近似表示为，则在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为__________.14.已知向量，，且，则实数__________.15.曲线在点处的切线方程为__________.16.已知平面的一个法向量为，点是平面上的一点，则点到平面的距离为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.（本小题满分10分）已知函数.（1）求的单调区间；（2）求的极值.18.（本小题满分12分）已知函数.（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若函数，求在上的值域.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，E是AD的中点，为等腰直角三角形，，.（1）求证：；（2）求PC与平面所成角的正弦值.20.（本小题满分12分）如图，在半径为4m的四分之一圆（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料，其中点B在圆弧上，点A，C在两半径上，现将此矩形铝皮卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为.（1）求出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大？最大体积是多少？21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，，E，F分别为PB，PC中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成角的正弦值.22.（本小题满分12分）已知函数.（1）若，证明：；（2）若，，都有，求实数的取值范围.环县四中2023~2024学年度第二学期期中考试·高二数学参考答案、提示及评分细则1.C因为，所以，所以，故选C.2.B对于A，因为，所以A不正确；对于B，因为，所以B正确；对于C，因为，所以C不正确；对于D，因为，所以D不正确.故选B.3.B设，则，而，则，有，所以.故选B.4.B，令，解得或，令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值点为1.故选B.5.D令，得，解得，，令，得，解得，所以，所以，所以.故选D.6.C.故选C.7.A由，得，当时，，所以在上单调递增，因为，所以，所以，由函数在上单调递增，有，所以，综上，得.故选A.8.A，故，故选A.9.BC，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D错误.故选BC.10.BCD，又，故A错误；，则，故B正确；因为，，所以，，所以，故C正确；因为，故D正确.故选BCD.11.AC在区间上单调递减，故A正确；在区间上单调递减，在上单调递增，故B错误；在区间上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极大值，故C正确；在区间上单调递增，故D错误.故选AC.12.BD，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的极值点为1，又，所以的最小值为，故B正确，A错误；当时，，当时，，所以有且仅有1个零点，故错误；令，解得，所以切点为，故D正确.故选BD.13.因为，，.故在时的瞬时降雨强度（某一时刻降雨量的瞬间变化率）为.14.，，因为，所以，解得.15.因为，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即.16.，点到平面的距离.17.解：（1）的定义域为，，令，解得或，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；（2）由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.又，，所以的极大值为，极小值为0.18.解：（1）因为，所以.因为函数在上单调递增，所以恒成立，则，解得，即实数的取值范围是；（2）因为，所以.由，得或；由，得.所以函数在上单调递增，在上单调递减.因为，，，，所以在上的值域为.19.（1）证明：平面，平面，，又是等腰直角三角形，是斜边AD的中点，，又平面，平面，，平面，平面，；（2）解：如图以为原点，EP，EA所在的直线为轴，轴，在平面内，通过点作AD的垂线为轴，建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，则，，，设平面的法向量为，则取，则，故为平面的一个法向量，设PC与平面所成的角为，则，与平面所成角的正弦值为.20.解：（1）在中，因为，所以，设圆柱的底面半径为，则，即，所以，；（2）由（1）得，，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，圆柱形罐子的体积最大，最大体积是.21.解：（1）证明：因为E，F分别为PB，PC中点，所以，在直角梯形中，因为，所以，又因为平面，平面，所以平面；（2）以为x，y，z的正半轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，所以，，所以，，，，设平面的法向量为，则取，则，，即，设平面的法向量为，则取，则，，即，设平面与平面所成角为，则，所以.22.（1）证明：若，，，令，解得