数学选择性必修第一册3数学选择性必修第一册31空间向量基本定理

3.1空间向量基本定理

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［教材要点］

要点空间向量基本定理

1.定理：如果向量”，乩c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，那么

存在唯一的有序实数组（x,y,z）,使得p=.

2.基与基向量：

如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是｛p|p=xa+）力+zc,x,

y,zGR｝,这个集合可看作由向量a,6,c生成的，我们把叫作空间的一组

基，a,b,c都叫作基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一组基.

状元随笔（1）若0=x3+y6+z乙则x3+yU+z］叫做向量3，b,E的线性表达式或线性

组合，或者说0可以由3,b,3线性表示.

（2）对于基幅，b,5｝,除了应知道甘，b,亡不共面外，还应明确以下三点：

①基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示.选用不同的基，同一向量的表达式也

可能不同；②由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量

不共面，就说明它们都不是0；③空间的一个基是指一个向量组，是由三个不共面的空间向

量构成的；一个基向量是指基中的某个向量，二者是相关联的不同概念.

［基础自测］

1.思考辨析（正确的画“，错误的画“X”）

（1）只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基.（）

（2）对于三个不共面向量a,,。2,。3,不存在实数组｛九"2,念｝使0=为m+42。2+23。3.（）

（3）基选定后，空间的所有向量均可由基唯一表示.（）

（4）空间的一个基是指一个向量组，是由三个不共面的空间向量构成的.（）

2.已知｛a,b,c｝是空间的一个基，则可以与向量。=。+从4=。一力构成基的向量是（）

A.aB.bC.a-\~2bD.a+2c

3.0、A、B、C为空间四个点，又｛鼐，0B,无｝为空间的一个基，则（）

A.0、A、B、C四点不共线

B.。、A、B、C四点共面，但不共线

C.。、A、B、C四点中任意三点不共线

D.。、A、B、C四点不共面

4.在四面体O-ABC中，0A=o,OB=Z>,OC=c,D为8c的中点，E为AQ的中点，

则丽=（用a,b,c表示）.

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题型一基的判断

例1已知｛ei,62>©3｝是空间的一个基，且OA=ei+2e2—e3,0B=-3ei+02+203,0C

=ei+ez—e3,试判断｛嬴，0B,阮｝能否作为空间的一个基.

方＞/i何林

1.如果向量中存在零向量，则不能作为基：如果存在一个向量可以用另外的向量线性

表示，则不能构成基.

2.假设。=乃+//c,运用空间向量基本定理，建立2,〃的方程组，若有解，则共面，

不能作为基；若无解，则不共面，能作为基.

跟踪训练1［多选题］设x=a+b,y—b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基,

给出下列向量组，其中可以作为空间一个基的向量组是()

A.{a,b,x}B.{x,y,z}

C.{b,c,z)D.{x,y,a+6+c}

题型二空间向量的表示

例2(1)如图，已知空间四边形0ABC,其对角线为。8,AC,M,N分别是对边OA,

BC的中点，点G在线段MN上，且就=2版，现用基向量嬴，0B,而表示向量而，设前=

xOA+yOB+zOC,则x,y,z的值分别是()

(2)在平行六面体ABCQ-AbC。中，设屈=a,而=b,A^=c,P是C4的中点，M是

的中点，N是的中点，点Q是C4上的点，且CQ：QA』4：1,用基{a,b,c}表

示以下向量：

®AP；②而；©AN；@AQ.

方破阻他

用基中的基向量表示向量（即向量的分解），关键是结合图形，运用三角形法则、平行四

边形法则及多边形法则，逐步把待求向量转化为基向量的“代数和”.

跟踪训练2⑴如图，在平行六面体ABCQ-AICQi中，AC与8。交于点M,设施=

a,AD—b,AAi=c,则B]M=（）

A.B-la+lb-c

C.）一，一cD.—）+，一c

（2）已知四面体ABC。中，AB=a-2c,而=5a+65一8c,对角线AC,B。的中点分别

为E,F,则品=.

易错辨析对基理解不清致误

例3在平行六面体ABCD-A\BxC\Dy中,M为AC与8。的交点.若国瓦=a，硒*=。,

A]7=C,试用基｛a,b,c｝表示向量C]B.

解析：

如图，连接则手/=耳?-A]C；=工7+加一（AIB；+AID；）=37+|（A$；

+而j一百瓦+AX）=4A*百瓦+而）=_/―/+,

【易错警示】

易错原因纠错心得

本题易错的地方是向量分解的不彻底，可能

会得到如下错解：@荷=可法一'G=m+基可以表示空间内任一向量，用基表示向量

前一（AiB；+AiD；）=c+前一a-b时，最后结果应含基向量.

事实上，而仍需用基表示.

[课堂十分钟]

1.以下四个命题中正确的是()

A.基｛a,b,c｝中可以有零向量

B.空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基

C.△ABC为直角三角形的充要条件是说•前=0

D.空间向量的基只能有一组

2.已知点。，A,B,C为空间不共面的四点，且向量”=血+通+充，向量6=丽+

OB-OC,则与a,8不能构成空间基的向量是()

A.OAB.OBC.OCD.OABJCOB

3.下列能使向量MX,MB,正成为空间的一个基的关系式是()

A.0M=i0A+-0B+i0CB.MA=MB+MC

333

C.OM=OA+OB+OCD.MA=2MB-MC

4.已知G=ei+02+03,b=e\~\~e2—的，c—e\-02+^3,d=e1+2c2+3。3，若d=aa+，b

+Ac,则a,4，2的值分别为.

如图，己知%_L平面48CD,四边形ABC。为正方形，G为的重心，AB=t,AD

=j,AP=*,试用基｛i,j,眉表示向量同，BG.

3.1空间向量基本定理

新知初探•课前预习

要点

1.xa-\-yb-\-zc

2.｛a,b,c］

［基础自测］

1.(1)X(2)X(3)J(4)7

2.解析：A、B,C都与向量p、g共面，只有D与p、g不共面，故选D.

答案：D

3.答案：D

4.解析：OE=OA+|AD

=OA+|x|(AB+AC)

一♦1,,11>,11>

=0A+t(OB-OA+OC-OA)

=-OA+-OB+-OC

244

=-a-\--b-\--c

244

答案：

244

题型探究•课堂解透

例1解析：假设玄，0B,次共面，由向量共面的充要条件知，存在实数居y

使血=苫而+)，玩成立，

；・ei+2。2—e3=x(—3ei+e2+2e3)+y(e]+。2—4)，

即e1+2。2­=(y—3x)e1+(x+y)e2+(2x—y)e3

(y-3x=1,

/Jx+y=2,此方程组无解.

(2x-y=-1,

即不存在实数X,y使得殖=m而+)6£,

所以6K,0B,前不共面.

所以｛殖，0B,玩｝能作为空间的一个基.

跟踪训练1解析：

如图所示，令。=屈，Z>=AA1,c=而，

则*=人81，y=ADi，z=AC,

a+Z>+c=AC1.由于A,Bi,C,四点不共面，可知向量x,y,z也不共面，同理仇

c,z和x,y,a+8+c也不共面.故选BCD.

答案：BCD

例2解析：(1)连接N分别是对边。A,BC的中点,

----------91-->-->1-->-->--»--->--->--->2---♦---»0--♦---»

AOM=jOA,ON=](OB+OC),AOG=OM+MG=OM+|MN=OM+|(0N-0M)=

iOM+-ON=ixiOA+-xi(OB+OC)=iOA+-OB+-OC,：.x=-,y=z=乙故选D.

333232、'633673

(2)连接AC、AC.AD'

①而三(AC+而)=：(AB+AD+研=：(a+b+c).

②前=*前+和)=*屈+2前+而)=)+5+,

③京=家近7+而计中(丽+AD+而)+(而+AA7)]

=|(AB+2AD+2AA,)=|a+Z»+c.

®AQ=AC+CQ=AC+1(AA7-AC)

=三通+-AD+-A^^-a+-b+-c.

555555

答案：(l)D(2)见解析

跟踪训练2解析：⑴B[M=BB]+BM=—c+1BD=—c+g(Z>—Q)=——，

故选D.

(2)如图所示，取BC的中点G,连接EG,FG,则而=而一族=之而一之钛而+1而

=|(5a+6Z>-8C)+|(Q-2c)=3a+3Z>-5c.

答案：(1)D(2)3a+3b—5c

［课堂十分钟］

I.解析：使用排除法.因为零向量与任意两个非零向量都共面，故A不正确；缸ABC

为直角三角形并不一定是丽•坛=0,可能是瓦•丽=0,也可能是口•而=0,故C不正

确；空间基可以有无数多组，故D不正确.故选B.

答案：B

2.解析：；玩=%一，且a,〜不共线，h,前共面，.•.玩与a,Z>不能构成一

组空间基.故选C.

答案:C

3.解析：对于选项A,由训?=xM+y而+z玩(x+y+