湖北省武汉市五校联合体高一（上）期末数学试卷 （解析版）

高一（上）期末数学试卷

一、选择题（共12小题）.

x—1

1.已知M={x|x2-xW0},N={x|——<0},则集合V、N之间的关系为（）

x

A.MAN=0B.M=NC.N曝MD.砥N

2.设/（x）=］上遗，g⑴={J：SHI则加））的值为（）

A.1B.0C.-1D.n

3.已知a-],sin2a=~^,贝寸tan2cx=（）

11

A.-2B.2C.D.—

22

4.已知lga+lgb=Q（a>0且a去1,万>0且手1）,则函数/G）="*与函数g（x）=

10giX的图象可能是（）

A.B.

11

c*D

4

5.已知角a的终边过点P（-8%-6sin30°）,且cosa=——,则m的值为（）

5

11rn耳

A.——B.—C.——U.—

2222

6.化简“一2sE（7r-2）cos（7r+2）的结果是（）

A.sin2+cos2B.sin2-cos2C.cos2-sin2D.-sin2-cos2

7.设地球表面某地正午太阳高度角为0,《为此时太阳直射纬度，<p为该地的纬度值，则

有9=90°-|（p-^|.根据地理知识，武汉地区的纬度值约为北纬30°,当太阳直射南回

归线（此时的太阳直射纬度为-23°26'）时物体的影子最长，如果在武汉某高度为历

的楼房北边盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡（如图所示），

两楼的距离应至少约为痴的（）倍？（注意tan36°34'=0.75）

A.0.5倍B.0.8倍C.1倍D.1.4倍

8.定义在R上的偶函数/（x）在（-8,0]上单调递减，若a=/Qog2；）,*=/（logz4.9）,

6

c=f（20-8）,则a,b,c的大小关系是（）

A.cVbVaB.aVbVcC.bVa<cD.c<a<b

1

9.若函数/（x）=2X—^x2（x<0）的零点为xo,且xoE（a,a+1）,aGZ,则a的值为（）

A.-1B.-2C.-3D.-4

10.给出下列函数：@j=cos|2x|,@j=cos|x|,（3）j=sin（2x+—）,（4）j=tan|x|,其中

周期为n的所有偶函数为（）

A.①②B.①②③C.②④D.①③

11.若y=logo.5（3X2+«X+5）在（T,+°°）上单调递减，则a的取值范围是（）

、247

A.[6,8）B.[6,8]C.[6,+8）D.[-,g）

7T_,

12.已知函数f（x）=2cos（a）x+（p）+1（a）>0,|（p|<—）,其图象与直线y=3相邻两个

27r71

交点的距离为-，若/G)>1对vxe,-)恒成立，则隼的取值范围是()

3126

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.若y=/(x)在x€[0,+°°)上的表达式为y=x(1-x),且/(比)为奇函数，则在

(-°0,0]时，f(x)等于.

14.函数/(x)=3sin(2x--)的图象为C,如下结论中正确的是

①图象C关于直线％=记口对称；

—2TT

②)图象C关于点(f,0)对称；

it5TT

③函数即/(x)在区间,—)内是增函数;

7T

④由j=3sin2x的图角向右平移々个单位长度可以得到图象C.

15.当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减.按照惯例，人们将每克组

织的碳14含量作为一个单位大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半，

这个时间称为“半衰期”.当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，

用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果用一般的放射性探测器不能测到碳14,

1

那么死亡生物组织内的碳14至少经过了个“半衰期”.【提示：­=0.00195】

-----------29

|1。02尤1，=>0,

16.设函数/(%)=x〈八则函数式外二寸2^)-⑼G)+4的零点个数是

7/,尢、U,

三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.已知全集。=衣，集合A={X|-*2+2X+15W0},B={X||X-5|<1},求AUB,(CRA)D

B.

18.函数/(x)=Asin((nx--)+1(A>0,3>0)的最大值为3,其图象相邻两条对称轴

n

之间的距离为，，

(I)求函数/(X)的解析式和当xe[O,河时/(x)的单调减区间；

7T

(H)/(x)的图象向右平行移动五个长度单位，再向下平移1个长度单位，得到g(x)

的图象，用“五点法”作出g(X)在[0,TT]内的大致图象.

X

2X1

19.已知定义域为R的函数/(x)=----------是奇函数.

2X+a2

(1)求实数a的值；

(2)判断函数/(x)的单调性，并用定义加以证明；

(3)若对任意的丫曰1,2],不等式/(7-加无)+f(x*2+4)>0成立，求实数机的取值

范围.

20.一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心。距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速

转动，每3秒转一圈，如果当水轮上点尸从水中浮现时(图中点Po)开始计算时间.

(1)以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点。且与水面垂直的直线为y轴，建

立如图所示的直角坐标系，试将点尸距离水面的高度入(单位：米)表示为时间“单位：

秒)的函数；

(2)在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点尸距水面的高度超过2米？

21.已知定义域在(0,+OO)上的函数f(X)满足对于任意的X,je(0,+OO),都有f

(孙)=/(X)+/,(y),当且仅当x>i时，f(x)<0成立.

(1)设％,je(0,+°°),求证/(?)=/(j)-f(x)；

X

(2)设Xl,X2G(0,+°°),若/(X1)</(X2),试比较与X2的大小；

(3)若-1V〃V3,解关于x的不等式力“2一(〃+1)x+tz+l］>0.

22.已知函数/(X)=ax2-2x+l.

(I)若/G)的值域为［0,+8)，求。的值；

1x

(II)已知“Wj,是否存在这祥的实数a,使函数y=/(x)Tog27^区间［1，2］内有且

24

只有一个零点.若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求.)

x—1

1.已知M={xM-xW0},N={X|——<0},则集合M、N之间的关系为()

x

A.MPN=0B.M=NC.N麋MD.MgN

【分析】可以求出集合M,N,然后即可判断集合M,N的关系.

解：：M={x|0WxWl},N={x|0VxWl},

...MnN=N,N墓M.

故选：C.

2.设/G)=仁逆,g⑴=S：霸翦泰则，(g加))的值为()

A.1B.0C.-1D.n

【分析】根据n是无理数可求出g(n)的值，然后根据分段函数/(x)的解析式可求出

f(g(71))的值.

解：:n是无理数

:・g(H)=0

则/(g(n))=f(0)=0

故选：B.

_Jn71

3.已知lE—],sin2a=—,贝寸tan2a=()

11

A.-2B.2c.—D.—

22

【分析】由已知求得cos2a,再由商的关系求解tan2a.

7T7Tn

解：,•"1，2JA2aG[2)7rL

。-押

又sin2(z=-：

:.cos2a=—yll^sin^2a=—

sin2aT1

:.tan2a=------=----言———

cos2a242

故选：D.

4.已知lga+lgb=O(a>0JLa^l,>>0且8手1),则函数/(X)与函数g(X)=

log病的图象可能是)

1

【分析】分析可知,-=b再由指数函数及对数函数的性质即可得解.

af

1

解：由/g〃+Ig)=0可知，—=b,故/(x)=a~x=bx

a9

故函数函数/(x)=〃-*与函数g(x)=log忒的单调性相同,

故选:B.

5.已知角oc的终边过点P（-8%，-6sin30°）,且cosa=—二，则机的值为（

5

【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求出机的值.

解：由题意可得x=-8m9y=-6sin30°=-3,r=\OP\=J64nl2+9,

x—8m4

解得m=

故选：B.

6.化简Jl-2sin（7r-2）cos（定+2）的结果是（

A.sin2+cos2B.sin2-cos2C.cos2-sin2D.-sin2-cos2

【分析】利用诱导公式变形，化为两数和的平方，开方得答案.

解：2sin（7T—2）cos（7r+2）=yjl—2sin2•（―cos2）

yjsin2!+2sin2-cos2+cos22=^sin2+cos2）2

=|sin2+cos21=sin2+cos2.

故选：A.

7.设地球表面某地正午太阳高度角为9,S为此时太阳直射纬度，（p为该地的纬度值，则

有8=90°-|（p-^|.根据地理知识，武汉地区的纬度值约为北纬30°,当太阳直射南回

归线（此时的太阳直射纬度为-23°269时物体的影子最长，如果在武汉某高度为加

的楼房北边盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡（如图所示），

两楼的距离应至少约为五的（）倍？（注意tan36°34z=0.75）

A.0.5倍B.0.8倍C.1倍D.1.4倍

h0

【分析】e=90°-|<p-^|=90°-|30°-(-23°26')|=36°34'，可得—=tan36°

影长

34',进而得出.

解：0=90°-|cp-^|=90°-|30°-(-23°26')|=36°34',

八o

/_tan36°34'=0.75,

影长

4

...影长=丁0弋1.4瓦.

.•.两楼的距离应至少约为垢的1.4倍.

故选：D.

8.定义在R上的偶函数/(x)在(-8,0］上单调递减，若。=/(log2：),Z>=/(log24.9),

c=f(20-8),则a,b,c的大小关系是()

A.c<b<aB.a<b<cC.b<a<cD.c<a<b

【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论.

解：因为偶函数/(x)在(-8,0］上单调递减，

故/(X)在［0,+8)上单调递增，

'-a=f(.log=f(log26),b=f(log24.9),c=f(20),

8

又log26>log24.9>2>2°>1,

则a>b>c.

故选：A.

一1c、

9.若函数/（x）=2x—^x2（x<0）的零点为xo,且xoC（a,a+1）,aeZ,则a的值为（）

A.-1B.-2C.-3D.-4

【分析】函数零点左右两边函数值的符号相反，根据函数在一个区间上两个端点的函数

值的符号确定是否存在零点.

,111119

解：由/（-I）=>0,f（0）=1>0,/（-2）=/（-3）=三一病<°，

22045820

及零点存在定理知/CO的零点在区间（-3,-2）上，

・••零点所在的一个区间是（a,a+1）=（-3,2）

a=-3,

故选：C.

10.给出下列函数：①y=cos|2x|,@j=cos|x|,③y=sin（2x+-）,（4）j=tan|x|,其中

周期为it的所有偶函数为（）

A.①②B.①②③C.②④D.①③

【分析】根据三角函数的诱导公式，结合三角函数的周期公式进行求解判断即可.

-X27rA

解：：®J=cos\2x|=cos2x,是偶函数，周期7=1-=n,满足条件

@y=cos|x|=cosx,是偶函数，周期T=2n,不满足条件

7T2.71

（3）j=sin（2x+—）=cos2x,是偶函数，周期T=]-=n,满足条件

④y=tan|x|是偶函数，但不是周期函数，不满足条件.

故选：D.

11.若y=logo.5（3X2+«X+5）在（-1,+°°）上单调递减，则a的取值范围是（）

、、247、

A.[6,8)B.[6,8]C.[6,+oo)D.[-,--)

35

【分析】由外层函数对数函数为减函数，可知要使复合函数在(-1,+8)上单调递减,

只需内层函数£=37+出计5在(-1,+8)上单调递增且恒大于0即可.

解：令，=3/+依+5,其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为

6

外层函数y=logo.5,是定义域内的减函数，

•二要使y=logo.5(3/+〃%+5)在(T,+°°)上单调递减，

a

——三一1

则6-，解得6WaW8.

,3x(-l)2-a+5>0

的取值范围是[6,8].

故选：B.

71

12.已知函数/(x)=2cos(a)x+(p)+1(a)>0,|(p|<—),其图象与直线y=3相邻两个

27rnn

交点的距离为工，若/CO>1<VxG-)恒成立，则甲的取值范围是()

71

D.[0,-]

【分析】由函数图象和题意可得3=3,进而可得关于叩的不等式组，解不等式组结合

选项可得.

解：由题意可得函数/(%)=2cos(a)x+(p)+1的最大值为3,

-27r

V/(x)图象与直线y=3相邻两个交点的距离为不，

27r27r27r

•••f(x)的周期7=q-,—=解得G)=3,

33

:.f(x)=2cos(3x+(p)+1,

*•f(x)>1对VxE(——,—)恒成立，

126

A2cos(3x+(p)+1>1即cos(3x+(p)>0对VxE(――,—)恒成立，

126

71717171

—十(p>2^7r——JL—+(pW2AiT+—,

4222

_兀7T

解得年22左it—1且(pW2左TT,即2kn——<(pW2Mr,左eZ.

n

结合选项可得当k=0时，<p的取值范围为[-小0],

4

故选:B.

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.若y=/(x)在xE[0,+°°)上的表达式为y=x(1-x),且/(x)为奇函数，则xe

(-°°,0]时，f(x)等于X(1+x).

【分析】先设xWO,则-%20,根据x20时，y=f(x)=x(1-x),代入即可求解.

解:设xWO,则-

因为时，y=f(x)=x(1-x),

所以/(-x)=-x(1+x)=-f(x),

故f(x)=x(1+x).

故答案为：x(1+x).

71

14.函数/(x)=3sin(2x--)的图象为C,如下结论中正确的是①②③

①图象C关于直线x=适口对称；

LX27r,

②)图象C关于点(f0)对称；

7T57r

③函数即/(x)在区间,—)内是增函数；

71

④由j=3sin2x的图角向右平移§个单位长度可以得到图象C.

117T71,n

【分析】把*=五兀代入求值，只要是2的奇数倍，则①正确，把横坐标代入

7T

求值，只要是TT的倍数，则②对；同理由X的范围求出2久-§的范围，根据正弦函数的

TlJi

单调区间判断③是否对，因为向右平移故把代入2兀-？进行化简，再比较判断④

是否正确.

….11兀117T7137r「X»

解：①、把比=彷兀代入2%-可得，2x,故①正确；

2717T27T71

②、把x=飞-代入2%—g得，2X3~—§=冗，故②正确；

71571717171

③、当久e(一石，J时，求得2x—36(—5,故③正确；

，乙，乙。乙乙

「X,7T71

④、有条件得，/(%)=3sin(2x——)=3sin2(x——),故④不正确.

36

故答案为：①②③.

15.当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减.按照惯例，人们将每克组

织的碳14含量作为一个单位大约每经过5730年，一个单位的碳14衰减为原来的一半，

这个时间称为“半衰期”.当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时，

用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果用一般的放射性探测器不能测到碳14,

1

那么死亡生物组织内的碳14至少经过了10个“半衰期”.【提示：­=0.00195】

-----------29

【分析】设生物组织内原有的碳14含量为X,需要经过“个“半衰期”才不能被测到碳

111

14,则x•不V77高?，即不＜0.001,再根据参考数据即可得解.

2n1UUU271

解：设生物组织内原有的碳14含量为x,需要经过"个"半衰期''才不能被测到碳14,

111

则〈五面即为<0001，

111

由参考数据可知，-^=0.00195>0.001,­=0.00195X-=0.000975<0.001,

2"21U2

An=10,

故答案为：10.

|1。。20，%>0,

2

16.设函数/(%)=7Xvn则函数g⑴=3/(x)-8f(x)+4的零点个数是5・

【分析】利用复合函数的关系，结合函数与方程的关系进行转化，利用数形结合进行求

解即可.

解：由g(x)=3f(x)-8f(x)+4=[3/(x)-2][f(x)-2]=0,

2(|10。2兀1，AT>0,

得/(久)=§和/(x)=2,函数/(x)=f2\x<0的图象如图所示：

2

由图可得方程“X)=彳和/(x)=2共有5个根，

即函数g(x)=3/2(x)-8f(x)+4有5个零点.

故答案为：5.

三、解答题(共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.已知全集U=R,集合4=3--+2%+15忘0},B={x||x-5|<1},求AUB,(CRA)D

B.

【分析】可以求出集合A,B,然后进行交集、并集和补集的运算即可.

解：*.,A={x|xW-3或xi5},B={x|4<x<6},

.,.AUB={x|xW-3或x>4},

CRA={X|-3<x<5},

(CRA)riB={x|4<x<5}.

18.函数/(x)=Asin((nx——)+1(A>0,3>0)的最大值为3,其图象相邻两条对称轴

之间的距离为2，

(I)求函数/(x)的解析式和当XG［O,IT］时/(x)的单调减区间；

7T

(ID/(X)的图象向右平行移动五个长度单位，再向下平移1个长度单位，得到g(x)

的图象，用“五点法”作出g(X)在［0,TT］内的大致图象.

X

【分析】(I)根据条件求出A,3的值，即可求函数/(X)的解析式，结合函数的单

调性即可求当xe［0,n］时/(x)的单调减区间；

(II)根据三角函数的图象平移关系求出g(x)的解析式，利用五点法进行作图即可.

解：(I)•.•函数/(x)的最大值是3,

7T

•.•函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为2，

二最小正周期T=7t,

所以/(x)=2sin(2x—)+1

6

n7137r

令一+2AirW2x——<—+2Mi,keZ,

262

n57r

即一+kn^x<一+knfceZ,

369

VxG[O,JT],

.7T57r

：.f(x)的单调减区间为匕,—].

36

Tin

(II)依题意得g(x)=/(%-逵)-l=2sin(2x--),

列表得:

n57r27r117T

X0IT

612TIT

7Tnn37r57r

lx—0TC

3~32TT

g(x)-v3020-2-

,，兀、5712.71、117T、.L.

描点(0,-微)，(―,0),2),0),(不二-2),(H,-、/3),

612312

连线得g(X)在[0,TT]内的大致图象.

2工14

19.已知定义域为R的函数/(*)=--------是奇函数.

2X+a2

(1)求实数。的值；

(2)判断函数/(x)的单调性，并用定义加以证明；

(3)若对任意的xe[l,2],不等式/(x2-wx)+f(x2+4)>0成立，求实数机的取值

范围.

【分析】(1)令/(0)=0;(2)利用单调性定义证明；(3)利用单调性的定义，转

化为求2炉-"«：+4>0,利用参数分离法求出.

【解答】解(1)由题意得：

2X1

V函数/'(X)=---------是奇函数，定义域为R

2X+a2

11

：.f(0)=0,.........-=0

解得ct=l.

12X-1

设Xl,X2GR,X1<X2,

121-122-l1212+2A-22-l-(212_21+22—1)

/(Xl)-/(X2)=­(------------------)=­(--------------------------------------------------------)

21+l22+1(21+l)(22+1)

2勺-2”2

------------------------->0,

(2*1+1)(22+1)

故/(x)在R上单调递增;

(3)任意的x£[l,2],不等式f(x2-mx)+f(x2+4)>0,即f(x2-mx)>f(-x2

-4),

所以2x2-/wx+4>0,

44

m<2x+因为2x+-22、叵=4也，当且仅当了=播成立，

xx

所以mV（2x+-）i=4y/2.

xmn

20.一半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心。距离水面1米；已知水轮按逆时针做匀速

转动，每3秒转一圈，如果当水抡上点尸从水中浮现时（图中点尸。）开始计算时间.

（1）以水轮所在平面与水面的交线为x轴，以过点。且与水面垂直的直线为y轴，建

立如图所示的直角坐标系，试将点尸距离水面的高度”（单位：米）表示为时间f（单位：

秒）的函数；

（2）在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点尸距水面的高度超过2米？

【分析】（1）设水轮上圆心。正右侧点为A,y轴与水面交点为8,建立三角函数关系

式表示高度入关于时间f的函数；

（2）由无关于f的函数，令求出生［0,3］时的取值范围，再计算有多长时间即可.

解：（1）设水轮上圆心。正右侧点为A,y轴与水面交点为8,如图所示；

7T7T

由03=1,OP=2,所以NBOPo=—,所以NAOPo=—;

036

n27r27i

设Zi=2siii（coZ—）+1,贝寸7=—=3,解得3=一;

6（JI）3

所以点尸距离水面的高度h关于时间，的函数为

27r71

7z=2sin（——/—）+1（彦0）;

36

27r7T

(2)由A=2sin(,—t—)+1》2,

36

2TTTT、1

得Sin<TZ-6)-2：

2717r71117T

令fe[O,3],U']——]；

3666

n2717r57r

由一v——t-<——,

6~36-6

13

解得5——2,

所以在水轮转动的任意一圈内，有1s时间点尸距水面的高度超过2米.

21.已知定义域在(0,+OO)上的函数/(X)满足对于任意的X,je(0,+8),都有f

Cxy)=f(x)+/,(j),当且仅当x>l时，f(x)<0成立.

(1)设x,JG(0,+°°),求证/己)=/(j)-f(x);

x

(2)设xi,xiE(0,+°°),若/(X1)</(xz),试比较与必的大小；

(3)若-1V〃V3,解关于X的不等式力3一(〃+1)x+a+l]>Q.

y

【分析】(1)取x,代入已知等式即可证得结果；

x

(2)由/G1)</(X2),结合(1)中等式/己)=/(j)-/(x),得到/(«)<0,

x1

再根据当且仅当x>l时，f(x)VO成立得到一>1,从而得到X1>X2；

%2

(3)在已知等式中取特值x=y=l求出f(1)=0,由(2)可知函数/(x)在定义域(0,

+°°)上是减函数，在不等式/(7-(a+1)x+a+1)>0中，用/(1)替换0后利用函

数的单调性脱掉,则不等式的解集可求.

【解答】(D证明：•••/(孙)=/(x)+f(j),：.f(-)+f(x)=f(j),

X

(-)=f(J)-fU)；

X

(2)解：：_/1(X1)<f(X2),：.f(XI)-f(X2)<0,

又/(-)=f(XI)-f(X2),所以/(—)<0,

X2X2

•・•当且仅当x>l时，/(x)VO成立，・••当/(x)VO时，X>1,

:.一>1,X1>X2；

X2

(3)解：令x=y=l代入/(孙)=/(x)+f(j)得/(1