同济第五版高数习题答案

习题12T

1.试说出下列各微分方程的阶数:

2

(1)x(/)-2yy+x=0;

解一阶.

2

(2)x〉'一孙'+产0;

解一阶.

2

(3)孙'"+2>'+%y=0;

解三阶.

(4)(7x-6y)公+(x+y妙=0;

解一阶：

乙彗+尺等+g=0

⑸dt2dtC.

解二阶.

⑹务

M一阶.

2.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：

2

(l)xy'=2y,y=5x;

解y=iox.

222

因为x/=10x=2(5x)=2y,所以y=5x是所给微分方程的解.

(2)y'+y=0,y=3sinx-4cosx;

角军yf=3cosx+4sinx.

因为y'+y=3cosx+4sinx+3sinx-4cosx=7sinx-cosx^O,

所以y=3sinx-4cosx不是所给微分方程的解.

2x

(3)y"-2y'+y=0,y=xe;

x2xxxx2xxx2x

角牛y'=2xe+xe,y,,=2e+2xe+2xe+xe=2e+4xe+xe.

%%242%x

因为y"—2y+y=2e+4xe+xe-2(2xe+xe)+xe=2e加，

2r

所以产Xe不是所给微分方程的解.

xx

(4)yj(、+%)y,+A%y=o,.y=c^+c2e^

x

解/=G4e4'+c2^y=+C2^e^

因为y”-(4+形力'+4办歹

xx

=存+C2^e^一(4+。2%6&，)+4小(。长4+C2e^)

=0,

所以是所给微分方程的解.y=c^'x+c2^x

3.在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分

方程的解：

22

(1)(x-2y)y=2x~y,x~xy+y=C;

22

解将无-冲+y=(?的两边对x求导得

2x-y~xyr+2yy'=0,

即(x-2y)y'=2x-y,

22

所以由尤一-孙+yJC所确定的函数是所给微分方程的解.

2

(T)(xy-x)yn+xy'+yyr-2yr=0,y=ln(xy).

解套y=ln(xy)的两边如■尤求导得

y'^-+-y'y'=^~

xy，即初一x,

再次求导得

1产=歹'(肛一乃一j，(y+犯，'-1)=一町'_/+歹=]x_M

一函守一(孙—靖-赤?，yy一抄”

/=—+—V-y'=xy'-l

注意到由X歹可得歹，所以

y"止ZWTW-W+力吉…一…

从而(xy-x)y"+xy'+yj-2y-0,

即由月n(孙)所确定的函数是所给微分方程的解.

4.在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足

所给的初始条件：

22

⑴x-y=C,儿=0=5;

2222

解由儿=:0得0T=C,C=-25,故x-j=-25.

⑵y=(C+Cx)「y|=0R=1;

14A—vA-v

.„2x2x

,=

斛yC2e+2(q+qx)e.

由儿=o=°，y'L=o=i得

JG=O

k+G=i

2x

解之得q=0,C2=l,故尸xe.

⑶产Csin(x-C),y|=1,1=0.

1ZA-71X—7l

解y=C]Cos(x-q).

由y|=i,yi=o得

x=nx=Tt

fC1sin(^-C2)=lfC1sinC2=l

即[GCOS(万_。2)=o[-GCOSC2=0

C=—y=sin(x——)

解之得C1=l,22,故2,即y=—cosx.

5.写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程：

(1)曲线在点(x,y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平方；

解设曲线为产y(x),则曲线上点(%,y)处的切线斜率为y,由条件

2

y=x,这便是所求微分方程.

(2)曲线上点P(x,y)处的法线与X轴的交点为。，且线段P。被y轴平

分.

_x

解设曲线为丫=丫(无)，则曲线上点尸(x,y)处的法线斜率为v,

由条件第尸。中点的横坐标为0,所以。点的坐标为(-X,O),从而有

yo=__L

x+xy,即y/+2x=0.

6.用微分方程表示一物理命题：某种气体的气压尸对于温度T的

变化率与气压成正比，所温度的平方成反比.

好“二

解dTT2,其中左为比例系数.

习题12-11

1.试用幕级数求下列各微分方程的解：

(l)y'-xy-x=i;

00

尸%+工。产

解设方程的解为，代入方程得«=!

nx

Znanx~-%工-Z以1-x=1

w=i〃=i

co

—7)+(2%一旬一1)%+工［5+2)4+2-/i=0

即«=i

可见%-1=0,("+2)*+2=0(〃=1,2,­••),

1+%11+%

于是'=伫=亍-3=列尸=R，,一，

1_1+%

^1-(2^-1)!!,%左一Q左川...

所以

=%+2$*+。+。。薄亭

—+（l+a°）/荷产J

,

2

#00-I

y=Ce2T+Z/w_1、1产*1

即原方程的通解为k=®D".

（2）y"+xy'+y=0;

y这陪"

解设方程的解为，代入方程得“0

00C000

n2nitl

^n(n-V)anx~+x^nanx~+^anx=Q

n=2w=lM=0

co

,,

a0+2a2+YJ[(ri+2)(n+l)an+2+(ri+r)an]x=0

即，n=\

_1

a=--a%=一铲1

于是22,

(-l)i(-1/

片氏+中+£[%\：0/无+(T)":

(2左+1)!!

所以k=l1/4一

co-I200（T）"i又一1

=哂//+明（2左一1）!!

（一1尸工口

=ae

o*1）!!

即原方程的通解为

X200/1\后一1

5+C＞士1)

y=Cxe2台(21)!!

（3）孙〃-（工+机）y'+碎尸0（加为自然数）;

00

片

解设方程的解为，代入方程得«=0

Q00000

恤_1)O〃X〃_2_(%+⑼Z+加Z%*=0

n=2n=ln=0

加(。0—01)+工[(力+1)(〃一加)。门+1一(〃一加)=o

即^«=i

可见(a-a}m=O,(n-m)[(n+l)a-a]=0(厉碗)，

01n+ln

an=-7~6(«>771+2)a=-a(n<m)

于是与咒，〃(附T)…(冽+2),nn\x

m8a

y=6Z+V—xn+a,xm+i+V------------xh

所以°0念加Wm+1y〃±2d一1)…@+2)

=他2:+4+1%+(切+1)4+1S』

n=0巩n=m+2巩

=。。M2:+(加+1)%+1Ms豆Y”

n=0〃，n=m+lri'

=%£普+(加+1)—£5)

«=0儿n=Q〃,

=(m+l)!am+1^+[a0-(?M+l)!am+1]£—

n=0几

即原方程的通解为

™n

y=C£+C2t不v

“=。".(其中。1，。2为任意常数)•

2一

(4)(l-x)yf=x-y;

00

片Z%x"

解设方程的解为，代入方程得«=0

nxn

(1-x)Znanx~=/一工anx

n=ln=0

即，

00

2-na

%+%+2a2x+(3a3-a2-I)x+[(^+1)^«+1n+4M=0

n=3

可见。]+〃0=0,2«2=0,34-〃2-1=0,(〃+1)〃“+]-(〃-1)“〃=O("N3),

c_1~-2~_2

于是％=-,,q=0,3,nn(n-X)(近4).

因此原方程的通薜为

1J30、n

y=C(l-x)+—x3+V------xr,

3«=4"("T)(C=a0为任意常数)..

2

(5)(x+l)/=x~2x+y.

co

解设方程的解为，代入方程得«=°

Q0co

nl2n

(x+l)Znanx~=x-2x+£anx

n=\n=0

即

-a+a+2(l-^a)x+(a+3a-l)x2+^[(n-l)a+(n+l)a]xn=0

()i223w=3nn+i

于是%=a,

丁产量/一片用=(一1尸扃34),

因此原方程的通解为

9?A

y=C(l+x)-x2+—x3+^2(-l)w-3------xr,

3"=4®T)(C=%为任意常

数).

2.试用幕级数求下列方程满足所给初始条件的解：

|-1

23yV\x=0~

⑴y=y+x,0z；

100

片万+1＞，

解根据初始条件，可设方程的解为2«=1,代入方程

得

00100

nx3

Zrianx~=(-=-+Z玛x")2+x

n=\2n=\

即

00100

n1A3

。1+2加产1=/++zanx+OyX+2%a2+(域+Z%%)/H—

n=2n=l

比较两边同次幕的系数得

1

ai=72

r,2a=a,3a=a+〃,4〃-a+2。a+1,•••,

'21'321'4312''

1119

于是效廿记，%=宜，

因此所求特解为‘

y=-+—x+—x2+—x3+—x4-1—

72481632

(2)(l—x)y+y=l+%,ylx=o=o；

00

解根据初始条件，可设方程的解为，代入方程得«=i

(1-X)Z〃以改+Z。泼1=1+X

n=lw=l

co

佝+Z[("T)怎+i+(l—=)怎川=1+人

即«=1

比较系数得

1¥1—21/

,。]=伫=5,*7~味=丽万33)

因此所£特解为

1oo-J001

y=x+—x2+V------xn=x+V------xn

2与"(〃T)必加T)

y1

因为占"5一1)

的和函数为(1-X)ln(l-x)+x,所以特解还可以

写成

y=2x+(l-x)ln(l-x)+x.

?+xCOS/=0dx_^o

⑶小，力/dt

co

X=o+Z。/

解根据初始条件，可设方程的解为.〃=2

.8、?2.8、产、/_1XM

x=a+E%〃着n~2COSf=X;(12n

Ln

将，M=2Gn=2和n=0\)'

代

入方程得

_oo_co_oo_/_ixn

X如-加广2+(a+XM)E箫冲=0

»=2n=2n=Q

将级数展开、整理合并同次项，并比较系数得

__a_2a

6/4-

/=qq=0%-5a3=0-4T

，，，，，

_9a_55a

,%=o%=—&%=o%=丁...

故所求雇解为

习题12-2

1.求下列微分方程的通解:

(l)xy-ylny=0;

解分离变量得

——dy=——dx

ylnyx

两边积分得

即ln(lny)=lnx+lnC,

故通解为产厂.

2

(2)3x+5%—5"0;

解分离变量得

2

5tfy=(3x+5x)dx,

两边积分得

J5双=J(3x2+5x)dx

5J=X3H■—x2+Cj

即2,

y=—x2+C1。

故通解为52，其中5为任意常数.

(3)Jj2_/=Jl—4；

解分离变量得

两边积分得

即arcsiny=arcsinx+C,

故通解为y=sin(arcsinx+Q.

2

(4)y-xyf=a(y+y');

2

解方程变形为(1-X-。)竹=心,

分离变量得

-\dy=----dx

1-a—x

两边积分得

信方可匚3派

———(2111(1一a—x)—G

即y,

i

故通解为'—C+aln(l-a-x),其中c=aq为任意常数.

22

(5)secxtanydx+secytanxdy=O;

解分离变量得

sec2ysec2x7

-------y=----------ax

tanytanx

两边积分得

fsec2yrsec2x^

JtanyJtanx

即ln(tany)=-ln(tanx)+lnC,

故通解为tanxtany=C.

包=1OX+,

⑹治;

解分离变量得

10cfy=10dx,

两边积分得

Ji。-＞办=jio”/

iox,

---i-o----y----------1—;--c----

即In10In10InlO

或l(T'=10'+C,

故通解为丫=-坨(。-10').

x+yxx+yy

(7)(e-e)dx+(e+e)dy=0;

解方程变形为J(J+l)dy=J(l-J)dx,

分离变量得

——dy=——dx

\-eyl+ex,

两边积分得

f——dy=[—―dx

Jl—夕"Jl+e”

yX

即Tn(e)=ln(e+1)—InC,

故通解为(J+I)(JT)=C.

(8)cosxsinydx+sinxcosydy=0;

解分离变量得

父

co.syay=—co：——sxa,x

sinysinx

两边积分得

郎的=一尸以

JsinyJsinx

即ln(siny)=-ln(sinx)+lnC,

故通解为sinxsiny=C.

3+1)2率+必=0

(9)笈.

解分离变量得

23

(y+1)dy=~xdx,

两边积分得

J3+1)2力=-jxidx

l(j+l)3=-lX4+Ci

即

34

故通解为4(y+l)+3x=C(C=12q).

2

(10)＞公+(%-4x)dy=0.

解分离变量得

—dy=(^-+—^~)dx

yx4-x

两边积分得

《女尼+六心

4

即Iny=lnxTn(4-无)+lnC,

,4

故通解为y(4-x)=Cx.

2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:

(l)y=e">,儿=0=0;

解分离变量得

y2x

edy=edx,

两边积分得

^eydy=^e2xdx

9

ey=^-e2x+C

即2,

y=

或

ln4+C)=0C=i

由小0=。得2,2

y=ln(^-e2x+^)

所以特解22.

y\x=o=^

(2)cosxsinydy=cosysinxdx,

解分离变量得

tanyrfy=tanxdx,

两边积分得

jtanJtanxA

即-ln(cosy)=Tn(cosx)-lnC,

或cosy=Ccosx.

Vlx-o='Tcos-^=CcosO=C

由4得4°喷

所以特解为6cosy=cosx.

心=e

(3)y'sinx=y\ny,2

解分离变量得

—dy=—^—dx

ylnysinx

两边积分得

f——dy=

JylnyJsinx

ln(lny)=ln(tan^-)+lnC

即

Ctan4

或y=e2

Ctan^

由得e=e:4，c=\,

tan.

所以特解为y=e2.

=n

—xy\x=o

(4)cosydx+(\+e)sinydy=0,7.

解分离变量得

siny,,

--------ay=-------dx

cosy1+^

两边积分得

-\^dy=\-^dx

JcosyJ\+ex

即ln|cosy|=ln(e+l)+ln|C|,

X

或cosy=C(e+1).

COS1=C(J+1)C=W

由4得44

cosy=正e+i)

所以特解为4

(5)xdy+2ydx=0,)心二1■

解分离变量得,

-dy=--dx

yX

两边积分得

dx

即Iny=-21nx+lnC,

-2

或y=Cx.

由儿，2=1得C-2-2=l,c=4,

4

y-~

所以特解为x

3.有一盛满了水的圆锥形漏漏斗，高为10cm,顶角为60。，漏斗

2

下面有面积为0.5cm的孔，求水面高度变化的规律及流完所需的时

间.

解设f时该已流出的水的体积为V,高度为尤，则由水力学有

—=0.62x0.5xJ(2x980)x

dt,即

dV=0.62x0.5xyl(2x9SO)xdt

r=xtan30°=^^

又因为‘3,

V=-jrr2dx=--x2dx

故3,

0.62x0.5xJ(2x9S0)xdt=-^-x2dx

从而3,

3

2

dt=--------------txdx

即3x0.62x0.572x980

—Ojr—

t=-------------.C

因此3x0.62x0.5^/2x980+

5

C=------------,1Q2

又因为当z=0时，410,所以3X5X0.62X0.5A/2X980,

故水从小孔流出的规律为

2〃工工工

t=---------—~,<102-十2)=—0.0305x2+9.645

3x5x0.62x0.572x980

令x=0,得水流完所需时间约为10s.

4.质量为1g(克)的质点受外力作用作直线运动，这外力和时间

成正比，和质点运动的速度成反比.在r=10s时，速度等于50cm/s,

2

外力为4gcm/s，问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少？

尸=4,

解已知v,并且法r=10s时，v=50cm/s,F=4gcm/s；故

4=左黑F=20-

50,从而仁20,因此v.

1--=20-

又由牛顿定律，F=ma,即流v,故vdv=20tdt.这就是

速度与时间应满足的微分方程.解之得

%2=10产+。2M

2即v=j20f2+2C

-X502=10X102+C

由初始条件有2,C=250.因止匕

v=V20f2+500

当z=60s时V=>/20X602+500=269.3cm/s

5.镭的衰'变有如下的规律：镭的衰变速度与它的现存量R成正

比.由经验材料得知，镭经过1600年后，只余原始量为的一半.试

求镭的量R与时间f的函数关系.

解由题设知，

华=_艰萼一切

dt即R

两边积分得

InH=-Q+C],

从而.R=Ce~M(C=ec^

因为当f=0时，R=R。,故&=Ce°=C,即尺=/「'.

又由于当仁1600时，2,故2,从而

%=庄

1600

ln2

因此A=丽=&”。°0433;

6.一曲线通过点(2,3),它在两坐标轴间的任一切线线段均被切

点所平分，求这曲线方程.

解设切点为P(X,y),则切线在x轴，y轴的截距分别为2x,2y,切

线斜率为

2y-o=J

0-2xx

率=2Ldy^dx

故曲线满足微分方程：成x,即y%,

从而Iny+lnx=lnC,xy=C.

因为曲线经过点(2,3),所以C=2x3=6,曲线方程为刈=6.

7.小船从河边点。处出发驶向对岸(两岸为平行直线).设船速为

。，船行方向始终与河岸垂直，又设河宽为九河中任一点处的水流速

度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数为。求小船的航行路

线.

解建立坐标系如图.设/时刻船的位置为(x,y),此时水速为

v=^--ky(h-y)

出,故dx=ky(h-y)dt.

又由已知，产球代入上式得

dx=kat(h~af)dt,

积分得

x=-^-kaht2-ka2t3+C

23

x=^-kaht2-ka2t3

由初始条件%=0,得C=0,故23

因此船运动路线的函数方程为

x=^-kaht2-ka2t3

■23

9

从而一般方程为&23.

习题12-3

1.求下列齐次方程的通解:

令X,则原方程化为

u+xd?=n+ylu2—l/；dll=占dx

dxgnx

两边积分得‘

ln(z/+vw2-l)=lnx+lnC即友+―2_]=&

将X代入上式得原方程的通解

闪夕…,朝'+y/y2—x2=Cx2

=yln—

(2)x.

生=21n上

解原方程变为xx

〃一y

令X,则原方程化为

u+x^=uinu1du=Ldx

dx,即a(lna—1)X

两边积分得

Cx+1

ln(lnw-l)=lnx+lnC,即K=e

将X代入上式得原方程的通解

Cx+1

y=xe.

22

⑶(％+y)dx-xydy=O;

U-X

解这是齐次方程.令X即产w,则原方程化为

,1,

2222uau=—dx

(x+xu)dx-xu(udx+xdu)=O,即X,

两边积分得

22

u=lnx+C,

T

将x代入上式得原方程的通解

222

y=x(Inx+Q.

(4)(%+y)dx-3xydy=O\

u=y

解这是齐次方程.令X,即y=x〃，则原方程化为

3~21

33332口“匚市如=法

(x+xu)dx-3xu(udx+xdu)=O,即1入

两边积分得

—^-ln(l-2w3)=lnx+lnC2/=1一冬

2，即工,

u=—y

将X代入上式得原方程的通解

33

x~2y=Cx.

(2xsh—+3^ch-)dx-3xch—dy=O

(5)xxx

^=2th2+X

解原方程变为dxxx_

u=y

令x,则原方程化为

,du2।3ch友727

u~\~x—-=—+\\uiu-\~U--—du=—dx

dx3即sh岌x

两边积分得

32

31n(shw)=21nx+lnC,即shu=Cx,

T

将x代入上式得原方程的通解

sh2—=Cx2

x

XX

(l+2c»)dx+2e)'(\——)dy=0

(6)y

X

dx=y

dy-

解原方程变为1+助'

Il=—

令-V,则原方程化为

沈+du_2(比一l)e"du_u+2eu

Uy~dy~l+2eu,即"不一一用"

分离变量得

l+2e”

du=——dy

u+2euy

两边积分得

ln(w+2e)=-lny+lnC,即y("+2e)=C,

u———

将y代入上式得原方程的通解

X

X-+2e^)=C-三"

y即x+2ye»=C

2.求下列齐次方程篇足所给初始条件的特解：

22

(l)(y-3x)dy+2xydx=0,儿_。=1；

〃一y

解这是齐次方程.令X,即丫=初，则原方程化为

2222

(xu-3x)(udx+xdu)+2xudx=O,

^—^■du=—dx(-—H-----1--^—)du=—dx

即u—u5x或友区+1w-1x

两边积分得

23

-31n|w|+ln|w+l|+ln|w—l|=ln|x|+ln|C|,即〃-l=Cxu,

u——

将工代入上式得原方程的通解

223

y-x=Cy.

'223

由儿=0=1得C=l，故所求特解为y-X=y.

(2)歹X，y"=2；

〃一y

解令X,则原方程化为

u+^d?=」■-\-uudu—~~dx

dxugnx

两边积分得

—u2=lnx+C

2

u=—

将x代入上式得原方程的通解

22

y=2x(Inx+Q.

22

由YE=2得C=2,故所求特解为y=2£(lnx+2).

2222

(3)(x+2xy-y)dx+(y+2xy-x)dy=O,y\=1.

u——

解这是齐次方程.令X,即y=xa,则原方程化为

22222222

(x+2xw-xu)dx+(xu+21u~x)(udx+xdu)=O,

+2〃—1111

------------cUi=—cix

即u+〃,+〃+1x

(―-----^—)du=—dx

或友+1U+1X

两边积分得

22

ln|w+l|—ln(w+l)=ln|x|+ln|C|,BPw+l=Cx(w+1),

将X代入上式得原方程的通解

22

x+y=C(x+y).

22

由儿^=1得。=1，故所求特解为x+y=(x+y).

3.设有连结点。(0,0)和A(l,1)的一段向上凸的曲线弧&,对

于勿上任一点P(x,y),曲线弧分与直线段0P所围图形的面积

为:，求曲线弧日的方程.

解设曲线弧况的方程为〉=>(。由题意得

产1°

Jo心一］加X)=X2

两边求导得

町'(X)=2x

y'=y-4

即x

〃一y

令工,则有

u+x率=u-4-du=--dx

dxgnux

两边积分得

w=-41nx+C.

将X代入上式得方程的通解

y=-4xlnx+Cx.

由于A(l,1)在曲线上，即y(l)=l,因而C=l,从则所求方程为

j=-4xlnx+x.

习题12—4

1.求下列微分方程的通解:

解

y=e4成(Je~x*e^dx+C)=。一"(]e~x*exdx+C)=e~x(x+C)

2

(2)xy,+y=x+3x+2;

yf+—y=x+3+—

解原方程变为％X.

y-e上成[J(x+3+2>e上欣成+C]

=—[j(x+3+—)x6fc+C]=—[j(x2+3x+2)6fc+C]

=—(—x3+—x2+2x+C)=—x2+—x+2+—

2732x

-sin%

(3)y'+ycosx=e;

JcosA'e-sinx.Jcosx汆dx+c)

解I

e-啊Je-s]nx-es]nxdx+C)=e-sinx(x+C)

(4)y'+ytanx=sin2x;

-\t3nxdxt皿成公+C)

解□y=eJ

=elnc0SX(Jsin2x-e-mcosx原+。)

=cosx(f2sinxcosx•--—dx+C)

Jcosx

2

=cosx(-2cosx+C)=Ccosx-2cosx.

2

(5)(x-l)yr+2xy-cosx=0;

解原方程变形为-Tx2-l

…骨(|•等」资&0)

Jxz-l

据[J簧e.+C]=*(sinx+C)

dp

~d0+30=2

(6)

=e^3M(j2-J3ded0+C)

解

=e-30(he30d0+C)

=二母36+c)=|_+Ce-30

^-+2xy=4x

⑺笈；

y=e4%4x.j叫Zx+C)

解J

二e"(J4x-ex2dx+C}

99,>

=e-x(2ex+C)=2+Ce-X

(8)ylnydx+{x~\ny)dy-Q-,

dx11;_1

解原方程变形为力贝nj7一少.

x=e一舄产y殉"方+c）

=缶（中”力+。）

=焉中1…。同如尹福

(x-2)^-=y+2(x-2)3

⑼心；

*—^-j=2(x-2)2

解原方程变形为成X-2

y=ex-2dx[^2(x-2)2*ex-2^6&+C]

=(%-2)[J2(x-2)2♦1

23

=(x-2)[(x-2)+C]=(x-2)+C(x-2).

(y2-6x)挛+2y=0

(10)^

dx3_1

w—x=~^y

解原方程变形为dy-v2.

『珞J(-"e母妙+C]

=yi(-^\y--^dy+c)

=j3(^+O=|j2+Qy3

2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:

季-ytanx=secx

⑴治，%=。；

ftan%成-ftan%成,

解y=eJ(Jsecx・eJa7x+C)

](fsecx-cosx^&+C)=---(x+C)

cosxJcosx

由九0=0,得C=0,故所求特解为yrsecx.

dy।y=sinx

(2)dxxx

‘y"lX=7t=].'

片.8(1■曲小成+C)

解工

__1zpinx

•x6Zr+C)=—(-cosx+C)

XJX

、

y=—l(/^-i1-cosx)

由得故所求特解为工

y|x=n=1,C=7iT,

cosx

-^-+ycotx=5evi

⑶办,x=3;

解尸e4c°t越(J5ec°sx-^Xdxdx+C)

15ec°sx-sinxdx+C)=」一(一5eC°sx+C)

sinxsmx

叫金-4(-5ecosx+l)

由F,得c=i,故所求特解为sinx

亭+3y=8

⑷双，4o=2；

dxdx

解y=^^dx+c)

C=--y=l(4-e-3x)

由儿=o=2,得3,故所求特解为3

dy7-3x21

了+r~片1

(5)ax%,九］=0.

.2—3%2,2—3%2

铲y=e2(fl-e，dx+C)

用牛J

=x3ex2(j-y£x2dx+C)=xiex2(^ex2+C)

C=---y——x3(l—ex2)

由ylg=0,得2e,故所求特解为2

3.黄一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点(x,y)处的切

线斜率等于2尤+y.

解由题意知y'=2x+y,并且y|『o=O.

由通解公式得

y=^dx(^2xe~^dxdx+C)=ex(2^xe~xdx+C)

=e(-2xe-2e+C)=Ce-2尤-2.

由儿=r0,得C=2,故所求曲线的方程为y=2(e1x-l).

4.总有一质量为他的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起,

有一个与运动方向一至、大小与时间成正比(比例系数为勺)的力作用

于它，此外还受一与速度成正比(比例系数为勺)的阻力作用.求质点

运动的速度与时间的函数关系.

也半=知一左2V^-+—V--t

解由牛顿定律人机。，得流，即成加m.

由通解公式得

包

t-emdt+C)

Ckm

c=Fx

由题意，当仁0时v=0,于是得勺.因此

v=e

v=

即

5.设有一个由电阻R=10。、电感L=2h（亨）和电源电压E=20sin5r

V（伏）串联组成的电路.开关K合上后，电路中有电源通过.求电流力

与时间f的函数关系.

解由回路电压定律知

20sin5f—2半—10j=0.+5i=10sin5t

dt，即^

由通解公式得

dt

i=阿(JiOsin5t-^dt+C)=sin5/-cos5t+Ce~-51

因为当仁0时i=0,所以C=l.因此

z=sin5f-cos5t+e~51=e~5>+V2sin(5f--)

4(A).

6.设曲在右半平面（x>0）内与路径无关，其中y（x）可导，且*1）=1,

Lyf(%)成+[2如办

求小）.

解因为当Q0时，所给积分与路径无关，所以

4-lyf(x)]=-^-[2xf(x)-x2]

oyox

即f(x)=2J(x)