2021-2022学年天津市北辰区九年级（上）期末数学试卷 (一)

2021-2022学年天津市北辰区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项符合题目要求）

2.（3分）将抛物线y=2/向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线解析式为（）

A.y=2（尤-3）2B.y=2（x+3）2C.y=2x2-3D.y=2x2+3

3.（3分）下列事件为必然事件的是（）

A.口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球

B.明天会下雪

C.打开电视机，CC7V第一套节目正在播放新闻

D.购买一张彩票中奖一百万元

4.（3分）抛物线y=-5（x-1）2+2的顶点坐标为（）

A.（-1,2）B.（1,-2）C.（1,2）D.（2,1）

5.（3分）如图，A、B、C为OO上的三个点，60°,则NC的度数为（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

6.（3分）如图，小球从A口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相

同，则小球最终从E□落出的概率为（）

A.AB.Ac.AD.A

2468

7.（3分）关于x的一元二次方程/+2x-1=0有两个不相等的实数根，则实数%的取值范

围是（）

A.k>-IB.k<-IC.左>-1且左=0D.%三-1且发/0

8.（3分）某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两班之间都进行两场比赛，共

需比赛12场，则九年级班级的个数为（）

A.6B.5C.4D.3

9.（3分）如图，平面直角坐标系xOy中有4条曲线分别标注着①，②，③，④，是双曲线

y=-旦的一个分支的为（）

A.①B.②C.③D.④

3

10.（3分）关于反比例函数yq的图象性质，下列说法不正确的是（）

A.图象经过点（1,3）

B.图象分别位于第一、三象限

C.图象关于原点对称

D.当x<0时，y随x的增大而增大

11.（3分）如图，将△A8C绕点A逆时针旋转65°得到△ADE,若NE=70°MAD±BC

于点足则/A4C=（）

AE

BFjT/

D

A.80°B.85°C.90°D.95°

12.（3分）已知：抛物线yuaf+匕x+c（aWO）的对称轴为直线x=l,与x轴的一个交点坐

标为（-1,0）,其部分图象如图所示，下列结论：

①"c>0；

②.-4ac>0；

③。-b+c=O；

④方程aW+fcr+cn。（〃W0）的两个根是xi=-1,X2=3；

⑤8〃+cV0.

其中正确的结论有（）

A.4个B・3个C.2个D.1个

二、填空题（本大题共6道小题，每题3分，共18分）

13.（3分）已知关于x的一元二次方程/-3了+攵-2=0的一个根是-1,贝隈=.

14.（3分）一个不透明的口袋中装有7个红球，4个黄球，这些球除了颜色外无其他差别.从

袋中随机摸取一个小球，它是红球的概率.

15.（3分）在函数y=2的图象上有三点（-3,yi）、（-2,”）、（1,*）,则函数值以、

X

>2、*的大小关系为.

16.（3分）如图，在拧开一个边长为，的正六角形螺帽时，扳手张开的开口8=40根根，则

边长a为mm.

17.（3分）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点,

建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线是抛物线y=-f+4x（单位：米）

的一部分.则水喷出的最大高度是米.

小y侏

:o\^米

18.（3分）如图，C为线段的中点，。为垂直平分线上一点，连接将8。绕点

。顺时针旋转60°得到线段。E,连接AE,若AB=2愿，AE=6,则CD的长为.

三、解答题（本大题共7道小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）

19.（8分）如图，反比例函数y=&（k40）的图象经过点「2,4）和点A（a,-2）.

X

（I）求该反比例函数的解析式和〃的值.

（II）若点C（x,y）也在反比例函数@卉0）的图象上，当2cx<8时，求函数y

的取值范围.

20.（8分）已知如图，在。。中，AB为直径，AB±CD,ZA=22.5°,00=4.

（I）求/0DC的度数.

21.（10分）（I）用适当的方法解下列方程：

（1）4（x-1）2=9；

（2）2/-3x-1=0.

（II）如图，在一块长13%，宽7m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两

条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是72〃工则

道路的宽应设计为多少m?

22.（10分）已知二次函数y=-/+2r+3

（I）填写表中空格处的数值

x-112

）=-/+2%+3…30

（H）根据上表，画出这个二次函数的图象；

（III）根据表格、图象，当0VxV4时，y的取值范围是，

?'A

23.（10分）四边形ABC。内接于。。，AC为其中一条对角线.

(I)如图①，若NA4D=70°,BC=CD,求NC4。的度数;

（II）如图②，若AD经过圆心O,CE为。。的切线，B为血的中点，ZDCE=40°,

求NBCE的大小.

24.（10分）在平面直角坐标系中，已知点A（2,0）,点。（0,0）,点B在y轴正半轴上,

且/血0=60°.

（I）如图1,ZVIOB绕着点O顺时针旋转，得△A08,点A、8旋转后的对应点分别

为A、B',记旋转角为a.AE恰好经过点A时；

①求此时旋转角a的度数；

②求出此时点B的坐标.

（II）如图2,若0°<a<90°,设直线和直线83交于点尸，猜测A4与83的位置

关系，并说明理由.

（III）若0。<a<360°,求（II）中的点尸纵坐标的最小值（直接写出结果）.

25.(10分)己知抛物线y=o?+6x+3QW0)交x轴交于A(-1,0)和点8(3,0),交

y轴交于点C.

(II)如图1,点。是直线BC上一点，过点。作。£〃＞轴，交抛物线于点E(点£在

点。的上方)，再过点E作所〃尤轴，交直线BC于点?当△/)£/的面积取最大值时，

求点E的坐标；

(III)如图2,点M为抛物线对称轴I上的一点，点N为抛物线上的一点，当直线BC

垂直平分MN时，求出点N的坐标.

2021-2022学年天津市北辰区九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项符合题目要求）

1.（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（）

【分析】把一个图形绕某一点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那

么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解.

【解答】解：选项A不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图

形重合，所以不是中心对称图形，选项8、C、。均能找到这样的一个点，使图形绕某一

点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，

故选：A.

2.（3分）将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线解析式为（）

A.y—2（x-3）2B.y—1（x+3）2C.y=27-3D.y=27+3

【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答.

【解答】解：将抛物线y=2?向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线解析式为y=

2?+3.

故选：D.

3.（3分）下列事件为必然事件的是（）

A.口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球

B.明天会下雪

C.打开电视机，CC7V第一套节目正在播放新闻

D.购买一张彩票中奖一百万元

【分析】直接利用随机事件以及必然事件的定义分析得出答案.

【解答】解：A.口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球，是

必然事件，选项符合题意；

B.明天会下雪，是随机事件，选项不符合题意；

C.打开电视机，CC7V第一套节目正在播放新闻，是随机事件，选项不符合题意；

D.购买一张彩票中奖一百万元，是随机事件，选项不符合题意；

故选：A.

4.（3分）抛物线y=-5（x-1）2+2的顶点坐标为（）

A.（-1,2）B.（1,-2）C.（1,2）D.（2,1）

【分析】根据二次函数顶点式的表达式，可直接写出顶点坐标.

【解答】解：-5（x-1）2+2,

，此函数的顶点坐标是（1,2）.

故选：C.

5.（3分）如图，A、B、C为O。上的三个点，60°,则/C的度数为（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

【分析】直接利用圆周角定理求解.

【解答】解：♦••乙4。8和/C都对众，

.\ZC=AzAOB=Ax60°=30°.

22

故选：B.

6.（3分）如图，小球从A口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相

同，则小球最终从E□落出的概率为（)

A.AB.Ac.AD.A

2468

【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点8、C、

。处都是等可能情况，从而得到在四个出口及F、G、反也都是等可能情况，然后根据

概率的意义列式即可得解.

【解答】解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，

小球最终落出的点共有区F、G、H四个，

所以，最终从点E落出的概率为上.

4

故选:B.

7.（3分）关于x的一元二次方程/+2尤-1=0有两个不相等的实数根，则实数上的取值范

围是（）

A.k>-IB.k<-IC.%>-1且上=0D.左2-1且上W0

【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到上W0且4=（2左-1）2-4人•（左

-2）>0,然后求出两个不等式的公共部分即可.

【解答】解：根据题意得k力0且A=22-44X（-1）>0,

解得人>-1且kWO.

故选：C.

8.（3分）某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两班之间都进行两场比赛，共

需比赛12场，则九年级班级的个数为（）

A.6B.5C.4D.3

【分析】设九年级共有x个班，利用比赛的总场数=九年级班级数X（九年级班级数-1）,

即可得出关于尤的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论.

【解答】解：设九年级有x个班，

依题意得：x（x-1）=12,

整理得：x2-x-12=0,

解得：X1=4,X2=-3（不符合题意，舍去）,

，九年级共有4个班.

故选：C.

9.（3分）如图，平面直角坐标系尤Oy中有4条曲线分别标注着①，②，③，④，是双曲线

y=-旦的一个分支的为（）

A.①B.②C.③D.@

【分析】由左<0排除③④，由①经过（-2,3）,②经过（-1,3）,即可得双曲线y=

-2的一个分支的是①.

X

【解答】解：：双曲线y=-2中，k<0,

X

双曲线y=-旦的分支在第二、四象限，可排除③④；

X

由图可知，①经过（-2,3）,②经过（-1,3）,

而3=

-2

故为双曲线y=-2的一个分支的是①，

x

故选：A.

3

10.（3分）关于反比例函数yq的图象性质，下列说法不取蒯勺是（）

A.图象经过点（1,3）

B.图象分别位于第一、三象限

C.图象关于原点对称

D.当x<0时，y随x的增大而增大

【分析】根据反比例函数的性质即可逐一分析找出正确选项.

【解答】解：A.当x=l时，y=S=3,所以图象经过点（1,3）,说法正确，不合题意;

1

B.k=3>0,则图象位于第一、三象限，故说法正确，不合题意；

C.反比例函数的图象关于原点成中心对称，故说法正确，不合题意；

D.k=3>0,则图象在第一、三象限内，y随尤的增大而减小，所以当x>0时，y随x

的增大而减小，故说法错误，符合题意；

故选：D.

11.（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转65°得到△AOE,若NE=70°5.AD±BC

【分析】由旋转的性质可得N8AO=65°,/E=/ACB=70°,由直角三角形的性质可

得NZMC=20°,即可求解.

【解答】解：：将AABC绕点A逆时针旋转65°得△AOE,

：.ZBAD=65°,ZE=ZACB=10°,

'：AD±BC,

：.ZDAC^2Q°,

：.ZBAC=ZBAD+ZDAC=85°.

故选：B.

12.（3分）已知：抛物线（aWO）的对称轴为直线x=l,与x轴的一个交点坐

标为（-1,0）,其部分图象如图所示，下列结论：

①abc>0；

②■-4ac>0；

③a-b+c=O；

④方程水2+6尤+c=0（a#0）的两个根是xi=-1,尤2=3；

⑤8a+c<0.

其中正确的结论有（）

【分析】根据抛物线开口方向，对称轴，与y轴的交点坐标即可判断a,b,c的值，即

可判断①；根据抛物线与x轴的交点个数，即可判断②；把（-1,0）代入y=a?+6x+c

中，进行计算即可判断③；根据对称轴求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可判断

④；根据抛物线的对称轴可得b=-2a,再根据当x=-2时，y<0,进行计算即可判断

⑤.

【解答】解：•••抛物线开口方向向下，

・・d<^Q9

1/抛物线的对称轴在y轴的右侧，

.'•a,b异号，

：.b>0,

,/抛物线与y轴的交点在正半轴，

c>0,

abc<0,

故①不正确；

1/抛物线与x轴有两个交点，

b2-4ac>0,

故②正确；

把（-1,0）代入y=ax2+bx+c中得：

a-b+c—0,

故③正确；

V抛物线的对称轴为直线x=1,

，点（-1,0）关于直线x=l的对称点的坐标为（3,0）,

ax1+bx+c=Q(aWO)的两个根是xi=-1,%2=3,

故④正确；

•.•抛物线的对称轴为直线x=--L=1,

2a

・・b~~~2a，

当％=-2时，yVO,即4Q-2〃+CV0,

4Q+4Q+CV0,

8〃+c〈O,

故⑤正确；

所以，上列结论中正确的有4个，

故选：A.

二、填空题(本大题共6道小题，每题3分，共18分)

13.(3分)已知关于x的一元二次方程/-3x+Z-2=O的一个根是-1,则2-2.

【分析】将尤=-1代入题目中的方程，即可求得々的值，本题得以解决.

【解答】解：二.关于x的一元二次方程/-3/％-2=0有一个根为-1,

(-1)2-3X(-1)+k-2=0,

解得，k=-2,

故答案是：-2.

14.(3分)一个不透明的口袋中装有7个红球，4个黄球，这些球除了颜色外无其他差别.从

袋中随机摸取一个小球，它是红球的概率二.

-11-

【分析】由一个不透明的口袋中装有3个红球和12个黄球，直接利用概率公式求解即可

求得答案.

【解答】解：：一个不透明的口袋中装有7个红球，4个黄球，这些球除了颜色外无其他

差别，

从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率为：工.

7+411

故答案为：J_.

11

15.(3分)在函数y=2的图象上有三点(-3,刀)、(-2,”)、(1,”)，则函数值以、

X

>2、Y3的大小关系为y2〈yi<Y3.

【分析】分别计算自变量为-3、-2、1代入的函数值，然后比较函数值的大小即可.

【解答】解：当x=-3时，yi=2=-2；

x3

当％=-2时，*=2=-1；

x

当％=1时，*=2=2,

x

所以y2<yi<y3.

故答案为y2<yi<y3.

16.(3分)如图，在拧开一个边长为〃的正六角形螺帽时，扳手张开的开口8=40帆机，则

边长a为40'J-二,rnm.

—3—

【分析】如图，连接OC、OD,过。作OHLCD于H.解直角三角形求出CQ即可.

【解答】解：如图，连接0。、OD,过。作于

Vzcor>=360°=60°，OC=OD,

6

...△C。。是等边三角形，

：.ZCOH=9Q°-60°=30°,

'：OH±CD,

；.CH=DH=LCD,OH=』b=20(mm),

22

.\CH=20Xtan30°=20M(mm),

_3

:.a=2CH=40^^(mm),

3

故答案为：里逅.

3

17.(3分)某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点,

建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线是抛物线y=-x2+4x(单位：米)

的一部分.则水喷出的最大高度是4米.

八y侏

一、

f♦、

■'

/'

/\

•O\x「米

【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=-x?+4尤的顶

点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案.

【解答】解：:.水在空中划出的曲线是抛物线y=-7+4x,

，喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线＞=-?+4x的顶点坐标的纵坐标，

'•y--X2+4X=-（x-2）2+4,

顶点坐标为：（2,4）,

喷水的最大高度为4米，

故答案为：4.

18.（3分）如图，C为线段的中点，。为A3垂直平分线上一点，连接B。，将绕点

。顺时针旋转60°得到线段。E,连接AE,若四=2a，AE=6,则CO的长为9.

【分析】连接A。，过。作。于R延长54交。厂的延长线于"根据线段垂直

平分线的性质得到BD=AD,求得根据旋转的性

22

质得到Z）E=A。，根据等腰三角形的性质得到NAD尸AP=LE=3,解直角

22

三角形即可得到答案.

【解答】解：连接AD过D作。尸，AE于R延长区4交。尸的延长线于X,

为AB垂直平分线上一点，AB=2M'

：.BD=AD,AC=-1AB=A/3>

2

/.ZADC=^^/ADB,

:将BD绕点。顺时针旋转60°得到线段DE,

：.DE=BD,

：.DE=AD,

：.ZADF^^ZADE,AF=LE=3,

22

/HDC=ZADF+ZADC=^ZBDE^30°,

2

,：ZHCD=ZAFH=90°,

.\ZH=60o,

，/C£)H=30°,AH=243>

:.CH=AH+AC=2M+M=373-

：.CD=y/3CH=9,

故答案为：9.

三、解答题(本大题共7道小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)

19.(8分)如图，反比例函数y=M(k卉0)的图象经过点(-2,4)和点A(a,-2).

X

(I)求该反比例函数的解析式和〃的值.

(II)若点C(x,y)也在反比例函数yn&(k#o)的图象上，当2c尤<8时，求函数y

的取值范围.

【分析】（I）待定系数法求反比例函数解析式，把点A的坐标代入解析式即可求出。；

（II）分别求出x=2和x=8时对应的y值，再利用反比例函数的增减性即可求解.

【解答】解：（I）将点（-2,4）代入y=K枭WO）,得：

X

k=-2X4=-8,

...反比例函数解析式为：>=-旦，

X

把点A（〃，-2）代入y=-旦得—-=-2,

xa

・・・。=4,A（4,-2）；

（II）・・,点。（x,y）也在反比例函数y二区@卉0）的图象上，

.,.当x=2时，y=-4；当x=8时，y=-1,

；k=-8<O,

.,.当尤>0时，y随尤值增大而增大，

.•.当2cx<8时，

-4<y<-1.

20.（8分）已知如图，在。。中，为直径，ABLCD,ZA=22.5°,00=4.

（I）求NOOC的度数.

【分析】（I）先利用圆周角定理得到/8。。=45°,然后利用互余计算出/OQC的度

数；

(II)先根据垂径定理得到然后利用等腰直角三角形的性质求出OE从而得

到CD的长.

【解答】解：(I)-ABLCD,

：.ZOED=90°,

ZBOD=2ZA=2X22.5°=45°,

：.ZODC=45°；

9

(II)：AB±CDf

：.CE=DE,

•・・AODE为等腰直角三角形，

：.DE=亚00=2历

2

:.CD=2DE=4®

21.(10分)(I)用适当的方法解下列方程：

(1)4(x-1)2=9；

(2)2/-3x-1=0.

(II)如图，在一块长13m,宽7m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两

条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是72加2,则

道路的宽应设计为多少m?

【分析】(1)(1)利用配方方解一元二次方程，即可求出方程的解；

(2)利用公式法解一元二次方程，即可求出方程的解；

(II)设道路的宽应设计为X7%,则栽种花草的部分可合成长为(13-x)m,宽为(7-x)

机的矩形，根据栽种花草的面积是72祖2,即可得出关于尤的一元二次方程，解之取其符

合题意的值即可得出结论.

【解答】解：(I)(1)V4(x-1)2=9,

(%-1)2=—,

4

.*.X-1=±—,

2

/.X-1=-旦或X-1=旦，

22

.15

22

(2)V2x2-3x-1=0,

・・Q^2,b~~~3,c=-19

：.A=b2-4ac=(-3)2-4X2X(-1)=17,

•3±V17

••XA=-----------,

4_

•e=3-VT7r9=W17_

44

(II)设道路的宽应设计为mi,则栽种花草的部分可合成长为(13-尤)宽为(7-x)

m的矩形，

依题意得：(13-尤)(7-%)=72,

整理得：7-20尤+19=0,

解得:无1=1,%2=19(不符合题意，舍去).

答：道路的宽应设计为

22.(10分)已知二次函数y=-X2+2X+3

（I）填写表中空格处的数值

X…-112•••

丁=-/+2%+3…30…

（II）根据上表，画出这个二次函数的图象;

（III）根据表格、图象，当0<x<4时，y的取值范围是-5<v<4

【分析】(I)根据所给表格填出X的值，再求y的值；

(II)描点，连线即可；

(III)根据表格、图象，即可看出y的取值范围.

【解答】解：(I)

x-10123

y—-7+2X+3,•,03430

(II)根据上表，画出这个二次函数的图象：

(III)根据表格、图象，当0<尤<4时，y的取值范围是-5<yW4.

故答案为：-5<yW4.

23.(10分)四边形ABCD内接于O。，AC为其中一条对角线.

(I)如图①，若/8AZ)=70°,BC=CD,求/CA。的度数；

(II)如图②，若经过圆心O,CE为。。的切线，8为近的中点，ZZ)C£=40°,

求/8CE的大小.

【分析】(I)由8C=C。得出/CAD=/BAC,即可求出答案；

(II)先利用CE是。。的切线，求出NOC。，进而求出NAOC,再利用等弧所对的圆

心角求出/BOC,进而求出/O8C,即可求出答案.

【解答】解：（I）,:BC=CD,NBAD=70°,

：.ZCAD=ZBAC=1.ZBAD=35O；

2

：CE是。。的切线，

.*.ZOCE=90°,

VZDCE=40°,

AZOCD=90°-NDCE=50°,

"?OC=OD,

：.ZOCD=ZODC=50°,

ZAOC^ZOCD+ZODC^IOQ0,

:点B是血的中点，

?.ZAOB=ZBOC=50°,

"：OB=OC,

：.ZOCB=1.(180°-/BOC)=65°,

2

:.NBCE=NOCB+/OCE=90°+65°=155°.

24.(10分)在平面直角坐标系中，已知点A(2,0),点。(0,0),点B在y轴正半轴上,

且/54。=60°.

(I)如图1,△AOB绕着点O顺时针旋转，得△A08,点A、B旋转后的对应点分别

为A、B,,记旋转角为a.AE恰好经过点A时；

①求此时旋转角a的度数；

②求出此时点B的坐标.

(II)如图2,若0°<a<90°,设直线A4'和直线交于点P,猜测A4与83的位置

关系，并说明理由.

（III）若0°<a<360°,求（II）中的点尸纵坐标的最小值（直接写出结果）.

【分析】（I）①由旋转确定△AOA是等边三角形，即可求解；

②过点3作轴交于点G,根据直角三角形的性质求出BG=2,OG=2y[3,即可

求⑶的坐标；

（II）根据旋转的性质求出NBAP=30°+.la,ZABP=6Q°-aa,即可求/PBA+/R18

22

=90°,则A4'_LBB'；

（III）由（II）可知/APB=90°,尸在以48中点〃为圆心，」乂2为半径的圆上，连

2

接OM,过点〃作感”轴交于点N,求出MN=®,即可求尸点坐标轴的最小值为愿

-2.

【解答】解：（I）①由旋转可知OA=OA\

VZA,=ZOAB=60°,

・•・△AOA是等边三角形，

AZAOA'=60°,

，旋转角a=60°；

②过点8作B'GLx轴交于点G,

•・・N8OA'=90°,ZAOA'=60°,

・・・NBOG=30°,

VA（2,0）,

AAO=2,

：.AB=4,

・・・8G=2,0G=2日，

：.B'(2A/3，2)；

(II)VZAOA'=a,AO=A'O,

J.ZOAA'^90°-Lx,

2

/.ZBAP=180°-60°-(90°-Aa)=30°+Aa,

22

'：ZBOB'=a,OB=B'O,

：.ZOBB'=90°a,

2

ZABP=90°-Aa-30°=60°-」a,

22

：.ZPBA+ZPAB=30°+la+60°-Aa=90°,

22

ZAPS=90°,

：.AA'±BB,；

(III)由(II)可知/APB=90°,