2025届高三一轮复习数学课件（人教版新高考新教材）11.6　正态分布

11.6

正态分布第十一章课标要求1.通过误差模型,了解服从正态分布的随机变量.通过具体实例,借助频率直方图的几何直观,了解正态分布的特征.2.了解正态分布的均值、方差及其含义.备考指导正态分布在高考中一般以选择题、填空题的形式进行考查,难度不大.也可能出现在概率解答题中的某一环节,尤其对于正态分布的3σ原则要引起重视.本节常利用对称性、间接法进行概率求解,素养方面要加强逻辑推理、直观想象和数学建模的培养.内容索引010203第一环节必备知识落实第二环节关键能力形成第三环节学科素养提升第一环节必备知识落实【知识筛查】

1.正态密度函数及其图象(1)正态密度函数的解析式为

,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数.(2)正态密度函数对应的图象称为正态密度曲线,简称正态曲线.2.正态分布若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布,记为X~N(μ,σ2).特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.问题思考1若随机变量X~N(μ,σ2),则参数μ和σ的意义是什么?μ和σ分别为随机变量X的均值和标准差.3.正态曲线的特点(1)曲线在x轴的上方,曲线与x轴围成的面积总为1;(2)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;(3)曲线在x=μ处达到峰值(4)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.问题思考2参数μ,σ对正态曲线的位置和形状有何影响?(1)当σ一定时,正态曲线的位置由μ确定,且随着μ的变化而沿x轴平移,如图①所示.(2)当μ一定时,正态曲线的形状由σ确定.σ越小,峰值越高,曲线越“瘦高”,表示随机变量的分布越集中;σ越大,峰值越低,曲线越“矮胖”,表示随机变量的分布越分散,如图②所示.图①

图②4.3σ原则假设X~N(μ,σ2),可以证明:对给定的k∈N*,P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值.特别地,P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.【知识巩固】

1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)随机变量X服从正态分布,通常用X~N(μ,σ2)表示,其中参数μ和σ2分别表示正态分布的均值和方差.(

)(2)正态曲线是单峰的,其与x轴围成的面积随参数μ,σ的变化而变化.(

)(3)正态曲线可以关于y轴对称.(

)√×√2.(2021新高考Ⅱ,6)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,σ2),下列结论中不正确的是(

)A.σ越小,该物理量在一次测量中在区间(9.9,10.1)的概率越大B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.该物理量在一次测量中落在区间(9.9,10.2)与落在区间(10,10.3)的概率相等D对于A,因为σ2为数据的方差,所以σ越小,数据在μ=10附近越集中,所以测量结果落在区间(9.9,10.1)内的概率越大,故A正确.对于B,由正态曲线的对称性,可知该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5,故B正确.对于C,由正态曲线的对称性,可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等,故C正确.对于D,因为该物理量一次测量结果落在区间(9.9,10.0)的概率与落在区间(10.2,10.3)的概率不同,所以该物理量一次测量结果落在区间(9.9,10.2)的概率与落在区间(10,10.3)的概率不同,故D错误.3.(多选)已知甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布

,其正态曲线如图所示,则下列说法正确的是(

)

A.乙类水果的平均质量为0.8kgB.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量左右C.μ1<μ2D.σ1>σ2ABC因为甲的图象关于直线x=0.4对称,乙的图象关于直线x=0.8对称,所以μ1=0.4,μ2=0.8,故A正确,C正确.因为甲的图象比乙的图象更“瘦高”,所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量左右,σ1<σ2,故B正确,D错误.4.若随机变量X~N(μ,σ2),且P(X>5)=P(X<-1)=0.2,则P(-1<X<2)=

.5.设某城市居民私家车的平均每月汽油费用为随机变量X(单位:元),经统计,X~N(520,14400),从该城市私家车中随机选取容量为10000的样本,则平均每月汽油费用在区间(400,640)内的私家车约有

辆.

0.3由随机变量X~N(μ,σ2),且P(X>5)=P(X<-1)=0.2,可得

,所以P(-1<X<2)=0.5-P(X<-1)=0.3.6827因为X~N(520,14

400),所以μ=520,σ=120,所以P(400<X<640)=P(520-120<X<520+120)≈0.682

7.所以平均每月汽油费用在区间(400,640)内的私家车约有10

000×0.682

7=6

827(辆).第二环节关键能力形成能力形成点1正态曲线及其性质例1

(多选)已知三个正态密度函数

,x∈R(i=1,2,3)的图象如图所示,则下列结论正确的是(

)

A.σ1=σ2=σ3

B.σ1=σ2<σ3C.μ1=μ2>μ3

D.μ1<μ2=μ3BD观察图象可知μ1<μ2=μ3,σ1=σ2<σ3.解题心得对于正态曲线,首先应抓住图象的两个实质性特点:一是对称轴为直线x=μ,二是峰值为

.这两点确定以后,相应参数μ,σ便确定了,然后根据参数对图象影响的规律进行判断.对点训练1设随机变量

,X,Y的密度曲线如图所示,则有(

)

A.μ1<μ2,σ1<σ2

B.μ1<μ2,σ1>σ2C.μ1>μ2,σ1<σ2

D.μ1>μ2,σ1>σ2A根据正态曲线的特点,观察题中图象可知μ1<μ2,σ1<σ2.能力形成点2利用正态曲线的对称性求概率例2

设随机变量X~N(1,22),试求:(1)P(-1≤X≤3);(2)P(3≤X≤5);(3)P(X>5).拓展延伸例2条件不变,若P(X>c+1)=P(X<c-1),求c的值.解

因为X~N(1,22),所以μ=1.又P(X>c+1)=P(X<c-1),即c=1.解题心得利用正态分布求概率的两种方法(1)对称法:已知X~N(μ,σ2),因为正态曲线关于直线x=μ对称,所以X的取值在关于直线x=μ对称的区间上的概率相等.(2)3σ法:已知X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682

7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954

5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997

3.对点训练2已知随机变量X~N(1,σ2),若P(-1<X<1)=a,则P(X>3)=(

)A第三环节学科素养提升正态分布的实际应用

典例1

(多选)已知在某市的一次学情检测中,学生的数学成绩X服从正态分布N(100,100),其中90分为及格线,120分为优秀线,则下列说法正确的是(

)附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.A.该市学生数学成绩的均值为100B.该市学生数学成绩的标准差为100C.该市学生数学成绩的及格率超过0.8D.该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等答案:AC解析:依题意,μ=100,σ=10,故该市学生数学成绩的均值为100,标准差为10,故A正确,B错误.因为X~N(100,100),所以P(X<100)=P(X≥100)=0.5,P(90≤X≤110)≈0.682

7,P(80≤X≤120)≈0.954

5,所以该市学生数学成绩不及格的人数比优秀的人数多很多,故D错误.典例2

有一种精密零件,其尺寸X(单位:mm)服从正态分布N(20,4).若这批零件共有5000个,试求:(1)这批零件中尺寸在18~22mm的零件所占的百分比;(2)若规定尺寸在24~26mm的零件不合格,则这批零件中不合格的零件大约有多少个?解:(1)因为X~N(20,4),所以μ=20,σ=2,所以P(18≤X≤22)≈0.682

7,所以这批零件中尺寸在18~22

mm的零件所占的百分比约为68.27%.(2)因为P(16≤X≤24)≈0.954

5,P(14≤X≤26)≈0.997

3,所以P(24