回归直线方程高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

湘教版选择性必修二

4.2一元线性回归模型

4.2.1回归直线方程会将非线性回归模型经过变换转化为线性回归模型，进而进行回归分析。学习本节后还应初步会将简单的非线性回归问题转化为线性回归问题．(重点、难点)【课标要求】【核心扫描】什么是正相关？什么是负相关？什么是线性相关？什么是回归直线？

回忆:回归分析的内容与步骤：统计检验通过后，最后是利用回归模型，根据自变量去估计、预测因变量。

回归分析通过一个变量或一些变量的变化解释另一变量的变化。

其主要内容和步骤是：首先根据理论和对问题的分析判断，将变量分为自变量和因变量；其次，设法找出合适的数学方程式（即回归模型）描述变量间的关系；由于涉及到的变量具有不确定性，接着还要对回归模型进行统计检验；当两变量y与x不具有线性相关关系时，要借助于散点图，与已学过的函数(如指数函数、对数函数、幂函数等)的图象相比较，找到合适的函数模型，利用变量代换转化为线性函数关系，从而使问题得以解决。1．可线性化的回归分析(1)确定变量：确定解释变量为x，预报变量为y；(2)画散点图：通过观察散点图并与学过的函数(幂、指数、对数函数、二次函数)作比较，选取拟合效果好的函数模型；(3)变量置换：通过变量置换把非线性问题转化为线性回归问题；(4)分析拟合效果：通过计算相关指数或相关系数等来判断拟合效果；(5)写出非线性回归方程。2．解决非线性回归问题的方法及步骤：在大量的实际问题中，研究的两个变量不一定都呈现线性相关关系，它们之间可能呈现指数关系或对数关系等非线性关系等．在某些情况下可以借助于线性回归模型研究呈现非线性关系的两个变量之间的关系。我们往往将两个非线性的变量关系转化成线性的变量关系．例如，将幂函数曲线y＝axb转化为u＝c＋bv.其中u＝lny，v＝lnx，c＝lna；将指数曲线y＝aebx转化为u＝c＋bx.其中u＝lny，c＝lna。3．非线性变量关系转化为线性变量关系：（上节中作业留下的问题）

数学成绩与物理成绩的散点图中的点在一条直线附近，应怎样找出这一条直线？

数学成绩为99时估计相应的物理成绩是多少？

探究讨论:1、采用测量的方法，先画一条直线，测量出各点到它的距离，然后移动直线，到达一个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就得到回归方程。2、在图中选取两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同。3、在散点图中多取几个点，确定几条直线的方程，分别求出各条直线的斜率和截距的平均数，将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距。上面的这些方法虽然有一定的道理，但可靠性不强，所得的直线不只一条，且差别很大，或者所用方法太繁杂，没有通用性。怎样才能找到合适的回归直线？求回归直线方程的目的是什么？用什么标准来确定回归直线？

探究讨论:我们希望从整体上看，各点与此直线的距离(偏差)最小

如何确定一条直线y=bx+a使散点图中各点到此直线的距离(偏差)之和最小？

探究讨论:求它的最小值是很困难的

（x1,y1）（x1,y1）（x1,y1）记，则相应于由回归直线得出的估计值与实际值的误差是，可用

来表示整体上的偏差含多个绝对值的式子求最小值的运算很不方便，很难找到通用的结果。为此改用下式来衡量n个点与回归直线整体上的偏差：Q==

这样，问题归结为：当

为何值时Q最小（即总体偏差最小）？接着经过数学上求最小值的运算，可求得系数的公式。最小二乘法:这种通过求的

最小值而得到回归直线方程的方法，即求线性回归直线，使得样本数据的点到它的距离(偏差)的平方和最小的方法叫做最小二乘法。下面请大家用所学知识推导n=2时的回归直线方程系数公式

探究:法二

在上式中先把b看作常数，看作关于a的二次函数H(a)，当时取最小值g(b)，g(b)是关于b的二次函数，当时有最小值gmin对一般地n，类似地用二次函数知识求Q最小值，可知当由下面公式确定时可使Q可最小值

分别为回归直线方程的纵截距与斜率，当x,y正相关时b>0；当x,y负相关时b<0.

相关系数公式：相关系数的性质：1．rxy的取值范围是[－1，1]．当0<rxy<1时，称{xi}和{yi}正相关（散点图成右上发展趋势）；当－1<rxy<0时，称{xi}和{yi}负相关（散点图成右下发展趋势）；当rxy=0时，称{xi}和{yi}不相关．2．|rxy|越接近于1，变量x，y的线性相关程度越高，

这时数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)分散在一条直线附近．3．|rxy|越接近于0，变量x，y的线性相关程度越低．4．rxy仅仅是变量x与y之间线性相关程度的一个度量．rxy=0只表示两个变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没有关系，它们之间可能存在非线性关系．5．rxy具有对称性，即rxy=ryx．

在4.1节身高与体重案例中，我们已经判断出身高和体重这两个变量之间具有线性相关关系，于是我们希望用一条直线或一个线性函数（图象为直线的函数）来反映所给出的散点图的分布趋势．回归直线方程将一把直尺的一边在图4.1-1的散点之间移动，使它尽量经过或靠近尽可能多的散点，然后在这一位置上作一条直线，那么这条直线就大致反映了散点图的分布趋势，如图4.2-1．回归直线方程

这条直线叫作回归直线，这条直线的方程叫作回归直线方程．有了回归直线方程，就可以由一些变量的值去估计或预测另一些变量的值．

由散点图求出回归直线并进行统计推断的过程叫作回归分析．

在回归分析中，被预测或被解释的变量称为因变量，用y表示．

用来预测或解释因变量的变量称为自变量，用x表示．

对于具有相关关系的两个变量，可以用一个线性方程来表示它们之间的关系．

如果具有相关关系的两个变量x，y可用方程

y=a＋bx（1）来近似刻画，则称（1）式为y关于x的一元线性回归方程，其中a，b称为回归系数．回归直线方程它是根据样本数据求出的回归方程的估计．（2）

由于受测量等各种因素的影响，估计值与实际观测值往往不相同．当自变量

x

取值xi(i=1，2，…，n)时，我们将根据回归直线方程估计出的

与实际观测值

yi

的误差，即(i=1，2，…，n)，称为随机误差，记作

ei，如图．我们把(i=1，2，…，n)这一描述因变量y如何依赖于自变量

x

和随机误差

ei的方程称为一元线性回归模型．回归直线方程

德国著名数学家高斯提出用随机误差的平方和即作为总随机误差来刻画各估计值与实际值之间的误差．若总随机误差最小，则这条直线就是所要求的回归直线．

由于平方又叫二乘方，所以这种使“随机误差平方和最小”的方法叫作最小二乘法．回归直线方程经计算可知，若令

，则Q取最小值时

的计算公式为数据点的中心在回归直线上，满足回归直线的方程．此时，用最小二乘法得到的回归直线方程为

，其中

是回归直线在y轴上的截距，

是回归直线的斜率．例1在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：试建立y与x之间的回归方程。由散点图也可以看出y与t呈近似的线性相关关系，列表如下：

求回归方程，应注意首先对样本点是否线性相关进行检验，因为对于任何一组样本点，都可以根据最小二乘法求得一个线性回归方程，但这条线性回归方程是否较好地反映了样本点的分布呢，显然不一定，特别是对于不呈线性相关的回归模型．可以通过散点图或求相关系数r首先作出是否线性相关的检验，然后再选择恰当的回归模型进行模拟。自主交流：常见非线性回归方程的回归模型u＝c＋bv

u＝c＋bx

自主交流：u＝c＋bv

自主交流：u＝a＋bv

自主交流：(12分)在一化学反应过程中，化学物质的反应速度y(g/min)与一种催化剂的量x(g)有关，现收集了8组观测数据列于表中：

例2

审题指导

解答本题可先画出散点图，再选择适宜的回归方程求解。试建立变量y关于x的回归方程.【解题流程】

根据收集的数据，作散点图(如图)，根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲数

的周围，其中c1和c2是待定的参数．令z＝lny，则z＝lny＝lnc1＋c2x，即变换后的样本点应该分布在直线z＝a＋bx(a＝lnc1，b＝c2)的周围。[规范解答]

由y与x的数据表可得到变换后的z与x的数据表：作出z与x的散点图(如图)．由散点图可观察到，变换后的样本点分布在一条直线的附近，所以可用线性回归方程来拟合由z与x的数据表，可得线性回归方程：z＝0.848＋0.81x，所以y与x之间的非线性回归方程为：y＝e－0.848＋0.81x。

题后反思：可线性化的回归分析问题，画出已知数据的散点图，选择跟散点拟合得最好的函数模型进行变量代换，作出变换后样本点的散点图，用线性回归模型拟合。

电容器充电后，电压达到100V，然后开始放电，由经验知道，此后电压U随时间t变化的规律用公式U＝Aebt(b＜0)表示，现测得时间t(s)时的电压U(V)如下表：试求：电压U对时间t的回归方程。(提示：对公式两边取自然对数，把问题转化为线性回归分析问题)【练习】

对U＝Aebt两边取对数得lnU＝lnA＋bt，令y＝lnU，a＝lnA，x＝t，则y＝a＋bx，得y与x的数据如下表：解：

例3：一只红铃虫的产卵数y与温度x有关,现收集了7组观测数据,试建立y与x之间的回归方程解:1)作散点图;从散点图中可以看出产卵数和温度之间的关系并不能用线性回归模型来很好地近似。这些散点更像是集中在一条指数曲线或二次曲线的附近。解:令则z=bx+a,(a=lnc1,b=c2),列出变换后数据表并画出x与z的散点图x和z之间的关系可以用线性回归模型来拟合2)用y=c3x2+c4模型,令,则y=c3t+c4,列出变换后数据表并画出t与y的散点图散点并不集中在一条直线的附近，因此用线性回归模型拟合他们的效果不是最好的。非线性回归方程二次回归方程残差公式在此处可以引导学生体会应用统计方法解决实际问题需要注意的问题：对于同样的数据，有不同的统计方法进行分析，我们要用最有效的方法分析数据。现在有三个不同的回归模型可供选择来拟合红铃虫的产卵数与温度数据，他们分别是：可以利用直观（散点图和残差图）、相关指数来确定哪一个模型的拟合效果更好。1、下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数

与当天气温的对比表：（1）将上表中的数据制成散点图.（2）求线性回归直线方程(先用计算器直接计