均值不等式及其应用高一下学期数学人教B版（2019）必修第一册

高中数学人教B版高一必修1

第二章等式与不等式

2.2.4均值不等式及其应用

2.2.4均值不等式及其应用高中数学人教B版高一必修1

一、情境创设1问题1：你能猜测出与这个矩形周长相等的正方形的面积和与这个矩形面积相等的正方形的面积哪一个大？你能说出这两个正方形的边长分别为多少吗？如何比较它们的大小呢？证明不等式的四种方法

比较法综合法（由因导果）分析法（执果索因）反证法一、情境创设2

世界数学家大会世界数学家大会是世界数学界四年一次的最高水平盛典，大会将邀请世界著名数学学者交流报告数学最新进展和成果，还将由承办国国家元首颁发世界数学最高奖--菲尔兹奖——常被视为数学界的诺贝尔奖，截至目前共有2位华裔数学家曾获得过菲尔兹奖，分别是1982年获奖的数学家丘成桐和2006年获奖的数学家陶哲轩。

清华大学“丘成桐数学英才班”陈省身教授

1911年10月28日生于浙江嘉兴秀水县，美籍华人，20世纪世界级的几何学家，是“当今最伟大的数学家”，被杨振宁誉为继欧几里德、高斯、黎曼、嘉当之后又一里程碑式的人物。陈省身开创并领导着整体微分几何、纤维丛微分几何、“陈省身示性类”等领域的研究。陈省身是惟一获得世界数学界最高荣誉“沃尔夫奖”的华人，被国际数学界尊为“微分几何之父”。下面这个图形在视频中出现了3次.第24届国际数学家大会（ICM2002）的会标（赵爽弦图）由三国时期吴国赵爽绘制，此图最早对勾股定理进行了证明，比西方（毕达哥拉斯定理）要早了五百多年。数学史它既标志着中国古代的数学成就，又象一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学精英们.赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。赵爽弦图（3）=（2）=（1）正方形的边长为问题2：对于“情境2”中的图形，把“风车”抽象成平面图形.在正方形中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为，正方形的面积为，4个直角三角形的面积和为，则

（4）由图可知，，即：

自主探究推导公式几何画板演示1

均值不等式：如果，那么当且仅当时，式中的等号成立.均值不等式也称为均值定理基本不等式正等二、概念生成学习目标1.通过对两个问题情境的探究，让学生发现并推导出均值不等式，并能够熟记公式，培养学生数学抽象和直观想象的核心素养2.通过对均值不等式几何意义及变形公式的探究，让学生进一步明确概念的内涵和外延，培养学生逻辑推理和直观想象的核心素养3.通过对均值不等式应用环节的学习，让学生学会用均值不等式求最值的使用条件，培养学生逻辑推理和数学运算的核心素养两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值.注：对于任意两个正数，数叫做两个正数的算术平均值，数叫做两个正数的几何平均值.二、概念生成均值不等式的代数意义二、概念生成问题3：还有没有其他证明均值不等式的方法？（从代数的角度）二、概念生成探究均值不等式的几何意义几何意义1：所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大.回扣情境问题1，两个正方形的面积哪一个大？引申思考问题5：你能推广这个结论吗？比如所有周长相等的三角形中，什么样的三角形面积最大？平面上，周长相等的所有封闭图形中，什么样的图形面积最大？等边三角形圆将均值不等式两边平方可得你能用这个图形得出均值不等式的几何解释吗?②如何用a,b表示CD?CD=______①如何用a,b表示OD?OD=______③OD与CD的大小关系怎样?OD_____CD＞≥如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD.几何意义2：半径不小于弦长的一半ADBEOCab注意从不同角度认识均值不等式.几何画板演示二、公式的深化理解2.公式变形三、公式的应用求函数的最值解析：能否用均值不等式解决该问题呢？满足哪些条件能用均值不等式求最值呢？解：因为，由均值不等式得当且仅当时等号成立.所以.三、公式的应用求函数的最值角度一：改变定义域角度二：改变式子的结构角度三：改变未知数的个数讨论1.已知：求2.已知：求小结：积定和最小和定积最大角度三请同学们总结：使用均值不等式求最值时应满足哪些的条件？答：一正、二定、三相等.当且仅当取到等号

或者为定值2.当均值不等式的正、定或者等条件不满足时，要巧用添项、拼凑、换元等技巧.四、课堂小结数学抽象特殊