数学(文)一轮教学案：第十六章 坐标系与参数方程 含解析

第十六章坐标系与参数方程

考纲展示命题探究

1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换

设点P（%,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换0：

x'=九%（/1>0）

,，小的作用下，点尸（%，y）对应到点P'（『，<），

2=内3>0）

称°为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.

2极坐标系与点的极坐标

如图所示，在平面内取一个定点0,叫做极点;自极点0引一

条射线0%,叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取

弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.

设又是平面内一点，极点0与点"的距离QM叫做点"的极

径，记为p；以极轴0%为始边，射线为终边的NxOM叫做点M

的极角,记为夕有序数对S，。）叫做点M的极坐标，记为MS，。）・

3极坐标和直角坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，X轴的正半轴作为极轴，并在两

种坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内任一点，它的直角坐

标是（X,y）,极坐标是S，。），则极坐标与直角坐标的互化公式为：

〃2=/+,2,

x=〃cos仇

y="sin仇tan(9=^(x#0).

4简单曲线的极坐标方程

曲线图形极坐标方程

圆心在极点，半径为广

p=r(O<6><27i)

的圆

圆心为您0），半径为r/兀一八心

p=Zrcos^l—2^^<21

的圆

圆心为‘，驾，半径为

p=2rsin6>(O<6><7i)

r的圆

(D(9=aS£R)或夕=兀

过极点，倾斜角为a

+a(pWR)

的直线

(2)3=a和0=n~\~a

过点3,0),与极轴垂直

pcos3=a\—2<c/<21

的直线

过点卜,人与极轴平

psin3—a(0<6<7i)

行的直线

M注意点直角坐标化为极坐标的关注点

(1)根据终边相同的角的意义，角。的表示方法具有周期性，故点

"的极坐标S，。)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个.

当限定"20,。£[0,2兀)时，除极点外，点V的极坐标是唯一的.

(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角。应注意判断点"

所在的象限(即角。的终边的位置)，以便正确地求出角[0,2瓦)的值.

1.思维辨析

(1)极角。的取值范围是[0,2冗).()

(2)极坐标系中的(1,0)点，与直角坐标系中的(1,0)点重合.()

(3)过极坐标系中点12,野平行于极轴的直线方程是pcos0=

0.()

答案(1)X(2)V(3)X

2.化极坐标方程"2cos。一"=0为直角坐标方程为()

A.炉+产=。或y=lB.X=1

C.X2+y2=o或％=1D.y=l

答案C

解析p2cos3—p=p(pcos3—1)=0,.,.，d+产=。或%=[.选c.

3.直线2"cosd=l与圆"=2cos。相交的弦长为.

答案小

解析直线的方程为2%=1,圆的方程为好+产―2%=0,圆心为

(1,0),半径r=1,圆心到直线的距离为_^2^Q=2,设所求的弦

长为/,则12=由2+由2,解得/=小.

M［考法综述］利用极坐标与直角坐标的互化，考查一些距离、

参数、交点、弦长等问题的计算.同时也可以利用极坐标系的特点求

一些特殊的角和距离.

命题法极坐标与直角坐标的互化与应用

典例⑴在极坐标系中，曲线G的方程为"=2sin,+1］,直线

Cz的方程为psin3+?|=4.以极点O为坐标原点，极轴方向为x轴正

方向建立平面直角坐标系xOy.

①求G,Q的直角坐标方程；

②设A,5分别是G,Q上的动点，求|46的最小值.

(2)已知曲线G的参数方程为।'。为参数)，以坐标

5十5sinK

原点为极点，入轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。2的极坐标方

程为"=2sin8.

①把Ci的参数方程化为极坐标方程；

②求C1与G交点的极坐标S20,0W*27i).

［解］(1)①曲线C1的极坐标方程可化为"=sine+小cos。，

两边同时乘以"，得/)2="sin8+小"cos。，

则曲线Ci的直角坐标方程为/+y2=y+小%,

即x2-\-y2—\［3x-y=0,

I小

直线G的极坐标方程可化为R)sine+如cos9=4,

则直线G的直角坐标方程为5+率=4,

即—8=0.

②将曲线G的直角坐标方程化为1%—争2+,一32=1,

它表示以］坐

为圆心，以1为半径的圆.

该圆圆心到直线小%+y—8=0的距离

小x坐十；-H

=

d=39

所以|A目的最小值为3-1=2.

%=4+5cos%,

⑵①将,消去参数工化为普通方程为(X—4)2+(y

、y=5+5sin/,

_5尸25,

即G：x2+y2-8x-10y+16=0.

%=QCOS。，

将《八代入％2+/2-8%—10丁+16=0,得

[y=psm0,

p2—8pcos0—lO/)sin0+16=O.

所以G的极坐标方程为p2—8/)cos0—lO/)sin0+16=0.

②G的普通方程为x2+y2-2y=0.

d+y2-8%—10y+16=0,

联立Ci,Q的方程,

y+y2-2y=0,

x=l,x=0,

解得।或《

3=1，J=2.

所以C与G交点的极坐标分别为

Q【解题法】求解与极坐标有关的问题的主要方法

(1)直接利用极坐标系求解，求解时可与数形结合思想结合使用.

(2)转化为直角坐标系后，用直角坐标求解.

使用后一种时应注意，若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标

化为极坐标.

1.若以直角坐标系的原点为极点，％轴的非负半轴为极轴建立

极坐标系，则线段y=l—%(OW%W1)的极坐标方程为()

1兀

"=cos〉+sin/0<6，<2

1兀

B。"=cos8+sin。'0<6><4

71

C.2=cos8+sin仇0W6W]

71

D."=cos8+sin仇

答案A

解析由％=pcos。，y="sin。，y=11%可得"sin9=ll/)cos。，

艮口"―cosO+sin。'

再结合线段y=l—%(OW%W1)在极坐标系中的情形，可知6»e

[o,,

因此线段y=l—x(0W%Wl)的极坐标方程为a=cos6；sin6>'

71

2.以平面直角坐标系的原点为极点，％轴的正半轴为极轴，建

立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线/的参数方

程是/”为参数)，圆。的极坐标方程是a=4cos仇则直线

[y=t~3,

/被圆。截得的弦长为()

A.V14B.2714

C.^2D.2碑

答案D

fx=r+l,

解析由《消去才得％—y—4=0,

[y=t-3,

C："=4cos8n/)2=4"cos。，C：x2+y2=4x,

即(%—2)2+产=4,/.C(2,0),r=2.

12—0—41l

.•.点。到直线/的距离d=啦=正,

.,.所求弦长=2^。一摩=2啦.故选D.

3.在极坐标系中，点(2,到直线"(cose+Ssin8)=6的距离为

答案1

解析点12,目的直角坐标为(1,5)，直线"(cos8+小sin(9)=6

的直角坐标方程为％+小y—6=0,所以点(1,4)到直线的距离d=

|1+小X小一6|

T

一7T

4.在极坐标系中，圆"=8sin。上的点到直线。=,(/)£即距离的

最大值是.

答案6

解析圆"=8sin。即"2=8"sin6,化为直角坐标方程为f十。一

4)2=16,直线。=*贝1]tan0=5，化为直角坐标方程为小%—y=0,

圆心(0,4)到直线的距离为片=2,所以圆上的点到直线距离的最大

值为2+4=6.

x=-

5.已知直线/的参数方程为一”为参数)，以坐标原

点为极点，％轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。的极坐标方程

为/cos2e=49>0,苧<苧[，则直线/与曲线。的交点的极坐标为

答案(2,71)

解析直线/的普通方程为y=%+2,曲线。的直角坐标方程为

x2-y2=4(x<-2),故直线/与曲线。的交点为(一2,0),对应极坐标

为(2,71).

6.在平面直角坐标系中，倾斜角为全的直线/与曲线C：

—|~s

<।.(a为参数)交于A,5两点，且|AB|=2.以坐标原点0

、yIIsin.cz，

为极点，入轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线/的极坐标方程是

答案"(cos。一sin。)=I

解析曲线C的普通方程为(%—2)2+(y—l)2=l,设直线I的方

程为>=%+"•..弦长|4同=2,二.圆心(2,1)到直线/的距离d=0,

圆心在直线/上,J/：y=x~l,令％="cos。,y=psin3,.,.直线/的

极坐标方程为：p(cos3—sin9)=l.

7.在以。为极点的极坐标系中，圆"=4sin。和直线/)sin8=。相

交于A,5两点，若AAOB是等边三角形，则a的值为.

答案3

解析由"=4sin。可得"2=4"sin。，所以炉+9二外.

所以圆的直角坐标方程为x2+y2=4y,其圆心为C(0,2),半径r

=2；由"sin(9=a,得直线的直角坐标方程为y=a,由于△405是等

边三角形，所以圆心。是等边三角形。45的中心，若设45的中点

为。(如图).

则CD=CAsin30o=2xg=l,即Q—2=1,所以a=3.

8.在直角坐标系xOy中，直线Ci：x=~2,圆C2：(%—l)2+(y

—2)2=1,以坐标原点为极点，％轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求G,G的极坐标方程；

JT

(2)若直线G的极坐标方程为6=aS£R)，设G与G的交点为

M,N,求的面积.

解(1)因为％="cos。，y=/)sin(9,所以C的极坐标方程为"cos。

=-2,G的极坐标方程为"2—2pcos6—4/)sine+4=0.

(2)将。=空代入"2—2"cos。一4/)sin8+4=0,得//—3地"+4=0,

解得"1=2啦，22=啦.故0—"2=也，

即|脑V]=、/I

由于Q的半径为1,所以△QMN的面积为;.

9.已知圆。的极坐标方程为加+2岳sin3一智一4=0,求圆。

的半径.

解以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,以极轴为工

轴的正半轴，建立直角坐标系％0y.

圆C的极坐标方程为

+2也"|坐sin。一雪cos。—4=0,

化简，得//+2"sin。-2/)cos。—4=0.

则圆。的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y-4=0,

即(%—l)2+(y+l)2=6.

所以圆。的半径为水.

1参数方程的概念

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标",

%=初，

y都是某个变数1的函数、①并且对于彳的每一个允许值，

----------N=g⑺，------------

由方程组①所确定的点M(%,y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做

这条曲线的参数方程，联系变数X,y的变数t叫做参变数,简称参

数.相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通

方程.

2参数方程和普通方程的互化

(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.将参数

方程化为普通方程需消去参数.

(2)如果知道变数X,y中的一个与参数彳的关系，例如，％=火。,

把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y=g⑺，那么

%=初，

、就是曲线的参数方程.

2=g⑺，

3直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程

点的轨迹普通方程参数方程

x=xo+?cosa,

'_..Q为

直线y—yo=tana（%—%o）yo1/sin。,

参数）

x=rcosO,

,..3为参

圆A2+y2=r2y=rsin/

数）

X=6ZCOS69,

1+^=1（«>^>0）',.（0为参

椭圆y=0sni9，

数）

[Q

X-，

Scos。娜为参

3=13>0,0>0）

双曲线ly="an0,

数）

x=2pt1,

抛物线y2=2px,c（t为参数）

〔y=2m，

版注意点参数方程中x,y的取值范围

在参数方程与普通方程的互化中，必须使X,y的取值范围保持

一致.两种方程保持等价，不要增解.

1.思维辨析

（x=2t

（1）方程｛10为参数）表示的图形为直线.（）

卜=7

x=-2+4%

（2）方程彳表示的直线恒过（一2,—1）点.（）

〔y=一1—3%

JQ—］―।—2c0s8

（3）方程一c.八。引。，兀］表示圆心为（1，一1）半径为2

j=-1十2smJ

的圆.（）

答案（1）X（2）V（3）X

JV~~cose

2.已知。O的参数方程为.八（。为参数），则。O上的点

尸sin”

到直线1”为参数）的距离的最大值为（）

尸1—甲

A.2B.1

C.3D.5

答案C

解析直线方程为3%+4y—10=0,圆的方程为X2+/2=］,

圆心到直线的距离为2,所以圆上的点到直线的最大距离为3,

选C项.

x=21t

3.参数方程。为参数）与极坐标方程"=sin。所表

ly=-l1~2t

示的图形分别是（）

A.直线、直线B.直线、圆

C.圆、圆D.圆、直线

答案B

%=2——t

解析将参数方程消去参数彳得2%-y—5=0,

所以对应图形为直线.

由p=sind得/）2=psin。，即^~\~y1=y,

即炉+/一对应图形为圆.

於［考法综述］参数方程与普通方程的互化，以及参数方程与极

坐标方程的综合应用是高考的热点.

命题法参数方程与普通方程互化及应用

%=4+G|X=2+SCOS

典例(1)直线,。为参数)与圆r-\。

［y=bt［y=yj3sm9

(。为参数)相切，求切线的倾斜角.

(2)在直角坐标系中，以0为极点，入轴正半轴为极轴建立

极坐标系.圆G,直线G的极坐标方程分别为r=4sin氏"cos］。一雪

=2诲.

①求G与。2交点的极坐标；

②设尸为G的圆心，。为G与G交点连线的中点.已知直线

{x=ti+a,

b.।(PR为参数)，求a,b的值.

F+i，

［解］(1)直线的普通方程为bx-ay-4b=0,圆的普通方程为(工

-2)2+y2=3,因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为小，

从而有小=2，：接物,即3/+3尻=助2,所以》=地匾而直线

的倾斜角a的正切值tana=~,所以tana=±^8，因此切线的倾斜角

\1兀__a2兀

为3或43.

(2)①圆G的直角坐标方程为好十0―2)2=4,

直线G的直角坐标方程为x+y—4=0.

户L2)』，得］xi=0,X2=2,

解,

4=0,Ji=4,J2=2.

所以G与Q交点的极坐标为14,方

注：极坐标系下点的表示不唯一.

②由①可得，尸点与。点的直角坐标分别为(0,2),(1,3),故直线

PQ的直角坐标方程为x-y+2=0.

由参数方程可得y=^(x—«)+1=|x—1,

他一

2-1,

所以《解得。=—1,b=2.

号+1=2,

9【解题法】参数方程与普通方程的互化

(1)将参数方程化为普通方程的方法

将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，

选取适当的消参方法.常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、

平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关

系式消参，如sin2^+cos2^=1.

(2)将普通方程化为参数方程的方法

只要适当选取参数>确定％=贝。,再代入普通方程，求得y=^(。，

%=0⑺，

即可化为参数方程八

」=〃(-

选取参数的原则是：①曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较

明显且关系相对简单；②当参数取某一值时，可以唯一确定％,y的

值.一般地，与时间有关的问题，常取时间作参数；与旋转有关的问

题，常取旋转角作参数.此外也常常用线段的长度，直线的倾斜角、

斜率、截距等作参数.

1.在直角坐标系％0y中，以。为极点，％轴的正半轴为极轴建

立极坐标系.已知直线I的极坐标方程为"(sin。一3cos9)=0,曲线C

f1

x=t—~

的参数方程为｛。为参数)，/与。相交于45两点，则|A5|

尸+7

答案23

解析因为"(sin。一3cos6)=0,所以/)sin0—3/)cos0=O,所以y

f1

X=t—~,

—3x=0,即y=3%.由<消去/得y2—%2=4.由

尸+7

,由两点间的距离公式得

\AB\

2.已知曲线G的参数方程是《低。为参数)，以坐标原

〔尸3

点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程

是"=2,则G与。2交点的直角坐标为.

答案(A/3,1)

—r-

解析由45消去M得＞=争(X20),即曲线G的普

〔尸3,

通方程是丁=孕(X20);由"=2,得加=%得％2+俨=4,即曲线

Ci的直角坐标方程是％2+/2=4.联立＜’3解得

、42+y2=4,

%=小,

故曲线G,G交点的直角坐标为(小，1).

J=l.

x—/cos。,

3.在直角坐标系X0y中，曲线G：'［『sina,«为参数‘9,

其中OWa＜?i.在以。为极点，入轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线

G：,=2sin仇。3："=25cos。.

(1)求G与G交点的直角坐标；

(2)若Ci与。2相交于点A,G与G相交于点B,求|A目的最大值.

解(1)曲线Q的直角坐标方程为炉+9―2y=0,曲线G的直

22

角坐标方程为x+y-2A/3X=0.

[x2口+y广2-22y小=0-,。，解得:%=0,%—2'

联立'或

尸0,尸1•

所以。2与G交点的直角坐标为(0,0)和惇，

(2)曲线G的极坐标方程为。=a(/)£R，"W。)，其中OWOKTI.

因此A的极坐标为(2sina,«),5的极坐标为(25cosa,a).

所以|AB|=|2sina—24cosa|=4sin，一]].

当。=芥5IT时，|A5|取得最大值，最大值为4.

x=5+?

4.已知直线/：<]”为参数).以坐标原点为极点，％

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。的极坐标方程为"=2cosa

(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)设点M的直角坐标为(5,小)，直线/与曲线。的交点为A,

B,求|肱4HM目的值.

解(1)"=2cos。等价于"2=2"cos(9.①

将"2=f+y2,不05。=%代入①即得曲线。的直角坐标方程为必

十/2—2%=0.②

,<_1_立

x=5+2

⑵将01代入②，得/2+54/+18=0,设这个方程

、产小+梦，

的两个实根分别为h,t2,则由参数t的几何意义即知，|放4卜也阳=比划

=18.

%=3+J,

5.在直角坐标系％0y中，直线/的参数方程为'

。为参数).以原点为极点，％轴正半轴为极轴建立极坐标系，O

C的极坐标方程为"=2小Sina

(1)写出。。的直角坐标方程；

(2)P为直线/上一动点，当尸到圆心。的距离最小时，求尸的

直角坐标.

解(1)由"=2，§sin。，得p2=2小psin。,

从而有好十9=25y,所以X2+(》—小)2=3.

(2)设尸13+5,坐]，又0(0，木),

则IPCI=植3+扑+惇/一局2=/+12,

故当彳=0时，|PC|取得最小值，

此时，尸点的直角坐标为(3,0).

x]■-3cos/

6.在平面直角坐标系％2y中，圆。的参数方程为".

y=-2+3sm?

(，为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系％。y取相同的长度单位，

且以原点。为极点，以％轴非负半轴为极轴)中，直线/的方程为吸

"sinj—智=m(mWR).

(1)求圆C的普通方程及直线I的直角坐标方程；

(2)设圆心。到直线/的距离等于2,求加的值.

解(1)消去参数才，得到圆。的普通方程为(%—l)2+(y+2)2=9.

由也"sin］。一智=机，得psin0—/)cos0—m=0.

所以直线I的直角坐标方程为x-y-\-m=Q.

(2)依题意，圆心。到直线/的距离等于2,

即^-需2一［=2,解得加=一3±2也.

7.已知曲线C：y+Q=1,直线/：\cc(/为参数).

4,(y=2~2t

(1)写出曲线。的参数方程，直线/的普通方程；

(2)过曲线C上任意一点P作与I夹角为30。的直线，交I于点A,

求|B4|的最大值与最小值.

JQ2cose

解(1)曲线。的参数方程为。.八(。为参数)，

j=3sm8

直线I的普通方程为2x+y—6=0.

(2)曲线C上任意一点P(2cos6»,3sin。)到I的距离为

J5

4=看14cose+3sin8-6|.

d?-\/54

则解尸前赤二毛-跳皿^+①一6|,其中a为锐角，且tana=g.

当sin(8+a)=—1时，|B4|取得最大值，最大值为2个仔,

当sin(e+a)=l时，|B4|取得最小值,最小值为"W

8.在直角坐标系％。y中，以坐标原点为极点，％轴为极轴建立

71

极坐标系，半圆。的极坐标方程为"=2cos仇6»e［o,2•

(1)求。的参数方程；

(2)设点。在。上，。在。处的切线与直线/：>=小%+2垂直，

根据⑴中你得到的参数方程，确定D的坐标.

解(1)C的普通方程为(%—l)2+y2=i(()WyWl)可得C的参数方

~|-cos/

程为.(彳为参数，

y=smt

(2)设。(1+cosMsin。,由⑴知。是以C(l,0)为圆心,1为半径

的上半圆，因为。在点Z)处的切线与/垂直，所以直线CD与/的斜

率相同，震t=tan/=5,故D的直角坐标为

0+竭,sin，,即良啜

9.在平面直角坐标系xOy中，已知直线I的参数方程为

f-4

人x•=1±2。

<厂“为参数)，直线/与抛物线丁=4%相交于A,5两点,

产2+察

求线段A5的长.

解将直线I的参数方程代入抛物线方程y2

尸2十零,

4x,得1+坐）=4,

，解彳得/i=0,?2=—所以AB=\ti

—巾.

已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与％轴

x=­l

的正半轴重合.直线/的参数方程为〈。为参数)，曲

1

b=?

线C的极坐标方程为"=4cosa

(1)写出曲线。的直角坐标方程，并指明。是什么曲线；

(2)设直线/与曲线。相交于P,。两点，求|尸。|的值.

［错解］

［错因分析］本题容易出错的地方是对直线参数方程中参数方的

几何意义不明确，导致求弦长『。|的值出错.

［正解］(1)因为"=4cos。，所以"2=4"COS9.由"2=%2+y2,"COS0

=x,#x2+y2=4x.

所以曲线。的直角坐标方程为(%—2)2+/2=4,

它是以(2,0)为圆心，2为半径的圆.

1=T+监，

⑵把<代入X2+/2=4%,

整理，得产一3小/+5=0,

设其两根分别为九，女则九十及=3小，外2=5,

所以|尸。|=|九一句=y/(tl+t2)2—4tlt2=市.

［心得体会］

M课时撬分练

时间：50分钟

基础组

%=cos?。

1.［2016•枣强中学月考］参数方程,八(。为参数)所表示的

、y=sind

曲线为()

A.抛物线的一部分B.一条抛物线

C.双曲线的一部分D.一条双曲线

答案A

解析y2+x=l,V%E［0,l］,...是抛物线的一部分.

2.［2016箱水二中猜题］已知圆的直角坐标方程％2+y2—2%=0在

以原点为极点，入轴非负半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为

()

A."=2cos。B."=2sin。

C./)=—2cos0D.2=12sin。

答案A

22222

解析将x+y=p,x=pcosd代入x+y-2x=0得圆的极坐标

方程为p2=2pcos6,即"=2cosd.

3.［2016•衡水二中一轮检测］已知圆C的参数方程为

,一.(a为参数)，当圆心。到直线依+y+4=0的距离最

j=l+sma

大时，上的值为()

11

A-3B-5

11

C.-3D.-5

答案D

解析。。的直角坐标方程为(%+l)2+(y—1)2=1,.•.圆心C(—

1,1),又直线依+y+4=0过定点A(0,-4),故当CA与直线近+y

+4=0垂直时，圆心。到直线距离最大，•.%A=—5,.，.一左=白，

k=~5'

4.［2016•冀州中学周测］在极坐标方程中，曲线。的方程是夕=

4sin仇过点14,"作曲线。的切线，则切线长为()

A.4B.市

C.2啦D.2小

答案C

解析"=4sin。化成普通方程为X2+。—2)2=4,点［4,化成直

角坐标为(2小，2),切线长、圆心到定点的距离及半径构成直角三角

形，由勾股定理得切线长为1(2小y+(2—2C—22=2嫄,故选C.

5.［2016•冀州中学热身］圆。和圆Q的极坐标方程分别为"=

4cos。，2=-4sin(9,则经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为

答案y=x-2

解析把圆。和圆Q的极坐标方程2=4cos。，2=—4sin6化为

直角坐标方程分别为(%—2)2+y2=4和％2+。+2)2=4,所以两圆圆心

坐标为(2,0),和(0,-2),所以经过两圆圆心的直线的直角坐标方程

为y=%—2.

x=l+r

6.[2016•枣强中学周测]设直线Z1的参数方程为工。Q为参

y=a-\-3t

数)，以坐标原点为极点，％轴的正半轴为极轴建立极坐标系得另一直

线h的方程为"sine—3pcosH+4=0,若直线h与心之间的距离为册5,

则实数Q的值为.

答案9或一11

解析直线Zi的直角坐标方程为3%—y+a—3=0,直线L的直角

坐标方程为3x—y—4=0,由平行线间的距离公式，得

解得。的值为9或一11.

7.[2016•冀州中学预测]在平面直角坐标系xOy中，曲线C和

x=yJ5cos3TT

G的参数方程分别为广(。为参数，OW0W5)和

j=、/5sindz

”为参数)，则曲线G与。2的交点坐标为

答案(2,1)

解析曲线G的普通方程为X2+y2=5(ow%W小，OWyW巾),

曲线。2的普通方程为x-y=l,

%2+y=5,

联立得,消去y,得％2—%—2=0,

x~y=l,

=—1（舍去）,X2=2.

故所求交点坐标为(2,1).

8.［2016箱水二中期中］已知曲线G的极坐标方程为"=6cos仇

7T

曲线G的极坐标方程为<9=aSWR)，曲线G、曲线。2的交点为4

B,则弦45的长为.

答案3也

解析由"2=%2+/2,tan(9=已将曲线G与曲线G的极坐标方

程转化为直角坐标方程为Ci：x2+y2=6x,即(%—3>+y2=9,故Q

7T

为圆心为(3,0),半径为3的圆，Q：6=4，即y=%,表示过原点倾斜

y=%，xi=0,%2=3,

角为押直线.因为,的解为“所以

x2+y2=6x,山=。，)2=3,

|AB|=3V2.

9.［2016•枣强中学模拟］极坐标系中，已知曲线G："=2与Q：

pcos'—7］=也交于两点A,B.

(1)求两交点的极坐标；

(2)求线段A3的垂直平分线I的极坐标方程.

解(l)Ci："=2的直角坐标方程为X2+/2=4,

Ci',"cos］。一［=6的方程即pcos3+psin0=2,

化为直角坐标方程得x+y—2=0.

22

口x+厂y=4。解得x=2x=0

由'2=1或'

)=0尸2'

所以两交点为(0,2)、(2,0),化为极坐标为"，胃、(2,0).

⑵易知直线/经过点(0,0)及线段A5的中点(1,1),所以其方程为

7T

y=%,化为极坐标方程得。£R).

10.［2016彳期水二中期末］在直角坐标系中，以原点O为极

点、以入轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线。的极坐标方程

为p2—4-\/2/)cos^—^j+7=0.

(1)求曲线C的直角坐标方程并指出其形状；

(2)设尸(%,y)是曲线。上的动点，求/=(%+l)(y+l)的取值范围.

解⑴由"2—4\3cos1。一行+7=0可得p2—4/)cos0—4/)sin0+7

=0,

化为直角坐标方程得％2+y—4%—4y+7=0,

即(%—2)2+(y—2)2=1,它表示以(2,2)为圆心，以1为半径的圆.

(2)由题意可设%=2+cos。,y=2+s由仇则r=(x+l)(y+1)=(3

+cos6)(3+sin。)=9+3(sin8+cos。)+sinOcos。.

令sin(9+cos9=机，平方可得l+2sin8cose=«i2,

—]zz/2—11]7_

所以sin&os6=―2—，彳=9+3机+―—=g机？+3机+g(一陋

啦).由二次函数的图象可知t的取值范围为

y—3^2,券+3..

x=-4~I-cos?

口.[刈&武邑中学猜题]已知曲线c1：(^3+sinr。为参数),

x=8cos。

曲线G：(6为参数).

y=3sin。

(1)化G,G的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;

(2)若G上的点尸对应的参数为，=冬。为。2上的动点，求尸0

x=3~\~2t

的中点M到直线。3：”为参数)距离的最小值.

[y=~2+t

22

解⑴曲线G：(%+4)2+(y—3)2=1,曲线G：^+^=1,

曲线C是以(一4,3)为圆心，1为半径的圆；

曲线。2是以坐标原点为中心，焦点在％轴上，长半轴长是8,短

半轴长是3的椭圆.

JT

⑵当才=5时，尸(一4,4),2(8cos6»,3sin。)，故

苗一2+4cos。，2+|sine|.曲线G为直线％—2厂7=0,

、行4

M到G的距离6?=^_|4COS61—3sin6>—13|,从而当cos6)=^,sin。

=1]时，d取最小值

x=2COSC9

12.[2016•冀州中学仿真]已知椭圆C：(cp为参数)，A,

[y=sm(p

5是。上的动点，且满足。4,05(0为坐标原点).以原点。为极点、

以％轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点。的极坐标为1—4,

(1)求线段AD的中点V的轨迹E的普通方程；

(2)利用椭圆。的极坐标方程证明向，十也亲为定值,并求

面积的最大值.

解⑴点Z)的直角坐标为(一2,一25)，

由题意可设A的坐标为(2cosa,sina),则A。的中点”的坐标为

1—1+cosa,—

所以M的轨迹E的参数方程为

x=-1+cosa

y=一爽+；sina(a为参数),

消去a可得E的普通方程为(x+l)2+4(y+小)2=1.

(2)椭圆。的普通方程为9+y2=i,

2

化为极坐标方程得"2+3"2S巾2夕=4,变形得,=

^/l+3sin26>

由。4J_O5可设Ag,8),B\p2,e+/,

所以西十两=湿+应

」+3sin2。l+3sin2,+驾

二4+4

2+3sin20+3cos205、

=--------4--------=a(定值)•

AAOB的面积S=^oi/)2