人教版七年级数学上册专题05线段、角、对角线的计数模型(原卷版+解析)

专题05.线段、角、对角线的计数模型本专题主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。线段的条数、直线的交点数、角的个数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆。本专题就线段（角度）的计数、平面内直线相交所得交点与平面的计数、多边形的对角线条数和三角形个数的计数模型进行研究，以方便大家掌握。模型1.

线段与角度的计数模型1）线段的计数模型结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）；结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条）例1．（2023春·山东淄博·七年级校考期中）下面图形中共有线段()条．A．7 B．8 C．9 D．10例2．（2023秋·山西太原·七年级校考阶段练习）往返于太原、运城两地的高铁列车，若中途停靠太谷、介休和临汾站则有（）种不同票价．A．7 B．8 C．9 D．10例3．（2023秋·湖南长沙·七年级校考期末）2022年12月26日上午10时06分，渝厦高铁常德至益阳段开通运营。某列车从常德至长沙运行途中停靠的车站依次是：常德—常德汉寿—益阳南—宁乡西—长沙南，59分钟即可抵达长沙，这标志着渝厦高铁常益长段实现了全线开通。每两站之间由于方向不同，车票也不同，那么铁路运营公司要为常德至长沙南往返最多需要准备（

）张车票.A．10 B．15 C．20 D．30例4．（2023秋·四川泸州·七年级统考期末）阅读理解题问题：在一条直线上有A，B，C，D四个点，那么这条直线上总共有多少条线段？要解决这个问题，我们可以这样考虑，以A为端点的线段有，，共3条，同样以B为端点，以C为端点，以D为端点的线段也各有3条，这样共有4个3，即（条），但和是同一条线段，即每一条线段重复一次，所以一共有6条线段．那么，若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有_________条线段；若在一条直线上有n个点，则这条直线上共有_________条线段．知识迁移：两条直线相交只有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有_________个交点，n条直线相交最多有_________个交点．学以致用：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，如果每两人握手一次问好，全班同学共握手______次．例5．（2023秋·山西七年级月考）主题式学习：数形规律探究学习(1)发现规律，猜想说理．．．．．．．．．．．．．以此类推，我们发现的和与第一个数、最后一个数及数的个数有关．如果，我们设则我们可以看出此等式的右边是若干个的和，∴_________．则_______．(2)运用规律，计算表达．①求_____________．②某校为庆祝2023年元旦，活跃学生文化生活，举行歌咏比赛．七年级（9）班获得第一名，该班学生列队以“单击掌”形式（每两个学生击掌一次）祝贺获奖；活动结束后该班同学又互赠“元旦祝福语”．如果该班有名同学，则共击掌_____________次，共赠送祝福语___________条．(3)迁移规律，解决问题．①如图，“北京——广州”航线上有A、B、C、D、E、F、G、H8个城市，如果每两个城市都要互通航班，那么这条航线上一共需要开通_____架航班．②如图，在的方格中，横线和竖线上的线段共有___________条．③2022年足球世界杯在卡塔尔举行（如图是足球世界杯奖杯“大力神杯”和卡塔尔世界杯会徽、吉祥物），共有32支国家足球队参赛．比赛分小组赛、1/8决赛、1/4决赛、半决赛、三四名决赛、决赛六个阶段进行．32支球队平均分成8个进行小组循环赛（小组内每两支球队举行一场比赛）；每小组前两名球队进入1/8决赛，然后实行淘汰赛，胜者进入1/4决赛．．．．．．请你计算2022年足球世界杯共进行多少场比赛？2）角度的计数模型结论：线段数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）；结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）例1．（2023秋·浙江·七年级专题练习）如图，总共有个角．例2．（2023·四川内江·七年级月考）在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；…照此规律，画10条不同射线，可得锐角个．例3．（2023秋·重庆七年级课时练习）（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图1中有个不同的角；（2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图2中有个不同的角；（3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图3中有个不同的角；（4）在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE…，则图中有个不同的角；（5）在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE…，则图中有个不同的角．例4．（2023秋·湖北孝感·七年级统考期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角）(1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角；②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角；③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）；(2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？3）平面内直线相交所得交点与平面的计数模型直线的条数最多交点个数平面最多分成部分数102214337.........n例1．（2023春·浙江七年级期中）已知条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，…由此猜想，条直线最多有个交点（）A．16 B．28 C．32 D．40例2．（2023春·安徽芜湖·七年级校联考期中）将一块等边三角形蛋糕切三次，最多能分成的块数为（）A．3 B．5 C．7 D．9例3．（2023春·广东七年级期中）平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为个，最多为个，n条直线两两相交的直线最多有个交点．例4．（2023春·广东七年级期中）观察下列图形，阅读下面相关文字并填空：（1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有______个交点，4条直线相交最多有______个交点，……，像这样，8条直线相交最多有______个交点，n条直线相交最多有______个交点：（2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成______部分，4条直线最多把平面分成______部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成______部分，n条直线最多把平面分成______部分．例5．（2023春·江苏·七年级专题练习）【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）；【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？4）多边形的对角线条数和三角形个数的计数模型结论：从n边形一个顶点出发可引出（n-3）条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形；n边形共有对角线。例1．（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）六边形共有多少条对角线（

）A．8 B．9 C．10 D．12例2．（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）如果一个多边形从一个顶点出发最多能画五条对角线，则这个多边形的边数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8例3．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，则这个多边形是（）A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形例4．（2023秋·广东梅州·七年级统考期末）一个多边形从一个顶点出发引出8条对角线，那么这个多边形对角线的总数是（）A．88 B．44 C．45 D．50例5．（2023·山东·八年级专题练习）多边形的对角线：多边形的对角线是连接多边形的两个顶点的线段，从n边形的一个顶点出发有条对角线，将n边形分成个三角形，一个n边形共有条对角线．例6．（2023春·重庆七年级月考）乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：多边形的顶点数45678…n从一个顶点出发的对角线的条数12345…________多边形对角线的总条数2591420…________(1)观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整；(2)实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？(3)类比归纳：乐乐认为(1)，(2)之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你的发现．课后专项训练1．（2023·湖北·七年级阶段练习）平面内10条直线把平面分成的部分个数最多是（）A．46个 B．55个 C．56个 D．67个2．（2023秋·四川成都·七年级校考阶段练习）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有A．4个 B．5个 C．6个 D．7个3．（2023秋·山东青岛·七年级校考期末）如图，AB是一段高铁行驶路线图图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（）种车票．A．10 B．11 C．20 D．224．（2023·河北邯郸·七年级校考期末）由邯郸到北京的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：邯郸—邢台—石家庄—保定—北京，那么要为这次列车制作的火车票有（

）A．9种 B．20种 C．10种 D．72种5．（2023·湖北荆门·七年级统考期中）两条相交直线与另外一条直线在同一平面内，它们的交点个数是（

）A．1 B．2 C．3或2 D．1或2或36．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图所示，2条直线相交只有1个交点，3条直线相交最多能有3个交点，4条直线相交最多能有6个交点，5条直线相交最多能有10个交点，……，（≥2，且是整数）条直线相交最多能有（

）A．个交点B．个交点C．个交点D．个交点7．（2023春·山东淄博·七年级统考期中）从五边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将五边形分成个三角形，则的值为(

)A．9 B．8 C．6 D．58．（2023春·浙江·八年级专题练习）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将此多边形分成4个三角形，则此多边形的边数为（）A．7 B．6 C．5 D．49．（2023秋·广东七年级月考）平面内有7条直线，这7条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则的值是（

）A．16 B．22 C．20 D．1810．（2023春·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点按这样的规律若n条直线相交交点最多有36个，则此时n的值为（

）A．10 B．9 C．8 D．711．（2023·四川成都·七年级校考期末）成都与重庆之间往返的动车，除起始站和终点站外中途都有3个停靠站，则铁路部门针对此动车需要发售种不同行程的动车票.12．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）过五边形的一个顶点有条对角线．13．（2023秋·河南郑州·七年级校考期末）一个正八边形，从它的一个顶点可引出m条对角线，并把这个正八边形分成n个三角形，则．14．（2023秋·重庆·七年级期中）如图所示，过六边形的顶点的所有对角线可将六边形分成个三角形．15．（2023秋·山东德州·八年级校考期中）从多边形的一个顶点所引的对角线，把这个多边形分成7个三角形，则这个多边形共条对角线．16．（2023秋·黑龙江绥化·八年级校考期中）从十二边形的一个顶点作对角线，把这个十二边形分成三角形的个数是，十二边形的对角线的条数是17．（2023秋·河南许昌·七年级统考期末）2022年9月8日，随着列车从郑州港区段鸣笛出发，郑许市域铁路开始空载试运行，未来“双城生活模式”指日可待．图中展示了郑许市域铁路的其中五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备种不同的车票．18．（2023·北京·七年级校考阶段练习）表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系：图形…直线条数234…最多交点个数13=1+26=1+2+3…按此规律，6条直线相交，最多有个交点；n条直线相交，最多有个交点．（n为正整数）19．（2023·浙江嘉兴·七年级统考期末）若平面内互不重合的4条直线只有3个交点，则平面被分成了个部分．20．（2023秋·四川自贡·七年级校考阶段练习）已知：四点A、B、C、D的位置如图所示，根据下列语句，画出图形．(1)画直线、射线相交于点O，画线段；(2)图中以字母A、B、C、D、O为端点的线段共有____条．21．（2023秋·四川泸州·七年级统考期末）如图，为直线上一点，，平分．(1)请你数一数，图中有___________个小于平角的角；(2)求的度数．22．（2023秋·山西七年级月考）小明在一条直线上选了若干个点，通过数线段的条数，发现其中蕴含了一定的规律，下边是他的探究过程及联想到的一些相关实际问题.（1）一条直线上有2个点，线段共有1条；一条直线上有3个点，线段共有1+2=3条；一条直线上有4个点，线段共有1+2+3=6条…一条直线上有10个点，线段共有条.（2）总结规律：一条直线上有n个点，线段共有条.（3）拓展探究：具有公共端点的两条射线OA、OB形成1个角∠AOB（∠AOB＜180°）；在∠AOB内部再加一条射线OC，此时具有公共端点的三条射线OA、OB、OC共形成3个角；以此类推，具有公共端点的n条射线OA、OB、OC…共形成个角（4）解决问题：曲沃县某学校九年级1班有45名学生毕业留影时，全体同学拍1张集体照，每2名学生拍1张两人照，共拍了多少张照片？如果照片上的每位同学都需要1张照片留作纪念，又应该冲印多少张纸质照片？23．（2023秋·江苏·七年级专题练习）平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点．(1)请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数；(2)请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个）；(3)你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形，其中n分别为6，21，15？(4)请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？24．（2023·北京市七年级课时练习）如图，线段上的点数与以这些点为端点的线段的总数有如下关系：

(1)当线段上有3个点时，以这些点为端点的线段总共有________条；当线段上有4个点时，以这些点为端点的线段总共有________条；当线段上有5个点时，以这些点为端点的线段总共有________条；(2)当线段上有个点时，以这些点为端点的线段总共有多少条？(3)根据上述信息解决下面的问题：①某学校七年级共有20个班级进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两个班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？②乘火车从站出发，沿途经过10个车站方可到达站，那么在，两站之间需要设置多少种不同的车票（仅考虑车票的起点站与终点站之分）？25．（2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）如图，线段AB上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段上有3个点时，线段共有3条；如果线段上有4个点时，线段共有6条；如果线段上有5个点时，线段共有10条；(1)当线段上有6个点时，线段共有条？(2)当线段上有n个点时，线段共有多少条？（用n的代数式表示）(3)当，线段共有多少条？

26．（2023秋·浙江·七年级专题练习）观察思考：

（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角；（2）在∠AOB内部画2条射线OC、OD，则图中有几个不同的角？（3）3条射线呢？你能发现什么规律，表示出n条射线能有几个不同的角？27．（2023春·广东肇庆·七年级校考阶段练习）观察如图所示中的各图，寻找对顶角（不含平角）：（1）如图a，图中共有＿＿＿对对顶角；（2）如图b，图中共有＿＿＿对对顶角；（3）如图c，图中共有＿＿＿对对顶角.（4）研究（1）～（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有

n条直线相交于一点,则可形成＿＿＿对对顶角？（5）若有2008条直线相交于一点，则可形成＿＿＿对对顶角？28．（2023秋·山东七年级课时练习）下面各个图形中，分别有多少个小于平角的角，请用适当的方法表示这些角．（1）图（1）中共有_______个小于平角的角，这些角分别是________；（2）图（2）中共有_______个小于平角的角，这些角分别是________；（3）图（3）中共有_______个小于平角的角，这些角分别是________．29．（2023·云南保山·七年级统考期末）如图所示，从一点O出发，引两条射线可以得到一个角，引三条射线可以得到三个角，引四条射线可以得到六个角，引五条射线可以得到十个角，如果从一点出发引n（n为大于等于2的整数）条射线，则会得到多少个角？如果n=8时，检验你所得的结论是否正确．30．（2023秋黑龙江七年级月考）找规律：一次足球比赛中，有n（n≥2）个球队参加比赛，假设此次比赛为单循环比赛（参加比赛的每一个队都与其他所有的队各赛一场），球队总数与总的比赛场数如表．球队数（n）23456比赛场数1361015（1）8个球队总共比赛的总场数为．（2）当有n个球队参加时，共比多少场？（2）当n＝10时，共有多少场比赛？31．（2023秋·河北八年级课时练习）如图，△ABC中，A1，A2，A3，…，An为AC边上不同的n个点，首先连接BA1，图中出现了3个不同的三角形，再连接BA2，图中便有6个不同的三角形…

（1）完成下表：连接个数出现三角形个数若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？若一直连接到An，则图中共有__________个三角形．32．（2023春·山东青岛·七年级校考期中）数学中，常对同一个量用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．[探究一]如图1，在边长为a的正方形纸片上剪去一个边长为的正方形，你能表示图中阴影部分的面积吗？阴影部分的面积是______．如图2，也可以把阴影部分沿着虚线AB剪开，分成两个梯形，阴影部分的面积是______．用两种不同的方法计算同一个阴影部分的面积，可以得到等式______．[探究二]如图3，一条直线上有n个点，请你数一数共有多少条线段呢？方法1：一路往右数，不回头数．以为端点的线段有、、、、…、，共有条；以为端点的线段有、、、…、，共有条；以为端点的线段有、、…、，共有条；…以为端点的线段有，共有1条；图中线段的总条数是______．方法2：每一个点都能和除它以外的个点形成线段，共有n个点，共可形成条线段，但所有线段都数了两遍，所以线段的总条数是______．用两种不同的方法数线段，可以得到等式______．[应用]运用探究一、探究二中得到的等式解决问题．计算：．33．（2023秋·山东青岛·七年级统考期末）问题提出：某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？构建模型：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型：（1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成5×4条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有条线段，所以该校一共要安排场比赛．

（2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排__________场比赛；…………（3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排___________场比赛．实际应用：（4）9月1日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上42位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手___________次．拓展提高：（5）往返于青岛和济南的同一辆高速列车，中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为_____种．

专题05.线段、角、对角线的计数模型本专题主要培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法，及构建数学模型解决实际问题等。线段的条数、直线的交点数、角的个数、对角线条数等计数规律，可以自己推导后进行记忆。本专题就线段（角度）的计数、平面内直线相交所得交点与平面的计数、多边形的对角线条数和三角形个数的计数模型进行研究，以方便大家掌握。模型1.

线段与角度的计数模型1）线段的计数模型结论：线段数量：4+3+2+1=10（条）（注意：按一个方向数，不回头）；结论拓展：若有n个点，则线段数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（条）例1．（2023春·山东淄博·七年级校考期中）下面图形中共有线段()条．A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】分别以为线段的一个端点找出线段即可求解．【详解】解：图中线段有：共10条，故选D．【点睛】本题考查了数线段条数，掌握线段的定义是解题的关键．例2．（2023秋·山西太原·七年级校考阶段练习）往返于太原、运城两地的高铁列车，若中途停靠太谷、介休和临汾站则有（）种不同票价．A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】由于一共有太原、太谷、介休、临汾、运城一共五个站，每两个站之间都有一种票价，其中一个站与其他4个站之间都有4种不同的票价，而两个站之间，来回的票价相同，只能算作一次，由此求解即可．【详解】解：∵一共有太原、太谷、介休、临汾、运城一共五个站，每两个站之间都有一种票价，∴其中一个站与其他4个站之间都有4种不同的票价，∴一共有5×4=20种不同票价，又∵两个站之间，来回的票价相同，只能算作一次，∴一共应该有20÷2=10种不同的票价，故选D．【点睛】本题主要考查了线段的数量问题即车站为线段的端点，票价为线段数量，解题的关键在于能够熟练掌握求解线段数量的方法．例3．（2023秋·湖南长沙·七年级校考期末）2022年12月26日上午10时06分，渝厦高铁常德至益阳段开通运营。某列车从常德至长沙运行途中停靠的车站依次是：常德—常德汉寿—益阳南—宁乡西—长沙南，59分钟即可抵达长沙，这标志着渝厦高铁常益长段实现了全线开通。每两站之间由于方向不同，车票也不同，那么铁路运营公司要为常德至长沙南往返最多需要准备（

）张车票.A．10 B．15 C．20 D．30【答案】C【分析】将每一个车站看作一个点，铁路线为线段，求出所有线段条数的2倍即可．【详解】解：如图，图中线段的条数为（条），由于车票往返的不同，因此需要制作火车票的种类为（种），故选：C．【点睛】本题考查线段、直线、射线，掌握线段条数的计算方法是解决问题的关键．例4．（2023秋·四川泸州·七年级统考期末）阅读理解题问题：在一条直线上有A，B，C，D四个点，那么这条直线上总共有多少条线段？要解决这个问题，我们可以这样考虑，以A为端点的线段有，，共3条，同样以B为端点，以C为端点，以D为端点的线段也各有3条，这样共有4个3，即（条），但和是同一条线段，即每一条线段重复一次，所以一共有6条线段．那么，若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有_________条线段；若在一条直线上有n个点，则这条直线上共有_________条线段．知识迁移：两条直线相交只有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有_________个交点，n条直线相交最多有_________个交点．学以致用：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，如果每两人握手一次问好，全班同学共握手______次．【答案】10，，6，，990【分析】问题：根据线段的定义进行求解即可；知识迁移：根据线段的性质进行求解即可；学以致用：当时，代入求值即可．【详解】解：问题：若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有条线段；若在一条直线上有n个点，则这条直线上共有条线段，故答案为：10，；知识迁移：四条直线相交最多有6个交点，n条直线相交最多有个交点，故答案为：6，；学以致用：当时，（次），故答案为：990．【点睛】本题考查线段的计数问题，解题的关键是找出规律．例5．（2023秋·山西七年级月考）主题式学习：数形规律探究学习(1)发现规律，猜想说理．．．．．．．．．．．．．以此类推，我们发现的和与第一个数、最后一个数及数的个数有关．如果，我们设则我们可以看出此等式的右边是若干个的和，∴_________．则_______．(2)运用规律，计算表达．①求_____________．②某校为庆祝2023年元旦，活跃学生文化生活，举行歌咏比赛．七年级（9）班获得第一名，该班学生列队以“单击掌”形式（每两个学生击掌一次）祝贺获奖；活动结束后该班同学又互赠“元旦祝福语”．如果该班有名同学，则共击掌_____________次，共赠送祝福语___________条．(3)迁移规律，解决问题．①如图，“北京——广州”航线上有A、B、C、D、E、F、G、H8个城市，如果每两个城市都要互通航班，那么这条航线上一共需要开通_____架航班．②如图，在的方格中，横线和竖线上的线段共有___________条．③2022年足球世界杯在卡塔尔举行（如图是足球世界杯奖杯“大力神杯”和卡塔尔世界杯会徽、吉祥物），共有32支国家足球队参赛．比赛分小组赛、1/8决赛、1/4决赛、半决赛、三四名决赛、决赛六个阶段进行．32支球队平均分成8个进行小组循环赛（小组内每两支球队举行一场比赛）；每小组前两名球队进入1/8决赛，然后实行淘汰赛，胜者进入1/4决赛．．．．．．请你计算2022年足球世界杯共进行多少场比赛？【答案】(1)，(2)①5047；②，(3)①90；②135；③【分析】（1）根据题目中的规律即可求解；（2）①根据（1）中的规律即可求解；②根据规律即可求解；（3）①10个城市每两个城市都要互通航班，据此即可求解；②分别计算横向和竖向的线段条数，即可求解；③利用分类的方法可求得2022年足球世界杯共进行多少场比赛．【详解】（1）解：．则．故答案为：，；（2）解：①．②如果该班有名同学，则共击掌次，共赠送祝福语条．故答案为：①5047；②100；③，；（3）解：①如图，“北京——广州”航线上有A、B、C、D、E、F、G、H8个城市，如果每两个城市都要互通航班，10个城市一共需要开通架航班；②横线上的线段有条，竖线上的线段有条，则横线和竖线上的线段共有条；③32支比赛分为8个小组，每个小组4支球队，共有场比赛，16强分成8组对阵，共有8场比赛，8强分成4组对阵，共有4场比赛，4强分成2组对阵，共有2场比赛，决赛有2场比赛，故共有场比赛．故答案为：①90；②135；③64．【点睛】本题考查了探索规律，线段的计数，线段的计数时应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复，利用规律解决问题．2）角度的计数模型结论：线段数量：4+3+2+1=10（个）（注意：按一个方向数，不回头）；结论拓展：若有n条射线，则角度数量为：（n-1）+（n-2）+...+4+3+2+1=（个）例1．（2023秋·浙江·七年级专题练习）如图，总共有个角．【答案】10【分析】根据图形分别表示出所有角即可．【详解】解：图中的角有：，，，，，，，，，共有10个角．故答案为：10．【点睛】本题考查了角的概念，正确会表示角，做到不重不漏是关键．例2．（2023·四川内江·七年级月考）在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得3个锐角；画2条不同射线，可得6个锐角；画3条不同射线，可得10个锐角；…照此规律，画10条不同射线，可得锐角个．【答案】66【分析】分别找出各图形中锐角的个数，找出规律解题．【详解】解：∵在锐角∠AOB内部，画1条射线，可得1+2=3个锐角；在锐角∠AOB内部，画2条射线，可得1+2+3=6个锐角；在锐角∠AOB内部，画3条射线，可得1+2+3+4=10个锐角；…∴从一个角的内部引出n条射线所得到的锐角的个数是1+2+3+…+（n+1）=×（n+1）×（n+2），∴画10条不同射线，可得锐角×（10+1）×（10+2）=66．故答案为：66．例3．（2023秋·重庆七年级课时练习）（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图1中有个不同的角；（2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图2中有个不同的角；（3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图3中有个不同的角；（4）在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE…，则图中有个不同的角；（5）在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE…，则图中有个不同的角．【答案】（1）3（2）6（3）10（4）66（5）【详解】试题分析：（1）根据图形，图中有1+2=3个不同的角；（2）根据图形，图中有1+2+3=6个不同的角；（3）图中有1+2+3+4=10个不同的角，；（4）图中有1+2+3+…+9+10+11=66个角；（5）求出1+2+3+…+n+（n+1）的值即可试题解析：（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角，故答案为3．（2）在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图中有6个不同的角，故答案为6．（3）在∠AOB内部画3条射线OC，OD，OE，则图中有10个不同的角，故答案为10．（4）在∠AOB内部画10条射线OC，OD，OE，…，则图中有1+2+3+…+10+11=66个不同的角，故答案为66．（5）在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE，…，则图中有1+2+3+…+n+（n+1）=个不同的角．考点：角的概念．例4．（2023秋·湖北孝感·七年级统考期末）如图1，从点分别引两条射线，则得到一个角．（图中的角均指不大于平角的角）(1)探究：①如图2，从点分别引三条射线，则图中得到________个角；②如图3，从点分别引四条射线，则图中得到________个角；③依此类推，从点分别引条射线，则得到________个角（用含的式子表示）；(2)应用：利用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有16个班进行足球比赛，准备进行单循环赛（即每两队之间赛一场），则全部赛完共需多少场比赛？【答案】(1)①3；②6；③(2)【分析】（1）①②根据角的概念求出即可；③根据①②分析得出的规律求解即可；（2）将代入求解即可．【详解】（1）①由题意可得，从点分别引三条射线，图中的角有，，∴图中得到3个角；②由题意可得，从点分别引四条射线，图中的角有，，∴图中得到6个角；③由①②可得，当从点分别引条射线，，∴得到个角；（2）根据题意可得，当时，．∴全部赛完共需120场比赛．【点睛】本题考查了角的定义及其应用，掌握角的定义以及归纳规律是解题的关键．3）平面内直线相交所得交点与平面的计数模型直线的条数最多交点个数平面最多分成部分数102214337.........n例1．（2023春·浙江七年级期中）已知条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，…由此猜想，条直线最多有个交点（）A．16 B．28 C．32 D．40【答案】B【分析】利用给出的交点个数，推导出规律，再将8代入计算即可．【详解】解：∵条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，条直线最多有个交点，……∴条直线最多有个交点，∴时，（个），∴条直线最多有个交点．故选：B．【点睛】本题考查直线的交点个数，也就是数字规律题，解题的关键是找到数字规律，把特殊值代入求值．例2．（2023春·安徽芜湖·七年级校联考期中）将一块等边三角形蛋糕切三次，最多能分成的块数为（）A．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】根据题意画出图形即可求解．【详解】如图所示，将一块等边三角形蛋糕切三次，最多能分成的块数为块，故选：C．【点睛】本题考查了直线分平面问题，理解题意是解题的关键．例3．（2023春·广东七年级期中）平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为个，最多为个，n条直线两两相交的直线最多有个交点．【答案】115【分析】根据相交直线的交点找出相应规律求解即可．【详解】解：根据题意可得：6条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个；若平面内有相交的2条直线，则最多有1个交点；（即：）；若平面内有两两相交的3条直线，则最多有3个交点；（即：）；若平面内有两两相交的4条直线，则最多有6个交点；（即：）；若平面内有两两相交的5条直线，则最多有10个交点；（即：）；则平面内两两相交的6条直线，其交点个数最多有15个交点；（即）；若平面内有n条直线两两相交，则最多有个交点；故答案为：1，15，．【点睛】题目主要考查直线交点问题及规律探索，找出相应规律是解题关键．例4．（2023春·广东七年级期中）观察下列图形，阅读下面相关文字并填空：（1）在同一平面内，两条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有______个交点，4条直线相交最多有______个交点，……，像这样，8条直线相交最多有______个交点，n条直线相交最多有______个交点：（2）在同一平面内，1条直线把平面分成2部分，两条直线最多把平面分成4部分，3条直线最多把平面分成______部分，4条直线最多把平面分成______部分，……，像这样，8条直线最多把平面分成______部分，n条直线最多把平面分成______部分．【答案】（1）3，6，28，；（2）7，11，37，【分析】（1）根据图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时最多交点个数，总结出规律即可得出n条直线相交最多有交点的个数；（2）根据图形求出两条直线相交、三条直线相交、四条直线相交时最多把平面分成几部分，总结出规律即可n条直线最多把平面分成几部分．【详解】解：（1）2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1+2=3个交点；4条直线相交最多有1+2+3=6个交点；5条直线相交最多有1+2+3+4=10个交点；6条直线相交最多有1+2+3+4+5=15个交点；7条直线相交，最多有1+2+3+4+5+6=21个交点，8条直线相交，最多有1+2+3+4+5+6+7=28个交点，…n条直线相交最多有个交点；（2）1条直线最多把平面分成1+1=2部分；2条直线最多把平面分成1+1+2=4部分；3条直线最多把平面分成1+1+2+3=7部分；4条直线最多把平面分成1+1+2+3+4=11部分；5条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5=16部分；6条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6=22部分；7条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6+7=29部分；8条直线最多把平面分成1+1+2+3+4+5+6+7+8=37部分；…n条直线最多把平面分成【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，体现了从一般到特殊再到一般的认知规律，有一定的挑战性，弄清题中的规律是解本题的关键．例5．（2023春·江苏·七年级专题练习）【观察发现】如图，我们通过观察后可以发现：两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；那么四条直线相交，最多有______个交点；n条直线相交，最多有______个交点（用含n的代数式表示）；【实践应用】在实际生活中同样存在数学规律型问题，请你类比上述规律探究，计算：某校七年级举办篮球比赛，第一轮要求每两班之间比赛一场，若七年级共有16个班，则这一轮共要进行多少场比赛？【答案】[观察发现]6，；[实践应用]120场【分析】[观察发现]根据题意，结合图形，发现：3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点．而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=n(n−1)个交点；[实践应用]把每个班作为一个点,进行一场比赛就是用线把两个点连接,用此方法即可.【详解】[观察发现]解：①两条直线相交最多有1个交点：1=；②三条直线相交最多有3个交点：3=；③四条直线相交最多有6个交点：6=；…n条直线相交最多有个交点．故答案为：6，．[实践应用]该类问题符合上述规律，所以可将n＝16代入．∴这一轮共要进行120场比赛．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解决本题的关键是要找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．4）多边形的对角线条数和三角形个数的计数模型结论：从n边形一个顶点出发可引出（n-3）条对角线；这些对角线把多边形分割成（n-2）个三角形；n边形共有对角线。例1．（2023秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）六边形共有多少条对角线（

）A．8 B．9 C．10 D．12【答案】B【分析】根据对角线公式求解即可．【详解】解：六边形共有多少条对角线有：条．故选B．【点睛】本题考查了多边形的对角线，牢记n边形从一个顶点出发可引出条对角线，把n边形分成个三角形，n边形对角线的总条数为：是解题的关键．例2．（2023秋·甘肃兰州·七年级校考期末）如果一个多边形从一个顶点出发最多能画五条对角线，则这个多边形的边数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根据从边形的一个顶点可以作出条对角线，求出边数即可．【详解】解：多边形的边数为，由题意可得：，解得，故选：D．【点睛】本题考查一个顶点出发的对角线条数，解题关键是掌握边形从一个顶点可以作出条对角线．例3．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成6个三角形，则这个多边形是（）A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形【答案】B【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可得n的值．【详解】解：设这个多边形是n边形，由题意得，解得：，即这个多边形是八边形，故选∶B．【点睛】本题考查了多边形的对角线，解题的关键是掌握n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形．例4．（2023秋·广东梅州·七年级统考期末）一个多边形从一个顶点出发引出8条对角线，那么这个多边形对角线的总数是（）A．88 B．44 C．45 D．50【答案】C【分析】根据一个n边形从一个顶点出发有条对角线，即可求出该多边形的边数．再根据n边形对角线的总数为即可求解．【详解】解：设这个多边形的边数为n，∵一个多边形从一个顶点出发共引8条对角线，∴，解得：，∴总的对角线的条数为：条．故选C．【点睛】本题主要考查了多边形的对角线的条数问题．掌握n边形从一个顶点出发有条对角线和其对角线总数为是解题关键．例5．（2023·山东·八年级专题练习）多边形的对角线：多边形的对角线是连接多边形的两个顶点的线段，从n边形的一个顶点出发有条对角线，将n边形分成个三角形，一个n边形共有条对角线．【答案】任意不相邻【分析】根据多边形的对角线的定义作答即可．【详解】解：多边形的对角线是指连接多边形任意不相邻的两个顶点的线段，从n边形的一个顶点出发有条对角线，将边形分成个三角形，一个n边形共有条对边线．故答案为：任意不相邻，，，．【点睛】本题考查多边形的对角线．解题的关键在于熟练掌握多边形对角线的定义，对角线的条数等知识．例6．（2023春·重庆七年级月考）乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中！请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：多边形的顶点数45678…n从一个顶点出发的对角线的条数12345…________多边形对角线的总条数2591420…________(1)观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整；(2)实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？(3)类比归纳：乐乐认为(1)，(2)之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你的发现．【答案】(1)n－3，n(n－3)；(2)135个；(3)每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点.【分析】（1）依据图形以及表格中的变换规律，即可得到结论；（2）依据数学社团有18名同学，即可得到数学社团的同学们一共将拨打电话数量；（3）每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点，进而得到每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打（n-3）个电话，据此进行判断．【详解】解：（1）由题可得，当多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线的条数为n-3，多边形对角线的总条数为n（n-3）；故答案为n-3，n（n-3）；（2）∵3×6=18，∴数学社团的同学们一共将拨打电话为×18×（18-3）=135（个）；(3)每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点；每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打(n－3)个电话；两人之间不需要重复拨打电话，故拨打电话的总数为n(n－3)；数学社团有18名同学，当n＝18时，×18×(18－3)＝135.【点睛】本题主要考查了多边形的对角线，n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．从n个顶点出发引出（n-3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n-3）（n≥3，且n为整数）．课后专项训练1．（2023·湖北·七年级阶段练习）平面内10条直线把平面分成的部分个数最多是（）A．46个 B．55个 C．56个 D．67个【答案】C【分析】根据表中数据，总结出规律，再根据规律解题．【详解】设直线条数有n条，分成的平面最多有m个．有以下规律：n

m1

1+12

1+1+23

1+1+2+3⋯n

m＝1+1+2+3+…+n＝+1，∴根据表中规律，当直线为10条时，把平面最多分成56部分，为1+1+2+3+…+10＝56；故选C．【点睛】本题考查了过平面上两点有且只有一条直线，体现了数形结合的思想．2．（2023秋·四川成都·七年级校考阶段练习）如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】C【分析】点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点而图中共有线段六条，所以出现报警次数最多六次．【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候会发出警报,图中共有线段DC、DB、DA、CB、CA、BA发出警报的可能最多有6个故选C．【点睛】本题考查的是直线与线段的相关内容，利用整体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类．3．（2023秋·山东青岛·七年级校考期末）如图，AB是一段高铁行驶路线图图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（）种车票．A．10 B．11 C．20 D．22【答案】C【分析】分析观察可以发现，每个车站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需要印制（5﹣1）种车票，而有5个起始站，故可以直接列出算式．【详解】解：5×（5﹣1）＝20，故选：C．【点睛】本题在线段的基础上，考查了排列与组合的知识，解题关键是要理解题意，每个车站都既可以作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站．4．（2023·河北邯郸·七年级校考期末）由邯郸到北京的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：邯郸—邢台—石家庄—保定—北京，那么要为这次列车制作的火车票有（

）A．9种 B．20种 C．10种 D．72种【答案】A【详解】共需制作的车票数为：4+3+2+1，=2×10，=10（种）．故选A．5．（2023·湖北荆门·七年级统考期中）两条相交直线与另外一条直线在同一平面内，它们的交点个数是（

）A．1 B．2 C．3或2 D．1或2或3【答案】D【分析】本题中直线的位置关系不明确，应分情况讨论，包括两条相交直线是否是另一条直线平行、相交或交于同一点．【详解】解：当另一条直线与两条相交直线交于同一点时，交点个数为1；当另一条直线与两条相交直线中的一条平行时，交点个数为2；当另一条直线分别与两条相交直线相交时，交点个数为3；故选D．【点睛】本题涉及直线的相关知识，难度一般，考生需要全面考虑问题6．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图所示，2条直线相交只有1个交点，3条直线相交最多能有3个交点，4条直线相交最多能有6个交点，5条直线相交最多能有10个交点，……，（≥2，且是整数）条直线相交最多能有（

）A．个交点B．个交点C．个交点D．个交点【答案】D【分析】根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数公式：【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交有1+2=3个交点；4条直线相交有1+2+3=6个交点；5条直线相交有1+2+3+4=10个交点；6条直线相交有1+2+3+4+5=15个交点；…n条直线相交有1+2+3+4+…+（n-1）=故选：D【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交最多有个交点．7．（2023春·山东淄博·七年级统考期中）从五边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将五边形分成个三角形，则的值为(

)A．9 B．8 C．6 D．5【答案】B【分析】边形从一个顶点出发可引出条对角线，它们把边形分成个三角形，由此即可计算．【详解】解：从五边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将五边形分成个三角形，，，的值为．故选：B．【点睛】本题考查多边形的对角线，关键是掌握：边形从一个顶点出发可引出条对角线，把边形分成个三角形．8．（2023春·浙江·八年级专题练习）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将此多边形分成4个三角形，则此多边形的边数为（）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】B【分析】根据多边形对角线定义可知，一个边形某个顶点除了不能和自身以及左右两个相邻的顶点连成对角线外，其余的个顶点都能与其连成对角线，这个对角线将多边形分成个三角形，结合此多边形被对角线分成4个三角形，得到，解方程求出多边形边数即可得到答案．【详解】解：根据题意，一个边形过某个顶点所有对角线条数为，这个对角线将多边形分成个三角形，此多边形被对角线分成4个三角形，，解得，故选：B．【点睛】本题考查多边形对角线的定义及实际应用，分析出多边形对角线条数以及将多边形分成的三角形个数，由题意列出方程是解决问题的关键．9．（2023秋·广东七年级月考）平面内有7条直线，这7条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则的值是（

）A．16 B．22 C．20 D．18【答案】B【分析】分别求出2条直线、3条直线、4条直线…的交点个数，找出规律即可解答．【详解】解：如图：2条直线相交最多有1个交点，3条直线相交最多有1+2个交点，4条直线相交最多有1+2+3个交点，…n直线相交最多有1+2+3+4+5+…+(n−1)＝个交点．∴7直线相交最多有1+2+3+4+5+…+6＝=21个交点．∴7条直线两两相交最多可以得到21个交点，最少可以得到1个交点，∴a＝21，b=1，∴a+b＝22，故选B．【点睛】本题考查的是直线的交点问题，解答此题的关键是找出规律，需注意的是n条直线相交时最少有一个交点．10．（2023春·山东泰安·七年级校考阶段练习）如图，2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点按这样的规律若n条直线相交交点最多有36个，则此时n的值为（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B【分析】2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有个交点，4条直线相交最多有个交点……按这样的规律，n条直线相交的交点最多是个交点，再把各选项的n的值代入计算即可解答问题．【详解】解：2条直线相交有1个交点，3条直线相交最多有个交点，4条直线相交最多有个交点…，按照这样的规律，n条直线相交的交点最多是个交点，当时，则，当时，则，当时，则，当时，则，答：若n条直线相交交点最多有36个，则此时n的值为9．故选B．【点睛】此题考查的是相交线及规律性题目，解答此题关键是根据直线的条数变化得到的交点个数的变化，得出规律，再利用规律进行计算即可解答问题．11．（2023·四川成都·七年级校考期末）成都与重庆之间往返的动车，除起始站和终点站外中途都有3个停靠站，则铁路部门针对此动车需要发售种不同行程的动车票.【答案】【分析】根据题意画出示意图，数出线段的条数，再根据往返是两种不同的车票，可得答案．【详解】解：由图知：成都与重庆之间往返的动车，中途还需停靠3个站，共有10条线段，∵往返是两种不同的车票，∴铁路部门对此运行区间应准备20种不同的火车票．故答案为20．【点睛】此题主要考查了数学知识解决生活中的问题；需要掌握正确数线段的方法．12．（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）过五边形的一个顶点有条对角线．【答案】2【分析】根据多边形的对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，得出n边形从一个顶点出发可引出条对角线．【详解】从五边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的2个顶点引对角线，即能引出2条对角线，故答案为：2．【点睛】本题考查多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，能引出条对角线．13．（2023秋·河南郑州·七年级校考期末）一个正八边形，从它的一个顶点可引出m条对角线，并把这个正八边形分成n个三角形，则．【答案】【分析】过八边形的一个顶点可以引出5条对角线，过八边形的一个顶点画出所有的对角线，可以将这个八边形分成6个三角形，据此求得的值，继而即可求解．【详解】解：过八边形的一个顶点可以引出5条对角线，过八边形的一个顶点画出所有的对角线，可以将这个八边形分成6个三角形，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了多边形的对角线，掌握过多边形的一个顶点的对角线条数为是解题的关键．14．（2023秋·重庆·七年级期中）如图所示，过六边形的顶点的所有对角线可将六边形分成个三角形．【答案】4【分析】从边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个多边形分割成个三角形，依此作答．【详解】解：过六边形的顶点的所有对角线可将六边形分成个三角形．故答案为4．【点睛】本题主要考查多边形的对角线，从边形的一个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为．15．（2023秋·山东德州·八年级校考期中）从多边形的一个顶点所引的对角线，把这个多边形分成7个三角形，则这个多边形共条对角线．【答案】27【分析】经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成个三角形，根据此关系式求边数，再求出对角线．【详解】解：设这个多边形有n条边，，解得：，∴这个多边形的对角线条数：．故答案为：27．【点睛】本题主要考查了多边形的对角线，解决此类问题的关键是根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列方程求解．多边形过一个顶点引的对角线将多边形分为个三角形，一共有条对角线．16．（2023秋·黑龙江绥化·八年级校考期中）从十二边形的一个顶点作对角线，把这个十二边形分成三角形的个数是，十二边形的对角线的条数是【答案】【分析】根据多边形有的性质一个顶点引条对角线，分成个三角形，总共有条对角线可得答案．【详解】解：由多边形公式可得，十二边形的一个顶点作对角线，把这个十二边形分成个三角形，总共有条对角线，故答案为：，．【点睛】本题考查多边形的性质，解题关键是熟知几个性质．17．（2023秋·河南许昌·七年级统考期末）2022年9月8日，随着列车从郑州港区段鸣笛出发，郑许市域铁路开始空载试运行，未来“双城生活模式”指日可待．图中展示了郑许市域铁路的其中五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备种不同的车票．【答案】20【分析】先求得单程的车票数，在求出往返的车票数即可．【详解】解：5个点中线段的总条数是（种），∵任何两站之间，往返两种车票，∴应印制（种），故答案为：20．【点睛】此题考查了数线段，解决本题的关键是掌握“直线上有个点，则线段的数量有条”．18．（2023·北京·七年级校考阶段练习）表反映了平面内直线条数与它们最多交点个数的对应关系：图形…直线条数234…最多交点个数13=1+26=1+2+3…按此规律，6条直线相交，最多有个交点；n条直线相交，最多有个交点．（n为正整数）【答案】15,【分析】根据观察，可发现规律：n条直线最多的交点是1+2+3+（n-1）．【详解】6条直线相交，最多有个交点1+2+3+4+5=15；n条直线相交，最多有1+2+3+（n-1）＝.故答案是：15，.【点睛】考查了直线，每两条直线有一个交点得出n条直线最多的交点是1+2+3+（n-1）是解题关键.19．（2023·浙江嘉兴·七年级统考期末）若平面内互不重合的4条直线只有3个交点，则平面被分成了个部分．【答案】8或9．【分析】根据题意画出图形即可．【详解】如图，或所以，平面内互不重合的4条直线只有3个交点，则平面被分成了8或9个部分．故答案为：8或9．【点睛】此题考查了相交线，关键是根据直线交点个数的问题，找出规律，解决问题．20．（2023秋·四川自贡·七年级校考阶段练习）已知：四点A、B、C、D的位置如图所示，根据下列语句，画出图形．(1)画直线、射线相交于点O，画线段；(2)图中以字母A、B、C、D、O为端点的线段共有____条．【答案】(1)见解析(2)7【分析】（1）根据直线没有端点，射线有一个端点，线段两个端点画图即可；（2）分别找出以字母、、、、为端点的线段．【详解】（1）解：如图所示；（2）解：以、、、、为端点的线段有：，，，，，，，共7条，故答案为：7．【点睛】本题主要考查了复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．21．（2023秋·四川泸州·七年级统考期末）如图，为直线上一点，，平分．(1)请你数一数，图中有___________个小于平角的角；(2)求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平角定义，数形结合即可数出小于平角的角；（2）由是平角，得到，再根据平分得到，从而由图得到的度数．【详解】（1）解：由图可知是平角，为，图中小于平角的角有，共个角，故答案为：；（2）解：为直线上一点，，，平分，，．【点睛】本题考查数角的个数及求角度，涉及平角定义、角平分线定义、角的和差倍分，数形结合，准确找出各个角之间的和差倍分关系是解决问题的关键．22．（2023秋·山西七年级月考））小明在一条直线上选了若干个点，通过数线段的条数，发现其中蕴含了一定的规律，下边是他的探究过程及联想到的一些相关实际问题.（1）一条直线上有2个点，线段共有1条；一条直线上有3个点，线段共有1+2=3条；一条直线上有4个点，线段共有1+2+3=6条…一条直线上有10个点，线段共有条.（2）总结规律：一条直线上有n个点，线段共有条.（3）拓展探究：具有公共端点的两条射线OA、OB形成1个角∠AOB（∠AOB＜180°）；在∠AOB内部再加一条射线OC，此时具有公共端点的三条射线OA、OB、OC共形成3个角；以此类推，具有公共端点的n条射线OA、OB、OC…共形成个角（4）解决问题：曲沃县某学校九年级1班有45名学生毕业留影时，全体同学拍1张集体照，每2名学生拍1张两人照，共拍了多少张照片？如果照片上的每位同学都需要1张照片留作纪念，又应该冲印多少张纸质照片？【答案】（1）45；（2）；（3）；（4）共需拍照991张，共需冲印2025张纸质照片【分析】（1）根据规律可知：一条直线上有10个点，线段数为整数1到10的和；（2）根据规律可知：一条直线上有n个点，线段数为整数1到n的和；（3）将角的两边看着线段的两个端点，那么角的个数与直线上线段的问题一样，根据线段数的规律探究迁移可得答案；（4）把45名学生看着一条直线上的45点，每2名学生拍1张两人照看着两点成的线段，那么根据（2）的规律即可求出两人合影拍照多少张，再加上集体照即可解答共拍照片张数，然后根据两人合影冲印，集体合影45张计算总张数即可.【详解】解：（1）一条直线上有10个点，线段共有1+2+3+……+10=45（条）.故答案为：45；（2）一条直线上有n个点，线段共有条.故答案为：；（3）由（2）得：具有公共端点的n条射线OA、OB、OC…共形成个角；故答案为：；（4）解：

45×（45-1）+1×45=2025答：共需拍照991张，共需冲印2025张纸质照片【点睛】此题主要考查了线段的计数问题，体现了“具体---抽象----具体”的思维探索过程，探索规律、运用规律.解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意．23．（2023秋·江苏·七年级专题练习）平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点．(1)请画出满足上述条件的一个图形，并数出图形中各直线之间的交点个数；(2)请再画出各直线之间的交点个数不同的图形（至少两个）；(3)你能否画出各直线之间的交点个数为n的图形，其中n分别为6，21，15？(4)请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？【答案】(1)图见解析，有6个(2)见解析(3)见解析(4)①当7条直线都相互平行时，交点个数是0，这时交点最少，②当7条直线每两条均相交时，交点个数为21，这是交点最多【分析】（1）画出满足条件的图形即可；（2）根据题意画出与解析（1）交点个数不同的图形即可；（3）根据题意要求画出交点个数分别为6，21，15的图形即可；（4）从平行线的角度考虑，先考虑六条直线都平行，再考虑五条、四条，三条，二条直线平行，都不平行作出草图即可看出，从画出的图形中归纳规律即可得到答案．【详解】（1）解：解：如图1所示；交点共有6个，（2）解：如图2，3所示：（3）解：当时，必须有6条直线平行，都与一条直线相交．如图4所示：当时，必须使7条直线中的每2条直线都相交（即无任何两条直线平行）如图5所示：当时，如图6所示．（4）解：当我们给出较多答案时，从较多的图形中，可以总结出以下规律：①当7条直线都相互平行时，交点个数是0，这时交点最少，②当7条直线每两条均相交时，交点个数为21，这是交点最多．【点睛】本题主要考查了平行线与相交线，关键是根据一定的规律画出图形，再再根据图形归纳规律．24．（2023·北京市七年级课时练习）如图，线段上的点数与以这些点为端点的线段的总数有如下关系：

(1)当线段上有3个点时，以这些点为端点的线段总共有________条；当线段上有4个点时，以这些点为端点的线段总共有________条；当线段上有5个点时，以这些点为端点的线段总共有________条；(2)当线段上有个点时，以这些点为端点的线段总共有多少条？(3)根据上述信息解决下面的问题：①某学校七年级共有20个班级进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两个班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？②乘火车从站出发，沿途经过10个车站方可到达站，那么在，两站之间需要设置多少种不同的车票（仅考虑车票的起点站与终点站之分）？【答案】(1)3，6，10(2)线段总共有条(3)①该校七年级的辩论赛共要进行190场；②需要设置132种车票【分析】（1）根据线段的定义进行求解即可；（2）根据（1）中的等式，得到以这些点为端点的线段总数共有条；（3）①根据（2）中的结论，进行求解即可；②根据（2）中的结论进行求解即可．【详解】（1）当线段上有3个点时，以这些点为端点的线段总数共有（条）；当线段上有4个点时，以这些点为端点的线段总数共有（条）；当线段上有5个点时，以这些点为端点的线段总数共有（条）．答案：3，6，10（2）当线段上有个点时，以这些点为端点的线段总数共有（条）；因为（条），所以（条）．答：线段总共有条．（3）①当时，（场）．答：该校七年级的辩论赛共要进行190场．②当线段上（除两端点，）有10个点时，∴，，∴车票有（种）．答：需要设置132种车票．【点睛】本题考查图形类规律探究．解题的关键是得到一条线段上有个点，可以得到条线段．25．（2023秋·广东惠州·七年级校考阶段练习）如图，线段AB上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段上有3个点时，线段共有3条；如果线段上有4个点时，线段共有6条；如果线段上有5个点时，线段共有10条；

(1)当线段上有6个点时，线段共有条？(2)当线段上有n个点时，线段共有多少条？（用n的代数式表示）(3)当，线段共有多少条？【答案】(1)15(2)(3)4950条【分析】（1）由已知条件可得出线段上有6个点时的线段数的规律是，即可得出答案；（2）通过观察得知，当线段上有n个点时，线段总数为：，即可得出结论；（3）把代入前面的公式即可得出答案．【详解】（1）通过观察得知：当有3个点时，线段的总数为：；当有4个点时，线段的总数为：；当有5个点时，线段的总数为：；∴当有6个点时，线段的总数为：条．（2）由（1）可看出，当线段AB上有n个点时，线段总数为：（3）把代入前面的公式：条．【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．26．（2023秋·浙江·七年级专题练习）观察思考：

（1）在∠AOB内部画1条射线OC，则图中有3个不同的角；（2）在∠AOB内部画2条射线OC、OD，则图中有几个不同的角？（3）3条射线呢？你能发现什么规律，表示出n条射线能有几个不同的角？【答案】（2）6；（3）10，有个不同的角【分析】（2）根据图1直接数出即可；（3）在图1的基础上看增加的角的个数即得画3条射线时角的个数；依此规律可得在∠AOB内部画n条射线时角的个数．【详解】解：（2）在∠AOB内部画2条射线OC、OD，如图1，则图中有∠AOC、∠AOD、∠AOB、∠COD、∠COB、∠DOB，共1+2+3=6个不同的角；（3）在∠AOB内部画3条射线OC、OD、OE，如图2，在图1的基础上增加了∠AOE、∠COE、∠DOE和∠BOE，共有6+4=10个不同的角；若在∠AOB内部画n条射线，则有个不同的角．【点睛】本题考查了射线、线段和角的基本知识以及规律探求问题，注重类比、找到解题的规律和方法是解答的关键．27．（2023春·广东肇庆·七年级校考阶段练习）观察如图所示中的各图，寻找对顶角（不含平角）：（1）如图a，图中共有＿＿＿对对顶角；（2）如图b，图中共有＿＿＿对对顶角；（3）如图c，图中共有＿＿＿对对顶角.（4）研究（1）～（3）