高中数学-均值不等式及其应用教学设计学情分析教材分析课后反思

《均值不等式及其应用》教学设计

一、教学目标

1.学生通过观察归纳，能够猜想得到均值不等式，体会从特殊到一

般的思维过程，并且能从代数角度给出均值不等式的证明；

2.学生通过自主探究，能够获得均值不等式的几何意义，加深对均

值不等式的认识，强化数形结合的思想；

3.学生通过独立完成一组判断正误的题目，深化理解均值不等式的

结构，认识到均值不等式中的。力可以是两个正实数，也可以是两个

满足条件的表达式，体会整体代换的思想；

4.学生通过思考与讨论，判断利用均值不等式求最值的解题过程是否

正确，从而总结利用均值不等式求最值的条件“一正二定三相等”，

并学会解题步骤进行规范答题；

5.学生根据具体的问题特征，能运用均值不等式及其变形公示求最

大值或最小值，能通过数学建模将生活问题数学化，注重运用数学解

决生活中的实际问题。

二、目标评价

目标1评价：通过归纳、猜想，所有学生都能够获得均值不等式，

每位学生都能够独立完成均值不等式的代数证明，并且能够进行清楚

的展示；

目标2评价：经历自主探究均值不等式的几何意义，所有学生都能够

用自己的语言进行表述；

目标3评价：90%的学生能够通过这3道判断题，理解并掌握均值不

等式的结构特点，并且能够知道均值不等式中的.力可以是两个实

数，也可以是两个表达式；

目标4评价：90%以上的学生能通过小组讨论完成判断利用均值不等

式求最值的解题过程是否正确，并总结利用均值不等式求最值的条

件，并能学会利用均值不等式求最值的解题步骤；

目标5评价：80%的学生能理解均值不等式的变形22夜3b>0）、

ab<^\a,b>0）,并能通过数学建模解决情境中利用均值不等式的

变形公示解决求最值的问题。

三、教学重点、难点

重点：均值不等式的推导证明及其应用；

难点：均值不等式求最值受限条件的理解与应用.

四、教学方法

本节课主要采用启发引导式的教学策略.通过设计问题引入新课,

启发引导学生解决问题、总结问题、论证问题、延拓问题等环节让学

生领悟科学的探究方法，增强学生的探究能力.在教学中指导学生展

开联想，大胆探索，以训练和培养学生的思维能力.

五、教学流程设计

（一）创设情境引入课题

【尝试与发现】

假设一个矩形的长和宽分别为。和人

（1）与这个矩形周长相等的正方形的边长

(2)与这个矩形面积相等的正方形的边长；

(3)比较两个边长的大小.

【学生活动设计】学生独立完成。

【教师活动设计】教师提出问题：如何快速比较两个边长的大小？引

入新课。

【设计意图】通过求矩形中，与矩形周长相等的正方形的边长以及与

矩形面积相等的正方形的边长，让学生比较两个边长大小，引入课题。

(二)探究新知

1、归纳猜想

请同学们给下表中的正数"，虫壬取4组值，然后完成表格.

a+b

ab4aba+b

22与J益的大小关系

(«>0)S>0)

a+b

【问题1】观察亍与痴的大小关系，从中你发现了什么结论?

【问题2］你能给出它的证明吗？

2、得出结论

(1)均值不等式：

(2)均值不等式的变形公式：

3、深化理解

【判断正误】

(1)

x+->2(x>0)

(2)X

-+->2(皿〉0)

(3)ab

【学生活动设计】通过观察归纳获得数学猜想，经过独立思考后

在教师引导下，独立使用作差法进行证明。

【教师活动设计】引导学生有条理的思考问题，投影讲解证明,

并强调等号成立的条件.

【设计意图】通过问题引导使学生能有条理地表达自己的思考过

程，体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨及数学结论的确

4、自主探究深化认识可

几何意义1:

如果矩形的长和宽分别为。力，那么矩形的面积为,

尸+42

F可以看成.

均值不等式的一个几何意义为,

(2)几何意义2：

认识基本不等式的几何背景

观察右图，

线段AB=a+4使AC=a,CB=b.

以A3为直径作圆。；

过。点作8,A3于。，交圆于点〃

连接A。,30,0。

【问题3](1)图中线段。。、的长度分别是多少？

(提示：射影定理的相关结论：直角三角形ABC中，CD-LAB,IJII]

CD2=AD*BD

(2)。。和8的大小关系如何?

(3)等号何时成立？

【教师活动设计】几何画板动态演示说明，引导组织学生的回答

问题;

【学生活动设计】独立完成问题3,小组讨论交流结果；

【设计意图】通过自主探究培养学生数形结合的意识，并使抽象

的问题更加直观、形象，使学生进一步加深对均值不等式的理解。由

于学生对初中所学射影定理有所遗忘，为了使学生的注意力不要过多

的放在求解CD的长度上面，所以直接提示用射影定理求出CD的长度。

由于是静态图形不如动态更能说明均值不等式。

5、利用均值不等式求最值

【思考与讨论】

1.判断下列解题过程是否正确，如果不正确请指出错误原因；

⑴求y=x+Lx<0）的最小值.点评：

x+->2.X--

解：X

当且仅当x=T时取等.

所以函数最小值是2.

y=x-\----(X〉2)

(2)求.a2的最小值.

x+---->2.

所以》-2

X~~,

当且仅当尤-2即x=3时取等.

所以函数最小值是6.

y=x+—(x>3)

(3)求.x的最小值.

解：因为％之3

1「1~r「

x4—22jx—=2.

所以XYX

所以函数的最小值为2.

（1）通过以上问题你能得出用均值不等式求最值需要满足的条

件吗？

（2）将上面的“思考与讨论”的（3）改为求y=x+‘（x〉O）的最

X

小值，如何写解题过程？

【教师活动设计】组织学生回答问题，引导学生利用均值不等式

求最值的条件，规范学生的解题步骤。

【学生活动设计］先独立思考，然后小组讨论，总结利用均值不

等式求最值的条件，并能完整写出问题（2）的解题步骤；

【设计意图】让学生知道均值不等式在最值方面的应用，通过辨

析解题过程是否正确，总结均值不等式求最值的条件，并由此规范解

题步骤。

例（1）一个矩形的面积为100，问这个矩形的长、宽各为多

少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？

（2）已知一个矩形的周长为36,问这个矩形的长、宽各为多

少时，它的面积最大？最大面积是多少？

总结：

均值不等式可以解决两类问题求最值的问题：

当两个—的积为叱它们的和有;即.

当两个——的和为——叱它们的积有;即.

【教师活动设计】引导学生使用均值不等式的变形进行求最值。

强调“一正二定三相等”，同时让学生体会数学服务于生活，解决生

活中的问题。

【学生活动设计】独立尝试使用均值不等式完成例，通过思考题

掌握均值不等式另外一个重要的变形，并使用它解决相关问题。

【设计意图】课本中对求最值是直接在例2中给出“积为定值,

求和的最小值”与“和为定值，求积的最大值”两种题型，但学生们

往往贪多嚼不烂，两种题型都没掌握好，所以在这设计了一个一个的

来解决，问题针对性越强，解决问题的方向越明确。

（三）课堂小结

请用思维导图总结本节课所学习的内容。

【教师活动设计】引导学生自我总结，再在黑板用思维导图带领

学生共同完成本节课的知识总结。

【学生活动设计】以思维导图的形式完成总结；

【设计意图】通过思维导图梳理知识，使得更有条理，有利于建

立学生的认知结构。

（四）推广:

想一想:

所有周长相等的矩形中，正方形的面积最大。所有周长相等的三

角形，什么样的三角形面积最大？平面上周长相等的所有封闭图形中,

什么样的图形面积最大？

（五）当堂检测

A组（基础题）

1、若％,丁>°；

（1）当孙=16时-，贝的最____值为,此时》=；

y=.

（2）当x+y=8时，则肛的最—值为,此时犬=；

y=.

f（x）=y/x+~y=（X>0）

2、求函数G的最小值，以及此时X的值.

B组（提升题）

Y2+4

/（x）=--------（x>0）

求函数X的最小值，以及此时X的值。

【学生活动设计】学生独立完成后对照大屏幕订正答案。

【教师活动设计】投影一名学生答案。

【设计意图】既可以使学生了解自己通过本节课的学习所存在的

不足，也可以让教师了解学生的掌握情况，以便为下节课做出更合理

的安排。

（六）课后作业

课本第76页练习A1、3,练习B2、4

【设计意图】作业包含了基础题目（课本练习）、提升题目（思

考题）和探究题三部分，基础题目可以使学生对本节课的学习进行巩

固，提升题目又可提升一部分优等生的能力，探究题目可以开阔学生

研究数学的视野，不要局限于课堂，而且方程（xr）（x-b）=°也没有超

出学生的理解范围。

六、板书设计

均值不等式

一、均值不等式三、应用

Va,0>0,利用均值不等式求最值

丝，®

2条件：“一正二定三相等”

算数平均值几何平均值四、总结

当且仅当时，等号成（思维导图）

立。

变形：

（1）a+b>2-Jab（a,b>0）

（2）ab<（^^）2（七。〉0）

2

学情分析

基于课程标准、教材，对学生学情分析如下：

1.从学生知识层面看：学生对不等式的概念和性质有了感性的认识，

在探究学习和应用实习的过程中，会解决最简单的关于不等式的问题,

会用作差法证明不等式.

2.从学生素质层面看：学生的运算能力有待提高，不过学生逻辑思维

能力较好，他们希望能够自己探索、发现问题和解决问题，增强数学

应用意识，提高分析问题、解决问题的能力.他们更需要充满活力与

创造发现的课堂.

效果分析

1.注重知识的形成过程

本节课由矩形问题导入新课，先让学生表示与矩形周长相等的正方形

的边长以及与矩形面积相等得正方形的边长，然后通过比较两个边长

的大小关系。学生通过代入数值猜想结论，然后利用作差法证明，最

后推出均值不等式。用符号语言和文字语言分别表述了均值不等式，

又利用数学软件探究了均值不等式的几何意义，从数和形两个方面研

究了均值不等式。通过一系列活动，让学生能深刻理解并掌握均值不

等式，很好地完成课程标准的要求。

2.注重数学思想方法的渗透、核心素养的培养

学生通过代入数值猜想结论，然后利用作差法证明，最后推出均值不

等式，体现了由特殊到一般的数学思想方法。整节课以数和形为主线,

引导学生从代数和几何两个方面认识均值不等式，体现了体现了数形

结合的思想方法。在最后的应用题中，均值不等式在几何中的应用，

首要问题是将相关陈述用数学符号表示出来，注重培养学生的数学建

模素养。

3.目标达成度较高

本节课所授内容基本与预设效果一致，重点突出，难点突破。在问题

的引入、讲解以及应用的处理方法、时间安排都把握的比较好。从学

生课堂表现，学生总体效果较好,课堂氛围活跃，学习积极性非常高。

从课后评测练习的结果可以看出，本节课很好地完成教学目标。

《均值不等式及其应用》教材分析

本节课《均值不等式及其应用》是人教B版第一册第二章第二单

元第四节的内容，是在学习了“等式”、“不等式及其性质”、“不等式

的解集”以及“一元二次不等式的解法”的基础上对不等式的进一步

研究，有利于学生对后面不等式的证明及前面函数的一些最值、值域

进一步拓展与研究，起到承前启后的作用.本节的主要内容是在给出

算数平均值和几何平均值的概念之后，探索并证明了均值不等式，给

出了均值不等式的几何意义，在此基础上，通过例题引导学生理解均

值不等式在求最值和证明不等式中的作用。

教材中的例1与例2均包含了整体代入的思想，在授课时我没有

当做例题进行详细讲解，而是将它们作为判断正误，让学生自己辨析

是否为均值不等式的结构，体会整体代换的思想。本节课重点讲解了

均值不等式在具体情境中求最值的应用。首先通过三道判断解题过程

是否正确，学生通过辨析，总结利用均值不等式最值的三个条件，同

时规范学生的解题步骤。

《均值不等式及其应用》课后评测练习

一、单选题

1.不等式TQ+（x-2）26（其中x>2）中等号成立的条件是（）

X—Z

A.x=5B.x=-3

C.x=3D.x=-5

2.3x>0,使得Lx-aWO,则实数a的取值范围是（）

X

A.a>2B.a>2C.a<2D.a<2

3.给出下列条件：①a/?>。；②HvO；③a>0,b>0；④a<0,b<0.

其中能使2+成立的条件个数为（）.

ab

A.1B.2C.3D.4

4.下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是（）.

2

A.x+y>2\[xB.x+l>2xC.21,<।D.x+—>2

X+1X

5.不等式（x-2y）+；N2成立的前提条件为（）.

A.x>2yB.x>2yC.x<2yD.x<2y

6.已知a>0,b>0,且2a+h=4,则aS的最大值为（）

A.yB.4C.-D.2

42

7.周长为12的矩形，其面积的最大值为（）

A.6B.7C.8D.9

8.函数y=x+'+6（x>0）的最小值为（）

X

A.6B.7C.8D.9

二、多选题

9.下列表达式的最小值为2的有（）

A.当=寸，a+b

B.当曲=1时一，-+y

ab

Cacr—2a+3

2

D.7a+2+-7=X=

J矿+2

10.设aSeR,则下列不等式一定成立的是（）

22C.从+lN力D,削去2

A.a+b>2ahB.a+-a^2

11.下列判断第送的是（）

A.x+L的最小值是2B.｛菱形｝n｛矩形｝=｛正方形｝

X

C.不等式|x-1|<2的解集为［0,引D.如果“<力<0,那么/

12.下列求最值的运算中，运算方法错误的有（）

A.当x<0时，x+-=-(-x)+—<-2.(-x)---=-2,故x<0时，的最

x_X」V—X

大值是-2.

B.当X>1时，x+^—>2lx-^-,当且仅当x=取等，解得x=-l或

x-1Vx-]x-\

2,

2

又由X>1,所以取x=2,故x>l时-，的最小值为2+丁;-4

Z—1

QQIQ-

C.由于+——-=x2+4+——--4>2.(x2+4)•——--4=2,

x+4x+4Vx+4

故r+目的最小值是2

x+4

D.当x,y>0,且x+4.y=2时，由于2=x+4”2jx.4y=4^/药,y/xy<,

11111_22_,,

=故当—>。，且x+4y=2时，(］的最

小值为4

三、填空题

13.设0<a<b<l,则四个数2J拓，2ab,a+b,〃+力2中最小的是

14.若x>0、y>0,且x+y=l,则x•y的最大值为.

15.已知x>0,y>0,x+2y=20,则冲的最大值是.

16.若x>0,则/(x)=4x+\的最小值为.

四、解答题

17(1)把49写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的

和最小？

(2)把12写成两个正教的和，当这两个正数各取何值时，它们

的积最大？

4

18.求函数y=x+1(尤<。)的值域.

参考答案

1.A

【解析】

【分析】

根据基本不等式等号成立的条件可知，当二=>2时等号成立.

x-2

【详解】

当x>2时，-^+(x-2)>2^-^-(x-2)=6,

等号成立的条件是々=》-2,

x-2

(X-2)2=9,解得：x=5.

故选A.

【点睛】

本题考查基本不等式，利用基本不等式求最值，需满足“一正，二定,

三相等”，常用不等式包含。2+〃之2ab,a+b>2\[ab(«>0,b>0),

2.B

【解析】

【分析】

先由Lx-八0分离参数得到求出Lx的最小值即可.

XXX

【详解】

因为_L+x_aM0,所以。，+北2、匹=2,当且仅当x=l时，取等号,

XX\X

所以只需故选B.

—16―

【点睛】

本题主要考查利用基本不等式处理不等式成立的问题，属于基础题

型.

3.C

【解析】

【分析】

由均值不等式的前提需“一正、二定，三相等"，能使2+成立,

ab

则需匕同号，再逐一判断即可得解.

【详解】

解：由均值不等式的前提需“一正、二定，三相等"，即当£均

ab

为正数时，可得2此时只需6同号即可，所以①③④均满

ab

足要求.

故选：C.

【点睛】

本题考查了均值不等式成立的前提条件是“一正、二定，三相等”，

属基础题.

4.C

【解析】

【分析】

取特殊值可得选项A,B,D不恒成立，由Y+121可得选项C对应的不

等式，41恒成立，得解.

【详解】

—17—

解：对于A,当x<0时，根式无意义，故A不恒成立；

对于B,当x=l时，X2+1=2X,故B不恒成立；

对于C,%2+1>1,所以」成立，故C成立；

对于D,当x<0时，x+-<2,故D恒不成立，

X

即对任何实数X都成立的一个式子是一匚41,

X+1

故选：C.

【点睛】

本题考查了均值不等式的前提，重点考查了运算能力，属基础题.

5.B

【解析】

【分析】

由均值不等式成立的前提条件是“一正、二定，三相等”，结合此条

件即可得解.

【详解】

解：由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成

立的前提条件是各项均为正数，所以不等式（》-2），）+」厂22成立的

X-Ly

前提条件为x-2y>0,即x>2y.

故选：B.

【点睛】

本题考查了均值不等式成立的前提条件是“一正、二定，三相等”，

属基础题.

—18―

6.D

【解析】

【分析】

由基本不等式可构造关于仍的不等式，解不等式求得结果.

【详解】

«>0,b>0,2a+b=4N212ab(当且仅当2a时取等号)

：.2ah<A,解得：ah<2,即时的最大值为2

故选：D

【点睛】

本题考查利用基本不等式求解最值的问题，属于基础题.

7.D

【解析】

【分析】

设矩形的长宽分别为x,%可得2(x+y)=12,化为x+尸6,利用

5=初'(岩j即可得出结果.

【详解】

设矩形的长宽分别为x,y,

则2(x+y)=12,化为x+y=6.

・•・S=x%(昼J=9,当且仅当产产3时取等号.

因此面积的最大值是9.

故选：D.

—19

【点睛】

本题考查利用基本不等式求最值，注意认真计算，准确运用公式，属

基础题.

8.C

【解析】

【分析】

直接利用均值不等式得到答案.

【详解】

y=x+-+6(x>0)>2x--+6=8,x=l时等号成立.

XVX

故答案选C

【点睛】

本题考查了均值不等式，属于简单题.

9.BC

【解析】

【分析】

对式子变形,利用基本不等式的的性质即可求得.

【详解】

解：①对选项A,当均为负值时，。+)<0,故最小值不为2;

②对选项B,因为灿=1,所以。力同号，所以2>04〉0,

ab

所以2+/.2\陌=2,当且仅即a=b=±l时取等号，故最小值为

ab\aba”

2；

——20——

③对选项C,a2-2a+3=(a-l)2+2,当。=1时，取最小值2;

④对选项DJQ2+2+-/:”-2卜/+2,J-=2,

ICT+2yyCl4-2

当且仅当二，即时，取等号，但等号显然不成立，

\Ja-+2Y+2=1

故最小值不为2.

故选:BC

【点睛】

本题考查基本不等式的应用，要注意“一正，二定，三相等”.

10.ACD

【解析】

【分析】

逐一分析选项，验证基本不等式的使用是否成立.

【详解】

A.当a,beR时，成立，故A正确；

B.当a>0时，“+,等号成立的条件是a=l,当a<0时，a+-<-2,

〃a

等号成立的条件是a=-1,故B不正确；

C.当人eH时，从+1_抄=(人I/?。，所以"+]220,故C正确；

D.g>0,|>0,所以目+1卜2j\x*=2,等号成立的条件是当且仅

当2=2,即/=〃，故D正确.

ab

故答案为：ACD

【点睛】

—21

本题考查判断基本不等式使用是否正确，意在考查基本公式的简单应

用，属于基础题型.

11.AC

【解析】

【分析】

对A利用基本不等式的知识分析判断;对B利用交集的定义分析判断；

对C利用解不等式分析判断；对D利用不等式的性质分析判断得解.

【详解】

对选项4当X<O时，X+，为负数，故力错误；

X

对选项用｛菱形｝n｛矩形｝=｛正方形｝,故方正确；

对选项C,不等式|x-1|<2的解集为11,3］，故C错误；

对选项。，若则-0>-0>0,所以a2>02〉0,所以，故

〃正确.

故选：AC

【点睛】

本题主要考查基本不等式和解不等式，考查集合交集和不等式的性质,

意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

12.BCD

【解析】

【分析】

利用基本不等式使用条件，取等号的条件和利用基本不等式求最值的

方法，逐项判定，即可求解.

—22—

【详解】

对于A中，根据基本不等式，可判定是正确的；

对于B中，当x>l时，x-l+—+l>2J(x-l)--+1=272+1,

x-1Vx-1

当且仅当X-1=上7取等，即》=夜+1时，最小值为2夜+1,所以B不

x-l

正确；

对于C中，由于炉+^~7=-2+4+^7—422而+4).^^—4=2,

x+4x+4Vx+4

Q

当且仅当/+4=方,即/+4=3时，此时不成立，所以C项不正确；

对于D中，两次基本不等式的等号成立条件不相同，第一次是x=4y,

第二、次是x招,所以不正确.

故选BCD.

【点睛】

本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使

用条件和等号成立的条件，以及基本不等式求最值的方法是解答的关

键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

13.2ab

【解析】

【分析】

根据基本不等式，先得到a+b>2j石，a2+b2>2ab,再由作商法，比

较2J法与2",即可得出结果.

【详解】

因为0<a<A<l,所以a+>>2j拓，a2+b2>2ab,

—23—

又2\［ab=।'所以>2ab,

综上，2必最小.

故答案为：2ab

【点睛】

本题主要考查由不等式性质比较大小，熟记不等式的性质，以及基本

不等式即可，属于常考题型.

14.-

4

【解析】

试题分析：x>0,y>0,则％+y>26^即1>2^/xy,所以

:哪甘—I=—

k*4当且仅当％=y=［时取"=所以%y的最大值为1.

考点：基本不等式.

15.5()

【解析】

【分析】

利用配凑法，结合基本不等式，求得孙的最大值.

【详解】

依题意刈=1上2^<、卜聚口2=」(次［=50,当且仅当x=2y=10时等

号成立.故口的最大值为50.

故答案为：50.

【点睛】

本小题主要考查利用基本不等式求最大值，考查化归与转化的数学思

—24—

想方法，属于基础题.

【解析】

【分析】

直接利用基本不等式求函数的最小值.

【详解】

•.”>0,

•••4x+4N2、rJ