人教版数学 (七升八) 暑假预习课：整式的乘法与因式分解 学案

八上数学《整式的乘法与因式分解》暑假预习课

（基础）知识讲解学案

【学习目标】

1.掌握整数幕的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或

除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；

2.掌握乘法公式（平方差公式和完全平方公式），能利用公式进行乘法运算；

3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；

4.掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一

般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、幕的运算

1.同底数累的乘法：a2=bW〃为正整数）；同底数幕相乘，底数不变，指数相加.

2.塞的乘方：（打=产5,〃为正整数）；基的乘方，底数不变，指数相乘.

3.积的乘方：（ab^=aV（〃为正整数）；积的乘方，等于各因数乘方的积.

4.同底数塞的除法：=a"T（。#0，加，〃为正整数，并且相＞〃）.

同底数幕相除，底数不变，指数相减.

5.零指数幕：a°=1（。。0）.即任何不等于零的数的零次方等于1.

6.负指数幕：。一"=＜（。/0,〃为正整数）.任何不等于0的数的一〃次幕，等于这个数的〃次幕的倒数.

【同步练习】

选择题

1.计算的x3乘以X?结果是（）

A.x6B.6xC.x5D.5x

2.a"-a”+2的值是（）.

A.an+3B.a"(n+2)C.aD.ci

3.下列计算正确的是（）.

.224

A.x+x=xB.x3-x-x4=x7

C."=废D.

4.下列各题中，计算结果写成10的基的形式，其中正确的是（）.

A.100X1()2=103B.1000X1O'°=1O3(,

C.100X1()3=105D.100X1000=104

5.下列计算正确的是（）.

A.（孙丫=孙3B.(-5肛2J=_5卷4

C.(-3/)2=—9/D.(-2孙»=-8x3y6

6.若（2a%"丫=8,皆成立，则（

).

A.772=6,n=12B.m=3,n=12

C.m=3,n=5D.m=6,n=5

二.填空题

7.已知5、=6,5y=3,贝115*+2¥=.

8.若(a，)'=,则x=_

9.已知。3"=5,那么酒―.

10.若则加=.若33句=81,则X=

1L[(一2)[3=-----；[(—〃)'[=------；(-32)5=

12.若n是正整数，且/"=10,则(。3")2一8(一。2产=

三.解答题

13.(1)若—+3=产,求〃的值.

(2)若(废石"2丫=/尸5,求利、〃的值.

要点二、整式的乘法

1.单项式乘以单项式

单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连

同它的指数作为积的一个因式.

2.单项式乘以多项式

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即

m(a+b+c)=zna+〃坊+加0(/〃,。,匕,0都是单项式).

3.多项式乘以多项式

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即

(^a+b^m+tz)=am+an+bm+bn.

要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“+”“一”号是性质符号，单项式乘

以多项式各项的结果，要用“+”连结，最后写成省略加号的代数和的形式.根据多项式的乘法，能得出

一个应用比较广泛的公式：(工+“乂%+人卜丁+(。+人卜+".

【巩固练习】

一.选择题

1.下列算式中正确的是().

A.3a3-2a*=6a('B.2x3-4%5=8x8

C.3x-3x4=9x4D.5/-5/=10y14

2.2)的结果是().

21

A

142।33

.一mnxB.—m3/?3C.—mnxD.---/x

2222

3.下列各式计算正确的是()

A.x(x2-x-l)=x3-x-1B.ab(a+b)=a2+.1b2

C.3x(x2-2x-1)=3x'-6x2-3xD.-2x(x2-x-1)=-2xJ-2x?+2x

4.已知(2x+l)(x-3)=2d-znr-3,那么机的值为().

A.-2B.2C.15D.5

5.要使x(x+q)+3无一=+5%+4成立，则。，b的值分别是().

A.a=-2,b=—2B.a=2fb=2

C.a=2,b=—2D.a=—2,h=2

6.设M=(x—3)(x—7),N=(x-2)(x-8),则M与N的关系为().

A.M<NB.M>NC.M=NI).不能确定

二.填空题

7.己知三角形的底边为(6。-加)，高是(-2〃+6。)，则三角形的面积是

8.计算：①(x+2)(x+3)=；②(x+3)(x+7)=；

③(x+7)(x-10)=_；④(x-5)(x-6)=_____.

9.方程2%(1—1)一工(21—5)=12的解为...

10.x(y-z)-y(x-z)+z(x-y)=.

11.若化简(ax+3y)(x-y)的结果中不含xy项，则a的值为.

12.若刈=2,x+y=3,则(x+l)(y+l)=.

三.解答题

14.解下列各方程.

(1)2y(y+l)-y(3y-2)+29=产2

(2)5(%24-%—3)—4x(6+x)+x(-x+4)=0

15.化简求值：

(1)+其中x=T・

(2)3%2(2%2—x+1)——4d+2x),其中x=-1.

要点三、乘法公式

L平方差公式：（。+份（。一份=/-巨

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

要点诠释：在这里，a,8既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.

平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相

反项”的平方.

2.完全平方公式：（。+8）2=。2+2帅+〃；（a-b）2=a2-2ab+b2

两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.

要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或

减）这两数之积的2倍.

【巩固练习】

一.选择题

1.在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（）

A.（加-〃）（-〃?+n）B.（关3—）0）（X，+y3）

C.（-a-h）（a-b）D.（c2-c72）（j2+c2）

2.若x+y=6,x-y=5,则/一等于().

A.11B.15C.30D.60

3.下列计算正确的是().

A.(5—=nr-25B.(1—3m)(l+3/?7)=1-3m2

C.(T-3〃)(T+3〃)=-9z?+16D.(2ab-n){2ab-\-n)=4ah2—n2

4.下列多项式不是完全平方式的是().

12

A.x2-4x-4B.—+

4

C.9a2+6ab+b2D.4/+121+9

5.已知关于x的二次三项式4x2-mx+25是完全平方式，则常数m的值为（)

A.10B.±10C.-20D.+20

6.下列等式不能恒成立的是().

A.(3x-=9x2-6xy+y2B.(Q+=(C-Q-〃『

1、2122

C.(z-m-n)=—m—mn+D.(x-y)(x+y)(x2-y2)=x4-/

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二.填空题

7.若x?+2ox+16是一个完全平方式，则°=

8.若9d+4y2=(3x+2yJ+M,则M=..

9.若x+y=3,xy=l,则％2+/2=.

10.(2015春•陕西校级期末)(1+x)(1-x)(1+x2)(1+x4)=

11.5(x-2)(x+2)-(2x-l)2=.

12.若(x—l)2=2,则代数式犬-2x+5的值为.

三.解答题

13.先化简，再求值：3(a+1)2-5(。+1)(4-1)+2(。—1产，其中。=3.

14.已知：«+9=25,%+了=7,且x>y，求X-)'的值.

要点四、因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这

个多项式分解因式.

因式分解的方法主要有：提公因式法，公式法，分组分解法，十字相乘法，添、拆项法等.

要点诠释：落实好方法的综合运用：

首先提取公因式，然后考虑用公式；

两项平方或立方，三项完全或十字；

四项以上想分组，分组分得要合适；

几种方法反复试，最后须是连乘式；

因式分解要彻底，一次一次又一次.

【巩固练习】

一.选择题

1.下列各式变形中，是因式分解的是()

,(1A

A.a?—2。。+—1=(a—Z?)-1B.2x?+2x=2x〜1H—

Ixj

C.(x+2)(x—2)=f-4D.x4-l=(x2+l)(x+l)(x-l)

2.多项式6ab2c-3a?2bc+l2a2b之的公因式是()

A.abcB.3a2b2C.3a2b2cD.3ab

3.多项式。〃一+,+2分解因式的结果是()

A.cin4-jB.a"

C.4〃(1—/〃+/)二屋(1一。3+。〃)

4.分解因式(2x—5)+y(5—2x)的结果是()

A.(2x-5)(l+y)B.(2x—5)(1—

C.(5—2x)(l+y)D.(5—2x)(1—y)

5.下列因式分解正确的是()

A.m(a