中学数学开放题设计及教学策略

内容摘要

中学数学新课程新课本已经大量的引入了数学开放题，这不但早已是数学教诲

家存眷的一个热点，并且正逐步成为宽大一线数学西席所必须面对的一个讲授方面

问题。因为数学开放性问题的非完整性、不确定性、发散性、条理性、创新性等特

点顺应了新课程改造的理念，顺应了新课程中问题解决的需要。

数学开放题有助于培养学生思维的深刻性、辽阔性、灵活性、缜密性、创造性

和批判性；能引起学生认知结构上的顺应，从而使学生认知结构产生质的变革，使

他们的知识水平和数学能力得到较洪流平的提高；能引发学生学习数学的兴趣，使

学生乐于参加，久而久之就会成为学生主动学习的动力；有利于培养学生的创新意

识与创新能力。数学开放题的诸多特点决定了数学开放题在教诲讲授中的诸多代价。

开放题的挑战性有利于引发学生的好奇心和求知欲，开放题答案的多样性使学生可

在差别水平的答案的交换中配合讨论，相互学习，不绝优化，最后得出较好的答案,

从而培养学生精益求精、不绝探索、追求卓越的精神，并提高解题的能力。陪同着

问题的解决，学生解决问题的思路越发开阔，信息流量越发富厚，知识结构越发完

善，适应社会的能力不绝提高。在开放学习的历程中，经过差别角度差别要领的阐

发、推理的训练，培养了学生综合思维的能力。而这种能力是学生继承学习的后推

动因素，这对学生未来走上社会后公道处理惩罚问题是至为要害的，这正是新课程

理念下教诲追求的结果。

开放题讲授作为一种新的讲授形式，能够变更学生学习的积极性，引发学生的

学习兴趣，拓展学生的思维空间，有利于培养学生的表述能力和批判、评价能力，

有利于提高学生应用数学的能力等。开放题在数学讲授中的应用，它还直接干系到

学生的数学观及其在数学学习中的态度和信念，这些都与当前素质教诲的要求是相

吻合的。因为开放题讲授不但是一个知识得到的历程、能力得到的历程，更是一种

学生数学素养和人文精神形成的历程。

数学开放题是相对付封闭题的，是一种比力新颖的题型，它时常出现在中考、

高考中，同时也现身于少少部分西席的课堂中，它具有不完备性、发散性、条理性、

生长性、创新性、综合性等特点。

本文在阐发中学数学开放题及其讲授的相关理论底子上，重在对中学开放题的

设计进行论述，为中学数学讲授准备具体的素材。然后以学生为中心，凭据建构主

义，认知理论和最近生长区来探讨中学数学开放题的讲授，结合具体的讲授内容在

实践中体验，总结归纳。以便积聚较多的实例，以期为中学数学开放题讲授提供一

些借鉴。

中学数学开放题设计及讲授战略

1中学数学开放题提出的配景

国际数学教诲的生长经历了多次改造运动，从60年代的“新数运动”到70年

代的“回到底子”递到80年代的“问题解决”，可以说是“历尽坎坷”。与此同时，

也就是这种风雨经历造就了70年代出现的一种新型问题一一数学开放题。

几经转侧，数学开放题进入我国，经历了从理论的引入到讲授的实验，到大面

积的推广，最终走进了种种类型的数学考试或考试。种种考试中，不少学生对此类

题体现出束手无策，以致放弃这类题去花更多的时间和精力霸占难度更大更繁的问

题。同时，不少老师也深感此类问题不知如何进行处理惩罚，致使以题论题，不能

放开思维而拓广。

在平常的讲授中，许多老师还没有很好的进行开放性问题讲授或开放课堂讲授，

甚至另有部分老师对开放题的代价持否定态度，将开放性思维与思维的严谨对立起

来。现在的新课程改造中，致使许多老师明显不适应新课标，新课本的讲授，感触

十分迷茫。这中间不乏对新课程中的开放性问题及其讲授的无所适从，也存在自己

思维的不适应。

在新课程改造的实践中，我曾参加一些运动，到不少学校听了一些实验的课堂，

大家都知道新课程理念提出将开放性问题引入课堂，有利于生长学生思维的发散性,

培养学生的创新意识。因此，在课堂讲授中或多或少地都市引入一些开放题。

曾经在某校遇到这样一个关于开放性问题的研讨：

在小学一节“数的整除”温习课的课尾，某西席设计了这样一个题目：在1、2、

4、15和28中，哪个数与众差别？在西席的引导下，学生纷纷答复：因为只有2是

质数，所以2与众差别；因为只有28是4的倍数，所以28与众差别；因为只有4

比1多3,所以4与众差别；因为只有15的十位上是1,所以15与众差别。西席随

机小结：由此可见，每个数都与众差别，你们的每一种想法都是正确的。

课后，听课老师纷纷议论。有的说：本课引入了开放题，学生们个个踊跃参加，

学习积极性明显提高，体现了“面向全体学生”这一新理念。有的说：这个题目设

计得太好了，能让学生热爱问题答案的多样性，有利于打开学生的思路，培养学生

的能力。另有的说：我觉得这个题目设计欠妥，将“开放性”转酿成了“随意性”，

有悖于我们的讲授目标。更有的老师说：这样的开放太太过了，会让学生陷入“任

何一种解答都是可以担当的”这一误区……

由此我与新课改的相关研究员对老师就有关开放性问题进行了一次调盘问卷，

如表lo

表1数学开放题与其它题型的比力阐发

题型答案选项及各选项被选中的百分比

A.一题多解是对封闭B.一题多解题可算作C.开放题肯定是一题

1.开放题与题而言的开放题多解题

一题多解

4人选A,占16.7%2人选B,占8.3%18人选C,占75%

A.开放题必是分类讨B.分类讨论题肯定是C.开放题与分类讨论

2.开放题与论题开放题题有区别

分类讨论题

8人选A,占33.3%10人选B,占41.7%6人选C,占25%

A.两者没什么区别B.探索题是开放题C.开放题必是探索题

3.开放题与

探索题

17人选A,占70.8%3人选B,占12.5%4人选C,占16.7%

B.问题答案必是问题C.两者是两个差别条

A.两者没有什么区别

4.开放题的结论理的问题

结论与答案

15人选A,占62.5%5人选B,占20.8%4人选C,占16.7%

A.开放题与封闭题两B.开放题是对封闭题C.开放题的育人成果

5.开放题与者相互排斥的相对增补比封闭题大

封闭题

4人选A,占16.7%17人选B,占70.8%3人选C,占12.5%

A.应大力大举增强B.应适当增加C.不宜增强

6.开放题在

讲授中

8人选A,占33.3%9人选B,占37.5%7人选C,占29.2%

由上表可以看出，西席对开放题的具体情况认识不敷，对开放性问题的运用等

还存在一定的偏差，较以前对开放性问题的作用有一定的认可，但对开放到什么水

平，与传统的封闭性问题怎样结合运用开发学生的思维，对开放题的具体代价等还

不十分了解。但是，随着教诲改造的深入生长，新课程改造的逐步实施，数学开放

题的教诲代价日益突出，新的课程标准已为数学开放题的讲授搭建了平台，新课程

高考也即将随之进入西席的讲授中。因此，有须要对开放性问题及其讲授的代价和

操纵予以总结介绍，以便顺利进入平常课堂，真正发挥其应有的作用。

2中学数学开放题的根本认识

目前，中学数学新课程新课本已经大量的引入了数学开放题，这不但早已是数

学教诲家存眷的一个热点，并且正逐步成为宽大一线数学西席所必须面对的一个讲

授方面问题。因为数学开放性问题的非完整性、不确定性、发散性、条理性、创新

性等特点顺应了新课程改造的理念，顺应了新课程中问题解决的需要。

2.1中学数学开放题的产生

2.1.1中学数学开放题的国际表面

上世纪60年代以后，随着声势浩大的“新数运动”的急剧衰落，数学“回到底

子”迅速成为70年代的主题，数学开放题在这种阵痛后的冷静与理性中应运而生。

1971年，日本学者岛田茂、桥本吉彦、泽田利夫等27人率先研究“开放式结尾(open

-ended)问题”，并于1977年颁发了陈诉文集《算术、数学课的开放式问题一一改

进讲授的新方案》。至80年代，一方面“问题解决”成为数学教诲的主题，另一方

面以布鲁纳为首的教诲家将建构主义引向深入，在此配景下，开放性问题迅速成为

数学教诲的一面旗帜。同时，新西兰等国度也对开放性问题进行了卓有成效的讲授

实验和理论阐发。可以说，从首开先河的日本到美国递至新西兰等国度对开放题的

实践探索和理论研究，直接促进了数学开放题的成熟并使之迅速成为一种国际潮流。

2.1.2中学数学开放题在国内的生长

在我国，数学开放题从理论的引入到讲授的实验递至大面积进入数学考试，大

要上经历了几个历程。

1980年，《外国教诲》(第4期)颁发了泽田利夫关于数学开放题的研究结果，

其内容包罗开放题的涵义、开放题的举例以及开放题讲授的优缺点等问题，该文拉

开了我国研究数学开放题的序幕。1984年，浙江教诲学院戴再平传授首先运用开放

题进行测试，测试发明：知识和技能的堆砌与学生的创造思维没有一定的联系。1988

年，王慧斌在《外国教诲资料》上介绍了日本的开智法，其中也涉及到数学开放题

的一些知识，如开放题应该具备的条件等。

1990年，胡林瑞对安徽省黄山市一所中学的学生也进行了数学开放题的测试。

并得出以下结论：①高中生的发散性、创造性思维与初中生没有区别；②底子知识

和根本技能的增长不能作为创造性思维能力生长的充实条件，但却是创造性思维生

长的须要条件；③学生的底子知识不一定能自然地转化为能力。1994年，胡启迪写

文章也介绍了日本的一堂开放题讲授课。

1993年，戴再平又在浙江省五所中学运用数学开放题进行讲授试验，试验发明：

①在中学适当增加开放题是须要的；②开放题与封闭题应该并存而不是相互排斥；

③开放题所包罗的事件应为学生所熟悉，通过学生现有的知识能够解决；④开放题

能使学生得到各不相同的种种水平的解答；⑤开放题应体现学生的主体职位；⑥开

放题应注重学生的探索历程。1994年，湖南省教研室赵雄辉运用数学开放型应用题

进行了实验，实验认为：①学生对开放型应用题非常欢迎；②开放型应用题有利于

培养学生运用数学的意识和探索的精神。至此，中学数学开放题讲授试验开始遍及

进行。

1996年2月，“开放题一一数学讲授的新模式”立项（1997年得到批准）为全

国教诲科学“九五”筹划重点课题。1998年11月，课题组在上海金汇学校召开“数

学开放题及其讲授学术研讨会”，此次聚会会议扩大了国际交换并形成一些理论认

识。别的，上海师范大学小学教诲研究所与香港相助，也进行了小学数学开放性问

题的课题研究，并颁发了一些有关文章。这表明数学开放题的研究进入了有筹划有

组织的研究阶段。

2.2中学数学开放题的涵义

2.2.1中学数学开放题的界定

数学开放题，又叫数学开放型题，或数学开放性题，学术界还没有统一的界说,

查阅相关的文献资料大抵分三类：

（1）条件不完备、结论不确定的数学问题称为开放题，代表性看法有：①数学

开放题是相对付传统中条件完备、结论确定的封闭题而言的，是指那些条件不完备、

结论不确定的数学问题（刘萍）；②开放型问题是指题目的条件不完备或结论不明确,

从而蕴涵着多种可能性，要求解题者自行推断（孙耀庭）。

（2）答案不确定的数学问题称为数学开放题，代表性看法有：①有几种正确答

案似乎都带有可能性或成为未完结的问题称为开放的问题（泽田利夫）；②答案不唯

一的问题称为开放题，开放题的一个显著特性是答案的多样性（俞求是）。

（3）数学开放题是指条件开放（条件在不绝变革）、结论开放（多结论或无结

论）、战略开放（可以采取多种要领和途径去解决）的问题。

其实，“数学开放题”并未经审定的范例的数学专业名词，它只是相对封闭题而

言的，是相对付封闭题的一种否定。因而，对数学开放题内涵的认识可比拟封闭性

问题归纳出两个明显的特征，也是最根本的特征：一是条件不完备即条件开放；二

是结论不确定即结论开放。

2.2.2中学数学开放题的分类

目前已有不少的学者依据开放题的按命题要素、解题目的、学习历程、问题答

案等差别的特性，对中学数学开放题进行了多种分类。

综合种种情况如表2：

表2数学开放题的常见题型可归纳成下表

按命题要素的按解题目标的按学习历程的按问题答案的

发散倾向分类操纵模式分类训练代价分类结构类型分类

综合开放型量化设计型知识牢固型有限可列型

条件开放型分类讨论型知识产生型无限离散型

战略开放型问题探求型信息迁移型无限连续型

结论开放型规律探索型有限混沌型

情境研究型

结构东西型

数学建模型

2.2.3中学数学开放题的特征

（1）问题的条件经常是不完备的（条件开放题）

这类型目是给定结论来反探满足结论的条件，而满足结论的条件并不唯一，这

类题常以根本知识为配景加以设计而成，主要考查学生对底子知识的掌握水平和归

纳能力。A

【例1】如：（2003年山东济南市中考试题）/7

如图，^ABC中，已知AB=AC,//\\

要使AD=AE,需要添加的一个条件是—o//\\

（2）问题的答案是不确定的（结论开放题）BDEc

这类问题是在给定条件下探索结论的多样性，主要考查学生的发散性思维和对

所学底子知识的应用能力。

[例2]1994年荷兰数学教诲学派的代表人物，德•朗治（deLange）在上海

做陈诉中有这样一个题目：“如果A离学校5千米，B离学校10千米，问A、B相

总巨JL千米？”

这一题目拟乎是一道小学算术题，事实上，它的内涵很富厚，涉及到从自然相

加，有理数加减，圆的多少轨迹，点的距离，以至圆的参数体现，复数相减等许多

数学知识，题目可适合种种条理的学生，可以考虑一直线的情况，可以做为平面来

盘算，也可以在空间丈量，留给学生的思考空间很大。

（3）问题的解决战略具有非通例性、发散性和创新性（战略开放题）

【例3】（2002年浙江省金华中考试题）试比力下面两个多少图形的异同，如图,

请分别写出它们的两个相同点和两个差别点。

相同点：正方形的对角线相等，正五边形的对角线也相等；

差别点：正方形是中心对称图形，正五边形不是中心对称图形。

此题是考察学生正多边形的知识和有关性质，通过视察阐发能从正多边形的边、

角（中心角、内角和）对称性有无外接圆与内切圆，从一个顶点作三角形的个数等

方面去理解，就可以写出许多相同点与差别点。

2.2.4中学数学开放题的现实意义

从皮亚杰产生认识论的看法看，数学开放题能引起学生认知结构上的顺应，从

而使学生认知结构产生质的变革，使他们的知识水平和数学能力得到较洪流平的提

高。数学开放题的主要目的是培养学生的创新意识与创新能力，核心是灵活地运用

数学思想要领解决问题。数学开放题的诸多特点决定了数学开放题在教诲讲授中的

诸多代价。

对学生来说，李永桃认为，数学开放题有助于培养学生思维的深刻性、辽阔性、

灵活性、缜密性、创造性和批判性。俞求是认为，数学开放题有助于培养学生的创

造性思维。开放题的答案不统一，给学生提供了较多寻求新颖奇特要领的时机，也

正是这种寻求答案的历程，刺激了学生强烈的问题意识。问题意识有利于培养学生

思维的辽阔性、灵活性、发散性和独创性。强烈的问题意识经常会引起学生浓厚的

探究兴趣，使学生产生强烈的探求欲望，寻找解决问题的要领，并在寻找多种答案

和最优解的历程中培养学生思维的深刻性与严谨性，从而培养学生的会合性思维。

刘萍认为，开放题的挑战性有利于引发学生的好奇心和求知欲，为学生主动学

习创造了条件。在开放题的学习中，学生必须冲破原有的思维模式，展开富厚的联

想和想象，从多角度、多方位、多条理进行思考，其思维偏向和模式的发散性有利

于创造能力的形成。开放题的条理性使全体学生真正参加讲授运动成为可能，纵然

学习困难的学生也能做出一种或几种答案，并从中体验到乐成的乐趣。从而有利于

数学教诲面向全体学生，实现“人人学有代价的数学，人人都能得到必须的数学，

差别的人在数学上得到差别的生长”的“新课改”目标。开放题的开放性决定了没

有现成的牢固的解题模式，需要学生独立地进行探索，这就为培养学生的主体性创

造了条件。

范黎明认为，在开放题的讲授中，学生打仗到许多实际问题，有的有许多答案,

有的有多种解法，其中许多问题不能靠一小我私家的力量在有限的时间内完成，必

须依靠大家的力量和团体的智慧分工相助进行，在这种相助、交换的讲授历程中，

学生们不但学到了知识，并且学会了与人相助，学会资助他人等。俞求是认为，开

放题答案的多样性使学生可在差别水平的答案的交换中配合讨论、相互学习、不绝

优化、最后得出较好的答案，从而培养学生精益求精、不绝探索、追求卓越的精神，

并提高解题的能力。

开放题的可操纵性给学生提供了能充实表达自己看法的舞台，拓展了学生发挥

各自想象的空间，创造了数学思想要领相互交换的条件。因为在开放学习历程中，

人人可以动手操纵，个个可以参加探索，并且差别条理的学生都能享受到乐成的快

乐。朱乐平认为，由于数学开放题自己有条理，纵然学习困难的学生也能做出一种

或多种答案，使学生体验到乐成的乐趣，这就有利于培养学生的自信心。能引发学

生学习数学的兴趣，使学生乐于参加，久而久之就会成为学生主动学习的动力。在

开放学习的历程中，经过差别角度差别要领的阐发、推理的训练，培养了学生综合

思维的能力。而这种能力是学生继承学习的后推动因素，这对学生未来走上社会后

公道处理惩罚问题是至为要害的，这正是新课程理念下教诲追求的结果。

开放题的会合性和系统性特征体现在课堂讲授中就是以全方位多角度对某知识

点或某题型进行思路发散而内容相对会合的研究学习，当问题得到彻底解决后，学

生对此的收获不是一“点”而是一条“线”或是一个面，这样在解决一个开放题的

历程中就构建了一个知识系统，课堂效率大大提高，从而资助学生扔掉了课后费力

费时效率低下的结构与链接的包袱，可见开放题是减轻学生过重课业包袱的重要手

段。

对西席来说，开放题的出现以及对其教诲成果的肯定，既反应了数学教诲看法

的转变，也适应了迅速生长的时代需要。实际上反应了人们对付数学讲授新模式的

追求，是人们站在新时代历史的高度上对数学教诲改造的新探索。我国教诲部底子

教诲司明确指出：“课程是一个历史领域，课程目标、课程结构、课程内容都将随着

时代的生长而厘革。”因此，课本应体现科学性、底子性和开放性。开放题课堂讲授

的数学观是动态的、全面的甚至可堕落的。数学观即对数学本质的认识，西席的数

学观直接影响着其讲授观。如果西席能用动态的、全面的看法来理解数学，那么他

所用的讲授要领就会是启发式的，其讲授观就是以学生为中心的。

在开放题引入课堂后，西席的脚色定位，即在讲授历程中，西席不是讲授运动

的唯一主角，而是“编剧”和“导演”；不但是知识的单纯传授者，而是讲授内容和

讲授运动的设计者、促进者、示范者、组织者、协调者。西席的注意力应会合到设

计问题、引导学生“建构”知识、调治讲授步伐、评判学习运动等方面上。

同时，开放题还要求西席注意考究“放”的战略，既要大胆地“放一放”，把时

间留给学生，让学生有时机去探索全面、正确的结论，又要善于掌握全局，调控“放”

力度。通常学生能提的问题，西席决不取代；学生能思考的问题，西席决不体现；

学习能解决的问题，西席决不参加，真正做到适时而“放”，提高“放”的整体效率。

这就要求西席转变教诲看法，认真钻研课本，精心设计讲授，使西席实施讲授的注

意力转移到设计好每一道题、上好每一堂课的重心中去，包管学生在课堂上能够高

质量高效率地学习，做到减负不减重。

3中学数学开放题的相关研究

3.1中学数学开放题的设计

3.1.1中学数学开放题的设计原则

中学数学开放题是一种相对付长期以来只有“唯一答案”的封闭性问题提出来

的，体现的是一种数学思维方法要领，具有鲜明的针对性，问题的偏制优劣将直接

影响开放题的实效，因此中学数学开放题的设计要考虑以下几个原则：

3.1.1.1现实性原则

所谓现实性是指既要结合学生的生活实际，又要适合学生的知识配景，还可是

指切合现实实践性。只有切合学生的具体情况并体现时代特征的问题，才华有效的

使问题继承下去。同时，也只有切合学生的“最近生长区”并具有一定的挑战性，

才华变更学生的求知和探索的欲望，到达应有的效果。

3.1.1.2条理性原则

数学开放题具有条件的不确定性与结论的不确定性等特征，因而这种特征肯定

要求问题要有条理感与灵活性，对差别认知水平的学生来说都有探索的余地，能让

差别的学生体验差别的数学运动，能让差别的学生学习差别的数学。问题的解决要

求能涉及到多种战略，纵然是同一答案的得到，也能有多种途径和要领。同时问题

所涉及的要具有较高的代价，可使学生通干涉题的解决，体验到数学探索与发明的

乐趣，感觉到数学的魅力，领悟到数学中的高兴。

3.1.1.3延展性原则

一道开放题的代价不但体现在题目自己，还体现在它能否有效的将课本的知识

迁移到题目中；大概通过它能更好的理解，深化所学的数学知识或要领；大概能进

一步的引伸拓广；大概生长成为另一个新的问题。

3.1.1.4思想性原则

题目引导学生体贴社会生长，体现了数学的社会化成果，体例的开放型应用问

题要有现实感、时代感，解决现实生活中碰到的实际问题；开放型应用题能体现德

育成果，能对学生热爱祖国、健全人生、积极向上有潜移默化的作用；开放型应用

问题的设计既要保持问题的实际配景，又要使学生在理解社会信息上不产生困难；

问题的“可读性”好（容易被看懂读懂）；模型的“可移植性”强，学生从建模的求

解的历程中不但能体会理论与实践相互作用，还能将得到的数学模型“移植”到众

多情境中去；很大一部分好的开放型问题都市展现盘算机的作用，甚至可以预言越

来越多的建模求解历程可以用大概必须用盘算机；问题应当允许学生查阅（在较为

方便的情况下）有关资料来解决，甚至要求学生查阅资料后，凭据资料中的数据来

解决问题，这一历程培养了学生视察事物、查阅资料、视察研究、阐发数据等方面

的能力，让学生学会用数学东西去收罗、处理惩罚、阐发问题的规律，无疑对学生

是一种科研的微缩模拟训练等。

以上这些在一个问题中很难做到面面俱到，但在开放型问题系统中应看成为一

个目标来追求。在以上所述中，开放型问题是否体现重要的数学思想及数学教诲思

想是一个要害因素，在设计问题时，应多考虑解决问题时涉及到重要的数学教诲的

思想，这是评价数学开放性问题优劣的一个重要标准。

3.1.2数学开放题的设计要领

数学开放题的资料来源主要有两种：第一，直接源于一些参考资料（包罗课本）,

如《高中数学开放题集》、《高中数学开放题题型突破例释》、现行的新课标课本等；

第二，源于对封闭题等的改革或改编。

关于数学开放题的设计要领国内上都有学者进行探讨，并提出了许多可行的方

案，凭据创造的三要素：“结构、干系、顺序”，我们可以构建立计开放题的如下框

图模式：

【例5】原命题：试证明:

将结论“2”隐去，改编成是否存在最大的正整数M,使得>M.

G+4

（3）换形法。

视察结论的正谬性，可得新型的数学开放题。

【例6】课本原题：△ABC中，已知AB=AC,

P为BC上任一点，PE1AC,PFA.AB,BH1AC.

求证：PE+PF=BH

改编时，将“AABC中,AB=AC”换成“等腰梯形ABCD中，AB=CD”是否

能得出同样结论呢？通过学生画图、证明，进一步将思维引向多样、遍及。

（4）移动法。把原题中的直线或点进行移动，或将静态变为动态，从而得数学

开放题。

【例7】课本原题：如图，已知AD为圆的直径，

BC切圆于D,AB、AC与圆交于E、F。

求证：AE•AB=AF•AC

改编时，将BC向上或向下移动，问原结论是否创建。

（5）特殊化一般法。是指把原命题中的特殊条件转化为一般条件，或把特殊位

置转化为一般位置。

【例8】课本原题：如图，。。和。。2交于八、B,

点Q在。a上，AD为。Q的直径，延长DB交。a于C。

求证：CO2±AD

改编时，将Q不放在。。上，AD由直径改为弦，看原结论是否创建。

（6）逆向思维法。将原命题中的条件和结论对调，组成逆向思维题。

【例9】课本习题：AABC的高AD、BE交于H,

AD延长线交外接圆于G,

求证：D为HG的中点。

改编时，将结论：“DH=DG”改为条件，

问BE与AC有何关系？

（7）建模法。凭据某些数学知识和数学要领，在相关情景下，设计应用性开放

题。

【例10】某企业进行技能改革，有两种贷款方案：第一种，一次性贷10万元,

第一年赢利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润。第二种，每年贷款1万元,

第一年可赢利1万元，以后每年增加利润5千元，两种方案都是10年，到期一次性

还本付息，试比力两种方案的优劣。

（8）引进变数探求结论。

把问题中的某个确定的常数换成变数，来探求变数的取值，可得一些开放题。

【例11】把-+2X-15剖析因式，将2换成机或将15换成〃，可得开放性题

目：要使下列二次三项式能在整数范畴内因式剖析，加、〃分别可取哪些整数？并因

式剖析：

（T）x~+ntx—15（2）x~+2x―n

（9）比力某些东西的异同点。

【例12】①试指出下列两个代数式的配合点：1为2b20；8/孙。

②2002年浙江省金华市中考试题，比力正方形和正五边形的异同（前面已出现）。

（10）利用差别知识的联系与区别进行推广或类比。

【例13】将相克水和〃（〃〈㈤克糖骰杂配成糖水，现向该糖水内同时添加f克糖

和，克水，问糖水变甜了吗？

你能否理解，该问题的实质就是比力巴和"（〃?>〃>0/>0）的巨细，结果如

mm+t

何呢？请你凭据以下步调解答。

①用具体的数据试验一下（至少用3组）；

②通过①的试验，料想一般结果；

③我们给出要领：“设甲、乙两个代数式，如果要证明‘甲（乙'，只要证明‘甲

-乙<0'即可。"那么，你能够用上述要领证明②中你的料想吗？

④现在你可以答复开头提出的问题了吧！

在开放题的体例、开发中，要十分重视开放题的设问方法，语言的体现性要恰

当，防备将思维导入歧途；要掌握问题的开放度，差别水平的学生应采取差别的设

问方法，提出差别的解题要求；开放题中所包罗的事件应为学生所熟悉，其内容是

有趣的，是学生所愿意研究的，是通过学生现有的知识能够解决的可行的问题；要

注意问题的可生长性，给学生一个提问题的时机，也许比解题自己更重要。

3.2中学数学开放题与西席素质

理论是行动的先导，数学开放题讲授的乐成与否，要害在于西席的数学观。如

果西席用静态的、片面的看法将数学理解为是由看法、性质、定理、规矩等要素组

成的正义化系统，认为其教诲代价仅仅在于逻辑推理能力的培养，那么他采取的讲

授要领就会是贯注式的，其讲授观就会以西席为中心；如果西席用动态的、全面的

看法来理解数学，那么他采取的讲授要领就会是启发式的，其讲授观就会以学生为

中心。“数学运动论”的看法认为“数学不应该看成事实性结论的搜集，而主要地应

被看成是人类的一种创造性运动”。从这一角度出发，在数学开放题的讲授中，我们

不应该只注重解题得到了多少结论，得到了什么结论，更应该注意解题中学生的思

维历程，把解题看作数学探索、数学发明的运动历程。因此，西席对付开放题的看

法以及西席所具备的能力和知识，对开放题的讲授起着要害作用。

而目前的数学西席对数学开放题的认识并不乐观，对开放题的认识较以前全面

些，但还存在众说纷纭，不一而终。因此有须要先澄清几个认识：数学开放题差别

于习惯上所说的“一题多解”，因为“一题多解”的问题一般是条件完备且结论也确

定的问题，只是由于解题思路而异或解题手段的差别所造成的多种解法罢了。数学

开放题也差别于一般的分类讨论题，因为数学开放题的每一个答案都可以成为问题

的一个相对独立的完整答案，而分类讨论题的每一个答案只能是问题的完整答案的

一部分。数学开放题的“结论”是在问题系统内部相对付问题的“条件”而言的，

它与问题的条件成并列干系，是问题的一部分；问题的“答案（解法）”是相对付整

个问题而言的，它与问题自己成并列干系。数学开放题与封闭题并不排斥，一个问

题是开放照旧封闭的，有时还取决于提出问题时学生的知识水平。

数学开放题在讲授中的代价认识上也存在差别，数学开发题的优点是开放题顺

应了开放社会时代生长的需要；开放题的讲授可使全体学生主动参加，并能赐与学

生更多地体验乐成的时机；开放题的讲授有利于实现讲授民主，创建新型的师生干

系，师生观重新定位；开放题的讲授可使学生更全面理解数学本质，有助于培养学

生的优化意识、创造意识和创新能力，体会数学美；开放题的解答利于培养学生元

认知；开放题的研究历程，有利于西席素质的提高。而不少西席批判开放题，认为

开放题在单一的技能训练、知识学习上费时费力，效率低下，受考试文化的影响，

要使更多师生担当、重视乃至于推广开放题，显得十分艰巨；开放题的讲授往往因

课时制约，课堂上常出现学生思维在低条理上重复的现象；开放题的讲授对西席要

求较高，难推广；开放题很难以制定客观公平的评分标准，故在用开放题作考试题

时困难重重；现有适合讲授的开放题有限，开发设计更多更好的开放题又面临较多

困难。

除了西席对数学开放题的有关理论不太了解外，更主要的是另有现实因素：一

是开放题答案的不确定性，让人心里没有踏实感；二是开放题的讲授比力费时间，

往往受现实的限时“课堂讲授”的制约；三是在“应试教诲”的现实下，开放题与

封闭题相比，究竟是“冰山之一角”，考试中断然不会出现许多。

3.3中学数学开放题与考试

3.3.1数学开放题进入中学数学考试

教诲部在2000年3月宣布的《关于2000年初中结业、升学考试改造指导意见》

中明确指出：“数学考试应设计一定的……开放型问题”。（教诲部在其下发的文件中

明确要求在考试中设计某类题型，这是开国以来第一次）。以后在2001年7月教诲

部制订的《全日制义务教诲数学课程标准（实验稿）》和2003年4月颁布的《普通

高中数学课程标准（实验）》中又分别强调了数学开放题的意义和作用。新的国度课

程标准已为数学开放题在中小学数学教诲搭建平台，从底子上冲破了数学封闭题长

期一统天下的现状。

随着教诲改造的深入生长和素质教诲的进一步实施，数学开放题的教诲代价日

渐破冰而出。其实在数学开放题在开始灼烁正大地进入数学中考试题和数学高考试

题之前，我国各省、市数学中考和数学高考就己进行过一定的实验和探索。在1982

年山西省太原市中考就出现过一个数学开放题（即例14）0

【例14】已知。O内切于四边形ABCD,AB=AD,连结AC,BD,由这些条件

你能推出哪些结论？（要求：绘出工致的图，不写画法，图中除A,B,C,D,O

五个字母之外，不再标注其他字母，不再添加任何帮助线，不写推理历程，推出五

条结论给满分，推出五条以上者赐与加分）此题1996年又被宁夏自治区中考重复采

取。

开放题被选拔性考试采取，说明人们日益认识到开放题的测试能力水平，特别

是测试创造能力水平中的重要作用。进入新课程改造，陪同教诲行政部分对数学开

放题的意义和作用的正式肯定，数学开放题中考试题和数学高考试题之中必将占有

一席之地，并将出现出百花齐放、异彩纷呈的局面。

3.3.2中学数学开放题在考试中需注意的几个问题

尽管在操纵层面上，数学开放题已经进入了中考和高考，并且这也是考试生长

的一大趋势，但依然有些问题需要我们进一步思考:

3.3.2.1试题的开放度与难度

控制好试题的开放度是数学开放题设计是否乐成的一个要害。无视这个要害，

单纯追求答案的多样性，有可能导致试题设计的失败，这种失败最突出的体现就是

试题难度失控。试题的开放度与难度并不完全成正比。

【例15］已知点A(1,2)和B(-2,5)o试写出一个二次函数，使它的图象

经过A,B两点。

三点确定一条抛物线，题目少了一个条件，因此答案许多，这种试题的开放度

极大，但难度并不十分高，同时也没有勉励学生“多方面、多角度、多条理”的探

索，难以考查学生的创新能力，反而给阅卷事情平添许多麻烦。

其实，开放型试题首先是起点要低，不管是底子好能力强的学生，照旧底子差

能力弱的学生都能动手实验，并有一定的进展和收获。其次，开放型试题的难度要

有坡度，有条理，开放型试题应该比一般的通例题更能区分学生思维和能力的差别。

再次，开放型试题能有多种结论，要让学生有发明余地。最后，开放型试题在解决

问题的每一个条理上能有多种解法，能体现出综合题的成果。另外，开放型试题还

应注重思维方法和思维能力的考查，其解允许不拘泥于形式和格式(特别是对付非

形式化开放题更应如此)，它应有别于通例题注重根本知识和根本能力的考查。

3.322答案的弹性化与评分标准的刚性化

开放题的一个突出特点就是结论的多样性，因而也就导致了答案的弹性化，可

评分标准却是刚性化的，两者之间似乎难以找到平衡点。开放题的解答水平主要体

现在解题者能给出多少答案，给出哪些答案，给出怎样的答案。特别值得注意的是,

并不是给出的答案数量越多，解答水平就越高，分数赋值就越高。

【例16】已知=试写出满足条件的(x,y)<.

这里有以下两种解答：

解答①:(2,2),(5/4,5),(3/2,3),(7/5,7/2),(5/3,5/2)

解答②:(2,2),(0,0),(7/5,7/2),(3-73,3+73)

从答案数量上看，解答①要多，但从答案类型上看，解答②要富厚。两者孰优

孰劣，伯仲自明，一般而言，开放题的解答水平主要体现为如下几个指标：解答的

多样性、解答的完备性、解答的深刻性。到达以上指标，可视为解答水平较高，分

数赋值相应就高些。

3.3.2.3陈题改革与题型创新

在考试中引进开放题，应注意下面几个问题：①当前的一段时间内，必须对峙

以传统题型为主，适度引入开放型题；②引入开放题必须由浅入深，逐步过渡；③

试题中的开放型题的体例，最好以现行课本中的题目为原形；④努力突破“单项选

择题”、“填空题”、“解答题”的传统题型，适当进行题型创新，如“设计图形”、“漫

笔论述”等，为数学开放题注入新的活力。比如：

【例17］写出一段文字说明界说a°=l(a/O)的公道性。

3.3.3中学数学开放题考试的评分要领

由于开放题更切合新课程生长的评价理念，在新课程的学业水平评价中应大力

大举加以提倡，但从以往的中考或高考试题来看，虽然增改了一些开放性问题，而

这些题都包罗着高级思维能力的因素，且评价标准照旧凭据“积分点”来制定，没

有把这类题目按开放题来处理惩罚，不能很好的发挥开放题的应有成果。这一问题

不解决，开放性问题就难以进入学生学业评价，深入平时的讲授之中。因此在进行

答案评分时，要注意凭据答案分清学生所处的思维条理，体现学生思维进程的评价。

同时凭据开放题自己所具有的思维含量来确定条理，对付样板式的标准答案，西席

应不拘泥于其表述，而应深入考查该题思维条理的分别依据和要领。还可以采取多

个西席综合评分的要领来权量。

3.4中学数学开放题与新课程改造

3.4.1中学数学开放题与数学新课程标准

数学新课程标准的根本理念中提出：“……数学课程应为学生提供选择和生长的

空间，为学生提供多条理、多种类的选择，以促进学生的本性化生长和对未来人生

筹划的思考……”而开放性问题恰好能给学生提供多条理的问题和思维水平。

新课程中也出现了开放性参考案例，例如《普通高中数学课程标准》(实验)中

第23页例2：视察自己的课堂，说出视察到的点、线、面之间的位置干系，并说明

理由。第50页例2：探求凸多面体的面、顶点、棱之间的数量干系；例3：平面上

的圆与空间中的球的类比等。

同时，新课标在第三部分内容标准中花了不少篇幅，报告了数学探究及相关内

容，这中间不少是涉及开放性问题，在第四部分实施发起中明确提出：”要重视学生

做数学的历程，……作业的类型应多样化，例如通例作业，开放性、探索性数学问

题。”

总之，数学新课程标准较以前的大纲越发注重开放性问题及其所带来的作用与

代价，确定了开放性问题在数学讲授中的职位。相信，这能给学生的数学思维能力、

数学的根本素养得到长足的提升。

3.4.2中学数学开放题与课程标准教科书

教科书是西席组织讲授与学生学习的主要依据。目前教科书中的问题主要是传

统封闭题，不外这些传统封闭题多数可以改革为布满活力的开放题。正如戴再平传

授所说：“目前中学数学课本中，习题根本上是为了使学生了解和牢记数学结论而设

计的，在这种情况下，学生在学习历程中产生了以死记硬背取代主动参加，以机器

要领取代智力运动的倾向，为了使数学讲授更多地体现积极探究的精神，适当增加

开放型题是须要的。开放题和封闭题在数学讲授中应该并存而不是相互排斥，封闭

题主要引起认知结构的同化，而开放题则主要引起认知结构的顺应。前者说明生长

是量的变革，后者说明生长是质的变革，同化温顺应结合起来经过多次的循环，乃

是智慧和能力生长的原因。

最初传入我国的数学开放题中，趣味性、游戏性的题目占有较大比例，近几年

来，我国以“与现行大纲和课本密切结合”为原则，体例出一批具有中国特色的数

学开放题，并逐步进入课本。从1980年日本的“五子散度问题”、“方格纸上的多少

问题”等开放题传入中国，到国产“两个代数式比力异同”递至“钟面问题”进入

课本，开放题逐渐融入通例数学题，并与封闭题相映成趣。课本中引入开放题，将

对讲授产生较大影响，它不但直接促进了西席开放式讲授力度的提高，并且有力地

加快在讲授中引入开放题的进程，开放题和封闭题的公道配合、互为增补，是我国

中学数学课本的一大特色。

现行的课程标准教科书中冲破大纲课本的体系，大量增加探究性问题和随处可

见的思考问题，这中间有不少的开放性问题，具体的例子，这里不一一列举。与此

同时，练习题、习题中也有不少，例如人教A版《必修1》中第一章就有这样几道

题：第24页习题1.2A组第8题；第39页习题1.3A组第3题等。由此可见新课标课

本提高了开放性问题在课本中的比例，体现了开放性问题的优越性，同时也顺应了

新课标的指导思想。

3.5中学数学开放题与创新教诲

罗杰斯认为，一小我私家的创造力只有在他感触“心理宁静”与“心理自由”

的条件下，才华得到最优体现与生长。开放性问题的讲授切合学生学习知识的生理

和心理特点，中学生精力旺盛，好奇心强，有闯劲，好体现自己，他们有探究和创

造的潜能，开放性问题的挑战性有利于引发学生的好奇心和求知欲，为学生主动学

习创造了条件。开放性问题的讲授为培养学生的创新意识提供了可能，开放性问题

的挖掘设计，既展示了西席的才智和艺术，也拓展了学生的学习空间；在开放题的

讲授中，往往变单一的西席解说为师生配合研究，变个别操纵为团体相助，从而有

效地引发学生敢于思考问题，主动参加知识的建构历程；

开放性问题的讲授切合讲授模式改造的需要。开放题与开放式讲授模式，相对

付封闭题与封闭式讲授而言，完全是一种新的讲授思想指导下的新型讲授模式。它

主张课内外知识相联系、与实际问题相联系、与其他学科知识相联系。它把培养学

生的创造性思维提到了主要职位。学生的创造性思维体现在发明问题的敏锐性，积

极探索的求异性，解决问题的创新性和结果表述的新颖性。它允许多向交换，包罗

学生间交换，师生间交换，学生与课本的交换，学生与课本的交换，（即能提出与课

本上差别的看法）等。

中学数学开放题及其讲授给创新教诲带来了新生机：

3.5.1它有利于培养学生的创新意识

开放题具有新颖性和条理性的特征。其中新颖性的特征，能一下子就抓住好奇

好胜的学生，吸引他们立刻进入到讲授情境中。因为好奇是学生的天性，他们对新

知识、新事物、新问题都市产生强烈的求知欲和浓厚的兴趣，并促使他们进一步深

入细致的视察、思考与探索，继而提出探究性问题，这是创造本性的具体体现。心

理学研究表明，学生的好奇心与创造呈正相关，它们之间是相互促进的。因此西席

进行开放题讲授，就是从利用和培养学生的好奇心出发，引发学生对知识的渴望和

追求，使创新由此成为学生学习生活中的一种需要，这是创新教诲的起点。同时开

放题条理性特征能使学生的思维进一步得到开放，促使他们不再满足单一的解法和

答案，而在可能乐成的驱使下积极主动地继承探索。这样学生就会逐渐布满自信和

创新意识。

3.5.2有利于培养学生的创新精神

开放题具有利导性和可探性的特征。其中利导性特征对我们的启示是，通过西

席的引导，设计开放题以启发学生探索，引发学生探究解决问题的内驱力，从中掌

握发明问题息争决问题的规律，把引与探有机结合起来，有效地促进学生自主学习

和创造性地学习。因此西席一般都可以将需要解决的问题视觉化，借助实物模型，

组织实际操纵，资助学生掌握问题的实质。另外，由于开放题解题战略繁简不一，

多种答案的寻找途径差别，出现可探索形态，所以在西席的引导下，学生必须缜密

地思考，勇于开拓创新，同学之间相互协作，才华向着既定的目标前进。当学生经

过艰苦深入的探讨解决问题后，学生的创新精神就能得到有效的培养，而这种创新

精神是引发创造力的重要心理条件。

3.5.3有利于培养学生的创新能力

开放题具有联通性和生长性的特征。其中联通性特征意味着开放题之间往往有

着内在的联系和存在一定的规律，因此解决开放问题时，需运用相关的数学思想要

领，及要具备创造思维能力与较好的认识能力，才华到达既定的目标，所以开放题

的讲授是使学生了解、训练、掌握创造性思维要领和培养创造能力的重要途径。数

学开放题给学生提供辽阔的思维空间，有助于培养和生长学生空间看法和创造性想

象力，使其创新能力得到不绝提高，这是创新的核心。而开放题的生长性特征，则

说明这类问题能极大诱发学生的创新意识和智慧潜力。陪同着问题的解决，学生解

决问题的思路越发开阔，信息流量越发富厚，知识结构越发完善，适应社会的能力

不绝提高。

4中学讲授开放题的讲授探究

开放性讲授作为一种新的讲授形式，能够变更学生学习的积极性，引发学生的学

习兴趣，拓展学生的思维空间，有利于培养学生的表述能力和批判、评价能力，有

利于提高学生应用数学的能力等。开放题在数学讲授中的应用，它还直接干系到学

生的数学观及其在数学学习中的态度和信念，这些都与当前素质教诲的要求是相吻

合的。因为开放题讲授不但是一个知识得到的历程和能力得到的历程，更是一种学

生数学素养和人文精神形成的历程。因此在课堂讲授中体现出文化内涵，对数学开

放题教诲成果和特征进行深入的研究了解是非常须要的。

4.1中学数学开放题讲授的理论底子

4.1.1建构主义理论底子

建构主义理论指导下数学开放题的讲授模式的最早提出者可追溯至瑞士著名心

理学家皮亚杰，他通过长期对儿童智力生长的研究，提出了著名的认知生长理论一

一建构主义理论。

在对知识的理解方面，建构主义认为，知识并不是对现实的准确表征，而只是一

种解释和假设，学习者凭据自己的经验配景，以自己的方法建构对知识的理解，差

别的人看到事物差别的方面。因此对世界的理解和赋予意义由每小我私家自己决定，

而不存在唯一标准的理解。在对学习运动的理解方面，建构主义认为，学习运动不

是由西席向学生通报知识，而是学生自己建构知识的历程，学习者不是被动地担当

信息，而是主动地建构信息的意义，同时把社会性互行动用看作促进学习的源泉。

在新的学习中，学习者往往凭据以往的经验推出合乎逻辑的假设，新知识是以已有

的知识经验为生长点而“生长”起来的。也就是说，建构主义包罗两个方面的寄义：

①对新信息的理解是通过运用已有经验，逾越所提供的新信息建构而成的；②从影

象系统中所提取的信息自己也要按具体情况进行建构，而不但仅是提取。即建构一

方面是对新信息意义的建构一一同化；另一方面又包罗对原有经验的改革和重组一

一顺应。同时，建构主义强调学习历程中学习者的主动性、建构性，并提出学习情

况中情境、协作、交换、意义建构四大要素的相互作用。

数学开放题的特点决定了其讲授与建构主义理论有诸多相通之处，如情境性、

顺应性、社会性、主体参加性。数学开放题的解答没有牢固的模式可循，对问题条

件的认定、解答思路简直定都将因人而异，具有很大的开放性。在具体的解答历程

中，开放题往往能引起学生原有认知结构与新知识的强烈认知辩论，学生对新的认

知结构的创建，主要在学习情境中通过“同化”与“顺应”来实现，以到达“意义

建构”的目的。同时，在开放题解答历程中，既要有学生独立思考的个别运动，还

需要有学生之间的“协作”、“交换”等群体运动。在由学生和西席组成的“学习配

合体”中，学生可以充实颁发自己的看法，在聆听别人看法和讨论时形成新的认知

辩论，进行更进一步的“建构”。因而开放题的解答在体现学习差别性的同时，也应

体现学习的社会性。

中学数学开放题中已蕴藏了建构观的一些要素。若将这些潜在的要素挖掘出来，

并用建构主义的理论指导开放题讲授，将会使开放题的教诲代价得以更为有效的发

挥。开放题讲授模式应属于研究型的讲授模式，它以开放题为载体，以问题为中心，

以西席为主导，充实发挥学生的主体作用，尊重学生的学习自主权，在师生互联相

助、相助交换中，使学生建构新的认知结构。凭据建构主义的看法，讲授是师生借

助一定的物质载体而进行的一种互动运动，在开放题的讲授中，经常以“问题”为

核心，以“讨论”为手段，以“探究”为途径，以“发明”为目的而进行。中学数

学开放题的讲授可归纳综合为师生借助数学开放题而进行的一种交互运动，它包罗

师生的隐性的思维运动和显性的行为运动。

4.1.2最近生长区理论底子

最近生长区理论是由原苏联教诲心理学家维果茨基首先提出的，其理论核心是

至少可以确定学生有两个生长水平，第一个是现有生长水平，体现为学生能独立自

主地、自如地完成西席提出的智力任务；第二个就是潜在生长水平，体现为学生还

不能独立地完成任务，但在西席资助下，在团体运动中，通过训练和自己的努力才

华完成的智力任务。这两种水平的差别就是最近生长区。把这一原理应用于数学开

放题讲授中，进行思维能力的培养，在设计开放题的思维生长的条理上有较强的指

导作用。

数学开放题的条理性与多样性正好切合这一要求，能够满足差别学生的差别“最

近生长区”，促进差别思维条理的生长。因此开放题的讲授设计应从学生的思维潜在

生长水平开始，通过讲授把学生潜在生长水平转化为新的现有生长水平，在新的现

有生长水平的底子上，又出现新的思维潜在生长水平，并形成新的思维最近生长区，

于是讲授又从学生新的思维潜在生长水平开始，如此循环。这种螺旋式地不绝转化

和思维生长区条理逐步递进的历程，也就是学生不绝积聚知识和思维不绝生长的历

程。

数学开放题讲授的一个重要任务就是要培养学生的思维能力，开放题的设计与

讲授应体现思维的起、承、转、合的历程，必须紧密结合讲授内容，贯彻“最近生

长区”的讲授思想，找准、引入、突破学生思维的“最近生长区”，进而创设新的思

维“最近生长区”，促进学生思考，挖掘学生的最大潜能，从而促进学生思维能力的

生长。

4.1.3心理学底子

开放题及其讲授的心理底子是认知生长的一致性与差别性。认知是近几十年来由

心理学家提出的一个描述人的认识能力的新看法。生长泛指某种事物的增长、变革

和进步。认知生长指个别得到知识息争决问题的能力随时间的推移而产生变革的历

程现象。

认知生长的一致性体现为每个个别的认知生长都是稳定性与可变性的对立统一。

在个别相对稳定的生长历程中，当情况产生变革时，认知生长的偏向、速度、水平

也会随之有所变革。重视个别认知生长的差别性，对付促进学生的数学学习，更好

地实施因材施教，具有重要意义，个别认知生长上的差别性体现为：①在感知信息

上存在“场依存性”与“场独立性”的差别。当要求学生从整体质料中抽出一部分

内容进行感知时，有的人会感触非常困难，这种认知特点被称为“场依存性”；而有

的人能较迅速地从整体中抽出一部分内容进行感知，这种认知特点被称为“场独立

性”。李明振(1994)研究了月朔、初二、高二学生这两种认知方法与数学思维灵活

性之间的干系，并得出结论：具有场独立性特点的学生，在思维上体现出高度的灵

活性；在场独立性水平上，各年级之间存在显著的差别，并且是年级越高，场独立

性越强。②对认知任务的反应速度上存在“思考型”与“冲动型”的差别。研究表

明，在对信息进行加工时，思考型的个别使用的是细节性加工方法；而冲动型的个

别使用的