衡水内部资料-高中数学-高中数学不等式知识点梳理

知识点归纳梳理

一、基本不等式

1.两个实数比较大小的方法

(a।

T>\^>a>bf

b--------

Ia—b>O<^>a>b

⑴作差法，a-b=O<^a=b(mR)；(2)作商法<£=10〃=b(〃£R,b>0).

[a—/K0<=>6/<b

<b

、b--------

2.不等式的基本性质

性质性质内容特别提醒

对称性a>b<^b<a<=>

传递性a>b,b>c=>a>c=

可加性a>h<:>a+c>h+c

a>b\

八(=>ac>bc

OOJ

可乘性注意C的符号

a>t>\

c<oi=3

a>b]

同向可加性.(=>a+c>b+cl=>

c>di

a>b>0\

同向同正可乘性

=

可乘方性a>b>0=>a">b"(nG^,Gl)

a,人同为正数

可开方性a>6>0=y[a>y[b(neN,〃22)

3.不等式的一些常用性质

⑴倒数的性质

®ci>b,岫>0=:苗.11

②〃<Ovf/?=Z§.

®Q<a<x<b或a<x<b<O=>j^<^.

(2)有关分数的性质

若a>b>0,m>Of则

b+mhb—tnaa—m

①丁而？/二^f叫E；

1.“三个二次”的关系

判别式A=b2—4acA>0A=0A<0

y

二次函数

X

y=ax2+bx+c(a>0)的图象OV^=X2X

一元二次方程有两相异实根X”

有两相等实根X|=X2=—没有实数根

2Nd

ax+bx+c=0(a>0)的根X2(X1<X2)

{xlx.-jp

ax2+bx+c>0(a>0)的解集[xIxVXL或X>x21{xlxWR}

ax1+bx+c<0[a>0)的解集[X[X1<X<X2)00

2.常用结论

(x—a)(x—Z?)>0或(x—a)(x—。)<0型不等式的解法

解集

不等式

a<ha=ba>b

(x-a)-(x-{x\x<a或口仅<6或

b)>0x>b]第

(x—a)\x—

{x|〃vxvb}0{x\b<x<a]

h)<0

口诀：大于取两边，小于取中间.

1.二元一次不等式表示的平面区域

(1)一般地，二元一次不等式及+小+OO在平面直角坐标系中表示直线Ar+By+C=O某一侧所有点组成的

平面区域.我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C^O所

表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线一

⑵由于对直线4r+By+C=0同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ar+B)，+C,所得的符号都相同,

所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(如泗)作为测试点，由Axo+Bvo+C的符号即可判断Ax+B.y+C>0

表示的直线是Ax+By+C=0哪一侧的平面区域.

2.线性规划相关概念

名称意义

约束条件由变量X,y组成的一次不等式

线性约束条件由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式组

目标函数欲求最大值或最小值的函数

线性目标函数关于x,y的一次解析式

可行解满足线性约束条件的解

可行域所有可行解组成的集合

最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

3.重要结论

(1)画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：

①直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；

②特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证.

(2)利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：

对于Ar+By+OO或Ax+B)，+C<0,则有

①当B(Ax+By+C)>0时，区域为直线Ax+By+C=0的上方；

②当B(Ax+8)，+C)<0时，区域为直线Ax+2y+C=0的下方.

(3)最优解和可行解的关系：

最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个.

1.基本不等式4万W一彳

(1)基本不等式成立的条件：。>0,

(2)等号成立的条件：当且仅当亡女时取等号.

2.几个重要的不等式

(\]a2+b2^2ab(a,6GR).

(2)§+注23，方同号).

3,。仁R).

(4卓*>CR).

以上不等式等号成立的条件均为a=b.

3.算术平均数与几