2024贵州中考数学二轮复习贵州中考题型研究 类型一 线段问题（课件）

类型一线段问题函数微技能——动点坐标及线段表示一阶例1

如图，已知抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，点P为抛物线y＝－x2＋2x＋3上一点．过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q.一题多设问例1题图设点P的横坐标为t，点P的坐标可表示为________________，点Q的坐标可表示为______________；用含t的代数式表示下面的距离：(1)点P到x轴的距离为______________；(2)点P到y轴的距离为______________；(3)点P到对称轴的距离为___________；(4)线段PQ的长为______________；(5)点P到直线BC的距离为______________.(t，－t2＋2t＋3)(t，－t＋3)|－t2＋2t＋3||t||t－1||－t2＋3t|例1题图【方法总结】①与x轴垂直的线段的长：纵坐标相减(上减下);_②与y轴垂直的线段的长：横坐标相减(右减左);_③斜线段时，可过线段端点分别作x轴、y轴垂线构造直角三角形，利用勾股定理、特殊三角函数值或相似进行求解．设问突破二阶考向一线段数量关系例2抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C.点P是抛物线上的一点，作PM⊥x轴于点M，交直线BC于点Q，设点P的横坐标为m.(1)若PQ＝2QM，求点P的坐标一题多设问例2题图①【思维教练】点P位置变化，PQ和QM的代数式表示不相同，需要分点P在BC上方和下方．分别用PQ、QM的代数式代入，构建方程即可；解：(1)∵抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，∴A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)，设直线BC的解析式为y＝kx＋b，将点B(3，0)，C(0，3)代入y＝kx＋b中，得

，解得

，

∴y＝－x＋3，∵PM⊥x轴于点M，交直线BC于点Q，且点P的横坐标为m，∴P(m，－m2＋2m＋3)，Q(m，－m＋3)，M(m，0)，∵PQ＝2QM，当点P在直线BC的上方时，即0<m<3，例2题图①PQ＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m，QM＝－m＋3，∴－m2＋3m＝2(－m＋3)，解得m＝2或m＝3(舍去)，∴点P的坐标为(2，3)；当点P在直线BC的下方且m>3时，PQ＝m2－3m，QM＝m－3，∴m2－3m＝2(m－3)，解得m＝2(舍去)或m＝3(舍去)，此时点P不存在；当点P在直线BC下方且m<0时，PQ＝m2－3m，QM＝－m＋3，∴m2－3m＝2(－m＋3)，解得m＝－2或m＝3(舍去)，例2题图①∴点P的坐标为(－2，－5)．综上所述，点P的坐标为(2，3)或(－2，－5)；例2题图①(2)∵点P的横坐标为m，

∴Q(m，3－m)，∵CQ∶QB＝2，C(0，3)，B(3，0)，

∴OM∶MB＝2，当点P在直线BC上方时，即0<m<3，m＝2(3－m)，解得m＝2，此时P(2，3)；当点P在直线BC下方且m>3时，m＝2(m－3)，解得m＝6，此时P(6，－21)；(2)若CQ∶QB＝2，求点P的坐标例2题图②【思维教练】遇到比例线段，找相似，竖直看，水平看，按比例设未知数；当点P在直线BC下方且m<0时，∵BQ>CQ，∴此情况不存在．综上所述，点P的坐标为(2，3)或(6，－21)；例2题图②(3)∵PC＝PB，∴点P在直线BC的垂直平分线上，由(1)可知直线BC的解析式为y＝－x＋3，∴设直线BC的垂直平分线的解析式为y＝x＋b，将BC中点(，

)代入y＝x＋b中得b＝0，(3)连接PC，PB，若PC＝PB，求点P的坐标【思维教练】PC＝PB，则点P在BC的垂直平分线上，由两垂直直线的解析式中k的关系，即可求得该垂直平分线的解析式，与抛物线解析式联立即可求解；例2题图③∴直线BC垂直平分线的解析式为y＝x，联立得

，解得

或

.∴点P坐标为

或

；例2题图③创新考法(4)是否存在点P，使点

P到直线

BC的距离是点

M到直线

BC的距离的3倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【思维教练】通过相似将斜线段的比值转化为竖直线段的比值，表示出线段长，分情况列比例式求解即可．(4)存在．如解图，过点P作直线BC的垂线，垂足为点E，过点M作直线BC的垂线，垂足为点F，例2题解图∵∠PEQ＝∠MFQ＝90°，∠PQE＝∠MQF，∴△PEQ∽△MFQ，∵点P到直线BC的距离是点M到直线BC的距离的3倍，∴＝3，∵P(m，－m2＋2m＋3)，Q(m，－m＋3)，M(m，0)，∴当点P在直线BC的上方即0<m<3时，PQ＝－m2＋3m，MQ＝－m＋3，∴－m2＋3m＝3(－m＋3)，解得m＝3(舍去)；同理，当点P在点C左侧抛物线上即m<0时，例2题解图创新考法PQ＝m2－3m，MQ＝－m＋3，∴m2－3m＝3(－m＋3)，解得m＝3(舍去)或m＝－3，∴点P的坐标为(－3，－12)；同理，当点P在点B右侧抛物线上即m>3时，PQ＝m2－3m，MQ＝m－3，∴m2－3m＝3(m－3)，解得m＝3(舍去)．综上所述，点P的坐标为(－3，－12)．例2题解图创新考法考向二线段最值问题例3题图①例3抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，作直线BC.(1)点P在直线BC上方的抛物线上，作PM⊥x轴于点M，交直线BC于点Q，设点P的横坐标为m.①求线段PQ的最大值；一题多设问解：(1)①∵抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，∴A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)，设直线BC的解析式为y＝kx＋b，将点B(3，0)，C(0，3)代入y＝kx＋b中，得

，解得

，∴y＝－x＋3，∴P(m，－m2＋2m＋3)，Q(m，3－m)(0<m<3)．∴dPQ＝－m2＋2m＋3－(3－m)＝－m2＋3m＝－(m－

)2＋

，∵－1＜0，∴当m＝

时，PQ值最大，最大值为

；例3题图①∵B(3，0)，C(0，3)，∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵PE∥y轴，PH⊥BC，∴∠HEP＝45°，∠EHP＝90°，②作PH⊥BC于点H，求PH的最大值；斜线段最值【思维教练】过点P作x轴的垂线交直线BC于点E，易证∠HEP＝45°，要求PH的最大值，可先求得PE的最大值，再结合三角函数即可求解；②解：如解图①，过点P作y轴的平行线交BC于点E，例3题图②E∴PH＝PE·sin∠HEP＝

PE，∴要求PH的最大值，即求PE的最大值，由①可得PE的最大值为

，∴PH的最大值为

PE＝

；例3题图②E(2)在抛物线对称轴

l上是否存在一点

F，使得△ACF的周长最小，若存在，求出点F的坐标及△ACF周长的最小值；若不存在，请说明理由；将军饮马求最值【思维教练】因为AC长为定值，

要使△ACF周长最小，即要使CF＋AF的值最小，由点

A、B关于对称轴l对称，可知直线BC与对称轴l的交点即为点F，即可使

CF＋AF最小；例3题图③(2)解：存在．如解图②，连接BC交对称轴l于点F，连接AF，例3题图③F∵C△ACF＝AC＋CF＋AF，AC为定值，∴当CF＋AF的值最小时，△ACF的周长最小，∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，

∴AF＝BF，∴当B、C、F三点共线时，BF＋CF的值最小，即CF＋AF的值最小，∴C△ACF＝AC＋CF＋AF＝AC＋CF＋BF＝AC＋BC，由①知直线BC的解析式为y＝－x＋3，∵点F在直线BC上，抛物线对称轴l为直线x＝1，∴令x＝1，则y＝2，

∴点F的坐标为(1，2)．∵A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)，

∴OA＝1，OB＝3，OC＝3，由勾股定理得AC＝

，BC＝

，∴点F的坐标为(1，2)时，△ACF的周长最小，最小值为

；例3题图③F(3)若抛物线的顶点为D，点N为抛物线的对称轴上一点，求BN＋

DN的最小值．胡不归求最值【思维教练】要求BN＋

DN的最小值，首先构造直角三角形将

DN转化为一直角边，通过“化折为直”将问题转化为求点B到AD的距离即可求解．例3题图④例3题解图③(3)解：如解图③，抛物线的对称轴交x轴于点E，连接AD，过点N作AD的垂线，垂足为点K，过点B作AD的垂线，垂足为点T，交对称轴于点N′，∵抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴点D的坐标为(1，4)，∵A(－1，0)，B(3，0)，∴AE＝EB＝2，AB＝4，由勾股定理得AD＝

，∴sin∠ADE＝

，∵NK⊥AD，∴sin∠NDK＝

，

∴NK＝

DN，∴BN＋

DN＝BN＋NK，∴当B、N、K三点共线时，BN＋

DN取得最小值，即线段BT，例3题解图③∵S△ABD＝

AB·DE＝

AD·BT，∴×4×4＝

×2BT，∴BT＝

，∴BN＋

DN的最小值为

.例3题解图③综合训练三阶1.(2023黔西南州26题16分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)交x轴于点A(6，0)和点B(－1，0)，交y轴于点C.(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；第1题图(1)解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A(6，0)，B(－1，0)，将点A、B的坐标代入抛物线的解析式中，

得

，

解得

.∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6.(3分)第1题图∴y＝－x2＋5x＋6＝－(x－

)2＋

，∴抛物线的顶点坐标为(，

)；

(4分)第1题图(2)由抛物线解析式可求得点C坐标为(0，6)，∴OC＝OA＝6，∠OAC＝45°.∵PD∥x轴，PE∥y轴，∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°，∴∠PED＝45°，∴∠PDE＝∠PED，PD＝PE,(5分)(2)如图①，点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD＋PE取最大值时，求点P的坐标；第1题图∴PD＋PE＝2PE.∴当PE的长度最大时，PE＋PD取最大值．(6分)设直线AC的解析式为y＝kx＋m，将A(6，0)、C(0，6)两点代入，得

，解得

.∴y＝－x＋6.(7分)设E点坐标为(t，－t＋6)，则P点坐标为(t，－t2＋5t＋6)，且0<t<6,

(8分)则PE＝(－t2＋5t＋6)－(－t＋6)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9，第1题图∴PE是关于t的二次函数，－1<0，∴当t＝3时，PE有最大值，最大值为9.当t＝3时，－t2＋5t＋6＝12.∴当PD＋PE取最大值时，点P的坐标为(3，12)；(10分)第1题图(3)如图②，点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．∵∠HAC＝45°，∴∠QAC＝∠OCA＝45°，∵AC垂直平分线段MN，∴AM＝AN，∠NAC＝∠MAC，∴∠HAN＝∠MAQ，∴Rt△ANH≌Rt△AMQ，(12分)(3)解：如解图①，过点A，M分别作y轴、x轴的平行线交于点Q，过点N作x轴的垂线，垂足为点