2024成都中考数学第一轮专题复习 全等与相似三角形的性质与判定(含位似) 课件

一题串讲重难点2成都8年真题子母题31考点精讲全等与相似三角形的性质与判定(含位似)

课标要求成都8年高频点考情及趋势分析命题点1全等三角形的性质与判定(8年17考)1.理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角；2.掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；3.掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；4.掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等；5.证明定理：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等；6.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理．

考情及趋势分析考情分析年份题号题型分值考查内容判定方法模型202311填空题4已知两三角形全等求线段长——平移型26(1)解答题3探究线段数量关系ASA旋转型20224选择题4添加条件判定三角形全等SAS自选转型25(2)解答题4探究两三角形面积相等ASA对称型——共边26(3)解答题3探究等腰三角形求tanα值HL对称型——共顶点20216选择题3添加条件判定三角形全等SAS，ASA，AAS对称型——共顶点27(3)解答题4求线段最值AAS旋转型202020(1)(3)解答题6探究三条线段之间的数量关系SSS，SAS对称型——共边27(3)解答题3求线段比值AAS对称型——共边考情分析年份题号题型分值考查内容判定方法模型201912填空题4求线段长ASA对称型——共顶点28(3)解答题3探究等边三角形SAS旋转型20186选择题3添加条件判定三角形全等AAS，ASA，SAS对称型——共边201725B卷填空题4求线段长AAS十字模型27(1)解答题4证三角形全等；探究三条线段之间的数量关系SAS手拉手模型201612填空题4求角度————25B卷填空题4求线段长最小值——对称型——共边27(1)解答题3证线段相等SAS旋转型【考情总结】考查频次及特点：每年均考查1～3道．1.在A卷选填中单独考查6次，常考查添加条件判定三角形全等，仅2023年考查已知两个三角形全等求线段长；2.在B卷涉及考查10次，常涉及考查全等三角形的各种基本模型，及添加辅助线构造全等三角形.

课标要求命题点2与相似三角形有关的计算(8年24考)1.了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似．*了解相似三角形判定定理的证明；2.了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方；3.通过具体实例认识图形的相似．了解相似多边形和相似比；4.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题．

考情及趋势分析考情分析年份题号题型分值考查内容考查模型202313填空题4相似三角形面积比A字型18解答题4结合位似求点坐标8字型22B卷填空题4求tanA的值A字型25解答题4证明两条直线垂直一线三垂直26解答题4证明线段数量关系A字型202217(2)解答题5求长度A字型18(2)(3)解答题7求长度8字型，A字型23B卷填空题4利用对称性求线段差的最大值A字型26解答题12探究三角形相似；求tanα的值一线三垂直考情分析年份题号题型分值考查内容考查模型202120(3)解答题4求线段长8字型24B卷填空题4求线段长十字模型27(2)解答题4求线段长A字型，8字型28(3)解答题3探究角度定值一线三垂直202025B卷填空题4求线段最值8字型27(2)(3)解答题8求线段长；求线段比值一线三垂直，A字型28(3)解答题4探究三角形相似一线三垂直201920(2)解答题7求线段长A字型25B卷填空题4新定义问题A字型27解答题10证三角形相似；求线段长；探究线段相等时求线段长一线三等角，A字型，对角互补模型考情分析年份题号题型分值考查内容考查模型201820(2)解答题4表示线段长——28(3)4探究角度定值一线三垂直201720(3)4求半径长8字型201620(1)3证三角形相似A字型27(2)3探究两条线段之间的数量关系8字型【考情总结】1.相似三角形每年均有考查，题量为1～4道；2.常在解答题中涉及考查，且模型不重复：近8年考查相似三角形是以“A”字型和“8”字型为主，考查“一线三等角”模型时，以“一线三垂直”模型为主；3.近6年均涉及“一线三等角”模型，2023年结合位似图形的性质考查相似三角形的性质.

课标要求命题点3图形的位似(8年3考)1.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小；2.会利用图形的位似解决一些简单的实际问题．

考情及趋势分析考情分析年份题号题型分值位似中心的位置考查设问202318解答题10两三角形在位似中心异侧求点坐标及相似比202211填空题4两三角形在位似中心同侧求周长比20178选择题3两四边形在位似中心异侧求面积比【考情总结】该知识点近8年考查3次，2023年首次在解答题中考查反比例函数与位似图形的性质，难度较前2次上升.图形的位似性质全等与相似三角形的性质与判定(含位似)判定两角一边两边一角三边直角三角形定义性质利用位似将一个图形放大或缩小的步骤边中位线角平分线周长中线角高线面积考点精讲性质对应关系全等三角形相似三角形示意图角对应相等对应相等AD，A′D′为高线；AE，A′E′为角平分线；AF，A′F′为中线边对应相等对应成比例中位线对应相等对应成比例，且等于相似比即中线高线角平分线周长相等周长比等于相似比面积相等面积比等于相似比的平方判定已知条件示意图三角形全等三角形相似两角一边

两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(ASA)(基本事实)两角分别相等的两个三角形相似

两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(AAS)两边一角

两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(SAS)(基本事实)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定已知条件示意图三角形全等三角形相似三边

三边分别相等的两个三角形全等(SSS)(基本事实)三边成比例的两个三角形相似直角三角形

一条直角边与斜边分别相等的两个直角三角形全等(HL)一条直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似

知识关联全等三角形是一种特殊的变换，即通过对称、平移或旋转能使两个图形重合的一对三角形就是全等三角形．图形的位似定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P′所在的直线都经过同一点O，且有OP′＝

k·OP(k≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心性质：1.如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行(或共线)2.在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形上的对应点的坐标的比等于k或－k利用位似将一个图形放大或缩小的步骤1.确定位似中心2.确定原图形中的顶点关于位似中心的对应点3.描出新图形一题串讲重难点基础知识巩固一、全等三角形的性质与判定(8年17考)模型分析1.全等平移型——CE共线基本模型

模型变形

基本模型模型变形模型特点沿直线l平移可得两三角形重合解题思路(1)加(减)共线部分CE，得BC＝EF；(2)利用平行线的性质找对应角相等例1请从①BF＝CF，②∠BDF＝∠FEC这两个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．问题：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC边上，且BD＝EF，DF＝EC，若选________．求证：∠B＝∠EFC.证法1：例1题图①在△BDF和△FEC中，

∴△BDF≌△FEC(SSS)，∴∠B＝∠EFC.证法2：例1题图②在△BDF和△FEC中，∴△BDF≌△FEC(SAS)，∴∠B＝∠EFC.2.全等轴对称型——共边AC模型分析基本模型

模型特点将图形沿AC边的垂直平分线折叠，垂直平分线两旁的图形完全重合解题思路条件：OA＝OC，∠DAO＝∠BCO结论：△DAC≌△BCA例2请从①∠AEB＝∠ADC，②AD＝AE，这两个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．问题：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，点E在AC上，BE与CD交于点F，若选________．求证：∠ABE＝∠ACD.证法1：

例2题图①在△ABE和△ACD中，

∴△ABE≌△ACD(AAS)，∴∠ABE＝∠ACD.证法2：例2题图②在△ABE和△ACD中，∴△ABE≌△ACD(SAS)，∴∠ABE＝∠ACD.模型分析3.全等自旋转型——共顶点基本模型

模型特点三角形绕着公共顶点C旋转一定角度可得两三角形重合解题思路∠A′CA＝∠B′CB⇓∠A′CB′＝∠ACB例3请从①∠ABD＝∠CBE，②∠C＝∠E这两个条件中选择一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．问题：如图，在△ABC和△DBE中，∠A＝∠D，AB＝BD，BC与DE交于点F，若选________．求证：AC＝DE.例3题图①证法1：∵∠ABD＝∠CBE，∴∠ABD＋∠DBC＝∠CBE＋∠DBC，即∠ABC＝∠DBE，在△ABC和△DBE中，∴△ABC≌△DBE(ASA)，∴AC＝DE.例3题图证法2：②.在△ABC和△DBE中，

∴△ABC≌△DBE(AAS)，∴AC＝DE.二、相似三角形的性质与判定(8年24考)1．A字型模型分析4.相似正A字型——∠A共用基本模型

模型特点有共用的一组角∠A，在同侧有一组相等的角解题思路解题时需找同侧的一组等角，如∠ADE＝∠B，或∠AED＝∠C5.相似斜A字型——∠A共用基本模型

模型变形

模型特点有共用的一组角∠A，在异侧有一组相等的角解题思路证相似时，需要找异侧的一组相等角，如∠ADE＝∠ACB或∠AED＝∠ABC例4如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，DE＝6，求BC的长．例4题图解：∵AD＝2，BD＝3，∴AB＝5.∵DE∥BC，DE＝6，∴△ADE∽△ABC，∴，即

，解得BC＝15.变式1如图，已知∠A＝70°，∠ADC＝65°，AC2＝AD·AB，求∠B的度数．变式1题图解：∵∠A＝70°，∠ADC＝65°，∴∠ACD＝180°－70°－65°＝45°.∵AC2＝AD·AB，∴.∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD，∴∠B＝∠ACD＝45°.变式2如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，DE⊥AB交AC于点E，若AB＝10，AC＝8，求△ADE的周长．变式2题图解：∵点D是AB的中点，∴AD＝

AB＝5.∵DE⊥AB，∴∠ADE＝90°.∵∠BAC＝∠EAD，∠EDA＝∠C＝90°，∴△AED∽△ABC.∴.变式2题图在Rt△ABC中，AB＝10，AC＝8，∴BC＝

＝6，∴AB＋AC＋BC＝24，∴，∴，∴C△ADE＝15.2.8字型模型分析6.相似8字型模型展示

正8字型

斜8字型模型特点有一组角为对顶角，并且有另外一组角相等，形似“数字8”解题思路找对顶角之外的另一组角相等，或对顶角的两边对应成比例例5如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，连接DE并延长至点F，连接AF.若EC＝2EA，ED＝2EF，求证：∠FAE＝∠C.例5题图证明：∵CE＝2EA，DE＝2EF，∴.又∵∠AEF＝∠CED，∴△AEF∽△CED，∴∠FAE＝∠C.变式1如图，在▱ABCD中，AF∶BF＝2∶1，连接DF，交AC于点E，若AC＝12，求AE的长．变式1题图解：在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∵AF∶BF＝2∶1，∴AF＝

AB＝

DC.∴∠AFE＝∠CDE，∠EAF＝∠ECD，∴△AEF∽△CED，∴.∵AC＝12，∴AE＝

×12＝

.重难考法突破1.如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长交AB于点E，连接BP并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G.(1)求证：PB＝PD；第1题图(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AC平分∠DAB，∴∠DAP＝∠BAP.在△APB和△APD中，

∴△APB≌△APD，∴PB＝PD；(2)若DF∶FA＝1∶2.①请写出线段PF与线段PD之间满足的数量关系，并说明理由；第1题图(2)解：①PF＝

PD.理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△AFP∽△CBP，∴.∵，∴，∴，由(1)知PB＝PD，∴，∴PF＝

PD；

解题关键点由(1)中的结论，可将求PF与PD之间的数量关系转化为求PB与PF之间的数量关系；②当△DGP是等腰三角形时，求tan∠DAB的值．②由(1)证得△APB≌△APD.∴∠ABP＝∠ADP.∵GC∥AB，∴∠G＝∠ABP，∴∠ADP＝∠G，∴∠GDP＞∠G，∴PD≠PG.(Ⅰ)若DG＝PG，如解图①，易证△APF≌△APE，∴PE＝PF.第1题解图①第1题图

解题关键点△DGP为等腰三角形，需要分PD＝PG，DG＝PG，DG＝PD三种情况讨论．∵DG∥AB，∴△DGP∽△EBP，∴PB＝EB，

，由(2)知

，设PF＝2a，则PB＝BE＝PD＝3a，PE＝PF＝2a，BF＝5a，∴DG＝

·EB＝

·3a＝

a，∵DG∥AB，∴△DGF∽△ABF，∴，∴AB＝2DG＝9a，∴AF＝6a，过点F作FH⊥AB于点H，设AH＝x，第1题解图①∴AF2－AH2＝BF2－BH2，即(6a)2－x2＝(5a)2－(9a－x)2，解得x＝

a，∴FH＝

，∴tan∠DAB＝

；

(Ⅱ)若DG＝DP，如解图②，设DG＝DP＝3m，则PB＝3m，PE＝BE＝PF＝2m，同理可得AB＝2DG＝6m，∴AF＝4m，第1题解图②过点F作FH⊥AB于点H，设AH＝x，∴AF2－AH2＝BF2－BH2，∴(4m)2－x2＝(5m)2－(6m－x)2，解得x＝

m，∴FH＝

，∴tan∠DAB＝

.第1题解图②成都8年真题子母题1命题点全等三角形的性质与判定8年17考1.(2021成都6题3分)如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是(

)A.BE＝DF

B.∠BAE＝∠DAFC.AE＝AD

D.∠AEB＝∠AFD第1题图C2.(2022成都4题4分)如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，只添加一个条件，能判△ABC≌△DEF的是(

)A.BC＝DE

B.AE＝DBC.∠A＝∠DEF

D.∠ABC＝∠D第2题图B3.(2019成都12题4分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，则CE