2024成都中考数学第一轮专题复习 微专题 对角互补模型 教学课件

微专题对角互补模型一阶

认识模型模型分析1.模型特点：有一组对角互补，即∠ABC＋∠ADC＝180°；2.构图方法及结论：方法1：作垂线如图①，过点D分别作DE⊥BC于点E，DF⊥BA交BA的延长线于点F.

【结论】(1)△ADF∽△CDE；(2)当DA＝DC时，△ADF≌△CDE.图①方法2：作等角如图②，过点D作∠CDE＝∠ADB，DE交BC的延长线于点E.

【结论】(1)△ABD∽△CED；(2)当DA＝DC时，△ABD≌△CED，△BDE为等腰三角形．图②例1如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，求AP的长．例1题图解：如图，过点P分别作PQ⊥AB于点Q，PR⊥BC于点R.QR∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，∴四边形PQBR是矩形，∴∠QPR＝90°＝∠MPN，∵∠QPE＋∠EPR＝90°，∠RPF＋∠EPR＝90°，QR例1题图∴∠QPE＝∠RPF，∴△QPE∽△RPF，∴＝2，∴PQ＝2PR＝2BQ.∵PQ∥BC，∴△AQP∽△ABC.∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝

＝10，∴AQ∶QP∶AP＝AB∶BC∶AC＝3∶4∶5.设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，∴2x＋3x＝6，∴x＝

，∴AP＝5x＝6.例2

如图，在等边△ABC中，D为AC的中点，点E在BC的延长线上，点F在AB上，∠EDF＝120°.求证：DE＝DF.一题多解法例2题图解法一：解法一：如图，过点D分别作DQ⊥AB于点Q，DP⊥BE于点P，QP∴∠DQF＝∠DPC＝90°.∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∴∠QDP＝360°－∠DQB－∠DPB－∠B＝120°.一题多解例2题图QP又∵∠EDF＝120°，∴∠QDF＝∠EDP.∵D为AC的中点，∴AD＝CD.∵DQ＝AD·sin60°，DP＝DC·sin60°，∴DQ＝DP.在△DQF和△DPE中，

∴△DQF≌△DPE(ASA)，∴DE＝DF.解法二：解法二：如解图②，连接BD，以DE为边作∠EDG＝∠BDF，点G在BE的延长线上．∵∠EDG＝∠BDF，∴∠BDG＝∠FDE＝120°.∵△ABC是等边三角形，D为AC的中点，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∴∠DGB＝180°－∠BDG－∠DBC＝180°－120°－30°＝30°，∴∠DGB＝∠DBC，∴DB＝DG，∴△DBF≌△DGE，∴DE＝DF.例2题解图②二阶

应用模型1.

如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上一点，且CD＝3BD，E，F分别为AB，AC上的点，且∠EDF＝120°，则

的值为(

)A.

B.

C.

D.第1题图B2.

如图，在正方形ABCD中，E为AB上一点，F为对角线BD上一点，EF⊥CF，若AD＝7，BE＝1，则EF的长为________．第2题图53.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，E是直线AC上一点，连接DE，DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF.(1)如图①，当点E在线段AC上时，猜想并证明线段EA，EC，EF之间的数量关系；第3题图①解：(1)猜想：AE2＋EC2＝EF2.证明：如图，连接CD.∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，∴∠A＝∠B＝45°，CD⊥AB，AD＝CD＝DB，第3题图①∴∠DCB＝∠B＝45°，∴∠A＝∠DCB，即∠A＝∠DCF.∵DF⊥DE，∠ADE＋∠EDC＝90°，∠CDF＋∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，在△AED与△CFD中，

∴△AED≌△CFD(ASA)，∴AE＝CF，在Rt△EFC中，∵CF2＋CE2＝EF2，∴AE2＋EC2＝EF2(2)如图②，当点E在CA的延长线上时，(1)中的猜想是否成立，若成立，请完成证明，若不成立，请写出你的结论并说明理由；第3题图②(2)仍成立．证明：如图，连接CD，∵在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠B＝45°.∵CD为AB的中线，∴CD⊥AB，AD＝CD＝BD，∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠EAD＝180°－∠CAD＝135°，∠FCD＝180°－∠BCD＝135°，第3题图②∴∠EAD＝∠FCD.∵DF⊥DE，∴∠ADE＋∠ADF＝∠CDF＋∠ADF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，在△AED与△CFD中，

∴△AED≌△CFD(ASA)，∴AE＝CF，在Rt△EFC中，∵CF2＋CE2＝EF2，∴AE2＋EC2＝EF2；(3)点E在直线AC上移动，当EA＝

EC时，求∠ADE的度数.(3)由(1)可知AE2＋EC2＝EF2，∵AE＝

EC，∴(EC)2＋EC2＝EF2，∴EF＝2EC.∵∠ECF＝90°，∴∠FEC＝60°.∵△AED≌△CFD，∴ED＝FD.∵∠EDF＝90°，∴∠FED＝45°，①当E在线段AC上时，如解图③∴∠AEF＝180°－∠FEC＝180°－60°＝120°，第3题解图③∴∠AED＝∠AEF－∠FED＝120°－45°＝75°.∵∠CAB＝45°，∴∠ADE＝180°－45°－75°＝60°；②当E在AC延长线上时，如解图④，∵∠FEC＝60°，∠FED＝45°，∴∠AED＝∠