2021-2022学年福建省宁德市九年级（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2021-2022学年福建省宁德市九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（4分）若＝，则的值为（）A．1 B． C． D．2．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝12，则CD的长是（）A．12 B．6 C．4 D．33．（4分）已知一个几何体如图所示，则该几何体的俯视图是（）A． B． C． D．4．（4分）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（）A．30° B．45° C．60° D．90°5．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AE的长为（）A．4 B．5 C．6 D．76．（4分）关于二次函数y＝（x﹣1）2﹣2，下列说法正确的是（）A．有最大值1 B．有最小值﹣1 C．有最大值2 D．有最小值﹣27．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（）A．8 B．9 C．10 D．118．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心是点P，其位似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比是（）A．1：2 B．1：4 C．1： D．1：89．（4分）已知点A（﹣7，y1），B（﹣4，y2），C（5，y3）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y310．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，E为边AB的黄金分割点（AE＞BE），AD＝AE，BC＝BE．AC，DE将四边形分为四个部分，它们的面积分别用S1，S2，S3，S4表示，则下列判断正确的是（）A．S1＝4S2 B．S4＝3S2 C．S1＝S3 D．S3＝S4二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinA＝．12．（4分）一元二次方程x2﹣2x＝0的解是．13．（4分）若抛物线y＝x2﹣kx+1的图象经过点（1，2），则k的值是．14．（4分）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标是（3，2），则点A的坐标是．15．（4分）如图，已知在电线杆AB上有一个光源，身高1.8m的小明站在与电线杆底部A距离3m的点C处，其影长CE＝1m，若他沿AC方向走3m到达点F处，此时他的影长是m．（图中CD，FG均表示小明身高）16．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（﹣2，y1），（m﹣3，n），（﹣1，0），（3，y2），（7﹣m，n）．则下列四个结论①y1＞y2；②5a+c＝0；③方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5；④对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣3a中，正确结论是（填写序号）．三、解答题：本题共9小题，共86分。17．（8分）解方程：x2+4x﹣2＝0．18．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF．求证：AE＝AF．19．（8分）已知变量y与x成反比例函数关系，其部分对应数值如表格所示：x…12346…y…6a21.51…（1）求y与x的函数关系式，及表中a的值；（2）根据表格中对应数值，在所给坐标系上画出该反比例函数在第一象限上的图象．20．（8分）为杜绝家禽散养，美化环境，乡村振兴帮扶小组帮助一农户利用房屋旁边的空地，围出一个如图所示的矩形地块作家禽圈养场所，并用隔栏隔成两个等宽的矩形，圈养场一边利用长为8m的墙，另外三边及隔栏用总长15m的篱笆围成．已知该场所的总面积为18m2，求与墙平行的边BC的长．21．（8分）自卸式货车可以实现自动卸货，其原理是通过液压臂的伸缩来改变货厢的倾斜角度，如图1、图2是某款自卸式货车卸货时的截面示意图，其液压臂底座A与车厢转轴O的距离AO＝2.4m，伸缩臂支点B与车厢转轴O的距离BO＝2m，当车厢底座与车架底座的夹角∠AOB＝37°时，求液压臂AB的长．（结果保留根号，参考数据sin37°＝，cos37°＝，tan37°＝）22．（10分）某小商贩以摸球的方式在校门口摆摊摸彩，吸引了大量学生参与．规则是：付3元钱摸彩一次，每次从奖箱中摸出两个球，若两个球中一个是红球，则奖励3元；若两个球都是红球则奖励10元；若摸到的两个球都是白球则无奖金．为了揭示摸彩的危害性，经打探得知奖箱中共有6个球，其中4个是白球，2个是红球．（1）若花3元钱摸一次彩，求能获奖的概率；（2）从所获奖金平均数的角度分析摸彩对参与的学生是否合算．23．（10分）如图，已知▱ABCD，点F在AB延长线上，CF⊥AB．（1）尺规作图：在BC边上找一点E，使得△DCE∽△CBF（保留作图痕迹，不写作法，不必证明）；（2）在（1）条件下，若点E为BC中点，AD＝8，BF＝3，求AB的长．24．（13分）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E是AD边上的动点，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在点F处，连接FC，FD．（1）当点E是AD中点时，求证：∠AEB＝∠EDF；（2）当AB＝6，BC＝10时，求sin∠FCB的最大值；（3）当AB2＝AE•BC时，求证：点F在线段AC上．25．（13分）已知抛物线G1：y＝﹣x2+2mx+m和G2：y＝﹣x2+2nx+n（n＞m）相交于点A，过点A的直线l：y＝kx+b与抛物线G1交于另一点B，与抛物线G2交于另一点C，抛物线G1的顶点为点M，抛物线G2的顶点为点N．（1）直接写出顶点M的坐标；（用含m的式子表示）（2）当m＝﹣3，n＝2，且直线l∥x轴时，求证：MB＝NA；（3）当k≠0时，若AB＝AC，求直线l的表达式．（用含m，n的式子表示）

2021-2022学年福建省宁德市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（4分）若＝，则的值为（）A．1 B． C． D．【分析】根据合分比性质求解．【解答】解：∵＝，∴＝＝．故选：D．【点评】考查了比例性质：常见比例的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．2．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝12，则CD的长是（）A．12 B．6 C．4 D．3【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，AB＝12，则CD＝AB＝×12＝6，故选：B．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．3．（4分）已知一个几何体如图所示，则该几何体的俯视图是（）A． B． C． D．【分析】找到从上面看所得到的图形即可．【解答】解：从上面可看，是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线，实线的两侧分别有一条纵向的虚线．故选：A．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．4．（4分）已知∠α为锐角，且sinα＝，则∠α＝（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】根据特殊角的三角函数值解答．【解答】解：∵∠α为锐角，且sinα＝，∴∠α＝30°．故选：A．【点评】此题考查的是特殊角的三角函数值，属较简单题目．5．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AE的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．【解答】解：∵DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，∴，∴，解得：AE＝6，故选：C．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理的运用，熟练利用平行线分线段成比例定理是解题关键．6．（4分）关于二次函数y＝（x﹣1）2﹣2，下列说法正确的是（）A．有最大值1 B．有最小值﹣1 C．有最大值2 D．有最小值﹣2【分析】由二次函数的性质及函数的顶点式，可得顶点坐标，进而根据二次函数的性质得出答案．【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2﹣2，∴其图象开口向上，其顶点为（1，﹣2）．∴函数的最小值为﹣2．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的最值，明确二次函数的性质及二次函数的顶点式是解题的关键．7．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（）A．8 B．9 C．10 D．11【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4m＞0，然后解关于m的不等式，最后对各选项进行判断．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4m＞0，解得m＜9．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．8．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，位似中心是点P，其位似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比是（）A．1：2 B．1：4 C．1： D．1：8【分析】根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，其位似比为1：2，∴其位似比为1：4．故选：B．【点评】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．9．（4分）已知点A（﹣7，y1），B（﹣4，y2），C（5，y3）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3【分析】根据反比例函数的性质可以判断y1，y2，y3的大小，从而可以解答本题．【解答】解：∵点A（﹣7，y1），B（﹣4，y2），C（5，y3）在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，∴该函数在每个象限内，y随x的增大而减小，函数图象在第一、三象限，∵﹣7＜﹣4，0＜5，∴y2＜y1＜0＜y3，即y2＜y1＜y3，故选：D．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．10．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠CBA＝90°，E为边AB的黄金分割点（AE＞BE），AD＝AE，BC＝BE．AC，DE将四边形分为四个部分，它们的面积分别用S1，S2，S3，S4表示，则下列判断正确的是（）A．S1＝4S2 B．S4＝3S2 C．S1＝S3 D．S3＝S4【分析】设AB＝a．求出△ADE，△ABC的面积（用a表示），可得结论．【解答】解：设AB＝a．∵E是AB的黄金分割点，AE＞EB，∴AD＝AE＝a，BE＝BC＝a（1﹣）＝a，∴S△ADE＝•（a）2＝a2，S△ABC＝×a×a＝a2，∴S△ADE＝S△ABC，即S1+S2＝S2+S3，∴S1＝S3，故选：C．【点评】本题考查黄金分割，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。11．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，则sinA＝．【分析】根据正弦的定义解答．【解答】解：在Rt△ABC中，sinA＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．12．（4分）一元二次方程x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝2．【分析】本题应对方程左边进行变形，提取公因式x，可得x（x﹣2）＝0，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”，即可求得方程的解．【解答】解：原方程变形为：x（x﹣2）＝0，x1＝0，x2＝2．故答案为：x1＝0，x2＝2．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．13．（4分）若抛物线y＝x2﹣kx+1的图象经过点（1，2），则k的值是0．【分析】由抛物线y＝x2﹣kx+1的图象经过点（1，2），利用二次函数图象上点的坐标特征可得出2＝1﹣k+1，解之即可得出k值．【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣kx+1的图象经过点（1，2），∴2＝1﹣k+1，∴k＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，牢记图象上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．14．（4分）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标是（3，2），则点A的坐标是（﹣2，3）．【分析】作AD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，先证明△AOD≌△COE，因为C（3，2），所以OD＝OE＝3，AD＝CE＝2，再根据点A在第二象限求出点A的坐标．【解答】解：如图，作AD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，则∠ADO＝∠CEO＝90°，∵四边形OABC是正方形，∴∠AOC＝∠DOE＝90°，OA＝OC，∴∠AOD＝∠COE＝90°﹣∠COD，在△AOD和△COE中，，△AOD≌△COE（AAS），∵C（3，2），∴OD＝OE＝3，AD＝CE＝2，∵点A在第二象限，∴A（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）．【点评】此题考查正方形的性质、全等三角形的判定、图形与坐标等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．15．（4分）如图，已知在电线杆AB上有一个光源，身高1.8m的小明站在与电线杆底部A距离3m的点C处，其影长CE＝1m，若他沿AC方向走3m到达点F处，此时他的影长是2m．（图中CD，FG均表示小明身高）【分析】根据题意得到AB⊥AM．DC⊥AM，GF⊥AM，得到CD∥AB，GF∥AB，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：如图，∵AB⊥AM．DC⊥AM，GF⊥AM，∴CD∥AB，GF∥AB，∴△EDC∽△EBA，△MGF∽△MBA，∴＝，＝，∴＝，＝，解得：FM＝2，答：此时他的影长是2m，故答案为：2．【点评】本题看了相似三角形的应用：利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．16．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（﹣2，y1），（m﹣3，n），（﹣1，0），（3，y2），（7﹣m，n）．则下列四个结论①y1＞y2；②5a+c＝0；③方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5；④对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣3a中，正确结论是①②③（填写序号）．【分析】利用抛物线的对称性可求得抛物线的对称轴，利用对称轴方程可得a，b的关系，用待定系数法将（﹣1，0）代入，可得c与a的关系，利用配方法可求得抛物线的顶点坐标，由此可画出函数的大致图象，利用图象可判定①正确；将a，b关系式代入a﹣b+c＝0可得②正确；令y＝0解方程即可判定③正确；利用函数的最小值可判定④不正确．【解答】解：∵a＞0，∴抛物线y＝ax2+bx+c开口向上．∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（m﹣3，n），（7﹣m，n），∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝＝2．∴﹣＝2．∴b＝﹣4a．∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0．∴a﹣（﹣4a）+c＝0．∴5a+c＝0．∴c＝﹣5a．∴二次函数的解析式为：y＝ax2﹣4ax﹣5a．∵y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，∴它的大致图象如下图：由图象可知：y1＞y2，∴①的说法正确；∵a﹣b+c＝0，b＝﹣4a，∴5a+c＝0．∴②的说法正确；令y＝0，则ax2+bx+c＝0．∵b＝﹣4a，c＝﹣5a，∴ax2﹣4ax﹣5a＝0．∵a＞0，即x2﹣4x﹣5＝0．解得：x1＝﹣1，x2＝5，∴方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝5．∴③的说法正确；∵y＝ax2﹣4ax﹣5a＝a（x﹣2）2﹣9a，a＞0，∴当x＝2时，y有最小值为﹣9a，∴对于任意实数t，总有at2+bt+c≥﹣9a．∴④的说法不正确．综上，正确结论是：①②③，故答案为：①②③．【点评】本题主要考查了二次函数图象的性质，待定系数法，数形结合法，配方法，二次函数图象上点的坐标的特征，利用已知条件画出函数的大致图象是解题的关键三、解答题：本题共9小题，共86分。17．（8分）解方程：x2+4x﹣2＝0．【分析】先移项，得x2+4x＝2，再在两边同时加上22，再利用平方法即可解出原方程．【解答】解：移项，得x2+4x＝2，两边同加上22，得x2+4x+22＝2+22，即（x+2）2＝6，利用开平方法，得或，∴原方程的根是，．【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，难度适中．18．（8分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF．求证：AE＝AF．【分析】根据菱形的性质得到OB＝OD，AC⊥BD，得到OF＝OE，根据线段垂直平分线的性质即可得到AE＝AF．【解答】证明：四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD，AC⊥BD，∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OF＝OE，∴AE＝AF．【点评】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．19．（8分）已知变量y与x成反比例函数关系，其部分对应数值如表格所示：x…12346…y…6a21.51…（1）求y与x的函数关系式，及表中a的值；（2）根据表格中对应数值，在所给坐标系上画出该反比例函数在第一象限上的图象．【分析】（1）设y与x成反比例函数关系式为y＝（k≠0），再将（1，6）代入即可求出k，把x＝2代入关系式可求出a；（2）描点，连线即可．【解答】解：（1）设y与x成反比例函数关系式为y＝（k≠0），由表格中的数据可知，当x＝1时，y＝6，∴6＝，解得k＝6，∴y与x成反比例函数关系式为y＝，当x＝2时，y＝＝3，即a的值为3．（2）根据表格中的数据在坐标系上画出函数图象（x＞0），如下图所示：【点评】本题考查的是反比例函数的定义，即形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．20．（8分）为杜绝家禽散养，美化环境，乡村振兴帮扶小组帮助一农户利用房屋旁边的空地，围出一个如图所示的矩形地块作家禽圈养场所，并用隔栏隔成两个等宽的矩形，圈养场一边利用长为8m的墙，另外三边及隔栏用总长15m的篱笆围成．已知该场所的总面积为18m2，求与墙平行的边BC的长．【分析】设与墙垂直的一边长AB＝xm，则与墙平行的一边长为BC＝（15﹣3x）m，根据花圃面积为18m2即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设与墙垂直的一边长AB＝xm，则与墙平行的一边长为BC＝（15﹣3x）m，根据题意得：AB•BC＝18，即x（15﹣3x）＝18．解得：x1＝2，x2＝3，当x＝2时，15﹣3x＝9＞8（舍去），当x＝3时，15﹣3x＝6＜8，则15﹣3x＝6m．答：与墙平行的边BC的长6m．【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据场所的面积列出关于x的一元二次方程是解决问题的关键．21．（8分）自卸式货车可以实现自动卸货，其原理是通过液压臂的伸缩来改变货厢的倾斜角度，如图1、图2是某款自卸式货车卸货时的截面示意图，其液压臂底座A与车厢转轴O的距离AO＝2.4m，伸缩臂支点B与车厢转轴O的距离BO＝2m，当车厢底座与车架底座的夹角∠AOB＝37°时，求液压臂AB的长．（结果保留根号，参考数据sin37°＝，cos37°＝，tan37°＝）【分析】过点B作BC⊥OA于C，先在Rt△OBC中求出BC，OC，再求出AC，然后在Rt△ABC中求出AB即可解决问题．【解答】解：过点B作BC⊥OA于C，如图．在Rt△OBC中，∠OCB＝90°，∠BOC＝37°，BO＝2，∴BC＝OB•sin∠BOC＝2×＝，OC＝OB•cos∠BOC＝2×＝，∴AC＝OA﹣OC＝2.4﹣＝，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝．故液压臂AB的长为m．【点评】本题考查了解直角三角形，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．22．（10分）某小商贩以摸球的方式在校门口摆摊摸彩，吸引了大量学生参与．规则是：付3元钱摸彩一次，每次从奖箱中摸出两个球，若两个球中一个是红球，则奖励3元；若两个球都是红球则奖励10元；若摸到的两个球都是白球则无奖金．为了揭示摸彩的危害性，经打探得知奖箱中共有6个球，其中4个是白球，2个是红球．（1）若花3元钱摸一次彩，求能获奖的概率；（2）从所获奖金平均数的角度分析摸彩对参与的学生是否合算．【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有等可能的情况数即可，找出符合条件的情况数，再根据概率公式即可得出答案；（2）求出奖金平均数，再与3进行比较，即可得出答案．【解答】解：（1）根据题意列表如下：白白白白红红白（白，白）（白，白）（白，白）（白，红）（白，红）白（白，白）（白，白）（白，白）（白，红）（白，红）白（白，白）（白，白）（白，白）（白，红）（白，红）白（白，白）（白，白）（白，白）（白，红）（白，红）红（红，白）（红，白）（红，白）（红，白）（红，红）红（红，白）（红，白）（红，白）（红，白）（红，红）共有30种等可能的情况数，其中能获奖的有18种，则能获奖的概率是＝；（2）摸彩对参与的学生不合算，奖金平均数是：×3+×10＝＜3，则摸彩对参与的学生不合算．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．（10分）如图，已知▱ABCD，点F在AB延长线上，CF⊥AB．（1）尺规作图：在BC边上找一点E，使得△DCE∽△CBF（保留作图痕迹，不写作法，不必证明）；（2）在（1）条件下，若点E为BC中点，AD＝8，BF＝3，求AB的长．【分析】（1）过点D作DE⊥BC于点E即可；（2）根据勾股定理求出CB的长，再根据△DCE∽△CBF，对应边成比例即可求解．【解答】（1）解：如图，点E即为所求；（2）在▱ABCD中，BC＝AD＝8，AB＝CD，∵CF⊥AB，BF＝3，∴CB＝＝＝，∵点E为BC中点，∴CE＝BE＝BC＝4，∵△DCE∽△CBF，∴＝，∴＝，∴DC＝，∴AB＝DC＝．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．24．（13分）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E是AD边上的动点，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在点F处，连接FC，FD．（1）当点E是AD中点时，求证：∠AEB＝∠EDF；（2）当AB＝6，BC＝10时，求sin∠FCB的最大值；（3）当AB2＝AE•BC时，求证：点F在线段AC上．【分析】（1）利用中点、折叠的性质和等腰三角形性质即可证得结论；（2）如图2，过点B作BG⊥FC交CF的延长线于点G，则∠BGC＝90°，以点B为圆心、AB长为半径作⊙B，则点F在⊙B上运动，根据sin∠FCB＝＝，可知：sin∠FCB的值随BG的增大而增大，BG越大则sin∠FCB的值越大，当点G与点F重合时，BG＝FB＝6，此时BG最大，sin∠FCB的值也最大，再根据三角函数定义即可求得答案；（3）由AB2＝AE•BC，可得＝，再由矩形性质可得∠ABC＝∠EAB＝90°，可证得△ABC∽△EAB，BE⊥AC，再根据折叠可得AF⊥BE，根据过一点有且只有一条直线与已知垂直，即可证得结论．【解答】（1）证明：由折叠性质得，AE＝EF，∠AEB＝∠BEF，∵E是AD的中点，∴AE＝ED，∴ED＝EF，∴∠EDF＝∠EFD，∵∠FED+∠EDF+∠EFD＝180°，∠AEB+∠BEF+∠FED＝180°，∴∠AEB＝∠EDF；（2）解：如图2，过点B作BG⊥FC交CF的延长线于点G，则∠BGC＝90°，以点B为圆心、AB长为半径作⊙B，则点F在⊙B上运动，∵sin∠FCB＝＝，∴sin∠FCB的值随BG的增大而增大，∴BG越大则sin∠FCB的值越大，∵BG≤FB，∴当点G与点F重合时，BG＝FB＝6，此时BG最大，sin∠FCB的值也最大，如图3，当点G与点F重合时，则∠BFC＝90°，此时sin∠FCB＝＝＝，∴sin∠FCB的最大值为；（3）证明：如图3，∵AB2＝AE•BC，∴＝，∵四边形