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第二章矩阵的秩方程组同解变换等价方程组阶梯型方程组同解变换判断解的情况去掉冗余方程组（非零方程组）本质矩阵行初等变换等价矩阵行阶梯型矩阵行初等变换判断解的情况（矩阵的秩）对应的行阶梯形矩阵非零行的行数一一对应矩阵的秩:对应的行阶梯形矩阵非零行的行数
与元素a12相对应的余子式相应的代数余子式矩阵A
的一个2阶子块矩阵A的一个2阶子式
规定：零矩阵的秩等于零．
矩阵的秩例：求矩阵的秩解：在
A中，2阶子式．A的3阶子式只有一个，即|A|，而且|A|=0，因此R(A)=2．解：B行阶梯形矩阵，非零行有3行,4阶子式全为零．以非零行的第一个非零元为对角元的3阶子式，因此R(B)=3．还存在其它3阶非零子式吗？结论：行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数．分析：在
A中，2阶子式．
思路：行阶梯型矩阵容易判断秩，矩阵容易化成行阶梯型。二者是否存在某种关系？
矩阵求秩的方法：将矩阵通过初等行变换化为行阶梯型，
行阶梯形矩阵的非零行数就等于矩阵的秩.证明A的秩与B的秩相等，即证初等变换不会使原本非零的子式变为零，或者为零的子式变为非零。
一般的矩阵，当行数和列数较高时，按定义求秩是很麻烦的.行阶梯形矩阵的秩就等于非零行的行数.用初等变换将一般的矩阵化为行阶梯形矩阵求秩两个等价的矩阵的秩相等例：求矩阵的秩．解：初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．行阶梯形矩阵有3个非零行，故R(A)=3．
例：设，求矩阵A
及矩阵B=(A,b)的秩．解：R(A)=2R(B)=3矩阵A
的秩就是A
中非零子式的最高阶数．
矩阵A的一个2阶子式矩阵AT
的一个2阶子式AT
的子式与A
的子式对应相等，从而R(AT)=R(A)．矩阵的秩的性质对应方程组为方程组有无穷多解
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