江西省南昌市东湖区红谷中学2023-2024学年九年级下学期开学考试数学试题（解析版）

2023—2024学年江西省南昌市东湖区红谷中学九年级（下）开学数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.如图所示的三个矩形中，其中相似形是A.甲与乙 B.乙与丙 C.甲与丙 D.以上都不对【答案】B【解析】【分析】根据矩形相似的条件，判断对应边的比是否相等即可．甲：矩形宽与长比为：；乙:矩形宽与长比为：;丙:矩形宽与长比为：,所以乙和丙的宽与长的比相等，故这两个矩形相似.故选B.【点睛】考查相似多边形的判定，解题关键是运用了对应角相等,对应边成比例的多边形是相似多边形．2.若函数的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则m的取值范围是A.m＜﹣2 B.m＜0 C.m＞﹣2 D.m＞0【答案】A【解析】【分析】根据反比例函数的增减性列出关于的不等式，求出的取值范围即可．∵函数的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，∴m+2＜0，解得：m＜﹣2．故选A．【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题的关键．3.点关于轴对称的点的坐标是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了求特殊角的三角函数值，关于轴对称的点的坐标特征；先求得，，进而根据关于轴对称的点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解．】解：∵，∴即∴关于轴对称的点的坐标是，故选：B．4.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为()A.米 B.30sinα米 C.30tanα米 D.30cosα米【答案】C【解析】在Rt△ABO中，∵BO=30米，∠ABO为α，∴AO=BOtanα=30tanα（米）．故选C．5.用两块完全相同的长方体摆放成如图所示的几何体，这个几何体的左视图是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：找到从左面看所得到的图形即可：从左面看易得有两层，上层右边是1个正方形；下层有1个长方形，且中间有一看不见的竖线．故选C．6.如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AD∥BC，BE的延长线交AD于点G，且BG∥DF，则下列结论错误的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定和性质进行分析即可得到答案．∵BG∥DF，∴，A正确，C错误；∴，B正确；∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∵BG∥DF，∴∠BEC=∠DFA，∴△BEC∽△DFA，∴，D正确，故选C．【点睛】考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握定理、找准对应关系．7.如图，反比例函数和正比例函数的图象交于A、B两点，若，则x的取值范围是（）A. B.C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】根据图象的交点坐标及函数的大小关系，直接解答．要充分利用函数图象所给的信息解答．解：由图可知，在A点左侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时；在B点左侧，y轴的右侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时．故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，将关于算式的问题转化为图象问题是解题的关键．8.如图，△ABC是一块锐角三角形材料，高线AH长8cm，底边BC长10cm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形DEFG的一边EF在BC上，其余两个顶点D，G分别在AB，AC上，则四边形DEFG的最大面积为()A.40cm2 B.20cm2C.25cm2 D.10cm2【答案】B【解析】【分析】设矩形DEFG的宽DE=x，根据相似三角形对应高的比等于相似比列式求出DG，再根据矩形的面积列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答即可．如图所示：设矩形DEFG的宽DE=x，则AM=AH-HM=8-x，

∵矩形的对边DG∥EF，

∴△ADG∽△ABC，∴，即，解得DG=（8-x），

四边形DEFG的面积=（8-x）x=-（x2-8x+16）+20=-（x-4）2+20，

所以，当x=4，即DE=4时，四边形DEFG最大面积为20cm2．

故选B．【点睛】考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形的对应高的比等于相似比用矩形DEFG的宽表示出长是解题的关键．9.二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数的大致图象是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象，反比例函数的图象，一次函数的图象，先根据二次函数的图象判断出的符号，进而可判断出一次函数与反比例函数图象所在的象限，先根据二次函数的图象判断出的符号是解答此题的关键．解：抛物线开口向下，．抛物线与轴的交点在轴正半轴，．抛物线的对称轴在轴正半轴，，，一次函数图象经过一二四象限，反比例函数的图象的两个分支分别位于一三象限，故选：C．10.若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似．如图，如果扇形AOB与扇形是相似扇形，且半径（为不等于0的常数）．那么下面四个结论：①∠AOB＝∠；②△AOB∽△；③；④扇形AOB与扇形的面积之比为．成立的个数为：（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】D【解析】试题分析：这是一个阅读题，根据扇形相似的意义，可知①②正确，由边长的比等于相似比可知③正确，由扇形面积的比等于相似比的平方，可得到④正确.故选D考点：弧长，扇形面积公式二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．11.小明在操场上练习双杠，他发现双杠两横杠在地面上的影子的关系是____【答案】平行【解析】【分析】利用在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行分析．根据平行投影的特点是：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．

双杠平行，地上双杠的两横杠的影子也平行．故答案是：平行.【点睛】考查了平行投影特点，平行投影的特点是：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．12.如图，在Rt中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB=__，sinA=___【答案】①.5②.【解析】分析：先利用勾股定理计算出AB，然后根据正弦的定义即可得到∠A的正弦．解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB===5，∴sinA==．故答案为5，．点评：本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的正弦等于这个角的对边与斜边的比值．也考查了勾股定理．13.在平面直角坐标系中，△ABC顶点A的坐标为(3，2)，若以原点O为位似中心，画△ABC的位似图形△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的相似比等于，则点A′的坐标为______．【答案】(6，4)或(－6，－4)【解析】【分析】位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（-kx，-ky）．∵在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（-kx，-ky）

∴A'的坐标为（4，6）或（-4，-6）．故答案是：(6，4)或(－6，－4).【点睛】正确理解位似与相似的关系，解题的关键是记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系．14.在Rt△ABC中，CA=CB，AB=，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD=，则BD的长为___．【答案】6【解析】解：如图，在Rt△ABC中，∵CA=CB，AB=，∴CA2+CB2=AB2，∴CA=CB=9．∵在Rt△ACD中，tan∠CAD=，∴CD=3．∴BD=BC﹣CD=9﹣3=6．15.如图是一个几何体三视图，其中主视图与左视图都是边长为4的等边三角形，则这个几何体的侧面展开图的面积为___.【答案】8π【解析】【分析】解：由三视图可知这个几何体是一个圆锥，且底面圆的直径为4，母线长为4，则底面周长为4π，所以所以扇形的圆心角的度数为180°，则侧面展开图的面积为.故答案为：8π16.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为____．【答案】【解析】【分析】利用等腰直角三角形的判定与性质得出BC=AC，DE=EC=DC，然后通过解直角△DBE来求tan∠DBC的值即可．∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠C=45°，BC=AC．

又∵点D为边AC的中点，

∴AD=DC=AC．

∵DE⊥BC于点E，

∴∠CDE=∠C=45°，

∴DE=EC=DC=AC．

∴tan∠DBC＝.故答案是：.【点睛】考查了解直角三角形的应用、等腰直角三角形的性质．通过解直角三角形，可求出相关的边长或角的度数或三角函数值．17.如图，双曲线与⊙O在第一象限内交于P、Q两点，分别过P、Q两点向x轴和y轴作垂线，已知点P坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为______．【答案】4．【解析】解：∵⊙O在第一象限关于y=x对称，也关于y=x对称，P点坐标是（1，3），∴Q点的坐标是（3，1），∴S阴影=1×3+1×3－2×1×1=4．故答案为：418.在直角坐标系中，有如图所示的Rt△ABO，AB⊥x轴于点B，斜边AO=10，sin∠AOB=，反比例函数的图象经过AO的中点C，且与AB交于点D，则点D的坐标为____________．【答案】（8，）【解析】∵斜边AO=10，sin∠AOB=，∴sin∠AOB===，∴AB=6，∴OB==8，∴A点坐标为（8，6），而C点为OA的中点，∴C点坐标为（4，3），又∵反比例函数的图象经过点C，∴k=4×3=12，即反比例函数的解析式为y=，∵D点在反比例函数的图象上，且它的横坐标为8，∴当x=8，y==，所以D点坐标为（8，）．故答案为（8，）．三、解答题：本题共6小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19.计算：．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了实数的运算，有理数的乘方法则，负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，绝对值的意义和特殊角的三角函数值，正确利用上述法则与性质化简运算是解题的关键．利用有理数的乘方法则，负整数指数幂的意义，零指数幂的意义，绝对值的意义和特殊角的三角函数值化简运算即可．】解：原式．20.如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．【答案】证明见解析．【解析】【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明．∵在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC．又∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，正确找到相似的条件是解题的关键．21.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点A（4，2），与y轴的负半轴交于点B，且OB=6．（1）求函数和y=kx+b的解析式．（2）已知直线AB与x轴相交于点C，在第一象限内，求反比例函数的图象上一点P，使得．【答案】（1），y=2x-6（2）P（，6）【解析】【分析】（1）把点A（4，2）代入反比例函数，可得反比例函数解析式，把点A（4，2），B（0，﹣6）代入一次函数y=kx+b，可得一次函数解析式；（2）根据C（3，0），可得CO=3，设，根据S△POC=9，可得，解得，即可得到点P的坐标．解：（1）把点A（4，2）代入反比例函数，可得m=8，∴反比例函数解析式为：，∵OB=6，∴B（0，﹣6），把点A（4，2），B（0，﹣6）代入一次函数y=kx+b，可得：，解得：，∴一次函数解析式为y=2x﹣6；（2）在y=2x﹣6中，令y=0，则x=3，即C（3，0），∴CO=3，设，则由S△POC=9，可得，解得：，∴22.某校九年级组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如下表所示：第1天第2天第3天第4天售价（元/双）150200250300销售量/（双）40302420（1）观察表中数据，，满足什么函数关系？请求出函数解析式；（2）若商场计划品牌运动鞋每天的销售利润为3000元，则其售价应定为多少元一双？【答案】（1）反比例函数关系，（2）240元【解析】【分析】（1）由表中数据得出，即可得出结果；（2）由题意得出方程，解方程即可，注意检验．【小问1】解：由表中数据得：，，是的反比例函数，故所求函数关系式为；【小问2】解：由题意得：，把代入得：，解得：；经检验，是原方程的根；答：若商场计划每天的销售利润为3000元，则其单价应定为240元．【点睛】本题考查了反比例函数的应用、列分式方程解应用题；根据题意得出函数关系式和列出方程是解决问题的关键．23.如图，山顶有一塔，塔高．计划在塔的正下方沿直线开通穿山隧道．从与E点相距的C处测得A，B的仰角分别为，，从与F点相距的D处测得A的仰角为．求隧道的长度．（参考数据：，）【答案】隧道的长度为【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．延长交于H，利用正切的定义用表示出，，根据题意列式求出，计算即可．解：延长交于