正态分布高二下学期数学湘教版（2019）选择性必修第二册

3.3正态分布高中数学新教材–湘教版选择性必修第二册复习回顾：两点分布超几何分布二项分布高斯是一个伟大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举，德国的10马克纸币上就印有高斯的头像和正态分布曲线．新知引入新知引入高尔顿板演示实验新知引入例如，对直径为1cm的圆的周长进行测量．由于多种偶然因素的影响，测量出的数据是有差异的．若记X为测量出的数据，则X是一个随机变量．实际问题中需要关心X取值的概率分布．为了确定X的概率分布，我们记录了90次测量的数据（即样本点个数为90），把它们进行分组整理后得如下分组数据表：二、抽象概括1.概率密度曲线随机变量X

在每个小区间内取值的频率，接近于X在那个区间中取值的概率，因此，我们把这条曲线称为X的概率密度曲线．新知概括

当样本点个数越来越大，分组数越来越多时（即组距无限缩小），频率分布直方图的顶边会无限缩小乃至形成一条光滑的曲线（如图）．二、抽象概括2.正态分布密度曲线曲线呈现"中间高，两边低，左右大致对称"的特点，我们把具有这种特性的曲线叫作正态分布密度曲线，简称正态曲线。相应的函数表达式为(其中μ∈R，σ>0为参数.)新知概括三、新知探究3.正态曲线的特点新知概括4.

正态曲线3σ原则1.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝

；(2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝

；(3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝

.0.68270.95450.99732.服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值.如何计算X取时发生的概率？二、抽象概括5.标准正态分布新知概括类型一正态分布的实际应用例1在某次数学考试中，假设考生的成绩ξ服从正态分布

N(90，100)．

（1）求考试成绩位于区间(70，110)上的概率；（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80，100)间的考生大约有多少人．典型例题解：因为ξ~N(90，100)，所以μ=90，σ2=100，σ=10．

（1）由正态分布的性质可知，考生成绩在μ－2σ=90－2×10=70和μ＋2σ=90＋2×10=110之间的概率约为0.9545．解：因为ξ~N(90，100)，所以μ=90，σ2=100，σ=10．

（2）由正态分布的性质可知，考生成绩在μ－σ=80和

μ＋σ=100之间的概率是0.6827．

又因为一共有2000名学生参加考试，因此考试成绩在（80，100）间的考生大约有2000×0.6827≈1365（人）．类型二正态曲线的图象的应用例2如图所示的是一个正态分布，试根据该图象求出总体期望和方差.随机变量总体的数学期望是μ＝20，解从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x＝20对称，典例分析例3已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X≤4)=0.84，则P(X≤0)=A．0.16B．0.32C．0.68D.0.84A典型例题类型三利用正态分布的对称性求概率利用正态分布求概率的两个方法(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等.如：①P(X<a)＝1－P(X≥a)；②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a).反思与感悟(2)“3σ”法则：利用X区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.6827、0.9545、0.9973求解.1．设随机变量X的正态分布密度函数为，则参数，的值分别是（）A.μ=3,σ=2

B.μ=-3,σ=2

C.μ=3,σ=

D.μ=-3,σ=

D课堂练习2.下列函数是正态分布密度函数的是()课堂练习B解析因为X～N(1,22)，所以D(X)＝4，1拓展练习4.如图是三个正态分布X～N(0,0.25)，Y～N(0,1)，Z～N(0，4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的

、

、

.解析在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”.①②③拓展练习课堂小结作业布置交本作业：必做题

1.课本第155页练习：第2，3题选做题2.课本第155页习题3.3：第2题3.记忆本节的公式和定义、结论.必做题配套练习5.设随机变量X～