人教版2024-2025年九年级数学2年全国中考真题汇编 5.2 矩形、菱形与正方形 第3课时 正方形

试卷第=page11页，共=sectionpages33页5.2矩形、菱形与正方形第3课时正方形一、选择题1．（2025·四川凉山）下列说法正确的是（

）A．若a=bB．若am<bm，则a<bC．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧2．（2025·四川成都）下列命题中，假命题是（

）A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等3．（2024·江苏连云港）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是80cm，则图中阴影图形的周长是（

A．440cm B．320cm C．280cm4．（2024·陕西）如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB=6，CE=2，则DH的长为（

）A．2 B．3 C．52 D．5．（2025·陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，则△CEF的面积为（

）A．10 B．8 C．5 D．46．（2024·四川泸州）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE=BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG=2GB，则OM+1

A．4 B．5 C．8 D．107．（2025·四川泸州）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE上的点，且DF=DC，则AF的长为（

）A．2109 B．2105 C．8．（2025·黑龙江大庆）如图，在正方形ABCD中，AB=32，点E，F分别在线段AB，BC上，AE=CF=2，连接EF，AC．过点E，F分别作线段AC的垂线，垂足分别为G，H．动点P在△ACD内部及边界上运动，四边形EFHG，△PEG，△PEF，△PFH，△PGH的面积分别为S0，S1，S2，S3，A．2 B．32π C．4 9．（2024·广西）如图，边长为5的正方形ABCD，E，F，G，H分别为各边中点，连接AG，BH，CE，DF，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形MNPQ的面积为（

）A．1 B．2 C．5 D．1010．（2024·山东东营）如图，四边形ABCD是平行四边形，从①AC=BD，②AC⊥BD，③AB=BC，这三个条件中任意选取两个，能使▱ABCD是正方形的概率为（

）A．23 B．12 C．1311．（2024·重庆）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF．交CD于点M．若BE=DF=1，则DM的长度为（）A．2 B．5 C．6 D．1212．（2024·山东烟台）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，连接AE并延长交CD于点G，连接EF，FG，若∠AGF=α，则∠FAG用含A．45°−α2 B．90°−α2 C．45°+α213．（2024·内蒙古呼伦贝尔）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O．E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE,EF．若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是（

）

A．22 B．2+2 C．4−2214．（2024·四川资阳）第14届国际数学教育大会（JCME−14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH=1：3，则A．55 B．35 C．4515．（2024·山东东营）如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，H为AB延长线上的一点，且BH=BD，连接DH，分别交AC，BC于点E，F，连接BE，则下列结论：①CFBF=32；②tan∠H=3−1其中正确结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个16．（2024·陕西）如图，直线l经过正方形ABCD的中心O，分别与BC和AD相交于点E和点F，并与CD的延长线相交于点G．若AB=4，AF=3，则DG的长为()A．1 B．43 C．3217．（2025·四川自贡）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上．B0，−2．若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°．得到正方形A′BA．−3,5 B．5,−3C．−2,5 D．5,−218．（2025·山东）如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形OABC是面积为4的正方形．若函数y=kxx>0的图象经过点B，则满足y≥2的xA．0<x≤2 B．x≥2 C．0<x≤4 D．x≥419．（2025·湖北）如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G．若DE=22，则CG的长是（

A．2 B．2 C．2+1 D．20．（2025·山东东营）如图，在△ABC中，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与点B，C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q．下列结论：①AC=FG；②S△FAB:S四边形CBFG=1:2；③A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④21．（2025·广东深圳）如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线的交点O重合，EF为折痕，则EFCG的值为（

A．14 B．12 C．2222．（2025·甘肃兰州）如图，在正方形ABCD中，AB=2cm，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点O出发沿O→A→B方向以2cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→D方向以1cm/s的速度运动，当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），△CPQ的面积为y(cm2A．均为一次函数 B．一次函数，二次函数C．均为二次函数 D．二次函数，一次函数23．（2025·西藏）如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E是BC的中点，把△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，延长EF交CD于点G，连接AG，则AG的长为（

）A．35 B．2 C．210 24．（2024·山东济南）如图，在正方形ABCD中，分别以点A和B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线EF，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF于点G（点G在正方形ABCD内部），连接DG并延长交BC于点K．若BK=2，则正方形ABCD的边长为（A．2+1 B．52 C．3+525．（2025·重庆）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，连接DE，将△DCE沿直线DE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得△DFE，延长DF交AB于点G．∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H，连接GH，则△DGH的面积为（A．58 B．54 C．5526．（2025·四川自贡）如图，正方形ABCD边长为6，以对角线BD为斜边作Rt△BED、∠E=90°，点F在DE上．连接BF．若2BE=3DF．则BF的最小值为（

A．6 B．62−5 C．35 27．（2025·黑龙江）如图，在正方形ABCD中，点F在BC边上（不与点B、C重合），点E在CB的延长线上，且BE=BF，连接AC、AE、AF，过点E作EG⊥AF于点G，分别交AB、AC、DC于点M、H、N．则下列结论：①MN=AF；②∠EAH=∠EHA；③EN⋅BF=EC⋅HN；④若BF:FC=3:4，则tan∠FAC=25A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤28．（2025·江苏苏州）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接A′CA．A′D∥BE C．△A′CD的面积=△A′DE的面积二、填空题29．（2024·黑龙江大兴安岭地）在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若添加一个条件使该菱形为正方形，该条件可以是．30．（2024·福建）如图，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为．

31．（2024·吉林）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，点F是OD上一点．连接EF．若∠FEO=45°，则EFBC32．（2024·甘肃兰州）如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD=4，则EF=．33．（2024·江苏常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于原点O．若点A的坐标是2,1，则点C的坐标是．34．（2024·广东深圳）如图所示，四边形ABCD，DEFG，GHIJ均为正方形，且S正方形ABCD=10，S正方形GHIJ

35．（2024·甘肃临夏）如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD，OM为折痕，以点O为圆心，OM为半径作弧，分别交AD，BC于E，F两点，则EF的长度为（结果保留π）．36．（2025·四川南充）如图，AC为正方形ABCD的对角线，CE平分∠ACB，交AB于点E，把△CBE绕点B逆时针方向旋转90°得到△ABF，延长CE交AF于点M，连接DM，交AC于点N．给出下列结论：①CM⊥AF；②CF=AF；③∠CMD=45°；④ANCN=237．（2025·四川乐山）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC=BD；③∠ADC=90°．则正确的组合是（只需填一种组合即可）．38．（2024·新疆）如图，在正方形ABCD中，若面积S矩形AEOH=12，周长C矩形39．（2024·河南）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为−2，0，点E在边CD上．将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为0，6，则点40．（2024·北京）如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．若AD=5，CG=4，则△AEF的面积为．41．（2024·天津）如图，正方形ABCD的边长为32，对角线AC,BD相交于点O，点E在CA的延长线上，OE=5，连接DE（1）线段AE的长为；（2）若F为DE的中点，则线段AF的长为．42．（2024·青海西宁）如图，正方形ABCD的边长为4，以AB边为底向外作等腰Rt△ABE，点P是对角线AC上的一个动点，连接PB，PE，则PB+PE的最小值是．43．（2025·四川内江）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为1,0．点E在边CD上．将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为0,3．则点E的坐标为．44．（2025·北京）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F．若AB=1，∠EBC=30°，则△ABF的面积为．45．（2024·四川遂宁）如图，在正方形纸片ABCD中，E是AB边的中点，将正方形纸片沿EC折叠，点B落在点P处，延长CP交AD于点Q，连结AP并延长交CD于点F．给出以下结论：①△AEP为等腰三角形；②F为CD的中点；③AP:PF=2:3；④cos∠DCQ=3446．（2025·四川眉山）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上运动（不与点A、D重合），∠CDP=45°，点F在射线DP上，且AE:DF=1:2，连接BF，交CD于点G，连接EB、EF、EG．下列结论：①sin∠BFE=22；②AE2+CG2=EG47．（2025·吉林长春）如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．点E在线段OA上．连接BE，作CF⊥BE于点F，交OB于点P．给出下面四个结论：①∠OCP=∠OBE；②OE=OP；③当CE=CB时，BP=EF；④点A与点F之间的距离的最小值为25上述结论中，正确结论的序号有．48．（2024·黑龙江牡丹江）如图，在正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE分别交BD、CD于点F、M，过点F作NP⊥AE，分别交AD、BC于点N、P，连接MP．下列四个结论：①AM=PN；②DM+DN=2DF；③若P是BC中点，AB=3，则EM=210；④BF⋅NF=AF⋅BP；⑤若PM∥BD49．（2025·山东青岛）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为CD，AD的中点．连接BF并延长交AE于点G，交CD的延长线于点M，H为BE的中点，连接GH，CH，CG．下列结论：①CH∥AE；②∠M=30°；③S△CGH=350．（2025·山东济南）如图，正方形纸片ABCD中，E是AD上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在CD上的点G处，点B落在点H处，折痕EF交BC于点F．若CG=4，EF=43，则AB=51．（2024·湖北武汉）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD．直线MP交正方形ABCD的两边于点E，F，记正方形ABCD的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2．若BE=kAE(k>1)，则用含k的式子表示S152．（2024·四川宜宾）如图，正方形ABCD的边长为1，M、N是边BC、CD上的动点．若∠MAN=45°，则MN的最小值为．三、解答题53．（2025·浙江）【问题背景】如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线BD上．【数学理解】(1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程．(2)若裁剪过程中满足DE=DA，求“机翼角”∠BAE的度数．54．（2024·江苏徐州）已知：如图，四边形ABCD为正方形，点E在BD的延长线上，连接EA、(1)求证：△EAB≌△ECB；(2)若∠AEC=45°，求证：DC=DE．55．（2025·河北）如图1，图2，正方形ABCD的边长为5．扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上，且不与点D重合，半径OE=2，点E，F分别在边AD，CD上，DE=DF(DE≥2)，扇形OEF的弧交线段OB于点M，记为EMF．(1)如图1，当AE=3时，求∠EMF的度数；(2)如图2，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长；(3)当∠EOF=150°时，求EMF的长．56．（2024·内蒙古）如图，∠ACB=∠AED=90°，AC=FE，AB平分∠CAE，(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；(2)过点B作BG⊥AE于点G，若CB=AF，请直接写出四边形BGED的形状．57．（2024·广东广州）如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE=3，EC=6，CF=2．求证：△ABE∽58．（2025·湖南长沙）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE=DF．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)连接EF，若BC=12，BE=5，求EF的长．59．（2025·四川德阳）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园ABCD进行测量规划使用，如图，点E、F处是它的两个门，且DE=CF，要修建两条直路AF、BE，AF与BE相交于点O（两个门E、F的大小忽略不计）．(1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由；(2)同学们测得AD=4米，AE=3米，根据实际需要，某小组同学想在四边形OBCF地上再修一条2.5米长的直路，这条直路的一端在门F处，另一端P在已经修建好的路段OB或花园的边界BC上，并且另一端P与点B处的距离不少于1.5米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由．60．（2025·甘肃兰州）【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形ABCD与正方形BEFG（AB>BE），点E，G分别在AB，BC上，根据图形提出问题：如图2，正方形BEFG绕点B顺时针旋转，旋转角为α0°<α<180°，直线AE与CG相交于点H，连接BH，探究线段AH，BH【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出AH，BH，CH之间的数量关系，并说明理由；（2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出AH，BH，CH之间的数量关系，并说明理由；【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角α的范围再扩大，正方形BEFG绕点B顺时针旋转，旋转角为α180°<α<360°，直线AE与CG相交于点H，连接BH，请直接写出AH，BH，CH61．（2025·青海西宁）如图，点E是正方形ABCD的边BC的中点，连接DE，将△EDC沿DE所在直线折叠，点C落在点F处，连接EF并延长交AB于点G，连接DG．(1)求证：△ADG≌(2)若AB=25，求AG62．（2025·江苏无锡）如图，AC为正方形ABCD的对角线．(1)尺规作图：作AD的垂直平分线l交AD于点E，在l上确定点F，使得点F到∠BAC的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹）(2)在（1）的条件下，求∠EFA的度数．（请直接写出∠EFA的度数）63．（2025·江西）综合与实践从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究．特例研究在正方形ABCD中，AC，BD相交于点（1）如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________；（2）如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求BFOE类比探究（3）如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上．猜想BFOE（4）若（3）中∠ABC=β，其余条件不变，探究BA，64．（2024·内蒙古通辽）数学活动课上，某小组将一个含45°的三角尺AEF利一个正方形纸板ABCD如图1摆放，若AE=1，AB=2．将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转α0°≤α≤90°【初步探究】如图2，连接BE，DF并延长，延长线相交于点G,BG交AD于点M．问题1BE和DF的数量关系是________，位置关系是_________．【深入探究】应用问题1的结论解决下面的问题．问题2如图3，连接BD，点O是BD的中点，连接OA，OG．求证OA=OD=OG．【尝试应用】问题3如图4，请直接写出当旋转角α从0°变化到60°时，点G经过路线的长度．65．（2024·四川南充）如图，正方形ABCD边长为6cm，点E为对角线AC上一点，CE=2AE，点P在AB边上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在BC边上以2cm/s的速度由点C(1)求证：△AEP∽△CEQ．(2)当△EPQ是直角三角形时，求t的值．(3)连接AQ，当tan∠AQE=1366．（2024·四川眉山）综合与实践问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心O处，并绕点O旋转，探究直角三角板与正方形ABCD重叠部分的面积变化情况．操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点O处，在旋转过程中：（1）若正方形边长为4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为______；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为______．（2）若正方形的面积为S，重叠部分的面积为S1，在旋转过程中S1与类比探究：如图1，若等腰直角三角板的直角顶点与点O重合，在旋转过程中，两条直角边分别角交正方形两边于E，F两点，小宇经过多次实验得到结论BE+DF=2拓展延伸：如图2，若正方形边长为4，将另一个直角三角板中60°角的顶点与点O重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交AB于点M，斜边交BC于点N，且BM=BN时，请求出重叠部分的面积．（参考数据：sin15°=6−2467．（2024·江苏宿迁）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动【操作判断】操作一：如图①，对折正方形纸片ABCD，得到折痕AC，把纸片展平；操作二：如图②，在边AD上选一点E，沿BE折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕BE；操作三：如图③，在边CD上选一点F，沿BF折叠，使边BC与边BA重合，得到折痕BF把正方形纸片展平，得图④，折痕BE、BF与AC的交点分别为G、H．根据以上操作，得∠EBF=________°．【探究证明】（1）如图⑤，连接GF，试判断△BFG的形状并证明；（2）如图⑥，连接EF，过点G作CD的垂线，分别交AB、CD、EF于点P、Q、M．求证：EM=MF．【深入研究】若AGAC=1k，请求出68．（2025·甘肃甘南）某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：(1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，且DE⊥CF，猜想并计算DECF(2)如图2，在矩形ABCD中，∠DBC=30°，点E是AD上的一点，连接CE,BD，且CE⊥BD，求CEBD(3)如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE⋅AB=CF⋅AD．69．（2025·甘肃）四边形ABCD是正方形，点E是边AD上一动点（点D除外），△EFG是直角三角形，EG=EF，点G在CD的延长线上．(1)如图1，当点E与点A重合，且点F在边BC上时，写出BF和DG的数量关系，并说明理由；(2)如图2，当点E与点A不重合，且点F在正方形ABCD内部时，FE的延长线与BA的延长线交于点P，如果EF=EP，写出AE和DG的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，连接BF，写出BF和DG的数量关系，并说明理由．70．（2025·江苏扬州）问题：如图1，点P为正方形ABCD内一个动点，过点P作EF∥AD，GH∥AB，矩形PHCF的面积是矩形PGAE面积的2倍，探索∠FAH的度数随点【从特例开始】（1）小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形（如图2），请你仅用无刻度的直尺连接一条线段，由此可得此图形中∠FAH=______°；（2）小亮也画出了一个符合条件的特殊图形（如图3），其中PE=PF=6，PG=4，PH=8，求此图形中∠FAH的度数；【一般化探索】（3）利用图1，探索上述问题中∠FAH的度数随点P运动的变化情况，并说明理由．71．（2025·黑龙江绥化）综合与实践如图，在边长为8的正方形ABCD中，作射线BD，点E是射线BD上的一个动点，连接AE，以AE为边作正方形AEFG，连接CG交射线BD于点M，连接DG．（提示：依题意补全图形，并解答）【用数学的眼光观察】（1）请判断BD与DG的位置关系，并利用图（1）说明你的理由．【用数学的思维思考】（2）若DG=a，请你用含a的代数式直接写出∠CMB的正切值________．【用数学的语言表达】（3）设DE=x，正方形AEFG的面积为S．请求出S与x的函数解析式．（不要求写出自变量x的取值范围）

参考答案与解析一、选择题1．（2025·四川凉山）下列说法正确的是（

）A．若a=bB．若am<bm，则a<bC．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧【答案】C【分析】本题主要考查了绝对值的意义，不等式的性质，正方形的判定定理，垂径定理，互为相反数的两个数的绝对值也相等，据此可判断A；根据不等式的性质可知，只有当m>0时，原式才正确，据此可判断B；根据正方形的判定定理可判断C；根据垂径定理可判断D．【详解】解；A、若a=b，则B、若am<bmm>0，则a<bC、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法正确，符合题意；D、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，原说法错误，不符合题意；故选：C．2．（2025·四川成都）下列命题中，假命题是（

）A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等【答案】D【分析】本题考查判断命题的真假，根据矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质和平行四边形的性质，逐一进行判断即可．熟练掌握相关性质，是解题的关键．【详解】解：A、矩形的对角线相等，是真命题，不符合题意；B、菱形的对角线互相垂直，是真命题，不符合题意；C、正方形的对角线相等且互相垂直，是真命题，不符合题意；D、平行四边形的对角线互相平分，不一定相等，原命题是假命题，符合题意；故选：D．3．（2024·江苏连云港）如图，正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案，其中正方形边长是80cm，则图中阴影图形的周长是（

A．440cm B．320cm C．280cm【答案】A【分析】本题考查平移的性质，利用平移的性质将阴影部分的周长转化为边长是80cm的正方形的周长加上边长是80cm的正方形的两条边长再减去【详解】解：由图可得：阴影部分的周长为边长是80cm的正方形的周长加上边长是80cm的正方形的两条边长再减去∴阴影图形的周长是：4×80+2×80−2×20=440cm故选：A．4．（2024·陕西）如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB=6，CE=2，则DH的长为（

）A．2 B．3 C．52 D．【答案】B【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明△ADH∽△FGH，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．【详解】解：∵正方形ABCD，AB=6，∴AB=AD=CD=6，∵正方形CEFG，CE=2，∴CE=GF=CG=2，∴DG=CD−CG=4，由题意得AD∥∴△ADH∽△FGH，∴ADGF=DH解得DH=3，故选：B．5．（2025·陕西）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF⊥EC，则△CEF的面积为（

）A．10 B．8 C．5 D．4【答案】C【分析】该题考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．根据四边形ABCD为正方形，得出AB=AD=BC=4,∠A=∠B=90°，AE=BE=2，勾股定理求出CE，证明△AEF∽△BCE，根据相似三角形的性质求出EF，即可求出△CEF的面积．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=BC=4,∠A=∠B=90°∵E为AB的中点，∴AE=BE=2，∴CE=B∵EF⊥EC，∴∠AEF+∠BEC=90°，又∠BCE+∠BEC=90°，∴∠AEF=∠BCE，∴△AEF∽△BCE，∴AEBC=EF∴EF=5∴△CEF的面积=1故选：C．6．（2024·四川泸州）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE=BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG=2GB，则OM+1

A．4 B．5 C．8 D．10【答案】B【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明△ADE≌△BAFSAS得到∠ADE=∠BAE，进而得到∠DOF=90°，则由直角三角形的性质可得OM=12DF，如图所示，在AB延长线上截取BH=BG，连接FH，易证明△FBG≌△FBHSAS，则FH=FG，可得当H、D、F三点共线时，DF+HF有最小值，即此时OM+12FG有最小值，最小值即为DH的长的一半，求出【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，又∵AE=BF，∴△ADE≌△BAFSAS∴∠ADE=∠BAF，∴∠DOF=∠ADO+∠DAO=∠BAF+∠DAO=∠DAB=90°，∵点M是DF的中点，∴OM=1如图所示，在AB延长线上截取BH=BG，连接FH，

∵∠FBG=∠FBH=90°，∴△FBG≌△FBHSAS∴FH=FG，∴OM+1∴当H、D、F三点共线时，DF+HF有最小值，即此时OM+12FG∵AG=2GB，AB=6，∴BH=BG=2，∴AH=8，在Rt△ADH中，由勾股定理得DH=∴OM+1故选：B．7．（2025·四川泸州）如图，在边长为2的正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE上的点，且DF=DC，则AF的长为（

）A．2109 B．2105 C．【答案】B【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，三线合一，解题的关键在于熟练掌握相关知识．过点D作DG⊥CE于G，过点F作FH⊥AB于H，由正方形的性质得到AB=BC=CD=2，∠BCD=∠B=90°；由线段中点的定义得到AE=BE=12AB=1，由勾股定理求出CE=5，解直角三角形可得cos∠BEC=55，sin∠BEC=255；可证明∠GCD=∠BEC，解Rt△CDG得到CG=25【详解】解：如图所示，过点D作DG⊥CE于G，过点F作FH⊥AB于H，∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴AB=BC=CD=2，∵E为AB的中点，∴AE=BE=1在Rt△EBC中，由勾股定理得CE=∴cos∠BEC=∵∠BEC+∠BCE=∠GCD+∠BCE=90°，∴∠GCD=∠BEC，∴cos∠GCD=在Rt△CDG中，CG=CD⋅∵DF=DC，DG⊥CE，∴CF=2CG=4∴EF=CE−CF=5在Rt△EFH中，EH=EF⋅FH=EF⋅sin∴AH=AE+EH=1+1在Rt△AFH中，由勾股定理得AF=故选：B．8．（2025·黑龙江大庆）如图，在正方形ABCD中，AB=32，点E，F分别在线段AB，BC上，AE=CF=2，连接EF，AC．过点E，F分别作线段AC的垂线，垂足分别为G，H．动点P在△ACD内部及边界上运动，四边形EFHG，△PEG，△PEF，△PFH，△PGH的面积分别为S0，S1，S2，S3，A．2 B．32π C．4 【答案】A【分析】本题主要考查正方形的性质，勾股定理以及点的轨迹，由正方形的性质得AC=6，AG=CH=1,求出GE=1，GH=4，求出S0=4，根据图形得S1+S2+S3=S0+S4，根据3S0=S1+S2+S3+【详解】解：如图，在正方形ABCD中，AD=CD=AB=BC=32，∠BAC=∠BCA=45°∴AC=A∵EG⊥AC,FH⊥AC，∴∠EGA=∠EGC=∠FHC=∠FHG=90°，∴∠AEG=∠HFC=45°，∴△AGE,△HFC为等腰直角三角形，∴AG=GE,HC=HF,∵AE=CF=2∴由勾股定理得AG=GE=HC=HF=1，BE=BF，GH=AC−AG−CH=4，∴∠BEF=∠BFE=45°，∴∠GEF=45°，∴∠GEF=180°−45°−45°=90°，又∠EGH=∠FHG=90°，∴四边形GEFH是矩形，∴S0又S而3S∴S4∵动点P在△ACD内部及边界上运动，∴点P的运动轨迹是△ACD内部及边界上平行于AC的一条线段MN，则△DMN是等腰直角三角形，如图，取AC的中点O，连接OD交MN于点Q，则DO=1∵S4∴OQ=2，∴DQ=OD−OQ=3−2=1，∴MN=2，即点P组成的图形长度为2，故选：A．9．（2024·广西）如图，边长为5的正方形ABCD，E，F，G，H分别为各边中点，连接AG，BH，CE，DF，交点分别为M，N，P，Q，那么四边形MNPQ的面积为（

）A．1 B．2 C．5 D．10【答案】C【分析】先证明四边形MNPQ是平行四边形，利用平行线分线段成比例可得出DQ=PQ，AM=QM，证明△ADG≌△BAHSAS得出∠DAG=∠ABH，则可得出∠QMN=∠AMB=90°，同理∠AQD=90°，得出平行四边形MNPQ是矩形，证明△ADQ≌△BAMAAS，得出DQ=AM，进而得出DQ=AM=PQ=QM，得出矩形MNPQ是正方形，在Rt△ADQ【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥∵E，F，G，H分别为各边中点，∴CG=DG=12CD=AH∴DG=CG=AE，∴四边形AECG是平行四边形，∴AG∥同理DF∥∴四边形MNPQ是平行四边形，∵AG∥∴DQPQ∴DQ=PQ，同理AM=QM，∵DG=AH，∠ADG=∠BAH=90°，AD=BA，∴△ADG≌△BAHSAS∴∠DAG=∠ABH，∵∠DAG+∠GAB=90°，∴∠ABH+∠GAB=90°，∴∠QMN=∠AMB=90°，同理∠AQD=90°，∴平行四边形MNPQ是矩形，∵∠AQD=∠AMB=90°，∠DAG=∠ABH，AD=BA，∴△ADQ≌△BAMAAS∴DQ=AM，又DQ=PQ，AM=QM，∴DQ=AM=PQ=QM，∴矩形MNPQ是正方形，在Rt△ADQ中，A∴52∴QM∴正方形MNPQ的面积为5，故选：C．【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理等知识，明确题意，灵活运用相关知识求解是解题的关键．10．（2024·山东东营）如图，四边形ABCD是平行四边形，从①AC=BD，②AC⊥BD，③AB=BC，这三个条件中任意选取两个，能使▱ABCD是正方形的概率为（

）A．23 B．12 C．13【答案】A【分析】本题考查了正方形的判定，用概率公式求概率，掌握正方形的判定方法和概率公式是解题的关键．根据从①AC=BD，②AC⊥BD，③AB=BC，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形．再根据概率公式求解即可．【详解】解：从①AC=BD，②AC⊥BD，③AB=BC，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形．∴▱ABCD，从①AC=BD，②AC⊥BD，③AB=BC，这三个条件中任意选取两个，能使▱ABCD是正方形的概率为23故选：A．11．（2024·重庆）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是CD延长线上一点，连接AE，AF，AM平分∠EAF．交CD于点M．若BE=DF=1，则DM的长度为（）A．2 B．5 C．6 D．12【答案】D【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先由正方形的性质得到∠ABE=∠ADC=∠ADF=∠C=90°，AB=AD=CD=BC=4，再证明△ABE≌△ADFSAS得到AE=AF，进一步证明△AEM≌△AFMSAS得到EM=FM，设在Rt△CEM中，由勾股定理得x+1【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE=∠ADC=∠ADF=∠C=90°，又∵BE=DF=1，∴△ABE≌△ADFSAS∴AE=AF，∵AM平分∠EAF，∴∠EAM=∠FAM，又∵AM=AM，∴△AEM≌△AFMSAS∴EM=FM，设DM=x，则EM=FM=DF+DM=x+1，在Rt△CEM中，由勾股定理得E∴x+12解得x=12∴DM=12故选：D．12．（2024·山东烟台）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，连接AE并延长交CD于点G，连接EF，FG，若∠AGF=α，则∠FAG用含A．45°−α2 B．90°−α2 C．45°+α2【答案】B【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．证明△EOF∽△DOC，求得∠OFE=45°，证明△ABE∽△GDE，证得DG=12CD=CG，推出△DEG≌△CFG【详解】解：∵正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，∴OD=OC，∠ODC=∠OCD=45°，DE=CF，∴OE=OF，∵∠EOF=∠DOC，OEOD∴△EOF∽△DOC，∴∠OFE=∠OCD=45°，∵点E，F分别为对角线BD，∴DEBE∵正方形ABCD，∴AB∥∴△ABE∽△GDE，∴DGAB∴DG=1∴△DEG≌△CFGSAS∴GE=GF，∴∠GEF=1∴∠FAG=∠GEF−∠AFE=90°−1故选：B．13．（2024·内蒙古呼伦贝尔）如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O．E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE,EF．若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是（

）

A．22 B．2+2 C．4−22【答案】A【分析】本题考查了正方形的性质和折叠的性质，属于基础题型，熟练掌握正方形的性质和折叠的性质是解题的关键．根据正方形的性质可求出BD=22，根据轴对称的性质可得DF=DC=2，∠DFE=∠BCD=90°则BF=BD−DF=22−2，再求出EF=BF=2【详解】解：正方形ABCD的边长为2，∴BC=DC=2,∠BCD=90°,DO=12∴BD=B∵△DEF与△DEC关于直线DE对称，∴DF=DC=2，∠DFE=∠BCD=90°，∴BF=BD−DF=22−2，∴∠FBE=∠FEB=45°，∴EF=BF=22∴BE=2∴△BEF的周长是BE+EF+BF=4−22故选：A．14．（2024·四川资阳）第14届国际数学教育大会（JCME−14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH=1：3，则A．55 B．35 C．45【答案】C【分析】设EF=x，则AH=3x，根据全等三角形，正方形的性质可得AE=4x，再根据勾股定理可得AB=5x，即可求出sin∠ABE【详解】解：根据题意，设EF=x，则AH=3x，∵△ABE≌△DAH，四边形EFGH为正方形，∴AH=BE=3x，EF=HE=x，∴AE=4x，∵∠AEB=90°，∴AB=A∴sin∠ABE=故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．15．（2024·山东东营）如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，H为AB延长线上的一点，且BH=BD，连接DH，分别交AC，BC于点E，F，连接BE，则下列结论：①CFBF=32；②tan∠H=3−1其中正确结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据正方形的性质结合勾股定理可知，AB=BD=CD=AD=a，BD=2AB=2a，AB∥CD，AC与BD互相垂直且平分，进而可求得AH=2+1a，根据正切值定义即可判断②；由AB∥CD，可知△DCF∽△HBF，由相似三角形的性质即可判断①；由BH=BD，可求得∠H=∠BDH=22.5°，再结合AC与BD【详解】解：在正方形ABCD中，AB∥CD，AB=BD=CD=AD=a，∠BAD=90°，∠ABD=∠CBD=∠DAC=∠BAC=45°，AC与BD互相垂直且平分，则BD=A∵BH=BD=2a，则∴tanH=∵AB∥CD，则∠H=∠CDF，∠DCF=∠HBF，∴△DCF∽△HBF，∴CFBF∵BH=BD，∴∠H=∠BDH，∵∠H+∠BDH=∠ABD=45°，∴∠H=∠BDH=22.5°，又∵AC与BD互相垂直且平分，∴DE=BE，∴∠DBE=∠BDE=22.5°，则∠CBE=∠CBD−∠DBE=22.5°，∴∠DBE=∠CBE，∴BE平分∠CBD，故③正确；由上可知，∠DBE=∠H=22.5°，∴△BDE∽△HDB，∴BDDH=DE又∵BD=2∴2AB综上，正确的有③④，共2个，故选：B．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，解直角三角形等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．16．（2024·陕西）如图，直线l经过正方形ABCD的中心O，分别与BC和AD相交于点E和点F，并与CD的延长线相交于点G．若AB=4，AF=3，则DG的长为()A．1 B．43 C．32【答案】D【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定；根据正方形的性质，结合三角形全等，得到CE=AF，证明△GFD∽△GEC，得到FDEC【详解】解：连接AC，∵O是正方形ABCD的中心，∴O在AC上，且AO=CO，AD∥∴∠DAC=∠BCA,∵AF=3，AD=AB=DC=BC=4，∴FD=1，∵在△AOF和△COE中，∠DAC=∠BCA∴△AOF≌△COE(ASA∴CE=AF=3，∵四边形ABCD是正方形对边平行，则FD∥∴△GFD∽△GEC∴FDEC∴1解得：GD=2，故选：D．17．（2025·四川自贡）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上．B0，−2．若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°．得到正方形A′BA．−3,5 B．5,−3C．−2,5 D．5,−2【答案】A【分析】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，坐标与图形，由正方形与旋转可得A′B′在x轴上，A′B′∥【详解】解：∵正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°．得到正方形A′∴AB=BC=A′B′=B′∵B0∴B′2,0，∴D′故选：A18．（2025·山东）如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形OABC是面积为4的正方形．若函数y=kxx>0的图象经过点B，则满足y≥2的xA．0<x≤2 B．x≥2 C．0<x≤4 D．x≥4【答案】A【分析】本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形、反比例函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．由题意可设点B的坐标为b,b，易得b=2，即点B的坐标为2,2，再结合反比例函数图象即可解答．【详解】解：∵四边形OABC是面积为4的正方形，设点B的坐标为b,b，∴b2=4，解得：∴点B的坐标为2,2，∵函数y=kxx>0∴满足y≥2的x的取值范围为0<x≤2．故选A．19．（2025·湖北）如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上的点F处，折痕BE交AC于点G．若DE=22，则CG的长是（

A．2 B．2 C．2+1 D．【答案】B【分析】如图，过G作GH⊥BC于H，由对折可得：BC=BF，CE=EF，∠BFE=∠BCE=90°=∠DFE，∠FBE=∠CBE，证明∠DEF=∠FDE=45°，而DE=22，可得DF=EF=DE⋅sin45°=2，求解CD=BC=22+2=BF，OB=12【详解】解：如图，过G作GH⊥BC于H，∵正方形ABCD，∴BC=CD=AB=AD，∠BCD=∠ADC=90°，∠DBC=∠BDC=45°，AC=BD，OA=OC=OB=OD，AC⊥BD，由对折可得：BC=BF，CE=EF，∠BFE=∠BCE=90°=∠DFE，∠FBE=∠CBE，∴∠DEF=∠FDE=45°，而DE=22∴DF=EF=DE⋅sin45∴CD=BC=22∴AC=BD=BF+DF=22∴OB=1∵∠FBE=∠CBE，GH⊥BC，AC⊥BD，∴OG=HG，∵BG=BG，∴Rt△OBG≌∴BH=BO=2∴CH=BC−BH=2同理可得：CH=GH=2∴CG=2+2故选：B.【点睛】本题考查的是正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键.20．（2025·山东东营）如图，在△ABC中，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与点B，C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q．下列结论：①AC=FG；②S△FAB:S四边形CBFG=1:2；③A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④【答案】C【分析】由正方形的性质得出∠FAD=90°,AD=AF=EF，证出∠CAD=∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC=FG，①正确；证明四边形CBFG是矩形，得出S△FAB=12FB⋅FG=12【详解】解：∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD=90°,AD=AF=EF，∴∠CAD+∠FAG=90°，∵FG⊥CA，∴∠G=90°=∠ACB，∴∠CAD=∠AFG，在△FGA和△ACD中，∠G=∠C∠AFG=∠CAD∴△FGA≌△ACD(AAS∴AC=FG，故①正确；∵BC=AC，∴FG=BC，∵∠ACB=90°,FG⊥CA，∴FG∥∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF=90°，∴S△FAB∴S△FAB∵CA=CB,∠C=∠CBF=90°，∴∠ABC=∠ABF=45°，故③正确；∵∠BDQ+∠ADC=∠BQD+∠BDQ=90°，∴∠ADC=∠BDQ，∵∠FQE=∠DQB=∠ADC,∠E=∠C=90°，∴△ACD∽△FEQ，∴AC:AD=FE:FQ，∴AD⋅FE=AD∴正确的有①②③④．故选：C．【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质等知识．利用数形结合的思想是解答本题的关键．21．（2025·广东深圳）如图，将正方形ABCD沿EF折叠，使得点A与对角线的交点O重合，EF为折痕，则EFCG的值为（

A．14 B．12 C．22【答案】D【分析】题目主要考查正方形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键.根据折叠得出AG=GO，EF∥BD，利用相似三角形的判定和性质得出【详解】解：∵正方形ABCD沿EF折叠，∴AG=GO，EF∥∴△AEF∽△ABD，∴EFBD∴EF=1∵正方形ABCD，∴AC=BD，∴EFCG故选：D.22．（2025·甘肃兰州）如图，在正方形ABCD中，AB=2cm，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点O出发沿O→A→B方向以2cm/s的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→D方向以1cm/s的速度运动，当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动．若运动时间为x（s），△CPQ的面积为y(cm2A．均为一次函数 B．一次函数，二次函数C．均为二次函数 D．二次函数，一次函数【答案】D【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，二次函数的定义．当点P在OA上运动时，由题意得CQ=x，CP=OC+OP=2+2x，作PG⊥CD于点G，求得CG=PG=x+1，利用y=S【详解】解：∵正方形ABCD中，AB=2cm∴AB=BC=CD=DA=2cm∴AC=2AD=2当点P在OA上运动时，由题意得CQ=x，CP=OC+OP=2作PG⊥CD于点G，∵∠PCG=45°，∴CG=PG=CP∴y=S当点P在AB上运动时，由题意得CQ=x，∴y=S故选：D．23．（2025·西藏）如图，在正方形ABCD中，AB=6，点E是BC的中点，把△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，延长EF交CD于点G，连接AG，则AG的长为（

）A．35 B．2 C．210 【答案】C【分析】本题考查正方形中的翻折问题，勾股定理，三角形全等的判定与性质，解题的关键是掌握翻折性质，由折叠的性质易知△ABE≌△AFE，证明Rt△AFG≌Rt△ADG(HL)，设CG=x，则DG=6−x【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=CD=AD=6，∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，由折叠的性质易知△ABE≌△AFE，∴AF=AB=6，∠AFE=∠B=90°，∴AF=AD=6，∠AFG=∠D=90°，又∵AG=AG，∴Rt△AFG≌∴FG=DG．∵E为BC边的中点，∴BE=CE=1设CG=x，则DG=6−x，∴FG=DG=6−x，EG=EF+FG=3+6−x=9−x，在Rt△ECG中，E∴32解得x=4，∴CG=4，∴DG=6−4=2，∴AG=A故选：C．24．（2024·山东济南）如图，在正方形ABCD中，分别以点A和B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线EF，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF于点G（点G在正方形ABCD内部），连接DG并延长交BC于点K．若BK=2，则正方形ABCD的边长为（A．2+1 B．52 C．3+5【答案】D【分析】连接AG，设EF交AB于点H，正方形边长为2x，由作图知，AG=AD=2x，EF垂直平分AB，得到AH=BH=x，∠AHG=90°，由勾股定理得到GH=3x，证明AD∥GH∥BC，推出DG=GK，推出GH=x+1，得到3x=x+1【详解】连接AG，设EF交AB于点H，正方形边长为2x，由作图知，AG=AD=2x，EF垂直平分AB，∴AH=BH=12AB=x∴GH=A∵∠BAD=90°，∴AD∥GH，∵AD∥BC，∴AD∥GH∥BC，∴DGGK∴DG=GK，∵BK=2，∴GH=1∴3x=x+1∴x=3∴2x=3故选：D．【点睛】本题主要考查了正方形和线段垂直平分线综合．熟练掌握正方形性质，线段垂直平分线性质，勾股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理，梯形中位线性质，是解决问题的关键．25．（2025·重庆）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，连接DE，将△DCE沿直线DE翻折到正方形ABCD所在的平面内，得△DFE，延长DF交AB于点G．∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点H，连接GH，则△DGH的面积为（A．58 B．54 C．55【答案】A【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，连接GE，证明Rt△EFG≌Rt△EBGHL，可得GF=GB，设GB=GF=x，则AG=2−x,DG=2+x，根据勾股定理可得x=12，再利用角平分线的性质得到点【详解】解：如图，连接GE，，∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=∠BAC=∠ADC=90°，AB=BC=CD=DA=2，∵点E是BC边的中点，∴BE=CE=1,∵将△DCE沿直线DE翻折得△DFE，∴∠EFD=∠C=90°,CE=FE=BE=1，DC=DF=2,∴∠GFE=∠GBE=90°，∵GE=GE，∴Rt∴GF=GB，设GB=GF=x，则AG=2−x,DG=2+x，根据勾股定理可得AG即2−x2解得x=1∴DG=5∵∠ADG和∠DAG的平分线DH，AH相交于点∴点H到AD,AG,GD的距离相等，∴S故选：A．26．（2025·四川自贡）如图，正方形ABCD边长为6，以对角线BD为斜边作Rt△BED、∠E=90°，点F在DE上．连接BF．若2BE=3DF．则BF的最小值为（

A．6 B．62−5 C．35 【答案】D【分析】建立平面直角坐标系，以点B为原点，BC所以直线为x轴，AB所在直线为y轴，设BD的中点为G，过点D在AD上方作DH⊥BD，使DH=22.过点H作HK⊥AD于点K，连接BH，FH，AG，EG，则∠BDH=∠DKH=90°，根据正方形性质，得C6,0，D6,6，A0,6，得G3,3，和BG=32，BGDH=32，根据EG=AG=BG=DG=32，得点B、E、A、D在⊙G上，得∠ABE=∠ADE，得∠EBG=∠FDH，根据BEDF=【详解】解：以点B为原点，BC所以直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，设BD的中点为G，过点D作DH⊥BD，使DH=22，过点H作HK⊥AD于点K，连接BH，FH∵正方形ABCD边长为6，∴C6,0∴G3,3∴BG=3∴BGDH∵∠E=∠BAC=90°，∴EG=AG=BG=DG=32∴点B、E、A、D在⊙G上，∴∠ABE=∠ADE，∵∠ABD=∠ADB=45°，∴∠HDK=∠BDH−∠ADB=45°，∴∠HDK=∠ABD=45°，∴∠ABE+∠ABD=∠ADE+∠HDK，即∠EBG=∠FDH，∵2BE=3DF，∴BEDF∴BEDF∴△BEG∽△DFH，∴FH=DH=22∴点F是在以点H为圆心，22∵∠DHK=90°−∠HDK=45°，DK∴DK=HK=2，∴H4,8∴BH=4∵BF+FH≥BH，∴当点F在BH上时，BF取得最小值，为BF=BH−FH=45故选：D．【点睛】本题考查了正方形与三角形综合．熟练掌握正方形性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，圆周角定理，相似三角形判定和性质，等腰直角三角形性质，是解题的关键．27．（2025·黑龙江）如图，在正方形ABCD中，点F在BC边上（不与点B、C重合），点E在CB的延长线上，且BE=BF，连接AC、AE、AF，过点E作EG⊥AF于点G，分别交AB、AC、DC于点M、H、N．则下列结论：①MN=AF；②∠EAH=∠EHA；③EN⋅BF=EC⋅HN；④若BF:FC=3:4，则tan∠FAC=25A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①③④⑤【答案】C【分析】本题考查了正方形性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解三角形等，解题关键是利用垂直证明角的关系，从而证明三角形全等或相似．容易证明△AEB≌△AFB(SAS)，从而可得∠KBC=∠NEC=∠BAF=∠BAE=α，进而可得∠EAH=∠AHE，从而可得②正确，过点B作BK∥EN，交CD于点K，构造△ABF≌∠BCK(AAS)，结合四边形BMNK是平行四边形可得MN=BK=AF，可得①正确，再利用角关系证明△NEC∽△BAF，△AEC∽△HNC，可得EN⋅BF=CN⋅AF=CN⋅AE=EC⋅HN，从而得出结论③正确，过点F作FP⊥AC，设BF=3x，由BF:FC=3:4可得FC=4x，解三角形求出PF=22x，AP=52x，从而求出tan∠FAC=PFAP【详解】解：如图1，过点B作BK∥EN，交CD于点K，∵在正方形ABCD中，∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠BCD=90°，∠BAC=∠ACB=∠ACD=45°，AB∥CD，∴△ABC、△ADC是等腰三角形，又∵BE=BF，AB=AB，∴△AEB≌△AFB(SAS∴AE=AF，∠AEF=∠AFE，∠BAE=∠BAF，∴△AEF是等腰三角形，∵EG⊥AF，∴∠NEC+∠AFE=90°，又∵∠BAF+∠AFE=90°，∴∠NEC=∠BAF，∵BK∥EN，∴∠KBC=∠NEC，∠BKC=∠ENC，∴∠KBC=∠NEC=∠BAF=∠BAE，设∠KBC=∠NEC=∠BAF=∠BAE=α，∵∠EAH=∠BAE+∠BAC=α+45°，∠AHE=∠HEC+∠ACB=α+45°，∴∠EAH=∠AHE，故结论②正确；∴EA=EH，即△AEH是等腰三角形，∵在△ABF和△BCK中，AB=BC∠KBC=∠BAF∴△ABF≌∠BCK(AAS∴BK=AF，∠CKB=∠AFE=∠AEF=90°−α∵BK∥EN，AB∥CD，∴四边形BMNK是平行四边形，∴MN=BK，∴MN=AF，故结论①正确，∵∠NEC=∠BAF，∠BCD=∠ABC=90°，∴△NEC∽△BAF，∴ENAF∴EN⋅BF=CN⋅AF，∵∠EAH=∠AHE=∠CHN=45°+α，∠ACE=∠ACN=45°，∴△AEC∽△HNC，∴AE∴CN⋅AE=EC⋅HN，∵AE=AF，∴CN⋅AF=EC⋅HN，∴EN⋅BF=EC⋅HN，故结论③正确，过点F作FP⊥AC，如图2；设BF=3x，由BF:FC=3:4可得FC=4x，AB=BC=7x，∴AF∵PF=FC⋅sin∴AP=A∴tan∠FAC=∵∠CNE=90°−α，∠CHN=∠AHE=α+45°，α<45°∴∠CNE不一定等于∠CHN，α<45°，∴△CNH不一定是等腰三角形，故等腰三角形有△ABC、△ADC、△AEF、△AEH，共四个，故结论⑤错误，综上所述：正确结论有①②③④．故选C．28．（2025·江苏苏州）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接A′CA．A′D∥BE C．△A′CD的面积=△A′DE的面积【答案】D【分析】本题考查了正方形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等．过点A′作FG∥AB，分别交AD、BC于点F、G，由折叠的性质得∠AEB=∠A′EB，求得DE=A′E，推出∠EDA=∠EA′D，由∠AEA′是△A′ED的外角，可求得∠AEB=∠EDA'【详解】解：过点A′作FG∥AB，分别交AD、BC于点F由折叠的性质得∠AEB=∠A′EB∵E为边AD的中点，∴AE=DE，∴DE=A∴∠EDA=∠EA∵∠AEA′是∴∠AEA∴∠AEB=∠EDA∴A′∵正方形ABCD，∴AB=BC=CD=DA，∠BAE=∠ABC=∠BCD=∠CDE=90°，设AB=BC=CD=DA=10，∵E为边AD的中点，∴AE=DE=5，由折叠的性质得∠BAE=∠BA′E=90°，AE=∵FG∥∴四边形ABGF和DCGF为矩形，∴FG=AB=10，∠EFA设DF=CG=x，则EF=5−x，BG=10−x，∴∠EA∴△EA∴A′∴A′F=1∵A′∴12解得x=2，∴DF=CG=2，A′F=4，∴A′C=6∴A′∵△A′CD的面积=12∴△A′CD∵四边形A′BED的面积等于△A′DE△A′BC∴四边形A′BED的面积故选：D．二、填空题29．（2024·黑龙江大兴安岭地）在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若添加一个条件使该菱形为正方形，该条件可以是．【答案】AC=BD（答案不唯一）【分析】本题主要考查的是正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．依据正方形的判定定理进行判断即可．【详解】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC=BD；根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB⊥BC；故添加的条件为：AC=BD或AB⊥BC．30．（2024·福建）如图，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为．

【答案】2【分析】本题考查正方形性质，线段中点的性质，根据正方形性质和线段中点的性质得到HD=DG=1，进而得到S△DGH，同理可得S△AHE=S△EFB=S△CGF=【详解】解：∵正方形ABCD的面积为4，∴AB=BC=CD=AD=2，∠D=90°，∵点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，∴HD=DG=1，∴S同理可得S△AHE∴四边形EFGH的面积为4−1故答案为：2．31．（2024·吉林）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是OA的中点，点F是OD上一点．连接EF．若∠FEO=45°，则EFBC【答案】1【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到∠OAD=45°，AD=BC，再证明EF∥AD，进而可证明△OEF∽△OAD，由相似三角形的性质可得EFAD=OE【详解】解：∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点∴∠OAD=45°，AD=BC，∵点E是OA的中点，∴OEOA∵∠FEO=45°，∴EF∥AD，∴△OEF∽△OAD，∴EFAD=OE故答案为：1232．（2024·甘肃兰州）如图，四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB于点F，若AD=4，则EF=．【答案】2【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据正方形和等边三角形的性质，得到△AFE为含30度角的直角三角形，AE=AD=4，根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，EF⊥AB，AD=4，∴∠FAD=90°,∠EAD=60°,∠AFE=90°,AD=AE=4，∴∠FAE=30°，∴EF=1故答案为：2．33．（2024·江苏常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于原点O．若点A的坐标是2,1，则点C的坐标是．【答案】−2,−1【分析】本题考查坐标与图形，根据正方形的对角线互相垂直平分，得到A,C关于原点对称，即可得出结果．【详解】解：∵正方形ABCD的对角线AC、BD相交于原点O，∴OA=OC，∴A,C关于原点对称，∵点A的坐标是2,1，∴点C的坐标是−2,−1；故答案为：−2,−1．34．（2024·广东深圳）如图所示，四边形ABCD，DEFG，GHIJ均为正方形，且S正方形ABCD=10，S正方形GHIJ

【答案】2（答案不唯一）【分析】本题考查了正方形的性质，由题意可得CD=10，GH=1，结合图形得出1<DE<【详解】解：∵S正方形ABCD=10∴CD=10，GH=1∴1<DE<10∴正方形DEFG的边长可以是2，故答案为：2（答案不唯一）．35．（2024·甘肃临夏）如图，对折边长为2的正方形纸片ABCD，OM为折痕，以点O为圆心，OM为半径作弧，分别交AD，BC于E，F两点，则EF的长度为（结果保留π）．【答案】2π3/【分析】本题主要考查了弧长的计算、正方形的性质及翻折变换（折叠问题），解直角三角形，熟知正方形的性质、图形翻折的性质及弧长的计算公式是解题的关键．由对折可知，∠EOM=∠FOM，过点E作OM的垂线，进而可求出∠EOM的度数，则可得出∠EOF的度数，最后根据弧长公式即可解决问题．【详解】解：∵折叠，且四边形ABCD是正方形四边形AOMD是矩形，∠EOM=∠FOM，则OM=AD=2，DM=1过点E作EP⊥OM于P，则EP=DM=1∵OE=OM=AD=2，∴EP=在Rt△EOP中，sin∴∠EOP=30°，则∠EOF=30°×2=60°，∴EF的长度为：60⋅π⋅2故答案为：2π36．（2025·四川南充）如图，AC为正方形ABCD的对角线，CE平分∠ACB，交AB于点E，把△CBE绕点B逆时针方向旋转90°得到△ABF，延长CE交AF于点M，连接DM，交AC于点N．给出下列结论：①CM⊥AF；②CF=AF；③∠CMD=45°；④ANCN=2【答案】①③④【分析】本题考查正方形性质，旋转性质，全等三角形性质与判定，角平分线定义，圆周角定理，勾股定理解三角形，等腰三角形性质与判定，三角形的三边关系等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．由旋转性质得△CBE≌△ABF，可得CE=AF，∠BCE=∠FAB，BE=BF，进而由∠BEC+∠BCE=∠FAB+∠AEM=90°即可判断①；由CF=BC+BF=AB+BF>AF即可判断②；由A、M、B、C、D在以AC为直径的圆上，可以证明∠CAD=∠CMD=45°，即可判定③，设AD=CD=BC=a，由勾股定理解三角形可得AN=(2−1)a，【详解】解：由旋转可知：△CBE≌△ABF，∴CE=AF，∠BCE=∠FAB，BE=BF，∵在正方形ABCD中，∴∠ABC=90°，AB=BC，又∵∠AEM=∠BEC，∴∠BEC+∠BCE=∠FAB+∠AEM=90°，∴∠AMC=90°，即CM⊥AF，故①结论正确，∵AB+BF>AF，CF=BC+BF=AB+BF，∴CF>AF，故②结论错误；如图：∵在正方形ABCD中，∴∠CAB=∠CAD=∠ACB=45°，∴∠AMC=∠ABC=∠ADC=90°，∴A、M、B、C、D在以AC为直径的圆上，∵CD=∴∠CAD=∠CMD=45°，故结论③正确；如图：过N点作NG⊥AC，交AD于G，∵CE平分∠ACB，∠ACB=45°，∴∠ACM=22.5°，∵AM=∴∠ACM=∠ADM=22.5°，∵∠CAD=45°，∴∠AGN=90°−∠CAD=45°，∠DNG=180°−∠CAD−∠ANG−∠ADN=22.5°，∴∠CAD=∠AGN=45°，∠GDN=∠DNG=22.5°，∴AN=NG=GD，设AD=CD=BC=a，在Rt△ANG中，A∴2AN∴AN=(2∵AC=A∴CN=AC−AN=2∴ANCN综上所述：①③④结论正确，故答案为：①③④．37．（2025·四川乐山）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC=BD；③∠ADC=90°．则正确的组合是（只需填一种组合即可）．【答案】①②或①③（填写一组即可）【分析】本题考查了正方形，矩形，菱形的判定，熟练掌握正方形，矩形，菱形的判定是解题的关键．根据正方形，矩形，菱形的判定分析求解即可．【详解】解：当选择①AC⊥BD；②AC=BD时，∵四边形ABCD是平行四边形，当AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∵AC=BD，∴AO=OC=OB=1∴△AOB,△COB均是等腰直角三角形，∴∠ABC=∠