高中数学《数列》综合练习

高中数学《数列》综合练习

一、单选题

1.已知首项为正数的等比数列｛为｝的公比为我9。1),曲线C：a“f+〃ey2=],若曲线

G的离心率为e,则()

A当qw(-oo,-l)时,E随q的增大而减小

B当gw(TO)时,随q的增大而减小

C当夕£(()/)时，R।随q的增大而增大

D当ge(l,+8)时，e随q的增大而增大

2在等差数列也,｝中，已知4=2,公差d=3,勺=32,则，等于()

A8B.9C.10D.11

4

3数列＞的前5项和为(

〃(a+1)

201055

AB.—C.D.

T363

4已知前〃项和为S〃的数列｛为｝满足(-1)"=4+/-3〃+2,则々2022=()

A—2x2022?B.2X20222+8086C.2x20232+4044D.2X20232+8086

5已知等差数列｛%｝满足%=1。，则%+%=()

A5B.10C.20D.40

6已知在等比数列｛〃“｝中，4+〃3=3,a3+a5=6,贝！)。得3=()

A2B.4C.V2D.2>/2

7已知公比为2的等比数列｛qj满足%=8,记0为｛4｝在区间(0,回(机为正整数)中

的项的个数，则数列｛鬣｝的前100项的和5⑼为()

A.360B.480C.600D.100

若数列仅“｝的首项4=-。，且满足,1

8.=1一］，则“2022=()

4

.45

A.B.5C.一D.

454

10

9.已知数列｛为｝的前〃项和S.=/+2〃,数列也｝满足bn=n(afl+1)，则数列也｝的

最大项为()

A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项

10.在北京冬奥会开幕式上，二十四节气倒计时惊艳了世界.从冬至之日起，小寒、大

寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依

次成等差数列，若冬至的日影长为18.5尺，立春的日影长为15.5尺，则立夏的日影长为

()

A.9.5RB.10.5尺C.11.5尺D.12.5尺

11.已知｛〃“｝为等差数列，S,,为其前〃项和，若生=$5=5,则公差d等于()

A.3B.-3C.2D.-2

12.等比数列｛〃〃｝中，4a2a3=-8,%=16,则公比为（）

A.-2B.2C.-4D.4

13.已知数列｛端满足4=。（“为正整数），♦一才必是3的倍数，设集合

q+lM,不是3的倍数

A=｛x|x=%｝.有以下两个猜想：①不论。取何值，总有Ie4；②若“W2022,且数列

｛q｝中恰好存在连续的7项构成等比数列，则。的可能取值有6个.其中（）

A.①正确，②正确B.①正确，②错误C.①错误，②正确D.①错误，②错误

14.数列｛凡｝是等差数列，4=1,且4,牝，为构成公比为q的等比数列，则4=

（）

A.1或3B.0或2C.3D.2

15.在等比数列｛a“｝中，%=1,%=27,贝I]44=（）.

A.-3B.3C.-D.-

33

二、填空题

16.已知等差数列｛4｝的前"项和为S„,满足Szg=2022,且a.>0,则%生⑼的最大值

为.

17.已知数列｛4｝的通项公式为。“=劭2+〃，对于任意“28,恒成立，则实数。

的取值范围是.

18.已知数列｛4｝的通项公式为4=（〃2-5〃+5）2则它的前五项依次为.

19.在等比数列｛q｝中，若4=；，4=3,则Ss=.

20.己知等差数列｛%｝满足4=1,%=2,则｛4｝的前5项和醺=.

三、解答题

21.设等差数列｛〃,｝的各项为正数，其前n项和为S,,,且％，辰=L4用构成等比数列.

⑴求％及S“；

⑵若数列出｝满足4=1,如|=啧，求证：4,,+£%=4".

22.已知数列何｝的前〃项和为5.，各项均为正数的数列｛"｝的前”项积为，，且

S“=2a,-1,4=4,*=（她）".

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵证明:物/为等比数列.

23.已知数列｛4｝是公比#1的等比数列，4=81,且％,2%,3q成等差数列.

⑴求数列｛《,｝的通项公式；

(2)若数列｛4｝满足4=%],b„+b„+t=(2n+\]an,记7；=仿+"+…+(jb”,若

<iV41115

c„+-bn=-Tn'证明：—+—+-+—

"⑶"3"4Gc„3

24.己知等比数列｛%｝满足%=4,%=32.

⑴求数列｛为｝的通项公式；

⑵设心噫/。氐”求数列间的前"项和s「

【参考答案】

一、单选题

1.D

【解析】

【分析】

根据曲线C”的方程，结合椭圆、双曲线的标准方程及离心率逐项判断即可得出答案.

【详解】

22

G：%/+。〃+炉=1=宁+4_,

4%

当4>1时，4a,0<—<-,曲线C〃为焦点在X轴上的椭圆，所以

an+lan

a2=~,b2^—,:Jl-乌,e随q的增大而增大，故选D.

同理：当口€(0,1)时6=卜%=小三,e随q的增大而减小，排除C.

当q€(口,())时，曲线C“为双曲线，离心率e单调性与"的奇偶性有关，排除A,B.

故选：D.

2.D

【解析】

【分析】

根据等差数列的通项公式，列出方程，即可求解.

【详解】

由数列｛%｝为等差数列，且4=2,公差d=3,%=32,

可得4=2+("T)x3=32,解得〃=I1.

故选：D.

3.B

【解析】

【分析】

利用裂项相消法求和即可;

【详解】

44

解：因为=41-,记数列的前〃项和为

n(n+l)n(n+l)

10

KiJ55=411-1+4+4+4+44

T

故选：B

4.B

【解析】

【分析】

利用赋值法，分别令"=2024,“=2022求出Szg=2023x2022,5202,=2021x2020,再令

n=2023可得S2n22=25283+2022x2021,再由4必=-可求得结果

【详解】

因为(-1)”,S“=。“+-3〃+2=a“+(〃-1)(〃-2),

所以(-1产4.52c叫=a2024+(2024-1)x(2024-2),

所以52024=$2024-$023+(2024-1)x(2024-2),

所以$2023=(2024-l)x(2024-2)=2023x2022,

同理S㈤=2021x2020,

02

因为(-I)?'$2023=02023+(2023-1)x(2023-2),

所以一邑侬=52023-s2()22+2022X2021,

所以52022=2s2023+2022x2021,

所以。2022=$2022—^2021

=2s2023+2022x2021-2021x2020

=2x2023x2022+2x2021

=2x20222+8086,

故选：B

5.C

【解析】

【分析】

利用等差中项的性质求解.

【详解】

解：由题得4+4=24=20.

故选：C

6.A

【解析】

【分析】

根据等比数列的通项公式代入求解可、/,即可求解.

【详解】

解：由题意得：

设等比数列｛4｝的公比为q

q+%=3,%+%=6

4

4+4闻2=3,axcf+«1^=6

.・・毕：=整理得/-相_2=0,解得q2=2

q-+q2

/.4=1

••2q2=2c

故选：A

7.B

【解析】

【分析】

首先求出｛«„｝的通项公式，通过分析数列也,｝的规律，由此求得数列也“｝的前100项和5⑼.

【详解】

解：因为。3=8,q=2,所以%=a0T=2",

由于2=2,2?=4,23=8,2&=16,25=32,26=64,27=128,所以

々对应的区间为(OJ,则4=0；

区也对应的区间分别为(0,2],(0,3],则包=々=1,即有2个1；

仇也也也对应的区间分别为9,4],(0,5],(0,6],(0,7],则仇=4="="=2,即有？个2；

瓯名，…也对应的区间分别为(0,8],(0,9],…,(0,15],则%=%=…=%=3,即有2,个3；

篇也，…,如对应的区间分别为(0,16,(0,1刃,…,(0,31],则％=%=…=凰=4,即有24个

4；

心也3,…,%对应的区间分别为9,32],(0,33],…,(0,63],则与2="=L=%=5,即有2,个

5；

bM也5,L,40n对应的区间分别为(0,641,(0,65],.■­,(0,100],则%%=L=%=6,即有37

个6.

所以$(>0=1x2+2x22+3x23+4x24+5x2$+6x37=480.

故选：B

8.C

【解析】

【分析】

根据递推公式，结合代入法可以求出数列的周期，利用数列的周期性进行求解即可.

【详解】

因为4=_:，&+i=l---,

4an

.1.,14

所以%=1-[7=5，%=1"=不4=1-彳=-屋所以该数列的周期为3,

于是有«2022=«674x3=%=二，

故选：C

9.D

【解析】

【分析】

fS,,n=\

根据。〃=S_；〃>2求得%=2〃+1，若判断｛(〃｝的最大项，则根据数列单调性定义得

,可求得n=7.

。〃之心1

【详解】

,/S“=1+2〃，

当〃=1时，q=3,

当〃22时，%=S"一S”“=2〃+1,

〃〃=2〃+1.

10

贝！假设第"项最大("22),

=2H(H+1)15

1010

b.2b,1313

10io

2〃(〃+l)>2(n+l)(/i+2

Ti13

又“eN'，所以〃=7

故选：D.

10.A

【解析】

【分析】

由等差数列相关运算得到公差，进而求出立夏的日影长.

【详解】

由题意得：｛叫为等差数列，公差为d,则4=18.5,%=15.5,则4-q=3d=-3,解

得：d=-\,则4。=4+9〃=18.5-9=9.5,故立夏的日影长为9.5尺.

故选：A

11.C

【解析】

【分析】

根据等差数列的通项和前“项和公式，列方程求解即可.

【详解】

设等差数列MJ的首项为6，则%=4+41=5,S5=5q+1。"=5,联立解得q=-3/=2,

故选:C

12.A

【解析】

【分析】

根据等比数列的性质可求得«2,再根据-=^即可得解.

【详解】

解：设公比为4，

因为44a3=-8,所有婷=-8,则%=-2,

所以&=/=-8,解得g=-2.

a2

故选：A.

13.A

【解析】

【分析】

设出数列中的一项为次eN*,然后分处被3除余1,余2,余0三种情况进行讨论，借助

给出的递推关系式进行推证即可判断①，结合递推关系式得到&符合的形式，然后保证

ak<2022即可判断②.

【详解】

不妨设数列中的一项为处,N*,

①若4被3除余1,则由已知可得4+i=a*+1,ak+2=ak+2,aM=g（q.+2）,

若4被3除余2,则由已知可得4+|=4+1,《+2=+1），q+34g（4+1）+1，

若4被3除余0,则由已知可得%+i=]4，%3+2,

112

所以对任意的ZeN,,%+34§4+2,则4-4+3*4-（§怎+2）=-3）,

所以对数列中的任一项外,若为>3,则ak>ak+3,

因为qeN",所以6-%3小，所以数列中必存在某一项443（否则与上述结论矛

盾），

若4=1,结论得证；若4=2,则纵=3,%2=1，结论得证；若％=3,则4+产1,

得证；所以不论。取何值，总有kA；故①正确；

②若4是3的倍数，则

若《被3除余1,则由已知可得为+2=4+2,W+3=；%+2，

若应被3除余2,则由已知可得以+1=4+1,%+2=g%+1，

所以连续7项构成的等比数列的公比为g,

因为《eN*,所以这7项中前6项一定都是3的倍数，而第7项一定不是3的倍数(否则

构成等比数列的连续项数会多于7项)

设第7项为p,则p是被3除余1或余2的正整数，则可推得出=px36,

因为36<2022<3],所以《.=36或4=2、36,

由递推关系式可知，在该数列的前k-1项中，满足小于等于2022的项只有：

6

4T=3,-1，或4T=2X36_1,ak_2=36-2,或at_2=2x3-2,

所以首项。的所有可能取值的集合为-36-0-2,2x36,2x36-1,2x36-2｝,

故”的所有可能取值有6个，故正确.

故选：A

【点睛】

本题考查数列的递推关系式，考查学生的抽象思维能力，属于难度较大题.

14.A

【解析】

【分析】

根据等比中项的性质列方程，由此求得d,进而求得生，从而求得4的值

【详解】

设等差数列｛q｝的公差为d,Vat,a2,a5构成公比为q的等比数列，,〃；=%•%，

即(l+d)2=l+4d,解得4=0或2,

所以4=1或3,所以<7=1或3,

故选：A

15.B

【解析】

【分析】

根据题意，求得等比数列的首项《和4,进而求得4%的值.

【详解】

设等比数列｛q｝的公比为4，

[a.q=11

因为。2=1，“5=27,可得《4”，解得4=不4=3,

[atq=273

所以4%=c^q'=(^)2x31=3.

故选：B.

二、填空题

16.1

【解析】

【分析】

利用等差数列前n项和公式及等差数列与下标和有关的性质可得出+电⑼为定值，根据基

本不等式即可求的生⑼的最大值.

【详解】

,/S2O22=20yo22=]01](%+a202l)=2022,

..生+〃2021=2,

二七生⑼也养=1,当且仅当。2="2⑼=1时取等号，

«2«2021的最大值为1.

故答案为：1.

【解析】

【分析】

利用/+1-可40可知2a〃+a+140在〃N8时恒成立，分别在a20和a<0时讨论即可得到

结果.

【详解】

当”28时，an+l-an=4("+1)一+("+1)-加-m=2a〃+a+140恒成立，

当时，2a〃+a+l>0,不合题意；

当“<0时，2a〃+a+l416a+a+l=17a+l,..17tz+l<0,解得：a<---；

17

综上所述：实数。的取值范围为(t，.

故答案为：[-8,一土.

18.1,1,1,1,25.

【解析】

【分析】

将“=1,2,3,4,5依次代入通项公式即可求得结果.

【详解】

由题意得：4=(1-5+5)2=1；%=(470+5)2=1；2=(9-15+5)2=1；

%=(16-20+5)2=1；仁=(25—25+5)2=25；

，数列｛4｝前五项依次为：1,1,1,1,25.

故答案为：1,1,1,1,25.

【解析】

【分析】

根据等比数列的前n项和公式，计算即可求得答案.

【详解】

由题意可得，＜3（1-3，）121,

》=-------=---

51-33

121

故答案为：

20.15

【解析】

【分析】

根据题意，求出等差数列的基本量，然后，利用等差数列的求和公式直接求解.

【详解】

设等差数列｛为｝的公差为d,所以，△=%-4=1,所以，可得％=4+5-1"=〃，进而

有Ss=5（4；9）=56=15.

故答案为：15

三、解答题

21.（l）a„=2«-l,S„=«2；

⑵证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据等比数列的性质，结合等差数列的通项公式和前n项和进行求解即可;

（2）运用累积法，结合组合数的定义进行运算证明即可.

⑴

设等差数列｛%｝的首项为4,公差为d,

因为对，阿口，”向构成等比数列，

所以4s,-1=%,用

[4巾=’+加（浜-2）=0

8a,+4d-l=a；+3a,d+2d2v7V'

又数列｛4｝的各项为正数，所以4=2冯=1

所以4=2〃-l,S“=〃2；

⑵

,an+ln....i

b”i=-Z7~=1=>"4+1="，〃+也,+2="+1,

2。b„

77+1.,

所以臂=丁曲=】，

^3^5力2〃+l=242n,242n2〃・m

所以=%=丁一§

“h3b2n_1132n-l2/1-11・3・・・(2〃-1)

,T-n\(2〃)！2”•加2-4-6......In2"-nl2"•加

2，"'2,1l-3---(2rt-l)n\-n\1n\-n\1n\-n\

22.⑴。“=2小

⑵证明见解析

【解析】

【分析】

S.,H=1

(1)根据、■可求得答案；

电-5c,1，〃22

,Tb

(2)根据"=L，证明广的定值，即可得证.

T„-\%

⑴

解：当〃=1时，4=2%-1,q=l,

当〃N2时，an=S„-S„_!=(2a„-1)-(2a„_,-1)=2an-2a,,

所以q=2a“_1,

所以数列｛为｝是以1为首项，2为公比的等比数列，

所以4=2-'；

(2)

证明：&=4=lwO,7],=(2"-也)"，

当“22时，b“=M=：=千泉则%"T=2»/产，

%(2"一%)b”_、

由于勿＞0,则b,丹配g2),

所以数列｛〃｝是等比数列.

23.⑴a“=3"(〃eN*)

⑵证明见解析

【解析】

【分析】

(1)根据等差中项可得4%=34+%,结合等比数列通向公式求解；

(2)结合题意整理可得%=",利用放缩］＜71=2(h二-丁二〕,结合本题应从

n~4n-1y2n-i2n-\