高中数学基础知识回顾：向量-教师版

CD高考数学基础知识回顾：向量

基础知识

一、向量的概念：

★（1）向量的概念：既有大小又有方向的量.向量常用有向线段来表示，注意不能说向量

就是有向线段，为什么？（向量可以任意平移）

★（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：6,注意零向量的方向是任意的；

★（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量；

★（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量；

★（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量々、B叫做平行向量，记

作：a//b,规定零向量和任何向量平行；

★（6）位置向量：起点为原点的向量.

二、向量的几何运算：

1、向量的基本运算：

★（1）向量的加法运算：三角形法则和平行四边形法则；

★（2）向量的减法运算：三角形法则；（减数指向被减数）

★（3）实数与向量的乘积：实数4与非零向量［的积是一个向量，记作4工.

①丸>0,4也与。方向相同，长度为冈山|；

②4<0,X•。与a方向相反，长度为囚*|；

③丸=o,尤⑷=6.

2、向量的数量积：

★（1）向量的夹角：对于两个非零向量［和如果以。为原点，作厉=2,砺=B,

那么射线0A与0B的夹角e叫做3和B的夹角，0的取值范围是［0,%卜

f一—一f

★（2）向量的投影：b在。上的投影为|〃|cos。，。为向量。和b的夹角；

★（3）向量的数量积公式：〃石=W/cosO；（〃“二］4）

★★（4）的几何意义：7坂等于其中一个向量。的模同与另一个向量区在向量々的

方向上的投影M|cos，的乘积.

★3、向量的夹角公式：。0$8=翳.

邮|

4、向量的平行与垂直：

★（1）向量的平行：a//b<^>a=A,b；

★(2)向量的垂直：aVb<^a.b=G.

★★5、平面向量分解定理：如果I和1是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的

任一向量“，有且只有一对实数/、丸2，使4=44+/^02.

6、三点共线:

★（1）平面上有A、B、C三点,若丽=2豆则A、B、C三点共线;

★★（2）设丽、砺不平行，点P在A3上O存在实数九〃使得

OP=WA+/4OBJzLA+//=1（2,

三、向量的坐标表示与运算：

1、向量的坐标表示：

★（1）i：x轴正方向单位向量，j：y轴正方向单位向量；

★（2）向量的坐标表示：平面直角坐标系中，以7,J为基底，则平面内的任一向量［可

表示为a=xi+y/=（x,y）,称（x,y）为向量a的坐标;

★(3)A(jq,y1),B(x2,y2)=>AB=(x2-xl,y2-y1).

2、向量的模：

★(1).=(%,凹)=>小Jxj+yj；

★(2)已知a=(X1,yJ,则。的单位向量4=

3、向量的坐标运算：

★(I)a=(%,yj3=(%,必)=>4±石=(%±马，》土必)；

★(2)a=(x(,2e7?=>Aa=(2%1,)；

★(3)a=(xp),^=(x2,y2)=>a*b=x1x2+yxy2.

4、向量的平行与垂直：

★(1)向量的平行：4=(占，乂),〃=(》2，%),4//5<=>X义=%M；

★(2)向量的垂直：«=(%,,yl),Zj=(x2,y2),alZ><=>xlx2+y,y2=0.

5、定比分点：

★★(1)定比分点公式：已知4斗，必)、B®,%)是直线上任一点，且

；一百+4

A-

丽=4万(4€尺/1力一1),令P(羽y),则：1+2；

X+仪

[y~~uT

X.+M

x=-----

★(2)中点公式：若点尸(x,y)为、8(工2，为)两点中点，则丸=1=><；

V=2L±A

I2

★★(3)重心公式：若点G(x,y)为AABC重心，且A(X[,y)、B(x2,y2),C(x3,y3),

_xt+x2+x3

X~3-

则〈

V-X+力+)’3

y—

3

题型与方法

一、向量的概念与运算(加法、减法'数乘)

【例1】在下列命题中：(1)若忖=忖，则2=分；(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，

终点相同；(3)若A月=。C，则是平行四边形：(4)若ABCD是平行四边形，则A4=OC；

(5)若a=〃,〃=c,则4=<;；(6)若。〃〃,〃〃c,则“〃其中正确的是.

【难度】★

【答案】(4)C5)

【例2】已知3=(—4,5),分=(—2,4),则忤一葭.

【难度】★

【答案】6⑪

【例3】已知点A(l,3),B(4,-1),则与向量还同方向的单位向量为()

A.(?V)B.9一DC.(一|,D.(一本|)

【难度】★

【答案】A

【例4】已知3=(1,x),1=(4,2),若力九则实数x=_

【难度】★

【答案】-2

【例5】如图：在梯形43co中，4。//3。且4。=,5。,

AC与8。相交

2

于。，设福=£,DC^b,用£石表示前，则的=—

—

B匕------------------------

【难度】★★

［答案】一4-42人■*

33

【例6】在直角坐标系内6(4,-3),6(一2,6),点P在直线Eg上，且|麻卜2|声冏，求出P的坐

标.

【难度】★★

【答案】P(-8,15)

【巩固训练】

1.判断下列命题是否正确，并说明理由.

①若向量。与b同向,且⑷>步|,则a>b；

②若向量⑷=网，则。与万的长度相等且方向相同或相反；

③对于任意|。|=步|,且。与b的方向相同，则a=b；

④向量a与向量b平行，则向量。与b方向相同或相反.

【难度】★

【答案】①不正确；②不正确；③正确；④不正确.

2.设无£R,向量［=(尤,1)石=(1,—2),且Z1分,则|Z+B|=.

【难度】★

【答案】Vio

3.已知向量5=(%2,4+1筋=依4),若不〃人则实数Z的值是.

【难度】★★

【答案】左=0或2=1

3

4.已知A(3,—l),6(-4,—2),P是直线AB上一点，若2万=3而，求点P的坐标.

【难度】★★

【答案】P(-y,-1)

5.有以下命题成立：设点P,Q是线段的三等分点，则有加+而=砺+砺.将此命题推广,

设点4,&4,A是线段AB的六等分点则

0A+0A,+OAj+OA^+OA^[OA+OB^.

【难度】★★★

【答案】-

2

6.已知点P、。是AABC所在平面上的两个定点，且满足AX+定=6,28+诙+西=配,

若\PQ\=A\BC\,则正实数2=.

【难度】★★★

【答案】-

2

二、向量的数量积

向量数量积运算的基本方法：1、向量的分解；2、坐标法：3、向量数量积的几何意义.

【例7】已知向量2=(3,Y),3=(0,—1),则向量)在向量B的方向上的投影是

【难度】★★

【答案】4

【例8】平面向量々与B的夹角为60°,同=1,分=(3,0),则|2£+母=.

【难度】★

【答案】V19

【方法】7=时

【例9】在边长为1的正方形ABC。中，M为的中点，点E在线段上运动，则

的最大值为___________

【难度】★★

3

【答案】-

2

【方法】向量的分解；坐标法

【例10】已知A4BC的外接圆的圆心为。，AC=6,BC=7,AB=8,则AO-BC

【难度】★★★

【答案】一14

【方法】向量数量积的几何意义

【巩固训练】

1.在平行四边形ABCD中，若网=2,阿卜l,N84O=60。，则福丽=.

【难度】★★

【答案】-3

2.已知向量［与向量坂，同=2,同=3,a,B的夹角为60,当1＜相＜2,0＜2时,

|ma+nb|的最大值为.

【难度】★★

【答案】2M

3.在&AA3C中，4B=AC=3,M,N是斜边BC上的两个三等分点，则加•丽的值为

【难度】★★

【答案】4

【方法】向量的分解：坐标法

4.如图，在圆O中，若弦AB=3,弦AC=5,则就•前的值是

【难度】★★

【答案】8

【方法】向量数量积的几何意义

三、向量的应用

(-)三点共线的应用；

(-)三角形“四心”：

1.而+无+左=60G是A43c的重心.

2.而=〃国-+-4£-)(/1H0)0/1经过418。的内心.

\AB\\AC\

3.1而月丽|=|历|00为AABC的外心.

4.而屈=丽•坛=瓦•而=H为AABC的垂心.

【例11】已知点G是△ABC的重心，过G作直线与AB、AC两边分别交于仞、N两点，且

AM=xAB,AN=yAC,则WL的值为_________.

x+y

【难度】★★

【答案】-

3

【方法】三点共线

【例12]设1，是平面内两个不共线的向量，通=(〃-1)1+[,近=%—21，a>0,b>0.

12

若4民。三点共线，则一+二的最小值是_______

ab

【难度】★★

【答案】4

【方法】平面向量分解定理，三点共线

UUUUUUUULB1

【例13】已知同一平面上的向量PA,PB,AQ,3Q满足如下条件:

zuun

UUUUUUUABUUUuuuucuiiuuuutmiuuai

①；②-uta-+；③贝的最

|PA+P5|=|A8|=2[\AB\•8Q=0|AB+AQ|=|AB—AQ|,U|PQ|

大值与最小值之差是

【难度】★★

【答案】2

【方法】三角形“四心”

【巩固训练】

1.如图，在△ABC中，点。是8c的中点，过点。的直线分别交直线AB,

AC于不同的两点M,N,若砺=〃?询'，AC=nAN,则〃的值为

【难度】★★

【答案】2

【解析】取特殊位置，设〃与5重合，N与C重合，则加=〃=1,所以

m+n—2.

【方法】三点共线

2.已知点。是AABC的重心，内角A、B、。所对的边长分别为小氏c,且

2aOA+bOB+^^cOC=6^则角。的大小是.

3

【难度】★★

TT

【答案】-

3

【方法】三角形重心

易错题型

零向量、向量的夹角

【例1】己知点A(1,3),6(4,-1),则与AB共线的单位向量为

【难度】★

3434

【答案】

一,和(

5555

【解析】与向量％同向的单位向量为符

【易错点】①长度为1个单位的向量叫单位向量;②与向量々同向的单位向量为符。学生记忆时大

多会记得第二点，容易忽略反向的单位向量。

【变式训练】

1.与3=（8,-15）垂直的单位向量为

【难度】★

【答案】f-

（17

-

4

+

2.已知向量p其中5、b.%均为非零向量，则万的取值范围是

【难度】★★

【答案】[0,3]

【例2】设。为两个非零向量Z、B的夹角，已知对任意实数，3+而的最小值为1,则（）

A、若e确定，则R唯一确定B、若e确定，则力唯一确定

C、若口确定，则。唯一确定D、若欠确定，则。唯一确定

【难度】★★

【答案】B

【解析】不妨设2=而，b=OB,过点8作。4的平行线/,设丽=E,则P点在/匕即

而=分+R,显然当而_L即时，OP最小。此时，OP=Wsin6（图1）,或者而曰石卜出伍―夕）

（图2）,即1=「卜也。，所以若。确定，则同唯一确定；若问确定，则。可能有两解，故选8

【易错点】题目的难度在于未知量多，分析起来不好着手，容易犯错。这类向量的题型需要定量来

分析和求解。

【变式训练】

1.已知向量awe,卜1=1满足：对任意，eR,恒有a-fe2。一e,则（）

A>a±eB、a_L（a-e）C、eJ_Q-e）D-（a+e）_L（a-e）

【难度】★★

【答案】C

2.已知3=（2,1）与至=（1,2）,要使归+可最小，则实数f的值是

【难度】★★

4

【答案】--

5

3.已知。是向量。、B的夹角，且对任意的feR,相的最小值为1,则%=

【难度】★★

【答案】|sec^|

【例3】在AA8C中，过中线中点E任作一直线分别交AB、AC于M、N两点，设AM=xAB,

AN=yAC（xyw0）,则4x+y的最小值是

【难度】★★

9

【答案】-

4

【解析】山。为5c中点知访=（而+；公，又戒=xQ,而="记孙。0）,E为AD

---1*1*1*I]

中点，故AE=—AD=—AM+—AN,-M.E、N三点共线，.・.一+—=1,.・.4x+y=

24x4y4x4y

（4x+y{—+—^^^+-+->21^--+-=-,当且仅当上=土，即x=3,y=3时取

'"14x4yJ4xy4Y4xy444xy8-4

等号。

【易错点】若次=4丽+4反（X、〃为常数），则A、B、。三点共线的充要条件是;1+〃=1。

【变式训练】

1.在AABC中，M为边BC上任意一点,N为AM的中点，AN=AAB+//AC,则4+〃的值

为______

【难度】★★

【答案】1

2.在AABC中，点。是BC的中点，过点。的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,

若AB=mAM,AC=mAN,则m+〃的值为

【难度】★★

【答案】2

3.已知等差数列｛6,｝的前〃项和为S,,,若丽=4次+。200无，且A、B、。三点共线（该直

线不过原点。），则$200=

【难度】★★

【答案】100

4.已知在平面直角坐标系中，4（—2,0）,3（1,3）,。为原点，且砺=。苏+尸而（其中。+/?=1,

a,P均为实数），若N（l,0）,则丽的最小值是

【难度】★★

【答案】-V2

2

【例4】已知a,b,C分别为AA3C中NA,NB,NC的对边，点G为A43C的重心，且

a-GA+bGB+cGC=O,则AA3C为（）

A、等腰直角三角形8、直角三角形C、等腰三角形。、等边三角形

【难度】★★

【答案】D

【解析】•••点G是A48C的重心，GA+GB+GC=0,又。•苏+匕・而+c•文=6,

aGA+bGB-c^A+GB）^O.即（a—c屈+（。一0痴=6,vGA,而不共线，

a-c=h-c=O,即a=6=c,二AABC为等边三角形，故选。

【易错点】运用平面向量判定图形形状，主要是将“边相等、边平行、边垂直”分别对应转化为“向

量的模相等、向量的平行、向量的垂直”等问题。

【变式训练】

1.已知。为A48C所在平面内一点，满足方一历=5三+无一2苏，则AA8C一定是（）

A、等腰直角三角形B、直角三角形C、等腰三角形D、等边三角形

【难度】★★

【答案】B

2.已知AABC,若对任意，eR,BA-tBC>AC,则A43C（）

A、必为锐角三角形B、必为钝角三角形C、必为直角三角形D、答案不确定

【难度】★★

【答案】C

3.在A4BC中，若诟e=而.而'+互I而+而.无，则MBC是（）

A、等边三角形B,锐角三角形C、钝角三角形。、直角三角形

【难度】★★

【答案】D

4.已知非零向量A8与AC满足正=。且普痣2则A4BC为（)

HM2

A、三边均不相等的三角形8、直角三角形C、等腰非等边三角形。、等边三角形

【难度】★★

【答案】D

的平面内一点，并且满足

,则点尸的轨迹经过AABC的（）

【答案】D

A3AC=-1回+同=0

解析BC-BC1J

|AB|COSJ3cosC

一、7

ACOB+OC

垂直，不妨设3C中点为"，则。P-=0P-0M=MP,

|A(^COSC2

可得MP与BC垂直，MP所在直线为的中垂线，故点P的轨迹经过A48C的外一心。、

ACABAC