高中数学-直线的参数方程教学设计学情分析教材分析课后反思

《直线的参数方程(1)》教学设计

课题直线的参数方程(1)

教材人教B版《数学》选修4-4

课时1课时

一、教学目标

1、知识与能力：

掌握直线参数方程的标准式和一般式，能够在两种形式之间和

直角坐标普通方程之间的进行转化，利用标准式中的参变量的几

何意义解决简单问题。

2、过程与方法：

通过直线参数方程标准式和一般式研究，体会两种方程以及直

角坐标普通方程之间的转化统一思想。

3、情感态度与价值观：

(1)通过直线方程各种形式问题，体会到不同数学知识间的

内在联系，认识到数学是一个有机整体。

(2)通过直线参数方程两种形式的研究过程，体会数学知识在

实际中生活的重要作用，调动学生的学习兴趣。

二、重点与难点

教学重点:

直线参数方程的标准式和一般式，两种形式之间和直角坐标普通

方程之间的进行转化。

教学难点：

直线参数方程一般式到标准式的转化，利用标准式中参变量的几

何意义解决简单问题。

三、教学方法

1.教学方法的选择：

1.自主探究法，2合作探究法，3启发式教学.

2.教学手段的利用：

本节课采用多媒体课件、学案设计等辅助手段，通过数形结合,

使抽象的知识直观化、形象化，以促进学生的理解。

四、教学准备

1.通过导学案在自习课提前布置复习（直线方程形式，倾斜角概念

等知识）和预习任务；

2.多媒体提前完成授课内容的课件设计，包括作图等准备工作。

五、教学过程

（一）回顾与思考

1.直线方程的五种形式：

（1）一般式：Ax+By+C=O,（4,8不全为0）

（2）点斜式：y-yQ=k（x-xa）

(3)斜截式：y=kx+b

(4)截距式：二+2=1("。0)

ab'

(5)两点式：上二江=上工(工产均其，必)

%-Xx2-x,

2.直线的倾斜角：直线向上的方向与x轴正方向的夹角，范围是［0,万).

(二)知识形成

1.对照教材和导学案自主探究，探究完成，学生形成结论并表述。

(1)探究一：直线参数方程的标准式

设质点从M(x°,%)出发,沿着与x轴成a角的方向作匀速直线运动,

其速度为丫，把速度向量在x轴和y轴上分解,

其大小为『=，

Vy=--------------------

设M(x,y)为f时刻质点所在的位置，则

U=-------

这说明：动点M(x,y)的轨迹是过定点M(x0,y0)倾斜角为a的

若不考虑f的物理意义，允许f取负值，则该式是表

示的是.

(2)直线的参数方程可以从它的普通方程

转化而来：

设直线方程为y-y()=A(x-Xo),其中k=tancr,

a为直线的倾斜角，aw工，代入得：y-%=smq(x—Xo),

2cosa

即y一%=X工0令r_x-4

sinacosasinacosa

X=

整理得:

7=

其中卜|表示

2.教师启发学生回答形成结论:

(1)卜|的几何意义：

直线上的点M(x,y)到点M(X。,%)的距离.

在中，|/川=卜-4，|肱4|=,一%|,

因此WLII^-^olL

cosacosa

又因为公男所以

cosp,M=M闻

(2)1为直线的倾斜角，ae[(U),si.n2a+cos2a=1l,o<sin«.

通过实例加深理解:

0

X-——tx=-\-\------1

观察：参数方程2和＜2

忆

y=Fy

2

(i)它们的倾斜角分别是多少?

(ii)这两个方程化为普通方程是什么？

(iii)在两个方程中卜|的几何意义分别是什么？

说明：重在让学生理解方程中各个量的意义，尤其是卜|的几何意义.

3.知识应用a)：教师引导学生共同完成，同时板书，给学生提供良

好的书写规范。并注重参数方程的两个要素，归纳具体方法.然后通

过学案中的练习1巩固加深。

例1:设直线4过点A(2,-4),倾斜角为3万；直线1x-y+l=O.

6

(1)求直线4和4的参数方程标准式；(2)设4和4的交点为8,求点

8和点A的距离；

4.自主探究与合作探究，学生形成结论，教师板书.

探究二：直线方程的一般式

⑴直线/与向量)=(/,㈤平行(其中/,〃,都不为0),若“5,%)为直线

上的定点，任取直线上一点M(x,y),则%M=(,),且满足

而平行于向量)=(/,〃?)，因此坐标满足等式丝滋=七卢，令

mI

岬匕―也贝IJ卜二--------

思考：此公式中的f还具有标准式中的意义吗？

⑵直线的斜率攵和a=(/,m)的关系为

5.知识应用(2)此例题由学生独立完成，利用实物投影展示学生做

的过程，并对比两种方法.

例3.直线过点41,3),且与向量(2,~4)共线.(1)写出直线的参数方程

(2)求点尸(-2,-1)到此直线的距离.

解：(1)把"三^代入y的表达式，得y=10-若趣

化简得4x+3y-50=0这就是直线的直角坐标方程.

（方法1）（2）由（1）得该直线的斜率％=12皿

（a为直线的倾斜角，aw[0㈤）

因止匕cos6Z=--,sincr=—?

取直线的一点（8,6）,则直线的参数方程可以写作

x=S--t

y=6+—t

3

r=5+--(5z)

（方法2）（2）把方程变形为5

4

z=10---(5z)

u3

X-5—M

令u=—5t,则方程变为5

4

y=10+—»

3sina=[(ae[0,7r)).

此时COS6Z=----，

5

教师提出疑问，学生解答。

x=5+-u

可否令〃=夕，将方程变为5.

y=10——u

I5

完成例题，总结方法：

直线参数方程一般式转化为标准式的方法及步骤:

（方法一）转化为普通方程：

（1）根据直线的斜率求出倾斜角的正余弦；

（2）找到直线上的一个点；

(3)根据公式i°+'c°sa写出方程

y-y0+tsma

(方法二)直接转化：

,1

X=斯+〃=即+/Q尸+m21）

V/2+m2

(1)形式处理：<

m•（〃+,岛）

y=y0+tm=y0+万——-

71+nr

(2)参变量替换：令〃=J/2+〃72r或者〃=々/2+m21

(3)整理形式，写出方程.

巩固练习：导学案第3题

(三)知识小结：学生归纳，教师补充

x=x+，cosa

V0

1、直线参数方程的标准式：［y=%+fsin0

X=x()+tl

<

2、直线参数方程的一般式：1=%

3、参数方程之间以及和普通方程之间的转化.

六、自习作业与思考：

1、导学案练习2,4题；

2、教辅资料《步步高》分层练习.

七.板书设计

课题

投影板演例1

内容

附：《直线的参数方程（1）》导学案

直线的参数方程（1）

一、教学目标：

掌握直线参数方程的标准式和一般式，能够在两种形式之间和直

角坐标普通方程之间的进行转化，利用标准式中的参变量的几何意义

解决简单问题。

重点与难点：直线参数方程的标准式和一般式，两种形式之间和

直角坐标普通方程之间的进行转化。利用标准式中参变量的几何意义

解决简单问题。

二、知识复习：

（1）分别写出直线方程的以下形式：（注意条件）

1、一般式：___________________________

2、点斜式：___________________________

3、斜截式：_________________________

4、截距式：_________________________

5、两点式：_________________________

(2)直线的倾斜角：，范围是

三、知识形成：

1、探究一：直线参数方程的标准式

(1)设质点从加(后,%)出发，沿着与x轴

成a角的方向作匀速直线运动，其速度为八

把速度向量在x轴和y轴上分解，其大小为

心一，设M(x,y)为f时刻质点所在

的位置，则“一.这说明：动点M(x,y)的轨迹是过

定点倾斜角为a的，若不考虑/的物理意义,

允许f取负值，则该式是表示的是

(2)直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来：

设直线方程为卜％=左*-/)，其中Z=tana,

a为直线的倾斜角，aw生，代入得:

2

即。一为/一%,令工二)一1=%一.

sinacosasinacosa

整理得：?=-----------

-----------

其中■表示

(3)要点速记:

1、

2、

V2.V2

x=--1x=-l-\---1

观察：参数方程2和，2

V=1H-----1反

2

(i)它们的倾斜角分别是多少?

(ii)这两个方程化为普通方程是什么？

(iii)在两个方程中卜|的几何意义分别是什么？

例1：设直线4过点A(2,~4),倾斜角为3万；直线x-y+l=O.

6

(1)求直线4和&的参数方程标准式；(2)设乙和6的交点为8,求点

6和点A的距离;

2、探究二：直线方程的一般式

（1）直线/与向量）=（/,㈤平行（其中/,加都不为0）,若“（X。,%）为直

线上的定点，任取直线上一点〃（x,y）,则万词=（,）,

且满足玩而平行于向量£=（/,加），因此坐标满足等式

）」为」一d,令厂）」为_XTo,则卜=-------

mImI[y=

思考：此公式中的/还具有标准式中的意义吗？

（2）直线的斜率左和a=（/,附的关系为

例2.设直线的参数方程为[”=5+如，（1）求直线的直角坐标方程（2）

y=10—4/

将此方程化为标准式.

练习：课堂练习第3题

四、课堂小结：

1、______________________________________________________

2、

3

五、课后练习：

1.直线过(3,-5),倾斜角为g乃，求直线的参数方程.

2.直线的参数方程为「=一"',求点(0,-2)到(-1,2)的距离.

y=2-4t

3.直线的普通方程为尤-2y+l=(),令x=l+2f,写出直线的参数方程,

并化为标准式.

4.一直线过点(2,1),与向量(-1,1)平行：(1)求直线的参数方程；(2)

求点P(-1,-2)到直线的距离.

学情分析：

本节课课堂学生为高二年级的学生，学生基础整体较好，但是由

于参数方程是新学习的内容，而且解析几何部分知识也是在必修2和

选修1-1中学习的内容，间隔时间较长，知识遗忘较为严重，同时本

节课在研究参数方程的标准式时会较多的涉及到倾斜角这个概念，因

此对前面学习内容的复习和回顾是对本节课掌握的一个重要前提。

同时在本节内容的学习中，直线参数方程的一般式转化为标准式

的过程需要构造倾斜角的三角函数值，这对学生三角函数部分的理解

和应用也是一个较高要求，需要提前复习辅助角公式等内容。

另外，学生需要能够及时转化思路，从直角坐标普通方程转化为

参数方程的思想，这也是学生学习中的一个难点。

效果分析：

通过本节课的学习，多数学生能够掌握直线参数方程的两种形式,

以及标准式中各个量的意义，对于从参数方程到直角坐标普通方程的

转化也能够很好的掌握，学习过程中一部分学生对于从一般方程向普

通方程的转化略感吃力，但是随着课堂深入的研究和对于方法的归纳,

在本节内容结束之时也能够掌握该问题的方法和操作步骤，另外一个

难点是标准方程中参变量的几何意义的理解和应用，在刚开始接触之

时学生感觉较难理解与把握，但是在完成例题之后的具体实例分析帮

助学生突破了这一难点，效果不错。下一节课还要重点研究直线参数

方程的应用，对于本节掌握的程度也是一个加深。

教材分析：

《直线的参数方程》是普通高中课程标准实验教科书（人教版）

高中二年级数学选修4-4第二章的一节内容。本节内容分两个课时，

第一课时重在直线参数方程的两种形式和简单应用，第二节较为深入

的探究其应用，本次授课是第一课时。本节课之前，学生在必修2解

析几何部分学习了直线的直角坐标方程和性质，曲线参数方程的概念,

对直线和参数方程有了一定的感性和理性认识，对直线的参数方程的

学习有了较多的知识储备。

直线的参数方程是选修教材中非常中重要的一节知识，以前学习

了直线的直角坐标方程，有了参数方程的概念之后，利用参数来研究

直线方程，并形成标准式和一般式两种结构形式，对学生解析儿何部

分知识的培养和发散具有很大的帮助，同时也提供了重要的方法。学

习本节内容具有承上启下的作用。

结合高考大纲的要求，考虑学生基础的实际，从简单入手，探索

直线参数方程的标准式和一般式，并在两种形式之间和直角坐标普通

方程之间的转化。根据新课程标准的要求，本节课的知识目标定位在

以下三个方面：

【教学目标】

4、知识与能力：

掌握直线参数方程的标准式和一般式，能够在两种形式之间和

直角坐标普通方程之间的进行转化，利用标准式中的参变量的几

何意义解决简单问题。

5、过程与方法：

通过直线参数方程标准式和一般式研究，体会两种方程以及直

角坐标普通方程之间的转化统一思想。

6、情感态度与价值观：

(1)通过直线方程各种形式问题，体会到不同数学知识间的

内在联系，认识到数学是一个有机整体。

(2)通过直线参数方程两种形式的研究过程，体会数学知识在

实际中生活的重要作用，调动学生的学习兴趣。

【教学重点】

直线参数方程的标准式和一般式，两种形式之间和直角坐标普

通方程之间的进行转化。

【教学难点】

直线参数方程一般式到标准式的转化，利用标准式中参变量的

几何意义解决简单问题。

【教学方法】

启发式教学

【课时安排】1课时

【课程类型】新授课

评测练习:

痣

x=——tX=-1H--

(一)参数方程2和，2

V2

y=l+培

2

(i)它们的倾斜角分别是多少?

(ii)这两个方程化为普通方程是什么？

(iii)在两个方程中卜|的几何意义分别是什么？

分析：此题目实在完成标准式之后由三个学生回答的问题，三个学生

完成的都很好，尤其是第三个说明卜|的几何意义，很准确，说明学生

掌握的整体较好。

（二）例2.设直线的参数方程为["=5+3"（1）求直线的直角坐标.

y=10-4/

（2）将此方程化为标准式.

分析：此题目是在完成一般式之后完成学生自主完成的一道题，通过

实物投影展示两个学生两种不同的做法，基本能够完成，但是细节之

处处理的不是很好，课堂上教师做了纠正。

（三）直线过（3,-5）,倾斜角为|万，求直线的参数方程.

分析：此题目是例1之后学生的巩固练习，完成的很好.

（四）直线的参数方程为卜T+,求点。-2）到（-1,2）的距离.

[y=2-4t

分析：此题目安排在课后练习.

（五）直线的普通方程为x-2y+l=0,令x=l+2r,写出直线的参数

方