第一次月考重难点特训（二）之勾股定理与全等三角形结合的压轴题（附答案解析）

第一次月考重难点特训（二）之勾股定理与全等三角形结合的压轴题

国【重难点题型】

1.（2023•全国•九年级专题练习）综合与实践.

勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家,

也有业余数学爱好者.

（1）我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图1所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为“赵爽

弦图在RtA4BC中，NAC3=90。，若ACM,BC=a,AB=c,请你利用这个图形说明/+从“2.

（2）业余数学爱好者向常春在1994年构造发现了一个新的证法：把两个全等的Rt^ABC和RtD4E按如图2

所示的方式放置，ZDAB=ZB=^°,AB=AD=c,BC=AE=a,AC=3E=b.请你利用这个图形说

明/+/=层.（提示:连接EC,CD）

2.（2023春•八年级课时练习）如图（1）MC和。砂为两个全等的等边三角形，边8c和所的中点重

合与点O,直线C尸交直线于点G.

（1）求证：AG1CG；

（2）若AG=CG,是判断3、OG、OC的数量关系；

（3）若9=2,请直接写出BG的最小值

3.（2023秋・河南南阳•八年级统考期末）我们把“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从

而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”.

图②图③

(1)通过如图①中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：;

(2)“面积法”还可以作为几何证明的工具，当两个全等的直角三角形摆放成如图②所示时，其中/ZMB=90。,

借助图中辅助线用两种不同方法表示四边形的面积，易得：SA4CD+SAAfiC=；SA4DB+SA/X.8=

,构建等式整理可得：a2+b2=c2;

(3)如图③，在_4BC中，AB=AC=\?>,BC=10,P为边BC上的任一点，过点P作尸M_LA8,PNLAC,

垂足分别为M、N,连接AP,利用“面积法”求PM+PN的值.

4.(2023秋・河北石家庄.八年级石家庄市第二十二中学校考期末)【阅读材料】小高同学发现这样一个规律：

两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶点的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等

的三角形，小高把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.

【材料理解】

⑴如图1,在“手拉手”图形中，小高发现若NB4C=NZM£,AB=AC,AD=AE,则AABZ运△ACE,请

证明小高的发现.

【深入探究】

(2)如图2,ABAC=ZDAE=90°,AB=AC,AD=AE,试探索线段C£>,BD,之间满足的等量关系，

并证明结论；

【延伸应用】

(3)①如图3,在四边形ABC。中，BD=CD,AB=BE,ZABE=ZBDC=60°,NA与NBE£>的数量关系

为：(直接写出答案，不需要说明理由)；

②如图4,在四边形A8C£＞中，ZABC=ZACB=ZADC=45°,若30=3,8=1,则力。的长为

（直接写出答案，不需要说明理由）.

5.（2022秋•江苏无锡•八年级校联考期中）【问题探究】

（1）如图1,锐角.ABC中，分别以A3、AC为边向外作等腰直角组和等腰直角.,ACD,使AE=AB,

AD=AC,ZBAE=ZCAD=9Q0,连接3£）,CE,请判断3。与CE的数量关系，并说明理由.

图1

【深入探究】

（2）如图2,四边形438中，AB=5,BC=2,ZABC=ZACD=ZADC=45°,求的值；甲同学受

到第一问的启发构造了如图所示的一个和△48。全等的三角形，将BO进行转化再计算，请你准确的叙述辅

助线的作法，再计算；

图2

【变式思

(3)如图3,四边形ABCD中，AB=BC,ZABC=60°,ZADC=30°,4)=4,8£>=7,则8?=

图3

6.（2022秋・浙江金华•八年级浙江省兰溪市第二中学校考阶段练习）如图①，在RtZVIBC中，?B90?,

BC=16cm,AB=\2cm,现有一•动点P,从点A出发，沿着三角形的边/W->8C->C4运动，回到点A停止，

速度为2cm/s,设运动时间为r秒

」AA

BDC

图①图②备用图

⑴如图①，当PA=PC时，求，的值；

(2)如图①，当“AB尸是等腰三角形时，求f的值；

⑶如图②，点。在BC边上8=9C,点E在AC边上CE=9C,EDVBC,在拒C的边上，若另外

有一个动点。与点尸同时从点A出发，沿着边ACfCBf84运动，回到点A停止.在两点运动过程中的

某一时刻，恰好△APQ与△EOC全等，求点。的运动速度.

7.(2023・全国•八年级专题练习)综合与实践

【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三

角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于另一种是等于四

个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即gabx4+e-4)2,从而得到等式c2=g而x4+(b-a)，化简

便得结论片+b2=c2.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法

【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹫，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者.向

常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形.MC和△OE4如图2放置，其三边长

分别为。，b,c,N84C=NOE4=90°,显然8CJ_A£>.

(1)请用“，b,c分别表示出四边形ABDC,梯形AEDC,△£8。的面积，再探究这三个图形面积之间的

关系，证明勾股定理〃+从=02.

(2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3,小正方形边长为1,连接小正方形的三个顶点,

可得ABC,则AB边上的高为.

(3汝U图4,在"C中，A。是BC边上的高，AB=4,AC=5,8c=6,设8£>=x,求x的值.

8.(2022秋•江苏•八年级专题练习)定义：一组对角互补，且对角线平分其中一个内角，称四边形为余缺四

边形.

如图1,四边形ABC。，N£>+N8=180°,AC平分则四边形488为余缺四边形.

【概念理解】

(1)用(填序号)一定可以拼成余缺四边形.

①两个全等的直角三角形，②两个全等的等边三角形；

(2)如图1,余缺四边形ABC£>,AC平分ND43,若AD=6,AB=2,则&MC：%ABC=

【初步应用】

如图2,已知△ABC,NBAC的平分线AP与BC的垂直平分线交于P点，连接P8、PC.

(3)求证：四边形48PC为余缺四边形；

(4)若A8=9,AC=5,则小2_依2的值为.

【迁移应用】

(5)如图3,ZMAN=9Q°,等腰R/AP3C的8、C两点分别在射线AM、AN.上,且斜边BC=10cm(P、A

在BC两侧)，若8、C两点在射线AM、AN上滑动时，四边形AP3C的面积是否发生变化？若不变化，请

说明理由；若变化，直接写出面积的最大的值.

图3

9.（2022春・广东深圳•七年级校联考期末）材料阅读：如图1所示，已知直角梯形8CDE中，A是8上一

点，CB=a,AC=b,AB=c,且AS，M，AB=AE,现需探究直角三角形ABC的三边“、b、。之间

的数量关系:

图2

（1）【初步探究】猜想三角形A8C是否与三角形ADE全等，若是，请说明理由;

⑵【问题解决】请用两种含有。，b,。的代数式的方法表示直角梯形8CDE的面积：SmBCDE=

.SmiBCDE=.由此，你能得到的“、b、c的数量关系是：.

（3）【拓展应用】如图2,等腰三角形43c中，。是底边8c上的中点，8c=12,AB=10,E、F分别是

线段A£＞和AC上的两个动点，求：CE+E尸的最小值.

10.（2022春・广东广州•八年级校联考期中）在平面直角坐标系xOy中，点8、C的坐标分别为（0,0）、（12,

0）,点A在第一象限，且△ABC是等边三角形.点。的坐标为（4,0）,E是边4B上一动点，连接。E,以

DE为边在QE右侧作等边△DEF.

备用图

(1)求出A点坐标；

(2)当点尸落在边AC上时，ACDF与ABED全等吗?若全等，请给予证明；若不全等，请说明理由;

(3)连接CF,当△8尸是等腰三角形时，BE=.

11.(2022秋♦江苏•八年级期中)【问题情境】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图①，AABC中，若AB=8,AC=6,求8c边上的中线的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AO至点E,使。E=A£>,连接8E.请根据小明

的方法思考：

(1)由已知和作图能得到△ADC/EDB,依据是.

A.SAS；B.SSS；C.AAS；D.HL

(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是.

解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求

证的结论集中到同一个三角形之中.

(3)【初步运用】如图②，AO是AABC的中线，BE交AC于E,交于F,S.AC=BF.求证AE=FE.

(4)【灵活运用】如图③，在AABC中，/A=90。，。为BC中点，DELDF,DE交AB于■点、E,。尸交AC

于点F,连接EF.试猜想线段BE、CF、EF三者之间的数量关系，并证明你的结论.

12.(2021秋・河北保定•八年级保定市第十七中学校考期末)(1)如图1,在锐角「ABC中，分别以A3、AC

为边向外作等腰一ABE和等腰ACD,使AE=AB,AD=AC,ABAE=ZCAD,连接80,CE,试猜想BO与

CE的数量关系，并说明理由；

(2)在(1)的条件下，若Nfi4C=60。，ABA.AD,则8D与CE相交所得的锐角=:

(3)如图2,四边形ABC。中，43=7,BC=3,ZABC=ZACD=ZADC=45°,求50的长.甲同学受到

第一问的启发构造了如图所示的一个和△43。全等的三角形，将8。进行转化,据此可计算得.

E

E

D

BC

图1

13.(2022秋・江苏•八年级期末)如图，在平面直角坐标系X。)，中，点8、C的坐标分别为(0,0)、(6,0),

A是第一象限内的一点，且AABC是等边三角形.点。的坐标为(2,0),E是边上一动点，连接DE,

(1)求出A点坐标；

(2)当点/落在边AC上时，ACDF与ABED全等吗?若全等，请给予证明；若不全等，请说明理由；

(3)连接C尸，当AC。尸是等腰三角形时，直接写出BE的长度.

14.(2021秋•江苏扬州•八年级校考阶段练习)图形的翻折就是将一个图形沿着一条轴折叠的运动。

翻折有如下性质：

(1)、把图形变为与之全等的图形；

(2)、关于所沿轴对称的两点连线被该轴垂直平分

【课堂提问】何老师在课堂中提出这样的问题：如图1,在RQABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°,那么

BC和A8有怎样的数量关系？

【互动生成】经小组合作交流后，各小组派代表发言.

(1)小华代表第3小组发言：AB=2BC.请你补全小华的证明过程.

证明：把△ABC沿着AC翻折，得到△AQC.

，NACQ=/ACB=90°,

/.ZBCD=ZACD+ZACB=90°+90°=180°,即：点B、C、。共线.

（请在下面补全小华的证明过程）

（2）受到第3小组“翻折”的启发，小明代表第2小组发言:如图2,在△ABC中,如果把条件"NACB=90。”

改为“NACB=135。"，保持“NBAC=30。”不变，若8c=2,求AB的长.

【能力迁移】我们发现，翻折可以探索图形性质，请利用翻折解决下面问题.如图3,点。是AABC内一

点，AO=AC=a，8£>=8,NBAO=/CA£）=30。，ZADB=135°,求BC的值

15.（2022秋.江苏扬州•八年级校考阶段练习）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力.千百

年来，人们对它的证明趋之若鹫，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者.向常春在1994年构造发现

AB

图1图2

【小试牛刀】把两个全等的直角三角形△48<7和4D4E如图1放置，其三边长分别为“，b,c.显然，ZDAB

=ZB=90°,ACA.DE.请用a,b,c分别表示出梯形ABC。，四边形AECO,AEBC的面积:

5梯形ABCD=,

SAEBC=,

S西边形AECD=,

再探究这三个图形面积之间的关系，它们满足的关系式为，化简后，可得到勾股定理.

【知识运用】

如图2,河道上A,B两点（看作直线上的两点）相距200米，C,。为两个菜园（看作两个点），ADLAB,

BC±AB,垂足分别为A,B,AO=80米，BC=70米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点尸，使得抽水点

产到两个菜园C,。的距离和最短，则该最短距离为米.

【知识迁移】

借助上面的思考过程，请直接写出当0<x<15时，代数式VZ①+"（15-x>+25的最小值=.

16.（2020.浙江绍兴.模拟预测）问题理解：

如图1,在锐角中，分别以AB,AC为边向外作等边/WE和等边ACD,连结8。，CE,通过证

明△ACE和全等，可得BD=CE.（不必证明）

问题探究：

（1）如图2,在锐角ABC中，分别以AB,AC为边向外作等腰A3E和等腰AC。，使AE=AB,AD=AC,

ZBAE=ZCAD,连结8。,CE,试猜想8。与CE的大小关系，并说明理由.

问题拓展：

（2）如图3,在ABC中，AB=1,BC=2,ZABC=AACD=ZADC=45°,求的长；

（3）如图4,在（2）的条件下，当ACZ）在线段AC的左侧时，请直接写出8。的长.

17.（2020秋•河北衡水•八年级校考期中）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段〃要满足两个

条件：①线段。一个端点是图中一条线段6的中点；②线段。与这条线段b不共线），然后进行连接，构造

三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题.

【应用举例】如图（1）,已知：AD为AABC的中线，求证：AB+AC>2AD.

简证：如图（2）,延长AD到E,使得DE=AD，连接CE,易证AABD=\ECD,得AB=

在AACE中，AC+CE>,AB+AC>2AD.

A

/✓

EJ'

图(2)

【问题解决】

(1)如图(3),在AABC中，AD是8c边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC,延长BE交AC于尸,

求证：AF=EF.

图(3)

(2)如图(4),在A4BC中，4=90。,。是8c边的中点，E、尸分别在边AB、AC上，DE1DF，若

BE=3,CF=4,求E尸的长.

图(4)

(3)如图(5),AO是AABC的中线，AB=AE,AC=AF,且NR4E=NE4C=90。，请直接写出AO与E尸

的数量关系及位置关系.

E,

图（5）

18.（2023春・全国•八年级专题练习）阅读：等边三角形具有丰富的性质，我们常常可以借助等边三角形和

全等解决问题.

如图1,B、C、。三点在同一条直线上，等边三角形ABC和等边三角形ECZ）具有共同的顶点C,我们容易

证明ABCE附△AC。，从而得到BE=；

理解：如图2,已知点。在等边三角形A8C内，45=5,BD=4,CD=3,以CO为边在它的下方作等边三角

形CDE,求NBOC的度数；

应用：如图3,在AABC中，AC=10,BCW2,点。在AABC外，位于8c下方，为等边三角形，当

NAC£>=30。时，CD2=.

图1图2图3

19.（2023秋・吉林长春•九年级校考期末）【感知】如图①，在正方形ABCZ）的内部，作

ZDAE=ZABF=ZBCG=ZCDH,且点E、F、G、H分别在AE、BF、CG上，根据三角形全等

的判定方法，易证：MBF当ABCG”ACDH名ADAE.（不需证明）

【类比】如图②，在等边三角形4BC的内部，作NABF=/BCE=NC4。，AD,CE、防两两相交于。、

E、F三点、.

DA

图①图②

（1）求证：AABF^ABCE.

（2）判断：ADE尸的形状为.

【拓展】在图②中，若AB=3,CE=2,则OF的长为.

20.（2022秋・全国•八年级期中）如图（1）,是两个全等的直角三角形（直角边分别为a,b,斜边为c）

（1）用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2+b2=c2；

（2）用这样的两个三角形构造图3的图形，你能利用这个图形证明出题（1）的结论吗？如果能，请写出

证明过程；

（3）当a=3,b=4时，将其中一个直角三角形放入平面直角坐标系中，使直角顶点与原点重合，两直角

边a,b分别与x轴、y轴重合（如图4中RsAOB的位置）.点C为线段OA上一点，将△ABC沿着直线

BC翻折，点A恰好落在x轴上的D处.

①请写出C、D两点的坐标；

②若ACMD为等腰三角形，点M在x轴上，请直接写出符合条件的所有点M的坐标.

A

//士

aaBaEbC

图（1）图（2）

号

图（3）图（4）

21.（2021秋・浙江•八年级期末）如图,点A是射线。氏y=x（xK））上的一个动点，过点A作工轴的垂线,

垂足为B,过点B作OA的平行线交NAOB的平分线于点C.

E,

（1）若0A=50,求点8的坐标；

（2）如图2,过点C作CG_LA8于点G,CH_L0E于点H,求证：CG=CH.

（3）①若点A的坐标为（2,2）,射线0C与AB交于点D,在射线BC上是否存在一点P使得△ACPVABDC

全等，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

②在（3）①的条件下，在平面内另有三点P/（72.五）,P2（2,2叵）,P3（2+0,2-夜），请你判

断也满足△人。尸与4BQC全等的点是.（写出你认为正确的点）

22.（2022秋.江苏•八年级期中）如图1,长方形ABC。中，AB=5,AO=12,E为AD边上一点，DE=4,

动点P从点5出发，沿B-C-。以2个单位/s作匀速运动，设运动时间为人

（1）当/为s时，AABP与ACDE全等；

⑵如图2,EF为△/!"的高，当点P在8c边上运动时，所的最小值是；

⑶当点P在EC的垂直平分线上时，求出f的值.

23.（2021秋.河南郑州.八年级校考期中）（1）我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成

四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成丁一个大的正方形（如图1）,这个矩形称为赵爽弦

图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边。、〃与斜边c满足关系式“2+〃=/,称为勾

股定理.

证明：•.•大正方形面积表示为5=洛，又可表示为S=4xg"+S-a）2,

.".4x^ab+（b—a）2=c2.

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

（2）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图2）,也能验证这个结论，请你

帮助小明完成验证的过程.

（3）如图3所示，/ABC=/4CE=90。，请你添加适当的辅助线，证明结论〃+〃=廿.

24.（2021春•广东深圳•八年级深圳第二实验学校校考期中）已知ABC是等边三角形，点。是区边上一

动点，连结AO

⑴如图1,若BD=2,DC=4,求A。的长；

⑵如图2,以A。为边作=尸=60,分别交AB,AC于点E,F.

①小明通过观察、实验，提出猜想：在点Z）运动的过程中，始终有=小明把这个猜想与同学们进

行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法

想法1：利用是/££＞尸的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关

知识获证.

想法2：利用AO是的角平分线，构造_ADF的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证.

请你参考上面的想法，帮助小明证明AE=AE（一种方法即可）

②小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形4E3F的面积与长存在很好的关系•若用S表示四

边形AEDF的面积，x表示AQ的长，请你直接写出S与x之间的关系式.

图1图2

25.（2022秋・河北石家庄•八年级石家庄市第四十中学校考期末）阅读情境：在综合实践课上，同学们探究“全

等的等腰直角三角形图形变化问题”.

如图1,/\ABC^AADE,其中Zfi="=9O。，AB=BC=AD=DE=2,此时，点C与点E重合.

c

（1）操作探究1:小凡将图1中的两个全等的43c和按图2方式摆放，点8落在AE上，CB所在直线

交£）£所在直线于点连结A",求证：BM=DM.

⑵操作探究2：小彬将图1中的ABC绕点A按逆时针方向旋转角度o（0。＜&＜90。），然后，分别延长BC、

DE,它们相交于点F.如图3,在操作中，小彬提出如下问题，请你解答：

①a=30。时，求证：△询为等边三角形；

②当a=时，AC〃尸E.（直接回答即可）

（3）操作探究3：小颖将图1中的43c绕点A按顺时针方向旋转角度尸（0°〈尸＜90°）,线段BC和OE相交

于点F,当旋转到点尸是边。E的中点时（可利用图4画图），直接写出线段CE的长为.

26.（2022秋・浙江•八年级期中）如图，AB1BC,CDJ.BC,且BC=3a〃，AB=\cm,CD=5cm,点、P

以每秒lew的速度从点8开始沿射线3c运动，同时点Q在线段CD上由点C向终点。运动.设运动时间

为f秒.点。的速度为X.

（2）如图①，当点P与点。经过几秒时，使得AABP与APCQ全等？此时，点。的速度x是多少？（写出求

解过程）

（3）如图②，是否存在点P,使得△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出，的值，若不存在，请说明理由.

27.（2020秋.江苏南通•八年级校考阶段练习）初识模型：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相

重合，则称此图形为“手拉手全等模型因为顶点相连的四边形，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手

拉手全等模型如图1，已知与AADE都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,S.ZBAC=ZDAE,

显然AABDMAACE.

理解模型：如图2,在中，NCBD=NCDB=45。,连接A。，若NC4B=45。，AC=6,AB=8,求AO.

运用模型：如图3,已知A4BC,AB=AC,点G为8c上一点，点。为8c中点，GELA8于点E,GF1AC

于点F,判断叩的数量关系，并说明理由.

迁移模型：如图3,等边AABC的边长为6,。是BC的中点，E是AC边上的一点，AABC内部作等边三角

形DEF,若AF=用，直接写出线段CE的长.

28.（2021秋•八年级单元测试）我们知道，图形的运动只改变图形的位置，不改变图形的形状、大小，运

动前后的两个图形全等，翻折就是这样.如图1,将AABC沿AD翻折，使点C落在AB边上的点C处，则

△ADC^AADC*.

尝试解决：（1）如图2,AABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,将4ABC沿AD翻折，使点C落在AB边上

的点C处，求CD的长.

（2）如图3,在长方形ABCD中，AB=8,AD=6,点P在边AD上，连接BP,将4ABP沿BP翻折，使点

A落在点E处，PE、BE分别与CD交于点G、F,且DG=EG.

①求证：PE=DF；

②求AP的长.

29.（2020秋•四川・八年级校考阶段练习）⑴观察猜想：如图①，点8、A、C在同一条直线上，

ECYBC且ND4E=90°,AD=AE，则A4DB和AE4c是否全等？（填是或否），线段

AB,AC,8。CE之间的数量关系为

(2)问题解决：如图②，在心八钻。中，ZABC=90°,AC=6后，AB=6，以AC为直角边向外作

等腰RfADAC,连接8。，求8。的长。

(3)拓展延伸：如图③，在四边形A8C£＞中，ZABC=ZADC=90°,AB=5=U四,DC=DA,

2

。6,8。于点6.求CG的长.

30.(2022秋・江苏扬州•八年级统考期中)【问题背景】

小明遇到这样一个问题：如图1,在Rl45c中，乙亿8=90。,4=60。，平分NAC8,试判断8c和

AC.AQ之间的数量关系.

【初步探索】

小明发现，将4CD沿8翻折，使点4落在BC边上的E处，展开后连接。£,则得到一对全等的三角形，

从而将问题解决(如图2)

(1)写出图2中全等的三角形;

(2)直接写出8c和AC、AZ)之间的数量关系；

【类比运用】

(3)如图3,在ABC中，NC=2NB,平分AB=3,AD=2,求,ACD的周长.

小明的思路：借鉴上述方法，将ACD沿A。翻折，使点C落在A3边上的E处，展开后连接。E,这样可

以将问题解决(如图4)；

请帮小明写出解答过程：

【实践拓展】

(4)如图5,在一块形状为四边形ABCZ)的空地上，养殖场丁师傅想把这块地用栅栏围成两个小型的养殖

场，即图5中的ABC和ACD,若AC平分NBA。，BC=CD=]Om,AC=17m,AD=9m.请你帮丁师傅

算一下需要买多长的栅栏.

第一次月考重难点特训（二）之勾股定理与全等三角形结合的压轴题

旨【重难点题型】

1.（2023・全国•九年级专题练习）综合与实践.

勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著

名的数学家，也有业余数学爱好者.

图1图2

（1）我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图1所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，

后人称之为“赵爽弦图在RIZXABC中，ZACB=90。，若AC=b,BC=a,AB=c,请

你利用这个图形说明6+6.

（2）业余数学爱好者向常春在1994年构造发现了一个新的证法：把两个全等的RtAABC和

RlD4E按如图2所示的方式放置，ZDAB=ZB=^°,AB=AD=c,BC=AE=a,

AC=3E=b.请你利用这个图形说明＜?+“2=从.（提示：连接EC,CD）

【答案】（1）说明见解析

（2）说明见解析

【分析】（I）根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积即可得出

结论；

（2）连接EC,CD,根据四边形ABCD的面积=XBC+AD）XAB="手，又四边形

A£CD的面积=SAEC+SACD,根据ABEC的面积=四边形ABCD的面积-四边形AECD的面

积，得出等量关系，进而得证.

【详解】（1）•••大正方形面积为C?,直角三角形面积为:必，小正方形面积为

c2-4x—ab+(a-b)2=2ab+a2-2ab+b2,

2

即/=/+〃；

(2)连接EC,CD,

图2

RtAABC^RtAZME,

二.NACB=NAED,ZABC=ZBAD=9QP.

ZBAC^ZACB=90°=ZBAC+ZAED,

:.ZAFE=90°f

:.AClDEf

・・•四边形A3CD的面积=T（BC+4））XAB="F，

2

四边形AECD的面积=SAEC+Swo=|ACxDE=1b,

2

」.BEC的面积=四边形ABC。的面积-四边形AECQ的面积=竺tU-L^=Lac-\a9

2222

•••2c+2a=f2b-.

【点睛】本题考查了勾股定理的证明，掌握等面积法证明勾股定理是解题的关键.

2.（2023春•八年级课时练习）如图（1）A5C和1）所为两个全等的等边三角形，边8C和

EF的中点重合与点0,直线CF交直线AZ）于点G.

（1）求证：AG1CG；

（2）若AG=CG,是判断。4、OG、OC的数量关系;

⑶若AB=2,请直接写出8G的最小值.

【答案】（1）见解析

（2）OC+Q4=0OG,见解析

⑶6-1

【分析】（1）连接A。和。0，由AO=ODOC=OF,ZAOC=ZDOF=90°,得到

NQ4£）=NOZM=NOCF,再由NOCr+NOCG=180。得至（]ZAOC+ZAGC=180。，从而得

到NAGC=90。即可得到答案；

（2）连接G。，作GMLGO交Q4延长线于点M,由（1）可知/。4£>+/。8=180。，

再通过证明M4G会OCG,得到OC=M4GA/=GO,从而得到-MOG为等腰立角三角形，

即可得到答案；

（3）当G点在WC内部，且BG平分，ABC时，BG的值最小，延长BG交AC于H,此

时BG=BH-GH,山等边三角形三线合一得出3"，AC,AH=CH=；AB=1,由勾股定

理得出BH=」AB2-AH）=K，通过证明ABG^BCG可得到NBCF=ZBAG,AG=CG,

连接A。和。0,通过证明，再通过角度的转化，从而得到AGLCG,进而得到

GH=AH=CH=],最后得出了8G的最小值.

【详解】（1）证明：连接AO和。O,

/LOAD=ZODA=NOCF,

NOb+NOCG=180°,

ZOAD+ZOCG=180°,

ZAOC+ZAGC=180°,

:.ZAGC=90°,即AG_LCG.

（2）解：连接GO,作GM1G。交。4延长线于点",

M

由(1)可知NQ4O+NOCG=180。，

NM4G+NQ4Z)=180。，

/.ZMAG=NOCG,

ZMGO=ZAGC=90°,

即ZMGA+ZAGO=ZAGO+Z.OCG.

:.NMGA=NOGC,

AG=CG,

...MAG^OCG(ASA),

OC=MA,GM=GO,

二.MOG为等腰宜角三角形，

z.OC^OA=MA=y/2OG.

(3)解：如图所示，当G点在U1BC内部，且3G平分NABC时，BG的值最小，延长8G

交AC于”，此时3G=B”—GH,

BG平分/ABC,ABC为等边三角形,

:.BH±AC,AH=CH=-AB=l

21

：.BH7AB「AH?=5

.,边3c和EF的中点重合与点O,

:.OF=OC,

ZOFC=ZOCF,

在/45G和BCG中，

AB=BC

<ZABG=NCBG,

BG=BG

ABG^BCG(SAS),

:.4BCF=4BAG,AG=CG,

:.ZOFC=BAG,

连接AO和DO,

AO=OD,OC=OF,

：.ZOAD=ZODA,NOFC=NOCF,

,/ZAOC=ZDOF=90°,

:.ZFOC=ZDOA,

：.NOAD=NOCF

'：ZOWC=4WG,ZOWC+ZAOC+ZOCF=ZAWG+ZAGW+ZDAO=180°,

ZAGW=ZAOC=90°,

AG1CG,

.•.△AGC为等腰直角三角形，

.AH=CH,

:.GH=AH=CH=\,

BG=BH-GH=S1,

■■■BG最小值等于G-l.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质三角形全等的判定与性质，勾股定理，解题的关键是

作出适当的辅助线，熟练掌握等边三角形的性质以及三角形全等的判定引性质.

3.(2023秋•河南南阳•八年级统考期末)我们把“同一图形的面积，用两种不同的方法求出

的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”.

(1)通过如图①中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：;

(2)“面积法”还可以作为几何证明的工具，当两个全等的直角三角形摆放成如图②所示时，

其中/DW=90。，借助图中辅助线用两种不同方法表示四边形4JCB的面积，易得：

S△皿+S%c=；SMDB+S：；,构建等式整理可得：a2+b2=c2-,

(3)如图③，在ABC中，AB=AC=i3,8c=10,尸为边BC上的任一点，过点P作尸,

PN±AC,垂足分别为M、N,连接”，利用“面积法''求尸M+PN的值.

{\}cr-lab+b1=(a-b^

(2)-^A»2+-^ab,+；"(/＞一〃)

(3)PM+PN=^

【分析】(1)用两种不同的方法表示左上角正方形的面积，即可求解；

(2)根据三角形的面积公式表示即可；

(3)过4作A//LBC于点4,由等腰三角形三线合一可得“B=HC=3BC=5,根据勾股

定理可得AH=12，再由S4ABC=S4ABp+SaACP进行求解即可.

【详解】(1)解：左上角正方形的面积可以表小为标-必-必+6=/-2仍+/，也可以表

示为：(a-&)2

22>

即a-2ab+b=(<a-bf,

故答案为：a2-2ab+b2=(a-b^；

(2)解:SfCD+S&ABC2I^Ei+22b+2""，

2

SAADB+SA0cB=^ADAB+^BCDF=^c

故答案为：-+—^»gc?

(3)解：如图，过A作AH，3c于点〃，

・・・HB=HC=-BC=5

2f

・••由勾股定理得，AH=yjAB2-HB2=V132-52=12-

•S&ABC­S^ABP+S丛ACP，

：.-BCAH=-ABPM+-ACPN,

222

/.-xlOxl2=-xl3xPM+-xl3xP/V,

222

/.PM+PN=—.

13

【点睛】本题考查了几何图形与整式乘法，三角形的面积的计算，等面积法的应用，等腰三

角形的性质以及勾股定理，解本题的关键在熟练掌握等面积法的应用.

4.(2023秋.河北石家庄.八年级石家庄市第二十二中学校考期末)【阅读材料】小高同学发

现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶点的顶点，并把它们的底

角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小高把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.

【材料理解】

(1)如图1,在“手拉手”图形中，小高发现若N84C=ND4E,AB^AC,AD=AE,贝lj

△43。四△ACE,请证明小高的发现.

【深入探究】

(2)如图2,^BAC=ZDAE=90°,AB=AC,AD=AE,试探索线段CO,BD,AO之间

满足的等量关系，并证明结论；

【延伸应用】

⑶①如图3,在四边形48C。中，BD=CD,AB=BE,ZABE=ZBDC=,NA与NBE£>

的数量关系为：(直接写出答案，不需要说明理由)；

②如图4,在四边形ABCD中，ZABC=ZACB^ZADC=45°,若BD=3,CD=\,贝ijAZ)

的长为(直接写出答案，不需要说明理由).

【答案】(1)见详解

⑵8£>2+C£>2=2A£>2,理由见详解

⑶①ZA+ZBEZ)=180。；②2

【分析】(1)由题意易得N8AO=/C4E,然后可根据“SAS”判定三角形全等；

(2)连接CE,然后根据题意可判定△ABZ运△ACE,则有"CE=90。，进而根据勾股定

理及等腰直角三角形的性质可进行求解；

(3)①由题意易得aBDC是等边三角形，则有或>=BC,/£>3C=60。，然后可得

ABg.EBC,进而根据全等三角形的性质可进行求解；②过点C作于点儿过

点B作BG_LAT>,交的延长线于点G,然后可证..AC"丝.BAG,根据等腰直角：:角形

的性质可得AG=CH=Q4=J，设Aff=BG=x,则有。G=x+夜，进而根据勾股定理

2

建立方程进行求解即可.

【详解】（1）证明：••,NBAC=NZME,

AZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,即NM£)=NC4£,

VAB=AC,AD=AE,

：.△ABgZXACE(SAS)；

(2)解：BD2+CD2=2AD1,理由如下:

如图所示

VZBAC=ZDAE=90°,AB=AC,AD=AE,

：.ABAC-ACAD=ZDAE-ZCAD,ZB=ZACB=45°,DE=-J1AD，

二ABAD^ZCAE,

：.△/^/^△ACE(SAS),

/.ZB=ZACE=45°,BD=CE,

：.ZDCE=90°,

在RtVOCE中，由勾股定理得：CD2+CE2=DE2,

BD2+CD2=2AD2■.

(3)解：①，；BD=CD,ZBDC=60。，

；..BDC是等边三角形,

：.BD=BC,NDBC=60°,

,/ZABE^60°,

：.ZABD=ZEBC,

•/AB=BE,

,A8£)%£BC(SAS),

：.ZA=ABEC,

ZBEC+ABED=180。,

/.ZA+ZB£D=180°：

故答案为ZA+ABED=180。；

②过点C作CH_L"＞丁点〃，过点B作BGLAD,交D4的延长线于点G,如图所示:

*.ZBGA=ZA//C=90°,

:ZABC=ZACB=45。,

・.AB=AC,ZBAC=90°f

：.ZGAB+ZCAH=ZHCA+ZCAH=90°,

・•・ZGAB=ZHCAf

J_ACHgBAG(AAS),

/.CH=AG,BG=AH,

*/ZADC=45°,ZCHD=90°,CD=\,

.・・AG=CH=DH=—

2f

设4/=3G=x,则有。G=x+&，

在中，BD=3,由勾股定理得：

f+(x+后『=32,

解得：x=2—立，(负根舍去)

2

AD=AH+DH=2x

故答案为2.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质与判定，

熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键.

5.(2022秋.江苏无锡.八年级校联考期中)【问题探究】

(1)如图1,锐角，相C中，分别以A3、AC为边向外作等腰直角一A8E和等腰直角ACD,

使AE=AB,AD=AC,ZBAE=ZCAD=90°,连接3D,CE,请判断8。与CE的数量关系，

并说明理由.

图1

【深入探究】

（2）如图2,四边形ABC。中，AB=5,BC=2,ZABCZACD=ZADC=450,求3犷

的值；甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和全等的三角形，将30进行

转化再计算，请你准确的叙述辅助线的作法，再计算；

图2

【变式思考】

(3)如图3,四边形48CD中，AB=