高中数学必修二6 .1平面向量的概念（精练）

6.1平面向量的概念（精练）

【题组一向量与数量的区别】

1.（2021•江苏・泰兴市第三高级中学高一月考）给出下列量：①角度；②温度；③海拔；④弹力；⑤风速；⑥

加速度.

其中是向量的有（）

A.2个B.2个C.4个D.5个

【答案】B

【解析】根据题意，在①角度、②温度、③海拔、④弹力、⑤风速、⑥加速度中，

是向量的有④弹力、⑤风速、⑥加速度，有3个，

故选：B.

2.（2021•浙江•高一课时练习）下列各量中是向量的是（）

A.时间B.速度C.面积D.长度

【答案】B

【解析】既有大小，又有方向的量叫做向量；

时间、面积、长度只有大小没有方向，因此不是向量.

而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量.

故选：B.

3.（2021.全国•高一课时练习）给出下列物理量:①密度；②路程；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.下列说法

正确的是

A.①②③是数量，④⑤⑥是向量B.②④⑥是数量，①③⑤是向量

C.①④是数量，②③⑤⑥是向量D.①②④⑤是数量，③⑥是向量

【答案】D

【解析】由物理知识可知，密度，路程，质量，功只有大小，没有方向，因此是数量而速度，位移既有大

小又有方向，因此是向量.

故选：D

4.（2021.上海.高一课时练习）下列各量中，哪些是向量（即矢量），哪些是数量（即标量）？

⑴密度（2）体积（3）电阻（4）推进力（5）长度（6）加速度

向量：;数量：.（填写相应编号）.

【答案】（4）（6）⑴⑵（3）（5）

【解析】密度、体积、电阻、长度都是只有大小没有方向的量，是数量；推进力、加速度是既有大小又有

方向的量，是向量.

故答案为：(4)(6)；(1)(2)(3)(5).

【题组二向量的几何表示】

1.(2021.全国•高一课时练习)一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向行进1米，逆时针方向转变a度，继

续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变a度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去.

⑴按1：100比例作图说明当a=45。时，操作几次时赛车的位移为零;

(2)按此法操作使赛车能回到出发点，a应满足什么条件？

【答案】见解析.

【解析】(I)如图所示，操作8次后，赛车的位移为零；

(2)要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零.

按(1)的方式作图，则所作图形是内角为180。-。的正多边形,

由多边形的内角和定理可得

n(180°-a)=(n-2)180°,

解得a=空360°，且几23,鹿eN*.

n

故a应满足的条件为。=3出60°，且〃之3,"cN*.

n

2.（2021.全国•高一课时练习）如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定

点A,氏点C为小正方形的顶点，且|不4=6.

⑴画出所有的向量而；

（2）求阮的最大值与最小值.

【答案】（1）见解析；（2）最大值为"T，最小值为逐.

【解析】（1）画出所有的向量云£，如图所示:

（2）由（1）所画的图知,

①当点C位于点C|或C2时，|肥I取得最小值+22=逐；

②当点C位于点C5或C6时，|阮|取得最大值“2+52=a：

所以IBCI的最大值为"7,最小值为百.

3（2021・全国・高一课时练习）在如图的方格纸（每个小方格的边长为1）上，已知向量入

（1）试以8为起点画一个向量使B=£；

（2）画一个以C为起点的向量"，使|"|=2,并说出"的终点的轨迹是什么.

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.

【解析】（1）根据相等向量的定义，所作向量6应与。同向，且长度相等，如下图所示.

（2）由平面几何知识可作满足条件的向量c,所有这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心,2为半径的圆,

如下图所示.

4.（2021・江苏•高一课时练习）在如图的方格纸上，己知向量每个小正方形的边长为1.

（1）试以B为起点画一个向量使5=£；

（2）在图中画一个以A为起点的向量入使F卜石，并说出向量2的终点的轨迹是什么？

【答案】（D作图见解析；（2）向量2的终点的轨迹是以A为圆心，石为半径的圆，作图见解析.

【解析】（D由题意，B为起点画一个向量B，使各=3,如图所示.

（2）因为=石，则向量c的终点表不以A为圆心，半径为右的圆，如图所不:

【题组三向量相关概念的辨析】

1.（2021•湖南•武广实验高级中学高一期末）下列四个命题正确的是（）

A.两个单位向量一定相等B.若Z与B不共线，则公与B都是非零向量

C.共线的单位向量必相等D.两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同

【答案】B

【解析】两个单位向量一定相等错误，可能方向不同；

若鼠与各不共线，则£与否都是非零向量正确，原因是零向量与任意向量共线：

共线的单位向量必相等错误，可能是相反向量；

两个相等的向量的起点、方向、长度必须相同错误，原因是向量可以平移.

故选:B.

2.（2021.全国•高一课时练习）下列关于向量的描述正确的是

A.若向量^都是单位向量，则2=万

B.若向量公，各都是单位向量，则=1

C.任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量

D.平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆

【答案】D

【解析】对于选项A：向量包括长度和方向，单位向量的长度相同均为1,方向不定，故向量£和各不一定

相同，故选项A错误；

对于选项B：因为7B=W-W-cose=cose,由cos6»e[-l,l]知，=1不一定成立，故选项B错误；

对于选项C：任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故选项C错误；

对于选项D：因为所有单位向量的模为1,且共起点，所以所有单位向量的终点在半径为1的圆周上，故选

项D正确；

故选：D.

3.（2021.广西•田东中学）下列命题中，正确的个数是（）

①单位向量都相等；

②模相等的两个平行向量是相等向量；

③若/W满足』且，与Z同向，则反＞：；

④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；

⑤若力避〃。则

A.0个B.1个

C.2个D.3个

【答案】A

【解析】对于①，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，故①错误；

对于②，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误：

对于③，向量是有方向的量，不能比较大小，故③错误：

对于④，向量是可以自由平移的矢量，

当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故④错误；

对于⑤，时，若之〃z）〃〉则：与展不一定平行.

综上，以上正确的命题个数是o.

故选：A.

4.（2021・全国•高一课时练习）下列说法中，正确的个数是（）

①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④向量：与办不

共线，则：与了都是非零向量（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】①时间没有方向，不是向量，摩擦力，重力都是向量，故①错误；

②零向量的模为零，故②错；

③相等向量的方向相同，模相等，所以一定是平行向量，故③正确；

④零向量与任意向量都共线，因此若向量：与］不共线，则：9%都是非零向量，即④正确.

故选：B.

5.（2021•全国•高一课时练习）下列命题中正确的个数是

①向量就是有向线段②零向量是没有方向的向量

③零向量的方向是任意的④任何向量的模都是正实数

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来，故①错；

零向量有方向，其方向是任意的，故②错，③正确；

零向量的模等于0,故④错.

故选：B.

6.（2021・江苏•高一）下列各说法:①有向线段就是向量，向量就是有向线段;②向量的大小与方向有关;③任意两

个零向量方向相同;④模相等的两个平行向量是相等向量.其中正确的有

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】A

【解析】有向线段是向量的几何表不，二者并不相同，故①错误;②向量不能比较大小，故②错误;③由零向量方

向的任意性知③错误;④向量相等是向量模相等”且方向相同，故④错误.

故选：A.

7.（2021.全国•高一课时练习）下列说法中，正确的是（）

①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；

③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线.

A.①②B.②③C.②④D.①④

【答案】D

【解析】①长度为0的向量都是零向量，正确；

②零向量的方向任意，故错误；

③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误；

④任意向量与零向量都共线，正确；

故选：D

8.（2021.全国•高一课时练习）下列命题中正确的个数有（）

①向量而与丽是共线向量，则A、B、C、。四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的

相反向量不相等；④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】对于①，若向向量而与丽是共线向量，则AB//CD,或A.B,C,。在同条直线上，故①错误：

对于②，因为单位向量的模相等，但是它们的方向不一定相同，所以单位向量不一定相等，故②错误；

对于③，相等向量的定义是方向相同模相等的向量为相等向量，而零向量的相反向量是零向量，因为零向

量的方向是不确定的，可以是任意方向，所以相等，故③错误：

对于④，比如共线的向量衣与此（A,B,C在一条直线上）起点不同，则终点相同，故④错误.

故选：A.

【题组四相等向量与平行向量】

1.（2021・全国•高一课时练习）下图中与向量G相等的向量是（)

D.c

【答案】D

【解析】由相等向量的定义可知：

两个向量的长度要相等，方向要相同,

结合图形可知C满足条件，

2.（2021•全国•高一课时练习）如图，点。是正六边形ABCQEF的中心，图中与鼻共线的向量有（）

B.2个

C.3个D.4个

【答案】C

【解析】由图可知，根据正六边形的性质,

与之共线的有衣，DF，丽，共3个,

故选：C.

3.（2021・全国•高一课时练习）如图，四边形ABCC和ABZ圮都是边长为1的菱形，已知下列说法:

A,--------------

二C

EDL

①AE,AB,AD,CD,CB,DE都是单位向量；

②通〃DE^DE〃DC

③与血相等的向量有3个；

④与不§共线的向量有3个；

⑤与向量反大小相等、方向相反的向量为诙，而，丽.

其中正确的是—.（填序号）

【答案】①②④⑤

【解析】①由两菱形的边长都为1,故①正确;②正确;③与而相等的向量是丽，反，故③错误;④与女共

线的向量是丽丽丽，故④正确;⑤正确.

故答案为：①②④⑤

4.(2021.上海.高一课时练习)如图，在长方体A8CD-4蜴GA中，43=3,A£>=2,AAt=\,以长方体的

八个顶点中两点为起点和终点的向量中.

(1)单位向量共有个；

(2)模为石的向量有；

(3)与而相等的向量有；

(4)丽的相反向量有.

【答案】8通;、取、地、、西、印、8仁、邀丽、成、束;福、踮、斤、

而

【解析】(1)由图可知，AA,=BBi=Cq=DR=l,所以单位向量有4x2=8个；

(2)由图可知，AD=AA=BC=8C1=石，所以模为后的向量有：硒、酩、卒、明、国'、印、

___mill

B©、CBy；

(3)由图可知，AB=DC=AB|=RG，所以与而相等的向量有：4瓦、反、鬲;

(4)由图可知，M=BB,=CC,=DD,=1,所以羽的相反向量有：不、耶、或、“万；

故答案为：8；AD,\不、即、万印、西、印、配、邀；福'、DC>函'；不、耶、束、

丽.

5.(2021・全国•高一课时练习)。是正方形ABC。对角线的交点，四边形。4匹，OCFB都是正方形，在如图

所示的向量中：

DC

(1)分别找出与而，的相等的向量；

(2)找出与正共线的向量；

(3)找出与荷模相等的向量；

(4)向量正与由是否相等？

【答案】(1)而=阱，BO=AE\(2)/，CO,DE-.(3)C0，DO<丽,BF，CF.CO,DE；(4)

不相等.

【解析】因为。是正方形A88对角线的交点，四边形。4EO,OCE8都是正方形，

所以6W=A£=OD=O