高中数学3（必修）古典概型 教学设计

古典概型

一、教材分析

本节课是高中数学3（必修）第三章概率的第二节古典概型的第一课时，是

在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下教学的.古典

概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当

重要的地位.

学好古典概型可以为其他概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念,

有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题.根据本节课的内容

和学生的实际水平,通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限

性和每一个试验结果出现的等可能性,观察类比各个试验，归纳总结出古典概型

的概率计算公式,体现了化归的重要思想,掌握列举法,学会运用数形结合、分类

讨论的思想解决概率的计算问题.

概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活

的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象.适当地增加学生合作学习交流

的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例.使得学生

在体会概率意义的同时,感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的科学

态度和锲而不舍的求学精神.

二、教学目标

1、知识与技能：

（1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只

有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；

（2）掌握古典概型的概率计算公式：P（A）=譬鹫■找数

总的基本事件个数

2、过程与方法：

（1）通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方

法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；

（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的

良好习惯。

3、情感态度与价值观：

通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观

点.

三、重点难点

教学重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率.

教学难点：如何判断一个试验是否是古典概型,分清在一个古典概型中某随

机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.

四、课时安排

1课时

五、教学设计

（-）导入新课

思路1

⑴掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或“反面朝上”，它们

都是随机事件.

（2）一个盒子中有10个完全相同的球,分别标以号码1,2,3,10,从中任取一球,

只有10种不同的结果，即标号为1,2,3,…，10.

思考讨论根据上述情况，你能发现它们有什么共同特点？

为此我们学习古典概型,教师板书课题.

思路2

将扑克牌（52张）反扣在桌上，先从中任意抽取一张,那么抽到的牌为红心

的概率有多大？是否一定要进行大量的重复试验，用“出现红心”这一事件的频

率估计概率？这样工作量较大且不够准确.有更好的解决方法吗？把“抽到红心”

记为事件B,那么事件B相当于“抽到红心1”，“抽到红心2”，…，“抽到红心K”

这13种情况,而同样抽到其他牌的共有39种情况；由于是任意抽取的，可以认为

这52种情况的可能性是相等的.所以，当出现红心时“抽到红心1”，“抽到红心

2"，…，“抽到红心K”这13种情形之一时,事件B就发生，于是P（B）=—=i.

524

为此我们学习古典概型.

（~）推进新课、新知探究、提出问题

试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币，分别记录“正面朝上”和“反面朝上”

的次数，要求每个数学小组至少完成20次（最好是整十数），最后由学科代表汇

总；

试验二:抛掷一枚质地均匀的骰子，分别记录“1点”“2点”“3点”“4点”“5

点”和“6点”的次数，要求每个数学小组至少完成60次（最好是整十数），最

后由学科代表汇总.

（1）用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率好不好？为什么？

（2）根据以前的学习，上述两个模拟试验的每个结果之间都有什么特点？

（3）什么是基本事件？基本事件具有什么特点？

（4）什么是古典概型？它具有什么特点？

（5）对于古典概型，应怎样计算事件的概率？

活动：学生展示模拟试验的操作方法和试验结果，并与同学交流活动感受，

讨论可能出现的情况,师生共同汇总方法、结果和感受.

讨论结果：（1）用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率不好，因为需要

进行大量的试验，同时我们只是把随机事件出现的频率近似地认为随机事件的概

率,存在一定的误差.

（2）上述试验一的两个结果是“正面朝上”和“反面朝上”，它们都是随机事件，

出现的概率是相等的，都是0.5.上述试验二的6个结果是“1点”“2点”“3点”

“4点”“5点”和“6点”，它们也都是随机事件，出现的概率是相等的，都是

6

（3）根据以前的学习，上述试验一的两个结果“正面朝上”和“反面朝上”，它

们都是随机事件；上述试验二的6个结果“1点”“2点:”“3点”“4点”“5点”

和“6点”，它们都是随机事件,像这类随机事件我们称为基本事件（elementary

event）；它是试验的每一个可能结果.

基本事件具有如下的两个特点：

①任何两个基本事件是互斥的；

②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.

（4）在一个试验中如果

①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）

②每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性）

我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型（classicalmodelsof

probability），简称古典概型.

向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你

因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点，试验的所有可能结果数是无限

的，虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”，但这个试验不满足古典概型的第

一个条件.

如下图,某同学随机地向一靶心进行射击,这一试验的结果只有有限个：命中

10环、命中9环……命中5环和不中环.你认为这是古典概型吗？为什么？

不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个,而命中10环、命中9

环……命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条

件.

（5）古典概型,随机事件的概率计算

对于实验一中，出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等,即

P（“正面朝上”）=P（“反面朝上”）

由概率的加法公式,得

P（“正面朝上”）+P（“反面朝上”）=p（必然事件）=1.

因此

P（“正面朝上”）=p（“反面朝上”）=-.

2

即P（“出现正面朝上"）='="出现正面朝上"所包含的基本事件的个数

2基本事件的总数

试验二中，出现各个点的概率相等,即

P（“1点”）=P（“2点”）=P（“3点”）=P（“4点”）=P（“5点”）=P（“6点”）.

反复利用概率的加法公式,我们有P（“1点”）+P（“2点”）+P（“3点”）+P

（“4点”）+P（“5点”）+P（“6点”）=P（必然事件）=1.

所以P（“1点”）=P（“2点”）=P（“3点”）=P（“4点”）=P（“5点”）=P（“6

占”）=1

6

进一步地,利用加法公式还可以计算这个试验中任何一个事件的概率,例如，

P（“出现偶数点"）=P（“2点”）+P（“4点”）+P（“6点”）=1+1+1=2=1.

66662

即P（“出现偶数点”）二二出现偶数点;曹鬻梵事件的个数.

6基本事件的息数

因此根据上述两则模拟试验,可以概括总结出，古典概型计算任何事件的概率计

算公式为：

D,八、A所包含的基本事件的个数

基本事件的总数

在使用古典概型的概率公式时,应该注意：

①要判断该概率模型是不是古典概型；

②要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.

下面我们看它们的应用.

（三）应用示例

思路1

例1从字母a,b,c,d中任意取出两个不同字母的试验中,有哪些基本事件？

活动：师生交流或讨论,我们可以按照字典排序的顺序,把所有可能的结果都

列出来.

ac——d

解：基本事件共有6个：

A={a,b),B={a,c},C={a,d},D={b,c},E={b,d),F={c,d}.

点评：一般用列举法列出所有基本事件的结果,画树状图是列举法的基本方

法.

分布完成的结果(两步以上)可以用树状图进行列举.

变式训练

用不同的颜色给下图中的3个矩形随机地涂色,每个矩形只涂一种颜色,求:

(1)3个矩形颜色都相同的概率；

(2)3个矩形颜色都不同的概率.

分析：本题中基本事件比较多，为了更清楚地枚举出所有的基本事件,可以画

图枚举如下：(树:形图)

-ERS

区

一

矩形1矩形2矩形3矩形1矩形2矩形3矩形1矩形2矩形3

解：基本事件共有27个.

(1)记事件A="3个矩形涂同一种颜色”，由上图可以知道事件A包含的基本事件

31

有1X3=3个，故P(A)=±=±.

279

⑵记事件B="3个矩形颜色都不同”，由上图可以知道事件B包含的基本事件有

2X3=6个，故P⑻=g=2.

279

答：3个矩形颜色都相同的概率为1；3个矩形颜色都不同的概率为2.

99

例2单选题是标准化考试中常用的题型,一般是从A,B,C,D四个选项中选择一

个正确答案.如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案.假设考生

不会做，他随机地选择一个答案，问他答对的概率是多少？

活动：学生阅读题目，搜集信息,交流讨论,教师引导,解决这个问题的关键,

即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型.如果学生掌握或者掌握了部分考

查内容,这都不满足古典概型的第2个条件一一等可能性,因此,只有在假定学生

不会做,随机地选择了一个答案的情况下,才可以化为古典概型.

解：这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有4个：选择A、选择B、选

择C、选择D,即基本事件共有4个,考生随机地选择一个答案是选择A,B,C,D的

可能性是相等的.从而由古典概型的概率计算公式得：P（“答对”）

“答对”所包含的基本事件的个数1n

基本事件的总数■

点评：古典概型解题步骤：

（1）阅读题目，搜集信息；

（2）判断是否是等可能事件,并用字母表示事件；

（3）求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m；

（4）用公式P（A）='求出概率并下结论.

n

变式训练

1.两枚均匀硬币，求出现两个正面的概率.

解：样本空间：｛甲正乙正，甲正乙反，甲反乙正，甲反乙反｝.

这里四个基本事件是等可能发生的,故属古典概型.

n=4,m=l,P=—.

4

2.一次投掷两颗骰子,求出现的点数之和为奇数的概率.

解法一:设表示“出现点数之和为奇数”，用（i,j）记“第一颗骰子出现i点，

第二颗骰子出现j点"，i,j=l,2,-6.显然出现的36个基本事件组成等概样

本空间，其中A包含的基本事件个数为k=3X3+3X3=18,故P（A）=L

2

解法二:若把一次试验的所有可能结果取为：（奇,奇），（奇,偶），（偶,奇），

（偶,偶），则它们也组成等概率样本空间.基本事件总数n=4,A包含的基本事件

个数k=2,故P（A）=L.

2

解法三:若把一次试验的所有可能结果取为：｛点数和为奇数｝,｛点数和为偶

数｝，也组成等概率样本空间，基本事件总数n=2,A所含基本事件数为1,故

P(A)=L

2

注：找出的基本事件组构成的样本空间，必须是等概率的.解法2中倘若解

为：(两个奇)，(一奇一偶)，(两个偶)当作基本事件组成样本空间，则得出

P(A)=4^音的原因就是它不是等概率的.例如P(两个奇)=L而P(一奇一偶)

34

=L本例又告诉我们，同一问题可取不同的样本空间解答.

2

例3同时掷两个骰子,计算：

(1)一共有多少种不同的结果？

(2)其中向上的点数之和是5的结果有多少种？

(3)向上的点数之和是5的概率是多少？

解：(1)掷一个骰子的结果有6种.我们把两个骰子标上记号1,2以便区分,

由于1号骰子的每一个结果都可与2号骰子的任意一个结果配对,组成同时掷两

个骰子的一个结果，因此同时掷两个骰子的结果共有36种.

⑵在上面的所有结果中，向上的点数之和为5的结果有

(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),其中第一个数表示1号骰子的结果，第二个数表示2

号骰子的结果.

⑶由于所有36种结果是等可能的,其中向上点数之和为5的结果(记为事件A)

有4种，因此，由古典概型的概率计算公式可得P(A)=2=L.

369

例4假设储蓄卡的密码由4个数字组成,每个数字可以是0,1,2,…,9十个数字

中的任意一个.假设一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上

随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？

解：一个密码相当于一个基本事件,总共有10000个基本事件，它们分别是

0000,0001,0002,…,9998,9999.随机地试密码,相当于试到任何一个密码的可能

性都是相等的,所以这是一个古典概型.事件“试一次密码就能取到钱”由1个基

本事件构成,即由正确的密码构成.所以P(“试一次密码就能取到钱")=」一.

10000

发生概率为」一的事件是小概率事件,通常我们认为这样的事件在一次试验中

10000

是几乎不可能发生的，也就是通过随机试验的方法取到储蓄卡中的钱的概率是很

小的.但我们知道,如果试验很多次，比如100000次,那么这个小概率事件是可能

发生的.所以，为了安全，自动取款机一般允许取款人最多试3次密码，如果第4

次键入的号码仍是错误的,那么取款机将“没收”储蓄卡.另外,为了使通过随机

试验的方法取到储蓄卡中的钱的概率更小，现在储蓄卡可以使用6位数字作密

码.

人们为了方便记忆，通常用自己的生日作为储蓄卡的密码.当钱包里既有身

份证又有储蓄卡时，密码泄密的概率很大.因此用身份证上的号码作密码是不安

全的.

例5某种饮料每箱装6听,如果其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽出2

听,检测出不合格产品的概率有多大？

解：我们把每听饮料标上号码,合格的4听分别记作：1,2,3,4,不合格的2听

分别记作a,b,只要检测的2听中有1听不合格,就表示查出了不合格产品.

依次不放回地从箱中取出2听饮料，得到的两个标记分别记为x和y,则(x,y)表

示一次抽取的结果，即基本事件.由于是随机抽取,所以抽取到任何基本事件的概

率相等.用A表示“抽出的2听饮料中有不合格产品”，Ai表示“仅第一次抽出的

是不合格产品”，A?表示“仅第二次抽出的是不合格产品”，A12表示“两次抽出的

都是不合格产品”，则Ai,A?和Aw是互不相容的事件，且A=A|UA2(JA⑵从而

P(A)=P(Al)+P(A2)+P(A12).

因为Ai中的基本事件的个数为8,A?中的基本事件的个数为8,A技中的基本事

件的个数为2,全部基本事件的总数为30,所以P(A)=—+—+—=0.6.

303030

思路2

例1一个口袋内装有大小相同的5只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次摸出

两个球，

(1)共有多少个基本事件？

(2)摸出的两个都是白球的概率是多少？

活动：可用枚举法找出所有的等可能基本事件.

解：(1)分别记白球为1,2,3号，黑球4,5号，从中摸出2只球,有如下基本事

件(摸至U1,2号球用(1,2)表示)：

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5).

因此,共有10个基本事件.

(2)上述10个基本事件发生的可能性是相同的,且只有3个基本事件是摸到两

个白球(记为事件A)，即(1,2),(1,3),(2,3),故P(A)=—.

10

•••共有10个基本事件,摸到两个白球的概率为2.

10

变式训练

将一颗骰子先后抛掷两次,观察向上的点数，问：

(1)共有多少种不同的结果？

(2)两数的和是3的倍数的结果有多少种？

(3)两数和是3的倍数的概率是多少？

解析：(1)将骰子抛掷1次，它出现的点数有1,2,3,4,5,6这6种结果.

先后抛掷两次骰子,第一次骰子向上的点数有6种结果,第2次又有6种可能的结

果，于是一共有6X6=36种不同的结果；

⑵第1次抛掷，向上的点数为1,2,3,4,5,6这6个数中的某一个,第2次抛掷时

都可以有两种结果，使向上的点数和为3的倍数(例如：第一次向上的点数为4,

则当第2次向上的点数为2或5时,两次的点数的和都为3的倍数)，于是共有6

X2=12种不同的结果；

(3)记“向上点数和为3的倍数”为事件A,则事件A的结果有12种，因为抛两次

得到的36种结果是等可能出现的，所以所求的概率为P(A)福4

种;

有12

结果

数的

3的倍

和是

数的

；点

结果

同的

36种不

共有

2次,

抛掷

先后

答：

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