高三数学第三次月考试卷

南岳区一中高三第三次月考数学试卷

一、选择题

1已知集合4=k050”,411270"},B={X|X2+X=O),贝必门8为()

A{0,-1}B,{-1,1}C.{-1}D.{0}

21

2设3"=4"=36,则—I—=)

ab

5

A1B.log5C.log6D.

656

3若曲线y=e”在x=l处的切线与直线2元+根y+l=O垂直,则〃?)

C.二2

A—1cB.2eD.-

ee

已矢口工£（一；7|1＞0）且©05工=：,贝!]1@112x

4

2

724

AD.

247

5、在AA5C中，若asinA=Z?sinB,则AA3C的形状是（)

A、等边三角形B、等腰三角形C、直角三角形D、钝角三角形

6、已知向量1=(2,4),3=(—1,1),贝1」2々一3=()

A、(5,9)B、(5,7)C、(3,9)D、(3,7)

7.设等差数列｛4,｝的前n项和为S“，己知S,=5,S6=15,则S9=（)

A.35B.30C.25D.15

y<2

8.已知变量x,y满足约束条件＜x+y>1,则z=3x+y的最大值为()

x-y<\

A12B.11C.3；D.-1

9下列命题中真命题是（）

A若卅，则

B若加ua9nuajnH则a〃6；

C若加ua：2aq私〃是异面直线，那么〃与a相交;

D若=则〃〃a且献/£

10.若。＜匕＜0,下列不等式成立的是()

b11

A.a2<b-B.a2<ahC.—V1D.—<—

aab

11.圆(x+l)2+(y-4)2=25被直线4x-3y-4=0截得的弦长是()

(A)3(B)4(C)6(D)8

12、由正数组成的等比数列｛%｝中，若%44=3"，则sinQogsq+log3«2+•••+log3tz7）

的值为（）

V3

B、~TC、1

二、填空题

XV

13.已知R、W为椭圆一+乙=1的两个焦点，过R的直线交椭圆于A、B两点,若

259

后.+怩却=12,则怙0=o

14.已知正四面体A8CD中，E是A3的中点，则异面直线CE与3。所成角的余弦值为

15.函数/（幻=1+30?+3［（Q+2）X+1］有极值，则a的取值范围是—

16.函数/（X）=xcosx在点（4,-乃）处的切线方程是

三、解答题

17.（本小题满分12分）已知函数/（x）=J^（sinx+cos尤）cos龙———；

（1）求函数/（x）的单调递增区间；

（2）当xe［0,匕77r］时，求函数/（x）的值域.

18.（本小题满分12分）已知椭圆x2/■+V方=1（。＞。＞0）经过点A（0,4）,离心率为3：；

（1）求椭圆C的方程；

4

（2）求过点（3,0）且斜率为一的直线被C所截线段的中点坐标.

5

2

19.已知四边形ABCD满足AO〃3C,BA=AD=DC=-BC=a,E是3c的中点，将

2

MAE沿着AE翻折成AAAE,使面与AE_L面AECD,£G分别为用。，AE的中点.

（1）求三棱锥E-ACg的体积；

（2）证明：々E〃平面ACE；

（3）证明：平面4GO_L平面

20.某产品在一个生产周期内的总产量为100t,平均分成若干批生产。设每批生产需要投入

固定费用75元，而每批生产直接消耗的费用与产品数量x的平方成正比，已知每批生产10t

时，直接消耗的费用为300元（不包括固定的费用）。

（1）若每批产品数量为20t,求此产品在一个生产周期的总费用（固定费用和直接消耗的费用）。

（2）设每批产品数量为xt,一个生产周期内的总费用y元，求y与x的函数关系式，并求

出y的最小值。

21.2知函数y(x)=exsinx

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)当XG0,-时，f(x)>kx,求实数上的取值范围.

X=5H---1

22.已知直线/：I2(t为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极

y=-j3+—t

I2

坐标系，曲线C的坐标方程为夕=2cos6.

(1)将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；

(2)设点M的直角坐标为(5,6),直线］与曲线C的交点为A,B,求的值.

4

答题卷

班次姓名学号

一、选择题（每小题5分，共60分）

题号123456789101112

答案

二、填空题（每小题5分，共20分）

13＞14、15、16.

三、解答题（12+12+12+12+12+10=70分）

17.（本小题满分12分）己知函数/（X）=J^（sinx+cosx）cosx———；

（1）求函数/（x）的单调递增区间；

7乃

（2）当xe[0,时，求函数/（x）的值域.

v3

18.（本小题满分12分）已知椭圆二+二=1（。＞。＞0）经过点A（0,4）,离心率为1；

a-b5

（1）求椭圆C的方程；

4

（2）求过点（3,0）且斜率为1■的直线被C所截线段的中点坐标.

19.已知四边形ABCD满足AO〃3C,BA=AD=DC=-BC=a,E是3c的中点，将

2

MAE沿着AE翻折成AAAE,使面与AE_L面AECD,£G分别为用。，AE的中点.

(1)求三棱锥E-ACg的体积；

(2)证明：々E〃平面ACE；

(3)证明：平面4GO_L平面

20.某产品在一个生产周期内的总产量为1003平均分成若干批生产。设每批生产需要投入

固定费用75元，而每批生产直接消耗的费用与产品数量x的平方成正比，已知每批生产10t

时，直接消耗的费用为300元(不包括固定的费用)。

(1)若每批产品数量为20t,求此产品在一个生产周期的总费用(固定费用和直接消耗的费用)。

(2)设每批产品数量为xt,一个生产周期内的总费用y元，求y与x的函数关系式，并求

出y的最小值。

6

21.2知函数y(x)=exsinx

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)当XG0,-时，f(x)>kx,求实数上的取值范围.

X=5H---1

22.已知直线/：{2(t为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极

V\/34—t

I2

坐标系，曲线C的坐标方程为夕=2cos8.

(1)将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；

(2)设点M的直角坐标为(5,6)，直线/与曲线C的交点为A,B,求IMAHMBI的值.

8

答卷

1.c

【解析】

试题分析：A={cos0",sin270°}={-1,1},B={X|X2+X=0}={0,-1},AAAB={-1}.

考点：集合的交集运算.

2.A

【解析】

试题分析：因为3"=4"=36,由指数化对数可得"=l°g336/=log436,所以

2111

---F-=----------+----------

ablog^36陶36a=l,由换底公式可化为：

2121

—।—=----------1-------------=2log3+log4=log9x4=1

ablog36log36363636

34，故选择A

考点：1.对数运算法则；2.换底公式

3.B

【解析】

试题分析：y'=",y'|、T=e,所以曲线了="在x=l处的切线斜率为2=e,直线

121

2%+阳+1=0与切线垂直，则2x+〃zy+l=0的斜率应为——，所以---二一一（m0）,

eme

所以〃z=2e.

考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直.

4.D

【解析】

yr43sinx3

试题分析：・.・%£（---,0）,cosx=—,/.sinx=--,tanx---------=--,

255cosx4

c2tanx24

・・tan2x=------------=-------.

1-tanx7

考点：平方关系、倍角关系.

5.B

【解析】

试题分析：由题意asinA=Z?sin3,根据正弦定理有sir?A=sit?8,A,B为三角形内角,

因此sinA=sin3,所以A=8或（舍去），故aABC是等腰三角形

考点：正弦定理；三角形形状的判断；

6.B

【解析】

试题分析:2a-S=2(2,4)-(-l,l)=(4,8)-(-l,l)=(4+l,8-l)=(5,7).故B正确.

考点：向量的加减法.

7.B

【解析】

试题分析：•.•数列｛风｝为等差数列，；.S3，S6-S3，Sg-S6成等差数列，即5,15-5,$9-15成

等差数列，

/.2(15-5)=5+(59-15),即怎=30.

考点：等差数列的性质.

8.B

【解析】

试题分析：根据题意，约束条件表示的可行域为以4-1,2),8(3,2),。(1,0)三点为顶点的三角

形区域，通过观察可知目标函数z=3x+y在点5(3,2)处取得最大值，代入可求得为11,故

选B.

考点：线性规划.

9.A

【解析】

试题分析：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直，所以选项A正

确.一个平面内的两条相交直线分别平行于另一平面，则这两个平面平行.显然选项B错误;

若用是异面直线，那么”与a相交或平行，所以选项C错误；若

=M〃八叫则"〃a且〃"或n在某一平面内，故选项D错误；故选A.

考点：判断命题的真假性.

10.C

【解析】

11

试题分析：若a<6<0,则a2>b~,a2-ab=a(a-b)>0,—>—,所以选项A、B、D均错

ab

误.故选C.

考点：比大小.

11.c

【解析】

试题分析：圆5+1)2+(>-4)2=25的圆心为(一1,4),半径r=5,所以弦长/满足

百+「-；一4卜25,/=6

考点：直线与圆相交的位置关系

10

12.B

【解析】

兀

试题分析：由题设及等比数列的性质得a；=3"即％=35,则

73

sin(log3al+log3a2+…+嘀％)=sin(log3(4•4...4,%))=sin(log36Z4)=sin(log33)=sin—=—

故选B

考点：①等比数列的性质②对数运算③特殊角的三角函数值计算

13.8

【解析】

试题分析：由椭圆方程可知/=25,从=9,/=16;々=5力=3,。=4,由椭圆定义可知

国A|+任日+闺周=4a=20,所以AW=8

考点：椭圆方程及定义

【解析】

CEBD

试题分析：如图，设正四面体的棱长为2,则CE=6；，cos〈CE,B。〉=

国（前-丽）仄丽一仄丽+丽・丽一丽之

2乖）一4百

=所以异面直线CE与3。所成角的余弦值为亚

66

考点：异面直线及其所成的角

15.（』一l）U（2,+8）

【解析】

试题分析：/(幻=3/+6奴+33+2),函数有极值，等价于.(幻=0有两个不等实根,

所以△=36/一36(。+2)>0,即/一。一2>0,解得a的取值范围是(-oo,—l)U(2,+oo).

考点：函数存在极值的条件.

16.y=—x.

【解析】

试题分析：由题意知，/(x)=cosx-xsinx,所以/(")=cos〃一;rsin乃=-1,所以函

数y=/(%)在点(/一万)处的切线方程为：y+»=一(％-4)，即丁=一%.

考点：导数的基本概念及几何意义.

3TE

[--+k^,-+k^\,keZ[-l]

17.(1)8'8-2)2-s

【解析】

sin(2x+-)

试题分析：(1)先利用二倍角公式和配角公式将广(%)化为4,再利用三角函数的图

xe[0.—]2x+

象与性质进行求解；(2)先由,24,得到44-6,再结合三角函数的图象

求其值域.

0

f(x)=-J2(sinx+cosx)•cosx-

试题解析：02

l+cos2x.41

=-72(—sin2x+--------)-----

22

=sin(2x+?)

2x+-三

(1)当一2+2knW4W2+2kn(kwZ)时，函数单调递增,

[~—+k7i,—+k7t\

可得函数/(x)的递增区间为88(kGZ).

xe[0.—]2x+-e[-.—]

⑵当24时，446,

./(x)e[1:1]

即函数/(x)的值域为弓

考点：1.二倍角公式；2.配角公式；3.三角函数的图象与性质.

12

【解析】

试题分析：（1）待定系数法求椭圆方程；（20先求出直线方程代入椭圆方程，然后由韦达定理

求出两根之和，再求出中点横坐标，最后代入直线方程求出中点纵坐标即得结果.

试题解析：（1）因为椭圆经过点A,所以b=4.

3c3b29

又因离心率为三，所以上=一；.1一、=一，。=5

5a5a25

22

所以椭圆方程为：—+^-=1

2516

4x2y2

依题意可得，直线方程为y=—。一3）,并将其代入椭圆方程一+2_=1,得

52516

%2—3%—8=0.

（2）设直线与椭圆的两个交点坐标为（再,必）,（々,必），则由韦达定理得，玉+%=3,

所以中点横坐标为"乜=3,并将其代入直线方程得，y=--

225

故所求中点坐标为

考点：求椭圆方程、直线与椭圆相交求弦的中点坐标.

3

19.（1）—；（2）证明见解析；（3）证明见解析.

8

【解析】

试题分析：（1）合理转化三棱锥的顶点，利用平行四边形与等边三角形求得底面面积，利用面

面垂直的性质得到线面垂直，即得高线，进而求出体积；（2）利用中位线得到线线平行，再利

用线面平行的判定定理得到线面平行；（3）利用面面垂直的判定定理进行证明.

试题解析：（1）由题意知，AD〃EC且AO=EC,所以四边形AOCE为平行四边形，

AE=DC=a,:.\ABE为等边三角形，

22

...NAEC=120°,SMEC=-asinl20°=—«1分

连结用G,则与GJ_AE,又平面耳平面AECD交线

AE,:.BG±平面AECDH5,G=2分

Xv

_v_"。_1V3G2_Y

一%|-=4分

4-ACB|AECT^GSM£C=-x—ax—<z-=—

jJZ,4o

(2)连接E£>交AC于。，连接0/，；AEOC为菱形，且尸为用。的中点,

FO//B}E,6分

又gE(Z面4CF,产Ou平面ACF,瓦£〃平面ACF8分

(3)连结G。，则DGJ_AE,又8夕_14旦旦606。=6,，4后_1平面3£0.10分

又AE〃DC,二DCJ•平面,又DCu平面BtDC

二平面BQ。，平面耳。C.12分

考点：1.儿何体的体积：2.线面平行的判定；3.面面垂直的判定.

20.(1)63乃元(2)y=2^22+300x(0<%<100),最小值为3000元

X

【解析】

试题分析：解：(1)设每批生产直接消耗的费用为W元，则

卬=履2,由题意得300=100攵/=3

当x=2O0寸，w=3x2()2=1200,共5ftE,总费用为75x5+1200x5=6375元

(2)若每批产品数量为“，则需出批，

X

”100100Q27500”八八十

y=75-----1----3x--------F300x(0<x<i10n0m)

xxx

14

>2-300光=3000,且当叁犯=300x,

Vxx

即x=5时y取得最小值，最小值为3000元。

考点：基本不等式

点评：本题用到基本不等式：a+h>2^h(a,b>0),它在求最值方面有很好的作用。

TT34

21.(1)f(x)的单调递增区间为(2^--,2^+—),单调递减区间为

44

37r77r

(2k7r+—,2k7v+—)(左eZ)；(2)(7,1]

44

【解析】

试题分析：(1)函数y=/(x)在某个区间内可导，则若/'(x)>0,则/(x)在这个区间内

单调递增，若/'(x)<0,则/(x)在这个区间内单调递减；

(2)若可导函数/(x)在指定的区间。上单调递增(减)，求参数问题，可转化为/'(力20

(或/'(x)W0)恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.

(3)利用导数方法证明不等式/(x)>g(x)在区间。上恒成立的基本方法是构造函数

〃(x)=/(x)—g(x),然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数〃(力>0,其中

一个重要的技巧就是找到函数〃(x)在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破

口，观察式子的特点，找到特点证明不等式.

试题解析：(I)由于/(x)=/sinx,

f'(x)=exsinx+excosx=e*(sinx+cosx)=^2exsin(x+—).

4

jr7T'冗

当x+—£(2左①2左万+乃)，即XE(2Z乃---，2左乃+——)时，f*(x)>0；

444

jr37r77r

当XH——e(2左"+肛2左"+2»)，即xw(2火〃+——,2k"---)时，f\x)<0.

444

yr37r

.../(x)的单调递增区间为Qk兀--,2br+—)，单调递减区间为

44

37r77r

(2左万H----,2左4H-----)(Z£Z).

44

TT

(H)令g⑴…要使小)能总成立，只需四。,早时

g(x)min2°・对g(x)求导得g'(x)=e*(sinx+cosx)-K

.