成都市树德实验中学2022年数学高三上期末学业水平测试模拟试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线，为坐标原点，、为其左、右焦点，点在的渐近线上，，且，则该双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．2．定义在R上的偶函数满足，且在区间上单调递减，已知是锐角三角形的两个内角，则的大小关系是（）A． B．C． D．以上情况均有可能3．台球是一项国际上广泛流行的高雅室内体育运动，也叫桌球（中国粤港澳地区的叫法）、撞球（中国台湾地区的叫法）控制撞球点、球的旋转等控制母球走位是击球的一项重要技术，一次台球技术表演节目中，在台球桌上，画出如图正方形ABCD，在点E，F处各放一个目标球，表演者先将母球放在点A处，通过击打母球，使其依次撞击点E，F处的目标球，最后停在点C处，若AE=50cm．EF=40cm．FC=30cm，∠AEF=∠CFE=60°，则该正方形的边长为（）A．50cm B．40cm C．50cm D．20cm4．在正方体中，，分别为，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（）A． B． C． D．5．如果实数满足条件，那么的最大值为（）A． B． C． D．6．在中，角所对的边分别为，已知，则（）A．或 B． C． D．或7．椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则的大小为（）A． B． C． D．8．下列函数中，在区间上为减函数的是（）A． B． C． D．9．一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小是（）A． B． C． D．10．已知数列为等比数列，若，且，则（）A． B．或 C． D．11．已知，则p是q的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件12．已知双曲线的右焦点为，过的直线交双曲线的渐近线于两点，且直线的倾斜角是渐近线倾斜角的2倍，若，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在等腰三角形中，已知，，分别是边上的点，且,其中且，若线段的中点分别为，则的最小值是_____.14．函数的最小正周期为________;若函数在区间上单调递增，则的最大值为________.15．已知集合A＝，B＝，若AB中有且只有一个元素，则实数a的值为_______．16．如果复数满足，那么______（为虚数单位）.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.18．（12分）已知是圆：的直径，动圆过，两点，且与直线相切.（1）若直线的方程为，求的方程；（2）在轴上是否存在一个定点，使得以为直径的圆恰好与轴相切？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.19．（12分）已知函数.（1）当时，不等式恒成立，求的最小值；（2）设数列，其前项和为，证明：.20．（12分）已知椭圆的右焦点为,过点且斜率为的直线与椭圆交于两点,线段的中点为为坐标原点.（1）证明:点在轴的右侧;（2）设线段的垂直平分线与轴、轴分别相交于点.若与的面积相等,求直线的斜率21．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，底面ABCD是边长为2的菱形，点E，F分别为棱DC，BC的中点，点G是棱SC靠近点C的四等分点.求证：（1）直线平面EFG；（2）直线平面SDB.22．（10分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）设的最小值为，正数，满足，证明：.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

根据，先确定出的长度，然后利用双曲线定义将转化为的关系式，化简后可得到的值，即可求渐近线方程.【详解】如图所示：因为，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以渐近线方程为.故选：D.【点睛】本题考查根据双曲线中的长度关系求解渐近线方程，难度一般.注意双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚轴长度的一半.2、B【解析】

由已知可求得函数的周期，根据周期及偶函数的对称性可求在上的单调性，结合三角函数的性质即可比较．【详解】由可得，即函数的周期，因为在区间上单调递减，故函数在区间上单调递减，根据偶函数的对称性可知，在上单调递增，因为，是锐角三角形的两个内角，所以且即，所以即，．故选：．【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．3、D【解析】

过点做正方形边的垂线，如图，设，利用直线三角形中的边角关系，将用表示出来，根据，列方程求出，进而可得正方形的边长.【详解】过点做正方形边的垂线，如图，设，则，，则，因为，则，整理化简得，又，得，.即该正方形的边长为.故选：D.【点睛】本题考查直角三角形中的边角关系，关键是要构造直角三角形，是中档题.4、D【解析】

连接，，因为，所以为异面直线与所成的角（或补角），不妨设正方体的棱长为2，取的中点为，连接，在等腰中，求出，在利用二倍角公式，求出，即可得出答案.【详解】连接，，因为，所以为异面直线与所成的角（或补角），不妨设正方体的棱长为2，则，，在等腰中，取的中点为，连接，则，，所以，即：，所以异面直线，所成角的余弦值为.故选：D.【点睛】本题考查空间异面直线的夹角余弦值，利用了正方体的性质和二倍角公式，还考查空间思维和计算能力.5、B【解析】

解：当直线过点时，最大，故选B6、D【解析】

根据正弦定理得到，化简得到答案.【详解】由，得，∴，∴或，∴或．故选：【点睛】本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.7、C【解析】

根据椭圆的定义可得，，再利用余弦定理即可得到结论.【详解】由题意，，，又，则，由余弦定理可得.故.故选：C.【点睛】本题考查椭圆的定义，考查余弦定理，考查运算能力，属于基础题.8、C【解析】

利用基本初等函数的单调性判断各选项中函数在区间上的单调性，进而可得出结果.【详解】对于A选项，函数在区间上为增函数；对于B选项，函数在区间上为增函数；对于C选项，函数在区间上为减函数；对于D选项，函数在区间上为增函数.故选：C.【点睛】本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些常见的基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题.9、D【解析】

设圆锥的母线长为l,底面半径为R,再表达圆锥表面积与球的表面积公式,进而求得即可得圆锥轴截面底角的大小.【详解】设圆锥的母线长为l,底面半径为R,则有,解得,所以圆锥轴截面底角的余弦值是,底角大小为.故选：D【点睛】本题考查圆锥的表面积和球的表面积公式,属于基础题.10、A【解析】

根据等比数列的性质可得，通分化简即可.【详解】由题意，数列为等比数列，则，又，即，所以，，.故选：A.【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了推理能力与运算能力，属于基础题.11、B【解析】

根据诱导公式化简再分析即可.【详解】因为,所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如,而,所以p是q的必要而不充分条件.故选：B【点睛】本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.12、B【解析】

先求出直线l的方程为y（x﹣c），与y＝±x联立，可得A，B的纵坐标，利用，求出a，b的关系，即可求出该双曲线的离心率．【详解】双曲线1（a＞b＞0）的渐近线方程为y＝±x，∵直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，∴kl，∴直线l的方程为y（x﹣c），与y＝±x联立，可得y或y，∵，∴2•，∴ab，∴c＝2b，∴e．故选B．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据条件及向量数量积运算求得,连接,由三角形中线的性质表示出.根据向量的线性运算及数量积公式表示出,结合二次函数性质即可求得最小值.【详解】根据题意,连接,如下图所示:在等腰三角形中,已知,则由向量数量积运算可知线段的中点分别为则由向量减法的线性运算可得所以因为,代入化简可得因为所以当时,取得最小值因而故答案为:【点睛】本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.14、【解析】

直接计算得到答案，根据题意得到，，解得答案.【详解】，故，当时，，故，解得.故答案为：；.【点睛】本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.15、2【解析】

利用AB中有且只有一个元素，可得，可求实数a的值.【详解】由题意AB中有且只有一个元素，所以，即.故答案为：.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，集合交集的运算本质是存同去异，侧重考查数学运算的核心素养.16、【解析】

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解.【详解】∵，∴，∴，故答案为：.【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数的模的求法，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

(1)通过讨论的范围,得到关于的不等式组,解出取并集即可.(2)去绝对值将函数写成分段函数形式讨论分段函数的单调性由恒成立求得结果.【详解】解：（1）当时，，即或或解之得或，即不等式的解集为.（2）由题意得：当时为减函数，显然恒成立.当时，为增函数，，当时，为减函数，综上所述：使恒成立的的取值范围为.【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题,考查不等式恒成立问题中求解参数问题,考查分类讨论思想,转化思想,属于中档题.18、（1）或.（2）存在，；【解析】

（1）根据动圆过，两点，可得圆心在的垂直平分线上，由直线的方程为，可知在直线上；设，由动圆与直线相切可得动圆的半径为；又由，及垂径定理即可确定的值，进而确定圆的方程.（2）方法一：设，可得圆的半径为，根据，可得方程为并化简可得的轨迹方程为.设，，可得的中点，进而由两点间距离公式表示出半径，表示出到轴的距离，代入化简即可求得的值，进而确定所过定点的坐标；方法二：同上可得的轨迹方程为，由抛物线定义可求得，表示出线段的中点的坐标，根据到轴的距离可得等量关系，进而确定所过定点的坐标.【详解】（1）因为过点，，所以圆心在的垂直平分线上.由已知的方程为，且，关于于坐标原点对称，所以在直线上，故可设.因为与直线相切，所以的半径为.由已知得，，又，故可得，解得或.故的半径或，所以的方程为或.（2）法一：设，由已知得的半径为，.由于，故可得，化简得的轨迹方程为.设，，则得，的中点，则以为直径的圆的半径为：，到轴的距离为，令，①化简得，即，故当时，①式恒成立.所以存在定点，使得以为直径的圆与轴相切.法二：设，由已知得的半径为，.由于，故可得，化简得的轨迹方程为.设，因为抛物线的焦点坐标为，点在抛物线上，所以，线段的中点的坐标为，则到轴的距离为，而，故以为径的圆与轴切，所以当点与重合时，符合题意，所以存在定点，使得以为直径的圆与轴相切.【点睛】本题考查了圆的标准方程求法，动点轨迹方程的求法，抛物线定义及定点问题的解法综合应用，属于难题.19、（1）；（2）证明见解析.【解析】

（1），分，，三种情况推理即可；（2）由（1）可得，即，利用累加法即可得到证明.【详解】（1）由，得.当时，方程的，因此在区间上恒为负数.所以时，，函数在区间上单调递减.又，所以函数在区间上恒成立；当时，方程有两个不等实根，且满足，所以函数的导函数在区间上大于零，函数在区间上单增，又，所以函数在区间上恒大于零，不满足题意；当时，在区间上，函数在区间上恒为正数，所以在区间上恒为正数，不满足题意；综上可知：若时，不等式恒成立，的最小值为.（2）由第（1）知：若时，.若，则，即成立.将换成，得成立，即，以此类推，得，，上述各式相加，得，又，所以.【点睛】本题考查利用导数研究函数恒成立问题、证明数列不等式问题，考查学生的逻辑推理能力以及数学计算能力，是一道难题.20、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出点的横坐标即可证出；（2）根据线段的垂直平分线求出点的坐标，即可求出的面积，再表示出的面积，由与的面积相等列式，即可解出直线的斜率．【详解】（1）由题意，得，直线（）设，，联立消去，得，显然，，则点的横坐标，因为，所以点在轴的右侧．（2）由（1）得点的纵坐标．即．所以线段的垂直平分线方程为：．令，得；令，得．所以的面积，的面积．因为与的面积相等，所以，