高等数学第一章 函数极限与连续 学案

高等数学

教学备课系统

与《高等数学多媒体教学系统（经济类）》配套使用

教师姓名：________________________

教学班级：________________________

2004年9月1至2005年1月10

第一章函数、极限与连续

第一节函数概念

1、内容分布图示

★集合的概念★集合的运算

★区间★例1★邻域★例2

★常量与变量★函数概念

★例3★例4★例5

★例6★例7★例8

★分段函数举例

★例9★例10★例11

★函数关系的建立

★例12★例13★例14

★函数特性

★内容小结★课堂练习

★习题1-1★返回

2、讲解注意:

3、重点难点:

4、例题选讲：

例1解下列不等式，并将其解用区间表示.

(1)\2x-l|<3;(2)|3x+2|>3;(3)0<(x-1)2<9.

讲解注意：

例2将点1的2邻域表示为不带绝对值的不等式.

33

讲解注意:

例3函数y=2.

讲解注意：

例4绝对值函数

..[x,x>0

y=|x|=八

[-x,x<0

讲解注意：

例5下面是几个常见的表格.

（1）2002年2月21日国务院公布的利率表.如表1.1.1.

表1.1.1

时间3个月6个月1年2年3年5年

年利率（%）1.711.891.982.252.522.79

（2）国民生产总值统计表（《中国统计年鉴（2001）》）.如表1.12

表1.1.2

年份1995199619971998199920000

生产总值

57494.966850.573142.776967.280579.488189.6

（亿元）

讲解注意:

例6下面是几个常见的图形.

（2）1995-2000年天津市人才市场状况图（《天津年鉴（2001）》）.

见图M.2.

人数(人)

讲解注意:

例7下面是几个常见的公式.

(1)自由落体运动的距离公式：

S=-gt2,g为常数

2

(2)成本函数(cos/functions):C(x)=C0+G(x),其中Co为

固定成本；C,(x)为可变成本；x为生产量.

讲解注意：

例8判断下面函数是否相同，并说明理由，画图表示.

(1)y=与y=|x|；

(2)y=1与y=sin2x+cos2x

(3)y=2x+l与x=2y+1.

讲解注意：

例9求函数y=-^—+Vx+2的定义域.

1-x2

讲解注意：

例10设/U)=lLQ-x~\求函数〃x+3)的定义域.

2,1<x<2

讲解注意:

例u求函数f(x)=lg(3-A)+V5+4X-X2的定义域.

sinx

讲解注意：

例12把一半径为R的圆形铁片，自中心处剪去圆心角为a的扇

形后，围成一无底圆锥，试将圆锥的体积V表为a的函数.

讲解注意：

例13某工厂生产某型号车床，年产量为a台，分若干批进行生

产，每批生产准备费为b元，设产品均匀投入市场，且上一批用完

后立即生产下一批，即平均库存量为批量的一半.设每年每台库存

费为c元.显然，生产批量大则库存费高；生产批量少则批数增多，

因而生产准备费高.为了选择最优批量，试求出一年中库存费与生产准

备费的和与批量的函数关系.

讲解注意：

例14某运输公司规定货物的吨公里运价为：在a公里以内，每

公里左元，超过部分每公里为±%元.求运价m和里程5之间的函

5

数关系.

讲解注意：

例15证明（1）函数y=在（f,+8）上是有界的；

X2+1

⑵函数y=3在（0,1）上是无界的.

X2

讲解注意:

例16证明函数'=自在T内是单调增加的函数.

讲解注意:

例17判断下列函数的奇偶性.

er—11-r

(1)f(x)=-——In-----1<X<1;

ex+11+x

(2)f(x)=(2+6)，+(2-6)，；

(3)/(x)=Ig(x+Jl+x2)；

(4)f(x)=(x2+x)sinx.

讲解注意：

例18设f(x)满足W(x)+^G)=*其中c为常数，且

\a\^\b\,证明/(x)是奇函数.

讲解注意：

XEQ7

例19设O(x)=,求D,0(1-77).并讨

xeQ5

论D(D(x))的性质.

讲解注意：

例20若f{x}对其定义域上的一切x,恒有f(x)=f(2a-x),则

称F(x)对称于x=".证明：若/(x)对称于x=aRx=b(a<b),贝ij

/(x)是以T=2(b-a)为周期的周期函数.

讲解注意：

第二节初等函数

1、内容分布图示

★反函数★例1★例2

★复合函数★例3★例4

★例5★例6★例7

★事函数、指数函数与对数函数

★三角函数★反三角函数

★初等函数★函数图形的迭加与变换

★内容小结★课堂练习

★习题1-2★返回

2、讲解注意：

3、重点难点:

4、例题选讲:

1--1+4x

例1求函数>'=——;------的反函数.

1++4x

讲解注意:

例2已知

1,x>0

sgnx=-0,x=0,sgnx为符号函数,

-1,x<0

求y=(l+/)sgnx的反函数.

讲解注意：

例3将下列函数分解成基本初等函数的复合.

(1)y=Jinsin2x;Q)y=e*ctan/.

(3)y=cos2ln(2+V1+x2).

讲解注意：

例4设/(x)=Vx+l,<p(x)=x2,求/[e(x)]及(p\f{x}],并

求它们的定义域.

讲解注意：

(ex,x<1(x+2,x<0

例5设f(x)=\,°(x)={2.、八，

[x,x>I[%2-I,x>0

求/[『(x)].

讲解注意：

例6设+!)=/+*,求/*).

讲解注意:

例7设/(x)=ln(3-x)+L==,求g(x)=f(x+a)+f(x-a)

V49-x2

的定义域(。>0).

讲解注意：

第三节经济学中的常用函数

1、内容分布图示

★单利与复利★例1

★多次付息★贴现★例2

★需求函数★供给函数

★市场均衡★例3★例4

★成本函数★例5

★收入函数与利润函数★例6

★例7★例8★例9

★内容小结★课堂练习

★习题1-3★返回

2、讲解注意:

3、重点难点:

4、例题选讲:

例1现有初始本金100元，若银行年储蓄利率为7%,问:

(1)按单利计算，3年末的本利和为多少？

(2)按复利计算，3年末的本利和为多少？

(3)按复利计算，需多少年能使本利和超过初始本金的一倍？

讲解注意：

例2某人手中有三张票据，其中一年后到期的票据金额是500元,

二年后到期的是800元，五年后到期的是2000元，已知银行的贴现率

6%,现在将三张票据向银行做一次性转让，银行的贴现金额是多少？

讲解注意：

例3某种商品的供给函数和需求函数分别为

qd=25P-10,qs=200-5P

求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.

讲解注意：

例4某批发商每次以160元/台的价格将500台电扇批发给零售

售商，在这个基础上零售商每次多进10。台电扇，则批发价相应降低2

元，批发商最大批发量为每次1000台，试将电扇批发价格表示为批

发量的函数，并求出零售商每次进800台电扇时的批发价格.

讲解注意：

例5某工厂生产某产品，每日最多生产200单位.它的日固定成

本为150元，生产一个单位产品的可变成本为16元.求该厂日总成本

函数及平均成本函数.

讲解注意：

例6某工厂生产某产品年产量为q台，每台售价500元，当年产

量超过800台时，超过部分只能按9折出售.这样可多售出200台,

如果再多生产.本年就销售不出去了.试写出本年的收益(入)函数.

讲解注意：

例7己知某厂生产单位产品时，可变成本为15元，每天的固定成

本为2000元，如这种产品出厂价为20元，求

(1)利润函数；

(2)若不亏本，该厂每天至少生产多少单位这种产品.

讲解注意：

例8某电器厂生产一种新产品，在定价时不单是根据生产成本而

定，还要请各销售单位来出价，即他们愿意以什么价格来购买.根据调

查得出需求函数为x=-900P+45000.该厂生产该产品的固定成本

是270000元，而单位产品的变动成本为10元.为获得最大利润，出

厂价格应为多少？

讲解注意：

例9已知某商品的成本函数与收入函数分别是

C=12+3x+x2

R=llx

试求该商品的盈亏平衡点，并说明盈亏情况.

讲解注意:

第四节数列的极限

1、内容分布图示

★极限概念的引入★数列的意义

★数列的极限★例1

★例2★例3★例4

★例5★例6

★收敛数列的有界性

★极限的唯一性★例7

★收敛数列的保号性★子数列的收敛性

★内容小结

★习题1-4

★返回

2、讲解注意:

3、重点难点:

4、例题选讲：

〃+(-1)〃-1

例1证明lim------------=1.

con

讲解注意：

例2证明limq"=0,其中1.

ZJ->00

讲解注意：

例3用数列极限定义证明如篙=4•

讲解注意:

几2——2

例4用数列极限定义证明lim------------=1.

〃T8层+〃+1

讲解注意：

例5设X,1>。，且limxn=a>0,求证lim乂己=4a.

n—>oonf8

讲解注意：

例6证明：若limX.=A,则存在正整数N,当〃>N时，不等式

ZI—>00

IX"I>成立.

2

讲解注意：

例7证明数列x“=(-l)"+i是发散的.

讲解注意：

第五节函数的极限

1、内容分布图示

★自变量趋向无穷大时函数的极限

★例1★例2★例3

★自变量趋向有限值时函数的极限

★例4★例5

★左右极限★例6★例7

★函数极限的性质★子序列收敛性

★函数极限与数列极限的关系

★内容小结★课堂练习

★习题1-5

★返回

2、讲解注意：

3、重点难点：

4、例题选讲：

例1证明lim半=0.

讲解注意：

例2用函数极限的"X定义证明lim—

K->8X+

讲解注意：

例3⑴lim(-V,=0;(2)lim2x=0.

X->+oO\2/X-

讲解注意:

工2_1

例4证明lim——-=2.

XT】X-1

讲解注意:

例5证明：当*0＞。时，limJ7=J焉.

讲解注意:

1-x,x<0,

例6设/(x)=……人求风心

讲解注意:

.吧月不存在.

例7验证

讲解注意:

第六节无穷大与无穷小

1、内容分布图示

★无穷小

★无穷小与函数极限的关系★例1

★无穷小的运算性质★例2

★无穷大

★无穷大与无界变量

★无穷小与无穷大的关系★例3

★内容小结

★习题1-6

★返回

2、讲解注意:

3、重点难点:

4、例题选讲:

例1根据定义证明：＞=x2sinJ当x0时为无穷小.

讲解注意：

例2求lim皿.

XT8X

讲解注意：

Y4

例3求lim——.

XT8炉+5

讲解注意:

第七节极限运算法则

1、内容分布图示

★极限运算法则★例1

★例2—3★例4★例5

★例6★例7★例8

★例9★例10★例11

★复合函数的极限运算法则

★例12★例13★例14

★内容小结★课堂练习

★习题1-7★返回

2、讲解注意:

3、重点难点:

4、例题选讲:

/—1

例1求lim

*-►2x2-3x+5

讲解注意:

4x-I

例2求lim

Xf1x2+2x-3

讲解注意:

例3求lim-----------------

XT1x2+2x-3

讲解注意:

lim2/+3/+5

例4求

a007x3+4x2-l

讲解注意:

求lim(—+—+•••

例5

18、几2n2I

讲解注意:

例6计算下列极限：

（1-Vx）（i-V^）（i-Vx）

hm-------------------------------

I（一尸

讲解注意:

例7计算下列极限：

讲解注意:

例8计算下列极限:

..V8x3+6x2+5x+l

lim-------------------------

A/3A:-2

讲解注意:

例9计算下列极限：

lim(sinVx+T-sin4x).

XT+00

讲解注意:

22

例10求lim(7X+X-y]x-x).

A->-8

讲解注意:

例11计算下列极限:

/八1-Vn^sinn!tanx

(1)lim--------------;⑵hm---------

n+1x->01

2+ex

讲解注意：

x-l,x<0

例12已知〃x)=N+3xl,co

.x3+l

求limf(x),limf(x),limf(x).

XT。X->-KOXf-00

讲解注意：

x2-l

例13求极限吧3

2(x-l)

讲解注意:

例14已知lim(5x-y]ax2-bx+c)=2,求a"之值.

JV-»+ac

讲解注意:

第八节极限存在准则两个重要极限

1、内容分布图示

★夹逼准则★例1★例2★例3

★单调有界准则★例4★例5

..sinx.

★lim----=1★例6★例7★例8

xtOX

★例9★例10★例11

lim[1+—)=

★e★例12★例13★例14

XT8\X/

★例15★例16★例17★例18

柯西极限存在准则★连续复制

★内容小结★课堂练习

★习题1-8★返回

2、讲解注意：

3、重点难点:

4、例题选讲：

例1求典（W1+焉+…+耳占

讲解注意：

例2计算下列极限：

2

(1)Iim(l+2"+3”)万;

rt—>oo

/111

(2)hm—+-----z-+…+------

"T8\5+1)，(〃+〃)

讲解注意:

例3证明下列极限:

⑴lim—=0(a>1);

,an

⑵lim—=0(a>0);

"->8n\

fl'

⑶lim—=0.

n->oon"

讲解注意:

例4证明数列x„=73+7377^^（〃重根式）的极限存在.

讲解注意:

例5设a>0为常数，数列x„由下式定义:

1a

X,.=—5=1,2,……)

〃2

其中x为大于零的常数，求limx„.

0“f00

讲解注意:

..tan3%

例6求lim-----

尤一。sin5x

讲解注意:

「1-COSX

例7求lim----：-

xfOX2

讲解注意:

例8下列运算过程是否正确：

[•tanxtanxxtanxx<

hm----=lrim----------=rlim----rlim-----=1.

xfitsinxXTRxsinxx-%xx->nsinx

讲解注意:

cosx-cos3x

例9计算lim

讲解注意:

例10计算lim

J。Jl+xsinx-Jcosx

讲解注意:

j2+tanx-j2+sinx

例11计算lim

讲解注意:

例12求lim(1-1

讲解注意:

例13计算下列极限：lim(l-2x)；;

讲解注意:

例14求lim(1+—

讲解注意：

例15求lim

讲解注意:

例16计算limyjcosyfx.

XT+0

讲解注意:

例17计算lim{ex+xy.

x->0

讲解注意：

例18求极限lim(tanx产2，.

4

讲解注意：

第九节无穷小的比较

1、内容分布图示

★无穷小的比较★例1-2★例3

★常用等价无穷小

★等价无穷小替换定理★例4★例5

★例6★例7★例8

★例9★例0★例11

★内容小结★课堂练习

★习题1-9

★返回

2、讲解注意:

3、重点难点:

4、例题选讲：

例1证明：当x-0时，©ta/x为x的四阶无穷小.

讲解注意：

例2当xf0时，求tanx-sinx关于x的阶数.

讲解注意：

例3当xf1时，试将下列各量与无穷小量x-1进行比较:

(1)x3-3x+2;(2)1gJC;(3)(x-1)-sin—!—.

x-\

讲解注意:

tan2x

例4求lim

.sosin5x

讲解注意:

..tanx-sinx

例5求lim---------------

x->。sin32x

讲解注意:

加"卡1•(1+X2)"3_]

例6求lim------------------.

XTOCOSX-1

讲解注意：

例7计算.式要王恒.

…Jl+2x-l

讲解注意：

(fX_eNCOS%

例8计算lim--------------

ioxln(l+x2)

讲解注意:

..V2-71+cosx

例9计算hm--------------------

XTOsin2x

讲解注意:

例10求Iimln(l+x+N)+ln(l-x+x2)

iosecx-cosx

讲解注意：

mi厂生tan5x-cosx+1

例JU求hvm---------------------

x->°sin3x

讲解注意:

第十节函数的连续性与间断点

1、内容分布图示

★函数的连续性★例1★例2

★左右连续★例3

★例4★例5

★连续函数与连续区间★例6

★函数的间断点★例7★例8

★例9★例10★例11

★例12

★内容小结★课堂练习

★习题1-10★返回

2、讲解注意:

3、重点难点:

4、例题选讲:

.1

xsin—,尢工。n，

例1试证函数/(x)={X在x=0处连续.

,0,x=0,

讲解注意:

例2f(x)是定义于［a,b］上的单调增加函数，x0e(a,b),若

limf(x)存在，证明f(x)在/连续.

I*)

讲解注意：

x+2,x>0,

例3讨论f(x)=\在x=0处的连续性.

、x-2,x<0,

讲解注意:

X

1+2'x<0

例4讨论函数/(%)=.0,"二°在x=0和x=l处的连

1+X2,0<%<1

.4-x,x>1

续性.

讲解注意：

x4+ax+b]2

例5设/(x)=■(x-l)(x+2)?'为使/(x)在x=1

、2,x=1,

处连续，a与b应如何取值？

讲解注意：

例6证明函数y=sinx在区间(-oo,-K»)内连续.

讲解注意：

例7讨论函数/*)=一‘一'在x=0处的连续性.