第03讲 矩形的性质（原卷版）-2024年九年级数学暑假讲义（北师版）

第03讲矩形的性质模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1.掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系；2．掌握矩形的概念与有关性质，会用这些知识进行简单的推理与计算；3．在了解矩形与平行四边形之间的关系，掌握、运用矩形性质的过程中，渗透数形结合、转化化归与方程思想，进一步提高分析问题与解决问题的能力。一、矩形的定义定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.考点一：矩形性质理解例1．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）下列命题正确的是（）A．矩形的四个角都相等 B．矩形的四条边都相等C．矩形的对角线互相垂直 D．矩形的对角线平分内角【变式1-1】（23-24八年级下·广东江门·期中）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（

）A．对角相等 B．邻角互补 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直【变式1-2】（23-24八年级下·河南濮阳·期中）矩形不一定具有的性质是（

）A．对角线垂直 B．四个角都是直角 C．是轴对称图形 D．对角线相等【变式1-3】（2024·河南鹤壁·一模）矩形具有而菱形不具有的性质是（

）A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等C．对角线相等 D．对角线互相平分考点二：利用矩形的性质求角度例2.（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在矩形中，点是延长线上一点，连接，若则的度数为（

）A． B． C． D．【变式2-1】（2024·四川凉山·二模）如图，矩形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接．若，则的度数是（

）A． B． C． D．【变式2-2】（2024八年级下·全国·专题练习）如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是（）A． B． C． D．【变式2-3】（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，对角线、相交于点，于点，，则的大小是（

）A． B． C． D．考点三：利用矩形的性质求线段长例3.（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，矩形中，，，在边上取一点E，使，过点C作，垂足为点F，则的长为.【变式3-1】（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在矩形中，对角线，交于点O，若，则的长为．【变式3-2】（23-24八年级下·湖北襄阳·期中）如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点，，，则线段的长为．【变式3-3】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，矩形中，，，对角线、相交于点，点是线段上任意一点，且于点，于点，则的值是．考点四：利用矩形的性质求面积例4.（2024·陕西西安·模拟预测）如图，点是矩形的对称中心，，分别是边，上的点，且，已知矩形的面积是32，那么图中阴影部分的面积为．【变式4-1】（23-24八年级下·福建南平·期中）如图，矩形的对角线交于点O，，，则矩形的面积是．【变式4-2】（23-24七年级下·上海金山·期中）如图，长方形中，点E、F分别为边上的任意点，、的面积分别为15和25，那么四边形的面积为．【变式4-3】（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，矩形中，，，点E、F、G、H分别在、、、上，且，．点P为矩形内一点，四边形、四边形的面积分别记为、，则．考点五：求矩形在坐标系中的坐标例5.（22-23九年级下·山东济南·阶段练习）在平面直角坐标系中，长方形如图所示，，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【变式5-1】（22-23八年级下·天津东丽·期末）如图，四边形是矩形，三点的坐标分别是，，，对角线交点为，则点的坐标是．

【变式5-2】（22-23八年级下·重庆江津·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为．【变式5-3】（21-22九年级上·福建三明·期中）如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，3），则对角线AC的长等于．考点六：利用矩形的性质证明例6.（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图所示，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，连接．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，求菱形的面积．【变式6-1】（23-24九年级下·辽宁鞍山·期中）如图，矩形中，过对角线的中点O作直线，分别交于点E，F，求证：．【变式6-2】（2024·四川南充·三模）如图，在矩形中，点E在边上，且，过点D作于点F．(1)求证：；(2)若，，求的长．【变式6-3】（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，矩形的对角线，交于点，且，．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，请直接写出菱形的面积．考点七：矩形与折叠问题例7.（23-24八年级下·北京昌平·期中）矩形ABCD中，，，按如图方式折叠，使点B落与点D重合，折痕为，则．【变式7-1】（23-24八年级下·辽宁大连·期中）如图，在矩形中，，，E是边上一点，将沿折叠，使点B落在点F处，连接．当为直角三角形时，的长是．【变式7-2】（2024·河南驻马店·二模）如图所示，在矩形中，，点P在上，且，点E是线段上不与端点重合的一个动点，连接，将关于直线对称的三角形记作，若垂直于矩形的任意一边，则线段的长是．【变式7-3】（2024·河南新乡·二模）如图，矩形中，，点是边上的一动点（点不与点，重合），连接，把沿所在直线翻折得到，则当点落在矩形的边所在的直线上时，的长为．考点八：斜边的中线等于斜边的一半例8.（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在中，，、、分别为、、的中点，若，则．【变式8-1】（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在中，，于点D，E是斜边的中点，已知，，则的面积为．【变式8-2】（2024·重庆·一模）如图，在矩形中，，矩形外一点E满足，点O为对角线的中点，则的长度为．【变式8-3】（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，、分别是、的中点，若，，则的长为．

一、单选题1．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）矩形是特殊的平行四边形，下列性质矩形具有而平行四边形不一定具有的是（

）A．对边平行 B．对边相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，矩形中，点E在上，且平分，，则的度数为（

）A． B． C． D．3．（2024·陕西渭南·三模）如图，在矩形中，，延长到点E，连接交于点G，点F为的中点，连接、，若，，则的长为（

）A．8 B．6 C．5 D．44．（23-24八年级下·河南漯河·期中）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，下列结论一定成立的是（

）①；②；③；④A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④5．（2023·河南商丘·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，分别在轴、轴上，且点，为边上一点，将沿所在直线翻折，当点的对应点恰好落在对角线上时，点的坐标为(

)A． B． C． D．二、填空题6．（23-24八年级下·云南昆明·期中）如图，在中，，，是的中点，且，则．

7．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，连接，延长至点，使，连接，若，则的度数是°．8．（2024八年级下·全国·专题练习）如图，，矩形的顶点A、B分别在边、上，当B在边上运动时，A随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，．运动过程中点D到点O的最大距离是．9．（2024·海南·一模）如图，四边形是矩形，点是边上一动点，将沿直线折叠，点落在点处，连接并延长，交边于点，则；若，的面积是，则的长为．10．（2024·黑龙江佳木斯·三模）在矩形中，M为对角线和的交点，点N在边所在的直线上，且．当是直角三角形时，的长为．三、解答题11．（22-23八年级下·安徽芜湖·期末）如图，、是矩形边上的两点，．

(1)若，则______°；(2)求证：．12．（2024·浙江金华·二模）如图，在矩形中，E是上一点，且，过点D作于点F．(1)求证：．(2)已知，．求的长．13．（2024·江苏南京·一模）如图，已知矩形，点，分别在的延长线和的延长线上，且．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)已知，．当的长为时，四边形是菱形．14．（23-24八年级下·浙江金华·期中）如图，在矩形中，，点D为对角线中点，点E在所在的直线上运动，连结，把沿翻折，点O的对应点为点F，连结．(1)当点F在下方时（如图1），求证：．(2)当点F落在矩形的对称轴上时，求的长．(3)是否存在点E，使得以D，E，F，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．15．（2024·山东临沂·一模）在数学活动课上，李老师