第10讲 用配方法求解一元二次方程（原卷版）-2024年九年级数学暑假讲义（北师版）

第10讲用配方法求解一元二次方程模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．会用直接开平方法解形如(x＋m)2＝n(n>0)的方程；2．会用配方法解一元二次方程进行配方及求解；3．能够熟练地、灵活地应用配方法解一元二次方程．知识点一、直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.要点：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.知识点二、配方法解一元二次方程：(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.（3）配方法的理论依据是完全平方公式．知识点三、配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．考点一：直接开平方法解一元二次方程例1．（2024八年级下·浙江·专题练习）解方程：(1)；(2)．【变式1-1】（23-24九年级上·广西柳州·期中）解方程：．【变式1-2】（24-25八年级上·全国·课后作业）求x的值：．【变式1-3】（23-24八年级下·全国·假期作业）用直接开平方法解下列方程：(1)；(2)．考点二：直接开平方法解一元二次方程的条件例2.（23-24九年级上·四川达州·期中）已知一元二次方程，若方程有解，则必须（）A． B．同号 C．的整数倍 D．异号【变式2-1】（23-24九年级上·四川成都·期末）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（）A． B． C． D．【变式2-2】（23-24九年级上·广东汕头·期末）下列方程能用直接开平方法求解的是(

)A． B． C． D．【变式2-3】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）一元二次方程的根的情况是（

）A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根考点三：直接开平方法解一元二次方程的复合型例3.（23-24九年级上·江西萍乡·期末）解方程：【变式3-1】（23-24九年级上·吉林白山·期末）用适当的方法解方程：【变式3-2】（23-24九年级上·江苏常州·期中）解方程：．【变式3-3】（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）用适当的方法解方程：考点四：用配方法配二次项系数为1的一元二次方程例4.（23-24八年级下·浙江金华·期中）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（

）A． B． C． D．【变式4-1】（2024·山西阳泉·三模）用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（

）A． B．C． D．【变式4-2】（23-24八年级下·广西百色·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（

）A． B． C． D．【变式4-3】（23-24八年级下·广西百色·期中）用配方法解方程时，配方结果正确的是（

）A． B． C． D．考点五：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程例5.（2024·广东东莞·模拟预测）解方程：【变式5-1】（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）解方程：（用配方法）【变式5-2】（2024·甘肃陇南·一模）解方程：．【变式5-3】（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程：考点六：用配方法配二次项系数不为1的一元二次方程例6.（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）用配方法解方程时，变形正确的是（

）A． B．C． D．【变式6-1】（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（

）A． B． C． D．【变式6-2】（23-24八年级下·安徽滁州·期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（

）A．B．C．D．【变式6-3】（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）用配方法解方程，应把它先变形为（

）A．B．C．D．考点七：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程例7.（23-24八年级下·山东烟台·期中）配方法解一元二次方程：．【变式7-1】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程(1)．(2)【变式7-2】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用配方法解方程：(1)；(2)；(3)；(4)【变式7-3】（2024·江西吉安·三模）小明解一元二次方程的过程如下，请你仔细阅读，并回答问题：解：原方程可变形为，（第一步）∴，（第二步）∴，（第三步）∴，（第四步）∴，（第五步）∴，．（第六步）(1)小明解此方程使用的是______法；小明的解答过程是从第______步开始出错的．(2)请写出此题正确的解答过程．考点八：配方法的应用例8.（23-24九年级上·新疆昌吉·阶段练习）代数式有最值，其最值为．【变式8-1】（23-24八年级下·浙江湖州·阶段练习）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是．【变式8-2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）（1）当__________时，多项式的最小值为__________．（2）当__________时，多项式的最大值为__________．（3）当、为何值时，多项式取最小值？并求出这个最小值．【变式8-3】（2024·河北石家庄·一模）（1）发现，比较4m与的大小，填“>”“<”或“=”：当时，；当时，；当时，；（2）论证，无论m取什么值，判断4m与有怎样的大小关系?试说明理由；（3）拓展，试通过计算比较．与的大小．一、单选题1．（23-24九年级上·贵州黔南·期末）方程的解为（

）A． B． C． D．2．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）用配方法解方程时，配方结果正确的是（

）A． B． C． D．3．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）下列解方程的过程，正确的是（

）A．．解方程，得B．，解方程，得C．，解方程，得D．，解方程，得4．（2023·山东临沂·一模）已知，（a为任意实数），则的值（

）A．小于0 B．等于0 C．大于0 D．无法确定5．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）对于方程，下列判断正确的是(

)A．方程的根与的值有关 B．方程有一个正根，一个负根C．方程有两个负根 D．方程有两个正根二、填空题6．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）用配方法解方程时，配方后方程变形为．7．（23-24九年级上·吉林松原·期中）方程有实数根，则k的值可以是（写出一个即可）．8．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）用配方法解一元二次方程：．第一步化二次项系数为1，得，方程两边同时加，配方得．9．（23-24九年级上·甘肃平凉·期末）定义新运算：对于任意实数m，n．都有，等式右边是常用的加法、乘法及乘方运算．例如：．根据以上知识解决问题：若，则x的值是．10．（23-24九年级上·江苏·期中）对于实数，，新定义一种运算“※”：※．若※，则的值为．三、解答题11．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）解方程：(1)(2)12．（23-24九年级上·广东河源·期中）解方程：(1)；(2)．13．（23-24九年级上·新疆克拉玛依·期末）解下列方程(1)；(2)．14．（23-24九年级上·河南商丘·期末）用适当的方法解下列一元二次方程：(1)；(2)．15．（2024·贵州黔东南·一模）下面是小明用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．解：移项，得第一步二次项系数化为1，得第二步配方，得第三步由此可得第四步所以，第五步①小明同学的解答过程，从第步开始出现错误；②请写出你认为正确的解答过程．16．（23-24八年级下·福建福州·期中）阅读与思考：【阅读材料】我们把多项式及叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的