衔接点03 列方程解应用题（解析版）-2024小升初数学暑假衔接讲义

衔接点03列方程解应用题小学阶段主要学习简单的列方程解应用题，培养的核心数学素养是学生的运算能力和简单的方程思想。初中阶段较小学数学在列方程解应用题方面增加了新的概念，还有了大的延伸，分析数量关系的范围有所扩大（增加了配套、方案等）；解题方面主要要求学生上升到思维习惯的转变、思想方法的转变。培养的核心数学素养是学生的数学运算、数学建模（方程思想）能力、逻辑推理思维和创新思维等。为了让学生后续方程的学习，可以引导学生理解：列方程过程中，重要的是未知数要参与运算，用等量关系列出方程。引导学生思维方式从算术思维逐步向代数思维转变，无疑是中小学数学教学衔接的重要内容。小学解方程，都按四则运算的各部分之间的关系来解，现在（初中）都是按等式的性质解方程。可以肯定的说，用等式的性质解方程，是解方程的正途。加强这一方面的教学，目的就是要有利于学生初中阶段能更好的学习稍复杂的方程。题型探究题型1、找等量关系与列方程 3题型2、数学文化问题 5题型3、行程问题 8题型4、工程问题 14题型5、年龄问题 19题型6、数字与日历问题 22题型7、牛吃草问题 25题型8、销售问题 28题型9、分段计费问题 32培优精练A组（能力提升） 36B组（培优拓展） 441．列方程解应用题（1）列方程解应用题的优点。先用一个字母代替未知数，再把它看作已知数参与列式和运算，便于把题中的数量关系直接反映出来，使问题简单化。（2）列方程解应用题一般步骤。列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．要点诠释：（1）“审”指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，它们之间的关系，找等量关系；（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数；（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．2．常见的数量关系1）公式形数量关系生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。长方形面积=长×宽长方形周长=2（长+宽）正方形面积=边长×边长正方形周长=4边长2）约定型数量关系利息问题、利润问题、质量分数问题、比例尺问题、折扣等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。3）基本数量关系在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。单价×数量=总价速度×时间=路程工作效率×时间=总工作量现价÷原价＝折数3．分析数量关系的常用方法1）直译法分析数量关系将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。2）列表分析数量关系当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。3）图解法分析数量关系用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。题型1、找等量关系与列方程【解题技巧】与用字母表示式子的思路相同，寻找题干中的等量关系，利用未知数表示出来。例1．（2024六年级下·辽宁·专题练习）超市里茄子、芹菜和黄瓜三种蔬菜单价的关系如下图，下面等量关系错误的是（

）。A．芹菜单价×3＝黄瓜单价 B．茄子单价－0.8元＝芹菜单价C．（黄瓜单价－0.8元）÷3＝茄子单价 D．（茄子单价－0.8元）×3＝黄瓜单价【答案】C【分析】观察线段图可知，黄瓜的单价是芹菜单价的3倍，茄子的单价比芹菜的单价贵0.8元，黄瓜的单价刚好是茄子单价与0.8元的差的3倍，据此解答。【详解】A．黄瓜的单价＝芹菜的单价×3，等量关系正确；B．芹菜的单价＝茄子的单价－0.8元，等量关系正确；C．黄瓜的单价÷3＝茄子的单价－0.8元，等量关系错误；D．黄瓜的单价＝（茄子的单价－0.8元）×3，等量关系正确。故答案为：C例2．（23-24六年级上·福建福州·期中）“王叔叔买来小鸭140只，买来小鸡的只数比小鸭多，买来小鸡多少只？”下面4个数量关系中，符合题意的是（

）。A．小鸡只数×（1＋）＝小鸭只数 B．小鸭只数×（1＋）＝小鸡只数C．小鸭只数×＝小鸡只数 D．小鸡只数÷＝小鸭只数【答案】B【分析】买来小鸡的只数比小鸭多，则将小鸭的数量看作单位“1”，小鸡的数量占小鸭数量的（1＋多的分率），小鸡的数量＝单位“1”的具体量×（1＋多的分率），据此列式。【详解】将小鸭的数量看作单位“1”，由分析可知，小鸡的数量＝小鸭的数量×（1＋）；故答案为：B变式1．（23-24六年级上·山西大同·期末）请你理解“裤子的价钱比上衣便宜20%”的含义，并在线段图中画出表示上衣价钱的线段，标出20%表示的部分，再将数量关系式补充完整。数量关系式：（

）的价钱×20%＝（

）的价钱（

）的价钱×（1－20%）＝（

）的价钱【答案】作图见详解上衣；便宜上衣；裤子【分析】将上衣的价钱看作单位“1”，裤子的价钱是上衣的（1－20%），据此将百分数化成分数，根据分母表示平均分的份数，分子表示取走的份数，确定上衣的段数，据此作图标数据即可。求一个数的百分之几是多少用乘法，上衣的价钱×便宜的对应百分率＝便宜的钱数；上衣的价钱×裤子对应百分率＝裤子的价钱，据此补充数量关系。【详解】1－20%＝80%＝数量关系式：上衣的价钱×20%＝便宜的价钱上衣的价钱×（1－20%）＝裤子的价钱变式2.（2023·辽宁·五年级期末）妈妈在商场买了一瓶洗面奶和一盒面膜，一共花了240元。其中洗面奶的价钱是面膜的一半，洗面奶和面膜的价钱分别是多少元？方法1：洗面奶的价钱是面膜的一半，也就是()的价钱()的价钱×。解：设面膜的价钱是元方法2：也可以想面膜的价钱是洗面奶的()倍。解：设洗面奶的价钱是元。【答案】

洗面奶

面膜

2【分析】根据题意，方法1：洗面奶的价钱是面膜的一半，也就是洗面奶的价钱＝面膜的价钱×，设面膜的价钱数x元，则洗面奶的价钱是x元，列方程：x＋＝240，据此解答；方法2：洗面奶的价钱数面膜的一半，也就是面膜的价钱是洗面奶的2倍，设洗面奶的价钱是x元，则面膜的价钱是2x元，列方程：x＋2x＝240，据此解答。【详解】方法1：洗面奶的价钱是面膜的一半，也就是洗面奶的价钱面膜的价钱。方法2：也可以想面膜的价钱是洗面奶的2倍。【点睛】解答本题的关键是明确洗面奶和面膜的关系，进而进行解答。题型2、数学文化问题【解题技巧】数学文化类问题主要根据题干中译释找到等量关系解题即可。（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量－降低量．（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．例1．（2024六年级下·江苏·专题练习）《九章算术》第七章“盈不足”：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六。问：人数、鸡价各几何？译释：几人凑钱买鸡，每人出9元，则多11元；每人出6元，则差16元。有几人？鸡的价格是多少元？【答案】9人；70元【分析】根据题意可知，鸡的总价、总人数是不变的，总人数×9元－11元＝总人数×6元＋16元，设一共有x人，列方程为9x－11＝6x＋16，然后解出方程即可。【详解】解：设一共有x人。9x－11＝6x＋169x－11＋11＝6x＋16＋119x＝6x＋279x－6x＝6x＋27－6x3x＝273x÷3＝27÷3x＝99×9－11＝81－11＝70（元）答：有9人；鸡的价格是70元。【点睛】本题主要考查了盈亏问题，可用列方程解决问题，找到相应的数量关系式是解答本题的关键。例2.（2023·湖南七年级期中）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醐洒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清跴酒各几何？”大意是：现有一斗清酒价值10斗谷子，一斗醐洒酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清洒，醐洒酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为_________．【答案】【分析】设清酒x斗，则醐洒酒为（5-x）斗，一斗清酒价值10斗谷子，x斗清酒价值10x斗谷子；一斗醐洒酒价值3斗谷子，（5-x）斗醐洒酒价值3（5-x）斗谷子．存在“换x斗清酒和（5-x）斗醐洒酒共用30斗谷子”的等量关系，根据等量关系可列方程．【详解】解：设清酒x斗，则醐洒酒为（5-x）斗．．故答案为：．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，准确分析出数量关系和等量关系是解决本题的关键．例3．（2024·河北·七年级期中）“曹冲称象”是流传很广的故事，如图．按照他的方法：先将象牵到大船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个搬运工，这时水位恰好到达标记位置．如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知搬运工体重均为120斤，设每块条形石的重量是x斤，则正确的是（

）A．依题意 B．依题意C．该象的重量是5040斤 D．每块条形石的重量是260斤【答案】B【分析】根据题意列出方程即可解答．【详解】解：根据题意可得方程；故选：B．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意真确列出方程是解题的关键．变式1．（2024·四川成都·七年级期中）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺．问木长多少尺？设木长尺，则可列方程为（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】设木长尺，根据题意“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺”，列出一元一次方程即可求解．【详解】解：设木长尺，根据题意得，，故选：A【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．变式2．（2024江苏七年级月考）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，驽马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】设快马天可追上慢马，根据路程相等，列出方程即可求解．【详解】解：设快马天可追上慢马，由题意得故选：D．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．变式3．（2023·南昌七年级期中）《算法统宗》中记有“李白沽酒”的故事．诗云：今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士：如何知原有？（古代一斗是10升）大意是：李白在郊外春游时，做出这样-条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒．求李白的酒壶中原有酒多少升．【答案】壶中原有升酒．【分析】设壶中原有x升酒，由在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；【详解】设壶中原有x升酒，根据题意得，解得．答：壶中原有升酒．【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键.题型3、行程问题【解题技巧】行程问题总公式：路程=速度×时间。不同类型问题，在求解速度时有所不同，具体如下：①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间；Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间；Ⅱ．寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度；Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．例1．（23-24六年级上·福建莆田·期末）周末，小希一家自驾从莆田经过福州去太姥山旅游。（1）小希一家从莆田出发，以100千米/时的速度，行驶了1小时，到达福州市，这时已行的路程比未行路程的少20千米。如果以同样的速度继续前行再行多少小时能到达太姥山？（2）到达太姥山，景区广场有个用鹅卵石铺成的心形图案，小希和弟弟从A点开始沿着这心形的边相背而行，在距离B点12米处的C点相遇，相遇时弟弟走的路程是小希的，这个心形鹅卵石道的周长是多少米？【答案】（1）2.1小时；（2）168米【分析】（1）根据题意：已行驶路程＋20米＝未行驶路程的，则未行驶的路程为：（100×1＋20）÷，据此求出未行驶的路程，再根据时间＝路程÷速度即可。（2）设小希走了x米，则弟弟走了x米，由题意知小希和弟弟在距离B点12米处的C点相遇，即心形鹅卵石道的周长的一半－弟弟走的路程＝12米，据此列出方程，再解方程即可求出小希走的路程，进而求出弟弟走的路程，小希走的路程和弟弟走的路程相加即可求出周长。【详解】（1）（100×1＋20）÷＝（100＋20）÷＝120÷＝120×＝210（米）210÷100＝2.1（小时）答：如果以同样的速度继续前行再行2.1小时能到达太姥山。（2）解：设小希走了x米，则弟弟走了x米，（x＋x）÷2－x＝12x÷2－x＝12x×－x＝12x－x＝12x＝12x÷＝12÷x＝12×8x＝9696＋96×＝96＋72＝168（米）答：这个心形鹅卵石道的周长是168米。例2．（2024·四川·小升初模拟）市实验小学学生步行到郊外旅行。六（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/时，六（2）班学生组成后队，速度为6千米/时。前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为12千米/时。（1）后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少？（2）六（1）班出发多长时间，两队相距2千米？【答案】（1）24千米（2）六（1）班出发0.5小时、2小时、4小时，两队相距2千米。【分析】（1）联络员走的时间就是后队追上前队的时间，设后队出发x小时后追赶上前队，根据后队x小时走的距离＝4千米＋前队x小时走的距离，列方程求解。再用联络员的速度乘追上前队的时间即是联络员走的路程；（2）分三种情况①后队未出发前队出发走了2千米；②后队将要追及上前队之前，距离前队2千米；③后队与前队相遇之后，前队由于速度慢行走在后面，前队后队可能再次相距2千米。【详解】（1）解：设后队出发x小时后追赶上前队，6x＝4＋4x6x－4x＝4＋4x－4x2x＝42x÷2＝4÷2x＝212×2＝24（千米）答：后队追上前队的时间内，联络员走的路程是24千米。（2）分三种情况①后队未出发前队出发走了2千米，用的时间是2÷4＝0.5（小时）即六（1）班出发0.5小时，两队相距2千米；②后队出发还未追及上前队，设后队需y小时两队相距2千米（6－4）y＝22y＝22y÷2＝2÷2y＝11＋1＝2（小时）即六（1）班出发2小时，两队再次相距2千米；③后队与前队相遇之后，设前队再需z小时，两队相距2千米，（6－4）z＝22z＝22z÷2＝2÷2z＝11＋2＋1＝4（小时）即六（1）班出发4小时，两队第三次相距2千米。答：六（1）班出发0.5小时、2小时、4小时，两队相距2千米。【点睛】本题考查追及问题，速度差×追及时间＝路程差，以及分情况讨论问题的解题方法。例3．（2022·哈尔滨七年级期中）一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时．若水流速度是3千米/时，则甲、乙两码头之间的距离是_____千米．【答案】60【分析】设船在静水中的速度为x千米/小时，根据顺流速度＝静水速度+水流速度逆流速度＝静水速度﹣水流速度，列出方程，求出方程的解即可；根据求出的船在静水中的速度，再根据路程＝顺流的时间×顺流的速度，列出算式，进行计算即可．【详解】解：设船在静水中的速度为x千米/小时，根据题意得：（x+3）×2＝（x﹣3）×2.5，解得：x＝27，即：船在静水中的速度是27千米/小时，（27+3）×2＝60（千米）；故答案是：60．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系进行求解．变式1．（22-23六年级下·安徽蚌埠·期末）甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，6小时后相遇，相遇后继续前行，甲又行了5小时到达B地，这时乙车离A地还有150千米。A、B两地相距多少千米？【答案】900千米【分析】速度×时间＝路程，设A、B两地相距x千米，总路程÷相遇时间＝两车速度和，甲行完全程用了（6＋5）小时，也是乙车用的时间，总路程÷甲车用的时间＝甲车速度，乙车行了（x－150）千米，乙车路程÷乙车用的时间＝乙车速度。根据甲车速度＋乙车速度＝两车速度和，列出方程解答即可。【详解】解：设A、B两地相距x千米。x÷（6＋5）＋（x－150）÷（6＋5）＝x÷6x÷11＋（x－150）÷11＝x÷6[x÷11＋（x－150）÷11]×11＝x÷6×11x＋x－150＝x2x－150＝x2x－150－x＋150＝x－x＋150x＝150x÷＝150÷x＝150×6x＝900答：A、B两地相距900千米。【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，用方程解决问题的关键是找到等量关系。变式2．（2023·四川成都·小升初真题）甲、乙两班的学生于上午8：00出发，到距学校27千米的一个动物园参观。现有一辆汽车，每次只能坐一个班的学生，为了使两个班同时到达，合理安排步行和乘车。若步行速度为4千米/时，汽车速度为60千米/时，那么两个班最早几时几分同时到达？【答案】9时9分【分析】设学校到甲班下车的地方的距离是x千米，甲班下车后，汽车开回去接乙班，并将乙班送到动物园时正好甲班也到达动物园。甲乙两班步行的距离都是（27－x）千米，所以甲乙步行的时间都是小时。汽车行驶的距离则是千米。根据乙班步行的时间等于车子从出发到与乙相遇的时间列方程解答。【详解】解：设学校到甲班下车的地方的距离是x千米，则所用时间：（小时）8时＋1.15小时＝8时＋（1时＋0.15×60分）＝8时＋（1时＋9分）＝9时9分答：两个班最早9时9分同时到达。【点睛】本题考查了用方程解决实际问题，熟练的运用速度、时间、路程之间的数量关系找到等量关系是解决问题的关键。变式3．（2022·四川广元·七年级期末）已知某铁路桥长1600米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是70秒．则这列火车长______米．【答案】200【分析】设这列火车的长为x米，利用速度＝路程÷时间，结合火车的速度不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【详解】解：设这列火车的长为x米，根据题意得，，解得，∴这列火车的长为200米．故答案为：200【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．题型4、工程问题【解题技巧】我们常常把工作总量看做单位“1”，工作效率则用几分之几表示。在工程问题中，常常用“不同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。工程问题关键是把“一项工程”看成单位“1”，工作效率就可以用工作时间的倒数来表示。复杂的工程问题，往往需要设多个未知数，不要担心，在求解过程中，有一些未知数是可以约掉的。例1．（2023·河南·七年级阶段练习）已知一项工程，甲单独完成需要5天，乙单独完成需要10天，现先由甲单独做2天，然后再安排乙与甲合作完成剩下的部分，则完成这项工程共耗时(

)A．1天 B．2天 C．3天 D．4天【答案】D【分析】设完成这项工程共耗时x天，则甲工作了x天，乙工作了（x﹣2）天，根据总工作量＝甲完成的工作量+乙完成的工作量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设完成这项工程共耗时x天，则甲工作了x天，乙工作了（x﹣2）天，根据题意得：1，解得：x＝4．即完成这项工程共耗时4天．故选：D【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．例2．（23-24六年级上·河南南阳·期末）为了改善人民群众的宜居环境，凤瑞公园里要建一个直径是24m的圆形大花坛，在花坛的周围铺一条1m宽的小路，这条小路的面积是()m2；但是这项工程现在需要提前3天完成，就要把原来的工作效率提高12%，原计划完成这一工程用()天。【答案】78.528【分析】小路的形状是个圆环，花坛直径÷2＝小圆半径，小圆半径＋小路宽＝大圆半径，根据圆环面积＝圆周率×（大圆半径的平方－小圆半径的平方），求出小路的面积；设原计划完成这一工程用x天，则现在需要（x－3）天，将这项工程看作单位“1”，时间分之一可以看作效率，原计划的效率是，现在的效率是，现在的效率是原来的（1＋12%），根据原计划的效率×现在对应百分率＝现在的效率，列出方程求出x的值即可。【详解】24÷2＝12（m）12＋1＝13（m）3.14×（132－122）＝3.14×（169－144）＝3.14×25＝78.5（m2）解：设原计划完成这一工程用x天。为了改善人民群众的宜居环境，凤瑞公园里要建一个直径是24m的圆形大花坛，在花坛的周围铺一条1m宽的小路，这条小路的面积是78.5m2；但是这项工程现在需要提前3天完成，就要把原来的工作效率提高12%，原计划完成这一工程用28天。【点睛】关键是掌握并灵活运用圆环面积公式，本题的难度主要在求原计划天数，关键是理解工作时间、工作效率、工作总量之间的关系，找到等量关系，用方程解决问题。例3．（23-24六年级上·河北保定·期末）某大厦用无人智能配送车给大厦里的工作人员配送快递。若配送车A单独送，3小时才能送完；配送车B单独送，4小时才能送完。如果两辆车同时配送，多少小时可以将这些快递送完。（用方程解）【答案】小时【分析】将配送总量看成单位“1”，A单独送3小时才能送完，则A车1小时完成总量的1÷3＝；B单独送4小时才能送完，则B车1小时完成总量的1÷4＝；设x小时可以将这些快递送完，根据效率和×时间＝工作总量列出方程求解即可。【详解】解：设x小时可以将这些快递送完[（1÷3）＋（1÷4）]×x＝1[＋]×x＝1x＝1x＝1÷x＝1×x＝答：如果两辆车同时配送，小时可以将这些快递送完。变式1．（23-24六年级上·河南开封·期末）暑假里，学校进行校园部分设施维修，如果甲队单独做，需要20天，如果乙队单独做，需要25天。甲队先单独做了若干天后，被叫去参加另外一个工程的紧急抢修，剩下的维修工作由乙队单独做完。两队一共用了22天完工，甲、乙两队各做了多少天？【答案】甲、乙两队各做了12天和10天【分析】假设这个工程的总量为“1”。甲队单独做，需要20天，则甲队的工作效率为。乙队单独做，需要25天，则乙队的工作效率为。根据工作效率×工作时间＝工作总量，据此可以假设甲队做了x天，则乙队做了（22－x）天，甲队工作的天数×工作效率＋乙队工作的天数×工作效率＝工作总量，据此列方程，并解答即可。【详解】解：设甲队做了x天，则乙队做了（22－x）天，x＋（22－x）＝1x＋－x＝1x＋－x－＝1－x－x＝x－x＝x＝x＝÷x＝×100x＝12则乙队：22－12＝10（天）答：甲、乙两队各做了12天和10天。变式2．（22-23六年级下·四川绵阳·期末）有一项工程，按原计划甲、乙合作120天可以完工，后因特殊原因，甲队的工效提高20%，乙队的工效则下降了20%，因此比计划多用5天完成。求甲队单独完成全部工程要用多少天？【答案】300天【分析】把这项工程的工作总量看作单位“1”，已知原计划甲、乙合作120天可以完工，即原计划两队的合作工效是；由此可以设原计划甲队的工作效率为，则原计划乙队的工作效率为（－）。已知甲队的工效提高20%，把甲队计划的工效看作单位“1”，那么现在甲队的工效是（1＋20%）；已知乙队的工效下降20%，把乙队计划的工效看作单位“1”，那么现在乙队的工效是（－）×（1－20%）；由“现在比计划多用5天完成”可知，现在两队合作用时（120＋5）天；根据“合作工效×合作工时＝工作总量”列出方程，并求解；求出原计划甲队的工作效率，再根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”，即可求出甲队单独完成全部工程要用的天数。【详解】原计划两队的合作工效：1÷120＝解：设原计划甲队的工作效率为，则原计划乙队的工作效率为（－）。[（1＋20%）＋（－）×（1－20%）]×（120＋5）＝1[＋（－）×]×125＝1[＋－]×125＝1[＋]×125＝150＋＝150＝1－50＝＝÷50＝×＝甲队单独完成全部工程需要的天数：1÷＝1×300＝300（天）答：甲队单独完成全部工程要用300天。【点睛】本题考查列方程解决工程问题，掌握工作效率、工作时间、工作总量之间的关系以及百分数乘法的应用是解题的关键。变式3．（2024·仁寿七年级月考）一项工程，甲单独做需20天完成，乙单独做需15天完成，现在先由甲、乙合作若干天后，剩下的部分由乙独做，先后共用12天，请问甲做了多少天？【答案】甲做了4天．【分析】设甲做了x天，利用甲完成的工程量+乙完成的工程量=总工程量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：设甲做了x天，依题意得：，解得：x=4．答：甲做了4天．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．题型5、年龄问题【解题技巧】“年龄差不变”是隐藏在年龄问题中的已知条件，每个年龄问题都是与年龄差发生关系，找出年龄差是解题的关键。例1．（2023·四川·小升初真题）父亲和女儿现在年龄之和是91，当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍的时候，女儿年龄是父亲现在年龄的，女儿现在年龄是()岁。【答案】28【分析】设女儿现在的年龄为x岁，则父亲现在的年龄是（91－x）岁。当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍的时候也就是父亲的年龄是2x岁。两个人跨越的年龄是一样的，当父亲2x岁时，和现在相比少了（91－x－2x）岁，则女儿也跨越了（91－x－2x）岁，则女儿这时候的年龄是[x－（91－x－2x）]也是父亲现在年龄的，也就是，列出方程求出方程的解。【详解】设女儿现在的年龄为x岁，则父亲现在的年龄是（91－x）岁。则女儿现在的年龄是28岁。例2．（2024六年级·广东·培优）今年祖父的年龄是70岁，3个孙子的年龄分别是18岁、18岁、19岁，那么（

）年前3个孙子的年龄之和恰好等于祖父年龄的一半。A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】设x年前3个孙子的年龄之和恰好等于祖父年龄的一半，则x年前3个孙子的年龄分别是（18－x）岁、（18－x）岁、（19－x）岁，祖父的年龄是（70－x）岁，据此列方程为18－x＋18－x＋19－x＝（70－x）÷2，然后解出方程即可。【详解】解：设x年前3个孙子的年龄之和恰好等于祖父年龄的一半。18－x＋18－x＋19－x＝（70－x）÷218＋18＋19－x－x－x＝（70－x）÷2（18＋18＋19）－（x＋x＋x）＝（70－x）÷255－3x＝（70－x）÷2（55－3x）×2＝（70－x）÷2×2110－6x＝70－x110－6x＋6x＝70－x＋6x110＝70＋5x70＋5x＝11070＋5x－70＝110－705x＝405x÷5＝40÷5x＝88年前3个孙子的年龄之和恰好等于祖父年龄的一半。故答案为：C变式1．（2024六年级下·北京·专题练习）父亲的年龄是女儿现在的年龄时，女儿刚4岁，当父亲79岁时，女儿的年龄恰好是父亲现在的年龄，则父亲现在的年龄是()岁。【答案】54【分析】如图，设女儿现在的年龄是x岁，父亲和女儿相差x－4岁，根据女儿现在的年龄＋年龄差×2＝79岁，列出方程，求出女儿现在的年龄，女儿现在的年龄－4＝年龄差，女儿现在的年龄＋年龄差＝父亲现在的年龄。【详解】解：设女儿现在的年龄是x岁。x＋2（x－4）＝79x＋2x－8＝793x＝87x＝2929－4＋29＝54（岁）【点睛】关键是明白年龄差永不变的特点，找到等量关系列出方程。变式2．（2023·四川成都·小升初真题）爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和70岁，当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁，当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁，现在三人的年龄各是多少岁？【答案】妹妹12岁、哥哥16岁、爸爸42岁【分析】三人增长的岁数一样。也就是爸爸增长的岁数＝哥哥的增长岁数＝妹妹增长的岁数。当妹妹9岁时，设哥哥的年龄是x岁，爸爸的年龄是3x岁。当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁时，爸爸是增长了（34－3x）岁，妹妹和哥哥也都增长了（34－3x）岁。这时候妹妹的年龄是（9＋34－3x）岁，哥哥的年龄是（x＋34－3x）岁，根据哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍列出数量关系式：哥哥的年龄＝妹妹的年龄×2。解方程得出哥哥的年龄为13岁，这时候爸爸的年龄39岁，妹妹的年龄是9岁，三个人这时候的年龄总和是61岁，现在三个人的年龄和是70岁，相差9岁，这个相差的9岁是三个人一起增长的年龄，所以每个人增长了3岁。【详解】解：设当妹妹9岁时，哥哥x岁，爸爸3x岁。3×13＝39（岁）9＋13＋39＝61（岁）（70－61）÷3＝9÷3＝3（岁）妹妹：9＋3＝12（岁）哥哥：13＋3＝16（岁）爸爸：39＋3＝42（岁）答：现在妹妹12岁，哥哥16岁，爸爸42岁。题型6、数字与日历问题【解题技巧】已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．例1．（2022·河北沧州·七年级期末）一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99，求原两位数.设原两位数的个位数字是，根据题意可列方程为(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】先求出原两位数的十位数字是，再根据将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99建立方程即可．【详解】解：由题意得：原两位数的十位数字是，则可列方程为，故选：D．【点睛】本题考查了列一元一次方程，找准等量关系是解题关键．例2．（2024·河南·七年级期中）将连续的奇数1、3、5、7、9、11等，按一定规律排成如图：图中的T字框框住了四个数字，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数．若将T字框上下左右移动，则框住的四个数的和不可能得到的数是（

）A．34 B．62 C．118 D．158【答案】A【分析】由题意，设T字框内处于中间且靠上方的数为2n﹣1，则框内该数左边的数为2n﹣3，右边的为2n+1，下面的数为2n﹣1+10，故T字框内四个数的和为：8n+6．【详解】由题意，设T字框内处于中间且靠上方的数为2n﹣1，则框内该数左边的数为2n﹣3，右边的为2n+1，下面的数为2n﹣1+10，∴T字框内四个数的和为：2n﹣3+2n﹣1+2n+1+2n﹣1+10＝8n+6．故T字框内四个数的和为：8n+6．A、由题意，令框住的四个数的和为34，则有：8n+6＝34，解得n＝3.5．不满足整数的条件．故框住的四个数的和不能等于34，故本选项符合题意；B、由题意，令框住的四个数的和为62，则有：8n+6＝62，解得n＝7．满足整数的条件．故本选项不符合题意；C、由题意，令框住的四个数的和为118，则有：8n+6＝118，解得n＝14．满足整数的条件．故本选项不符合题意；D、由题意，令框住的四个数的和为158，则有：8n+6＝158，解得n＝19．满足整数的条件．故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．变式1．（2024·广东江门·七年级期中）我国古代的“九宫格”是由3×3的方格构成的，每个方格内均有不同的数，每一行每一列以及每一条对角线上的三个数之和相等．如图，给出了“九宫格”的一部分，则阴影部分的数值是______．【答案】9【分析】根据题意，利用左下角的数在最左边列，也在最下面的一行，即可列出关于x的方程，从而可以得到x的值，从而可得答案．【详解】解：由题意可得：解得：所以这三个数的和为：所以阴影部分的数值为：故答案为：9【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．变式2．（2024·陕西·七年级期中）如图，在2022年元月份的月历表中，任意框出表中竖列上相邻的四个数，则这四个数的和可能是（

）A．42 B．60 C．78 D．86【答案】C【分析】由于表中竖列上相邻两列的数相差7，所以可设这四个数中最小的一个数为x，则其余的三个数为x+7，x+14，x+21，然后根据这四个数的和分别等于四个选项中的数列出方程，求出方程的解，然后根据实际意义取值即可．【详解】解：设这四个数中最小的一个数为x，则其余的三个数为x+7，x+14，x+21，那么，这四个数的和为x+x+7+x+14+x+21=4x+42．A、如果4x+42=42，那么x=0，故A不符合题意；B、如果4x+42=60，那么x=4.5，故B不符合题意；C、如果4x+42=78，那么x=9，故C符合题意；D、如果4x+42=86，那么x=11，故D不合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答．变式3．（2024·北京模拟预测）“格子乘法”作为两个数相乘的一种计算方法，最早在15世纪由意大利数学家帕乔利提出，在明代数学家程大位著的《算法统宗》一书中被称为“铺地锦”．例如：如图1，计算，将乘数46写在方格上边，乘数71写在方格右边，然后用乘数46的每位数字乘以乘数71的每位数字，将结果记入相应的方格中，最后沿斜线方向相加，得3266．如图2，用“格子乘法”计算两个两位数相乘，则______．【答案】6【分析】根据“格子乘法”可得10（10+6-k-k）+(k-3-1)=7k，解方程可得．【详解】解：根据题意可得10（10+6-k-k）+(k-3-1)=7k解得k=6故答案为：6．【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据“格子乘法”分析图示，列出方程是关键．题型7、牛吃草问题【解题技巧】解题关键在于理解草的生长和消耗之间的平衡关系，通过设定和计算，找出不变的量（如原有的草量和每天新长的草量），进而解决问题。这类问题不仅考验数学计算能力，也锻炼了逻辑思维和问题解决能力。例1．（2022·河南郑州·小升初真题）某火车站的检票口在检票开始前已经有人在排队，检票开始后平均每分钟有10人来排队等候检票。一个检票口每分钟平均能让25人检票进站。如果只开一个检票口，那么检票开始8分钟后就可以无人排队；如果开两个检票口，那么开始检票分钟后就暂时无人排队了。【答案】3【分析】据已知条件，一个窗口8分钟一共放走了25×8＝200（人），8分钟内共来了10×8＝80（人），所以原来有200－80＝120（人）；开两个窗口则每分钟可放25×2＝50（人），则可设x分钟后就暂时无人排队了，x分钟共来人10x人，可得方程：50x－10x＝120，解此方程即可。【详解】原来有：25×8－10×8＝200－80＝120（人）设开两个窗口后x分钟后就暂时无人排队了，则得方程：（25×2）x－10x＝120解：50x－10x＝12040x＝120x＝120÷40x＝3所以开始检票3分钟后就暂时无人排队了。【点睛】此题的解题关键是要先求出原来等着的有多少人，再找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。例2．（2024六年级下·浙江·培优）甲、乙两个水池同时以相同的速度向外排水（匀速），甲池3小时可以排完，乙池2小时可以排完。开始排水小时后，甲池的水量是乙池的8倍。【答案】/【分析】假设甲、乙两水池的排水速度都为1，设开始排水x小时后，甲池的水量是乙池的8倍，甲水池现在的水量＝乙水池现在的水量×8，甲水池原来的水量－甲排出的水量＝甲水池现在的水量，乙水池原来的水量－乙排出的水量＝乙水池现在的水量，据此列方程为1×3－1×x＝（1×2－1×x）×8，然后解出方程即可。【详解】假设甲、乙两水池的排水速度都为1，解：设开始排水x小时后，甲池的水量是乙池的8倍。1×3－1×x＝（1×2－1×x）×83－x＝（2－x）×83－x＝16－8x3－x＋8x＝16－8x＋8x3＋7x＝163＋7x－3＝16－37x＝137x÷7＝13÷7x＝开始排水小时后，甲池的水量是乙池的8倍。【点睛】本题可用假设法和列方程解决问题，找到相应的数量关系是解答本题的关键。变式1．（2024六年级·重庆·培优）自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走35级台阶，女孩每分钟走22级台阶。男孩用了3分钟到达楼上，女孩用了4分钟到达楼上。这个自动扶梯共有级台阶露在外面。【答案】156【分析】根据题意可知，扶梯的台阶数＝扶梯每分钟走的台阶数×行驶时间＋每人每分钟走的台阶数×行驶时间，因为扶梯的台阶数不变，可设扶梯每分钟走x个台阶，据此列方程为3x＋3×35＝4x＋4×22，然后解出方程，进而求出扶梯的台阶数。【详解】解：设扶梯每分钟走x个台阶。3x＋3×35＝4x＋4×223x＋105＝4x＋883x＋105－3x＝4x＋88－3x105＝x＋88105－88＝x＋88－8817＝xx＝173×17＋3×35＝51＋105＝156（级）这个自动扶梯共有156级台阶露在外面。【点睛】本题考查了牛吃草问题，可用列方程解决问题，也可算式解答，找到相应的数量关系是解答本题的关键。变式2．（2024六年级·山东·培优）有一个水池，池底不断有泉水涌出，且每小时涌出的水量相同。现要把水池里的水抽干，若用5台抽水机40小时可以抽完，若用10台抽水机15小时可以抽完。现在用14台抽水机，多少小时可以把水抽完（

）。A．10小时 B．9小时 C．8小时 D．7小时【答案】A【分析】可假设1台抽水机1小时抽水量为“1”，抽水机在一定时间内抽水量包含两类：池中原有量；池中一定时间内新涌出的量。可先求出5台抽水机40小时的抽水量及10台抽水机15小时的抽水量，并利用抽水量之差除以时间之差，求出泉水每小时新涌出的量；再计算出池中原有水量；最后设14台抽水机x小时把水抽完，结合数量关系式：14台抽水机x小时抽水量＝池中原有水量＋x小时泉水新涌出的量，列方程，解答即可。【详解】由分析得：假设1台抽水机1小时抽水量为“1”，5台抽水机40小时抽水量＝5×40×1＝20010台抽水机15小时＝10×15×1＝150泉水每小时新涌出的量：（200－150）÷（40－15）＝50÷25＝2池中原有水量：200－40×2＝200－80＝120解：设14台抽水机x小时可以把水抽完。14x＝120＋2x12x＝120x＝10故答案为：A。【点睛】这属于“牛吃草问题”，题意较为复杂，需经过反复实验及总结方能掌握，解决这类问题的思维模式及数量关系常可运用到现实生活中某种场合下所发生的问题中去。例如合理开放火车站检票口问题，合理调度运输车辆运送仓库货物问题。题型8、销售问题【解题技巧】此类题型，需要我们找出利润和利润率之间的关系来列写等式方程。实际售价＝标价×打折率利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．例1．（2024·广东·七年级期中）元旦节期间，百货商场为了促销，每件夹克按成本价提高50%后标价，后因季节关系按标价的8折出售，每件仍盈利20元，这批夹克每件的成本价是多少元？【答案】这批夹克每件的成本价是100元【分析】设成本价为x元，根据提价打折之后盈利为20元，列出方程式，求解即可．【详解】设成本价为x元，依题意得：x（1+50%）×80%﹣x＝20，解得：x＝100，答：这批夹克每件的成本价是100元．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，找出等量关系，列方程求解．例2．（2024·重庆·七年级期中）一水果店第一次购进400kg西瓜，由于天气炎热，很快卖完．该店马上又购进了800kg西瓜，进货价比第一次每千克少了0.5元．两次进货共花费4400元．（1）第一次购进的西瓜进价每千克多少元；（2）在销售过程中，两次购进的西瓜售价相同．由于西瓜是易坏水果，从购进到全部售完会有部分损耗．第一次购进的西瓜有4%的损耗，第二次购进的西瓜有6%的损耗，该水果店售完这些西瓜共获利2984元，则每千克西瓜的售价为多少元．【答案】（1）4元；（2）6.5元【分析】（1）设第一次购进的西瓜进货价每千克为元，则第二次进货价为元，根据题意列一元一次方程即可求解；（2）设售价为元，求出两次的销售总额，再减去成本就是获利，列出一元一次方程，即可求解．【详解】解：（1）设第一次购进的西瓜进货价每千克为元，则第二次进货价为元，由题意可得：，即解得答：第一次购进的西瓜进价每千克4元；（2）设每千克西瓜的售价为元，则第一次的销售额为元，第二次的销售额为元，总成本为4400元，则，即解得答：每千克西瓜的售价为6.5元【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意弄清楚题中的等量关系是解题的关键．例3．（2024·福建·七年级期中）某社区超市第一次用6000元购进一批甲乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，两件商品的进价和售价如下图所示：(1)超市购进的这批货中甲乙两种商品各有多少件？(2)该超市第二次分别以第一次同样的进价购进第二批甲乙两种商品，其中乙商品的件数是第一批乙商品件数的3倍，甲商品件数不变，甲商品按照原售价销售，乙商品在原价的基础上打折销售，第二批商品全部售出后获得的总利润比第一批获得的总利润多720元，求第二批乙商品在原价基础上打几折销售？甲乙进价（元/件）2230售价（元/件）2940【答案】(1)甲种商品150件，乙种商品90件；(2)9折．【分析】（1）设第一次购进乙种商品m件，则购进甲种商品（2m﹣30）件，根据总价＝单价×数量，即可得出关于m的一元一次方程，解方程后计算，可得两种商品第一次购进数量；（2）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，根据总利润＝每件的利润×销售数量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．（1）解：设第一次购进乙种商品m件，则购进甲种商品（2m﹣30）件，依题意，得：30m+22×（2m﹣30）＝6000，解得：m＝90，∴2m﹣30＝150，答：超市购进的这批货中甲种商品150件，乙种商品90件．（2）设第二次乙种商品是按原价打y折销售，由（1）可知，第一次两种商品全部卖完可获得利润为：（29﹣22）×150+（40﹣30）×90＝1950（元）．依题意得：（29﹣22）×150+（40×﹣30）×90×3＝1950+720，解得：y＝9．答：第二次乙种商品是按原价打9折销售．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．变式1．（2024·山西·七年级期中）把一批上衣按进价提高50%后作为售价，因打6折促销，售价相应调整为90元，打折后每件上衣（

）A．赚20元 B．赚10元 C．亏20元 D．亏10元【答案】D【分析】设上衣的进价为x元，则提高后的价格为（1+50%）x元，打折后的价格为x（1+50%）×60%元，根据打折后的价格为90元建立方程求出其解即可．【详解】解：设上衣的进价为x元，由题意，得x（1+50%）×60%=90，解得：x=100．打折后每件上衣的利润为：90100=10元．故选：D．【点睛】本题考查了销售问题的数量关系的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时根据打折后的售价为90元建立方程求出进价是关键．变式2．（2022·重庆江津·七年级期末）在六一儿童节期间，某商家推出零食大礼包，包含薯片、辣条、果冻三种零食．礼包的成本是三种零食成本之和．每个礼包中薯片、辣条、果冻成本之比为：：，其中薯片的利润率为，果冻的利润率为，且每个礼包的总利润率为，则辣条的利润率为______．【答案】【分析】设辣条的利润率为x，每个礼包中薯片成本为7m、辣条成本为5m、果冻成本为3m，则每个礼包的成本是15m，根据每个礼包的总利润率为34%，列方程即可解得答案．【详解】解：设辣条的利润率为，每个礼包中薯片成本为、辣条成本为、果冻成本为，则每个礼包的成本是，根据题意得：，解得，答：辣条的利润率为，故答案为：．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．变式3．（2023·辽宁·七年级期中）某水果销售店用1000元购进甲、乙两种新出产的水果共140千克，这两种水果的进价、售价如表所示：甲种乙种进价（元/千克）59售价（元/千克）813(1)这两种水果各购进多少千克？(2)若该水果店按售价销售完这批水果，获得的利润是多少元？【答案】(1)甲种水果购进65千克，乙种水果购进75千克(2)获得的利润是495元【分析】（1）设购进甲种水果x千克，则购进乙种水果（140-x）千克，根据表格中的数据和意义列出方程并解答；（2）总利润=甲的利润+乙的利润．（1）解：设购进甲种水果x千克，则购进乙种水果（140-x）千克，根据题意得：5x+9（140-x）=1000，解得：x=65，∴140-x=75．答：购进甲种水果65千克，乙种水果75千克；（2）解：（8-5）×65+（13-9）×75=3×65+4×75=495（元）．答：获得的利润是495元．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．题型9、分段计费问题【解题技巧】此类题型，收费往往因为不同的分段，标准会不一样。因此，在列写此类问题的等式方程时，需要先依据题意将路程进行合理分段，然后在按照不同分段中的收费标准列写等式方程。常见试题背景：水费、电费、气费、车费、纳税、社保医保体系等例1．（2024六年级下·广东·专题练习）某保险公司的医疗保险方案针对住院治疗的病人享受分段报销，保险公司制定的报销细则如下表。某人住院治疗后得到保险公司报销金额是1000元，那么此人住院的医疗费是多少元？住院医疗费（元）报销率（%）不超过500元的部分0超过500不超过1000元的部分60超过1000不超过3000元的部分70……【答案】2000元【分析】因为报销金额是1000元，根据分段报销，超过500～1000元的部分报销60%，超过1000～3000元的部分报销70%的情况，设住院医疗费是x元，根据题意可得等量关系：超过500～1000元的部分报销的钱＋超过1000～3000元的部分报销的钱=1000元，根据等量关系列出方程求解即可。【详解】解：设住院医疗费是x元。答：此人住院的医疗费是2000元。【点睛】本题考查分段计费，解答本题的关键是掌握住院报销的标准，根据题意列出方程解答。例2．（2022·辽宁铁岭·七年级期末）甲、乙两家超市以相同的价格出售相同的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出200元之后，超出部分按8折优惠；在乙超市累计购买商品超出100元之后，超出部分按9折优惠．设顾客预计购买x元（）的商品．(1)请用含x的代数式分别表示顾客在甲、乙两家超市购物应付的费用；(2)小明准备购买500元的商品，你认为他应该去哪家超市？请说明理由；(3)小明购买多少元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样？【答案】(1)甲超市元，乙超市元(2)甲超市，理由见解析(3)元【分析】（1）分别按照甲乙超市的优惠方法：甲：200+超过200元的部分×0.8，乙：100+超过100元的部分×0.9；列代数式即可；（2）把代入（1）中的代数式进行计算，再比较即可；（3）利用两家超市的费用相等构建方程，再解方程即可．(1)解：顾客在甲超市购物应付的费用为元；在乙超市购物应付的费用为元；(2)他应该去甲超市．理由如下：当时，甲：，乙：．∵，∴他应该去甲超市；(3)根据题意，得，解这个方程，得答：小明购买元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样．【点睛】本题考查的是分段计费的问题，列代数式，求解代数式的值，一元一次方程的应用，理解题意，正确的列出代数式是解本题的关键．变式1．（23-24六年级下·浙江·期中）《中华人民共和国个人所得税》规定，公民月工资、薪金所得不超过5000元的部分不纳税，超过5000元的部分为全月纳税所得税，此项税款按小表分段累计计算：若某人1月份应交纳此项税款为115元，则他的当月工资、薪金为多少？全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%超过5000元至20000元的部分20%……【答案】6400元【分析】他首先缴纳了500元的5%即25元税款，假设此人工资超500元至2000元的那部分全部纳税，则应为（2000－500）×10%＝150元，纳税总额175元大于实际的纳税额115元，因此能确定此人个税缴纳就在10%这一档，据此解答。【详解】解：设当月工资薪金为x元，根据题意得500×5%＋（x－5000－500）×10%＝115500×0.05＋（x－5500）×0.1＝11525＋0.1x－550＝11525＋0.1x－550－25＋550＝115－25＋5500.1x＝6400.1x÷0.1＝640÷0.1x＝6400答：当月工资薪金为6400元。【点睛】考查百分数的实际应用税率问题，个税缴纳问题为分档累加比较复杂，解答关键是要先判断出工资应纳税的档次。变式2．（2024·山东·七年级期中）潍坊出租车采用阶梯式的计价收费办法如下表：行驶里程计费方法不超过3公里起步价8元超过3公里且不超过7公里的部分每公里按标准租费收费超过7公里且不超过25公里的部分每公里再加收标准租费的50%超过25公里且不超过100公里的部分每公里再加收标准租费的75%超过100公里的部分每公里再加收标准租费的100%说明：行驶里程不足1公里，按1公里计算；行驶里程超过3公里时的标准租费为1.8元/公里．若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为（

）A．13公里 B．12公里 C．11公里 D．10公里【答案】C【分析】设行驶里程为x公里，乘车费用为26元．根据题意列出一元一次方程求解即可．【详解】解：设行驶里程为x公里，乘车费用为26元．若，根据题意得，不成立．若，根据题意得．解得（舍）．若，根据题意得．解得．若，根据题意得．解得（舍）．若时，根据题意得．解得（舍）．∴若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为11公里．故选：C．【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握该知识点是解题关键．A组（能力提升）1．（2024·河南·七年级期中）《九章算术》是我国古代的数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：令有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱，每人出7钱，会差3钱，问合伙人数：羊价各是多少？设合伙人数为x，所列方程正确的是（

）A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C． D．【答案】B【分析】设合伙人数为x人，根据羊的总价钱不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【详解】设合伙人数为人，依题意，得：．故选：B．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．2．（23-24六年级上·陕西西安·期末）亮亮从家步行去学校，每小时走5千米。回家时，骑自行车，每小时走13千米。骑自行车比步行的时间少4小时，亮亮家到学校的距离是()千米。【答案】32.5【分析】根据题意得：亮亮步行和骑自行车的距离相等，即亮亮家到学校的距离。路程=速度×时间，可设距离为未知数x，则可计算出时间再相减得到相差的4小时，列出方程，进而计算得出答案。【详解】设亮亮家到学校的距离是x千米，则可列方程：即亮亮家到学校的距离是32.5千米。3．（2024·四川成都·小升初真题）开始时，王老师的积分券有120张，小明的积分券数量是小李的两倍。后来，王老师给小明和小李发了相同数量的积分券，现在三人的积分券数量之比为。现在王老师还剩积分券()张。【答案】40【分析】设现在王老师有张，则小明现在有张，小李现在有张。王老师给小明和小李相同数量，则小明和小李的数量差不变，，原来小明是小李的两倍，小李是1份，小明就是这样的2份，相差1份，一份就是x张，则小李原有x张，小明原有（张）。三个人的总张数没有发生改变，则数量关系式为：三人的张数－小明原有的张数－小李原有的张数＝120张。【详解】设现在王老师有张，则小明现在有张，小李现在有张。则现在王老师还剩积分券40张。4．（22-23六年级上·江苏盐城·期末）师徒两人合作完成了540个零件的加工任务，其中徒弟加工了3小时，师傅加工了5小时。已知师傅每小时比徒弟多加工12个，徒弟每小时加工()个，师傅每小时加工()个。【答案】6072【分析】根据题意，可以设徒弟每小时加工x个，则师傅每小时加工（x＋12）个，根据工作量＝工作时间×工作效率这一公式，可以列出等量关系式为：5×（x＋12）＋3x＝540。【详解】解：设徒弟每小时加工x个，则师傅每小时加工（x＋12）个。5×（x＋12）＋3x＝5405x＋60＋3x＝5408x＋60＝5408x＋60－60＝540－608x＝4808x÷8＝480÷8x＝60师傅：60＋12＝72（个）【点睛】此题考查了工作量、工作时间、工作效率三者之间的关系以及学生对列方程、解方程的熟练掌握程度，关键是要找到等量关系式。5．（2022·重庆·小升初真题）小兰发现公路边等距地立着一排电线杆，她用均匀的速度从第1根电线杆走到第15根电线杆用了7分钟时间，接着她继续往前走，又走了若干根电线杆后就往回走，当她走回到第5根电线杆时一共用了30分钟，那么小兰是走到第根电线杆是开始往回走的。【答案】33【分析】从第1根电线杆走到第15根电线杆，共经过（15－1）即14个间隔，用7分钟。因此1分钟走14÷7即2个间隔；当她走回到第5根电线杆时一共用了30分钟，共走了30×2即60个间隔；设走到第x根电线杆时开始往回走，开始往回走的时，走了（x－1）个间隔，回来时走了（x－5）个间隔，然后列出方程进行解答即可。【详解】解：设小兰是走到第x根电线杆是开始往回走的。（x－1）＋（x－5）＝30×2x－1＋x－5＝602x－6＝602x－6＋6＝60＋62x÷2＝66÷2x＝33小兰是走到第33根电线杆是开始往回走的。【点睛】本题考查了两端植树问题，植树棵数比间隔数多1，求出共走的间隔数，然后再进一步解答即可。7．（2024·四川成都·小升初真题）某商店面包的成本是定价的80%，可乐的定价是10元，成本是8元。现在商店把2个面包与1杯可乐配套出售，并且按它们的定价之和的90%出售。这样每套可获得利润3元。面包的成本是多少元？【答案】8元【分析】利润＝售价－成本。利润的3元＝2个面包和1杯可乐的售价－2个面包和1杯可乐的成本。以它们的定价之和的90%出售则售价＝（2×面包的定价＋1杯可乐的定价）×90%。则数量关系式：（2×面包的定价＋1杯可乐的定价）×90%－（2×面包的成本＋1杯可乐的成本）。【详解】解：设面包的定价是x元，成本80%x元。10×80%＝8（元）答：面包的成本是8元。8．（2024·四川成都·小升初真题）某人从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟，若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在此人打算在火车开车前10分钟到达火车站，求此人此时摩托车的速度应该是多少？【答案】每小时27千米【分析】家到火车站的距离是不变的，设从家出发正点到达火车站的时间是小时，根据时速30千米和18千米两种情况下路程相等列方程，解出正点到达火车站的时间，从而计算出家到火车站的距离，再用距离除以提前10分钟时所需要的时间就是摩托车应该行驶的速度。【详解】解：设从家出发正点到达火车站的时间是小时，（千米）答：此时摩托车的速度应该是每小时27千米。【点睛】本题考查路程问题的基本公式“路程＝速度×时间”，解题思路是应用路程不变列方程求解。9．（23-24六年级上·广西柳州·期中）为解决交通拥堵情况，对长1000米江峰路进行路面拓宽工程。以下是主要信息：A．原来路面宽是12米，现在路面比原来宽。B．该工程如果由甲队单独做需要20天，如果由乙队单独做需要30天，现在两队合作完成。C．工程实际用款84万元，实际用款比计划用款多用。根据以上信息，请选择一条信息，提出一个数学问题并解答。（1）选择的信息：（

）（2）提出问题：________________________________________？（3）列式解答：【答案】（1）A；（2）现在路面宽有多少米？（3）（米）；15米（本题答案不唯一）【分析】已知江峰路长1000米，要对其进行路面拓宽工程：（1）对于信息A：又知原来路面宽是12米，现在路面比原来宽；如果把原来路面宽度看作单位“1”，则单位“1”是已知的，可以提出分数乘法问题，比如现在路面宽有多少米？然后根据单位“1”的量×对应分率＝对应数量，列式：，可求得现在路面有多宽；（2）对于信息B：又知这项工程甲队、乙队单独完成，分别需要20天、30天，如果把这项工程看作单位“1”，同时可知甲队、乙队的工作效率分别是1÷20＝，1÷30＝，工效，工作总量均已知，可以提出需要多少时间能完成任务的问题，比如：几天可以完成任务？列式：，可求得完成任务需要几天；（3）对于信息C：又知工程实际用款84万元，实际用款比计划用款多用，如果把计划用款看作单位“1”，则单位“1”是未知的，可以提出分数除法的问题，例如：计划用款多少万元？如果用方程解答，可设计划用款万元，列方程：，解这个方程，可求得计划用款是多少万元。【详解】（1）A：现在路面宽有多少米？＝12×＝15（米）答：现在路面宽有15米。（2）B：几天可以完成任务？＝1÷＝1×12＝12（天）答：12天可以完成任务。（3）C：计划用款多少万元？解：设计划用款万元。

＝＝＝80（万元）答：计划用款80万元。【点睛】解答本题需要明确：单位“1”已知，用乘法计算；单位“1”未知用除法计算，同时把数量、分率对应好，再着手解答。10．（2022·湖南长沙·小升初真题）如今网络团购已经走进我们的生活。聪聪一家星期天去某湘菜馆就餐，这家湘菜馆可以使用团购代金券，每张代金券售价70元，可抵100元消费。每次最多使用2张，多余部分不找零钱，不足部分用现金补齐。若不使用代金券，则直接享受八折优惠。（1）聪聪一家在这家湘菜馆消费260元，若尽量多的使用代金券，需要支付多少元？（包括购买代金券所支付的钱）（2）如果聪聪一家在这家湘菜馆消费，不管是否使用代金券，需要支付的钱数都是同样多（若使用代金券，应包括购买代金券支付的钱）。聪聪一家消费的金额可能是____________元。【答案】（1）200（2）150或300【分析】（1）共消费了260元，超过了200可以买2张优惠券，不足部分用现金补齐，每张代金券的售价是70元，这样需要支付的钱数就是2个70元加上超过200元的部分；（2）使用代金券，每100元只需要支付70元，可以节省30元，最多可以使用2张，节省60元，不使用代金券可以享受八折优惠，也就是需要支付的钱数是原价的80%，设支付x元时两种情况支付的钱数同样多，分为支付1张或2张代金券进行讨论列出方程求解。【详解】（1）若尽量多的使用代金券，则最多买2张；70×2＋（260－100×2）＝140＋60＝200（元）答：若尽量多的使用代金券，需要支付200元。（2）解：设支付x元时两种情况支付的钱数同样多。①当使用1张支付券时，1张支付券可以优惠100−70＝30（元）（1−80%）x＝300.2x÷0.2＝30÷0.2x＝150②当使用2张支付券时，2张支付券可以优惠30×2＝60（元）（1−80%）x＝600.2x÷0.2＝60÷0.2x＝300所以聪聪一家消费的金额可能是150或300元。【点睛】解决本题注意找清楚两种支付方式的不同含义，得出其计算所花钱数的方法，从而解决问题。11．（2022·山东·六年级期末）公园里新建了一个“花鸟乐园”。如图，冬冬和小刚站在点A处，打算绕“花鸟乐园”外围步行一圈。小刚说：“冬冬，我们背向而行，看看待会儿会在哪个地方相遇。”说完小刚就出发了。而冬冬观赏了一会儿小鸟，等小刚走到B点，他才出发。已知小刚和冬冬的速度比是5∶6，当他俩相遇时，小刚和冬冬所走的路程比是5∶4。这个“花鸟乐园”一周的长度是多少米？（冬冬和小刚的速度不变）【答案】378米【分析】将这个乐园的周长设为未知数，两人相遇时，两人恰好走完这个乐园的一周。同时，两人的速度比恰好等于小刚的路程减去70米比上冬冬的路程，据此列比例解比例即可。【详解】解：设这个“花鸟乐园”一周的长度是x米。5∶6＝∶x解得，x＝378答：这个“花鸟乐园”一周的长度是378米。【点睛】本题考查了比例的应用，相遇问题中，时间一定时，两人的速度比就是两人所走的路程比。B组（培优拓展）1．（2024·湖北七年级期中）轮船沿江从A港顺流行驶到B港，比从B港返回A港少用2h，船在静水中的速度为26km/h，水速为2km/h．设A港和B港相距xkm．根据题意，列出的方程是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】设A港和B港相距x千米，根据行船问题公式可知，顺水速度较快，所用时间较少，所以利用行程问题公式，列方程为：，变形为：，据此选择．【详解】解：设A港和B港相距x千米，，变形为：∴方程为：故选B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，抓住关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．顺水速度=水流速度+静水速度，逆水速度=静水速度-水流速度．2．（2023·天津·七年级期中）某中学学生军训，沿着与笔直的铁路并列的公路匀速前进，每小时走4.5千米．一列火车以每小时120千米的速度迎面开来，测得从火车头与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇，共经过12秒．如果队伍长150米，那么火车长（）A．150米 B．215米 C．265米 D．310米【答案】C【分析】先将12秒化为小时，设火车长x千米，然后根据学生行驶的路程+火车的路程＝火车的长度+学生队伍的长度列方程求解即可，注意单位换算．【详解】解：12秒＝小时，150米＝0.15千米，设火车长x千米，根据题意得：×(4.5+120)＝x+0.15，解得：x＝0.265，0.265千米＝265米．答：火车长265米．故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题的关键是理解题意，找到正确的等量关系．3．（2024六年级·江苏·培优）观光扶梯匀速向上行驶，小王和小岳从扶梯上楼，小王每分钟走45级台阶，小岳每分钟走35级台阶，结果小王上楼用了2分钟，而小岳用了2.4分钟，该扶梯的台阶共有级。【答案】120【分析】根据题意可知，扶梯的台阶数＝扶梯每分钟走的台阶数×行驶时间＋每人每分钟走的台阶数×行驶时间，因为扶梯的台阶数不变，可设扶梯每分钟走x个台阶，据