专题09三角形(共83题)-5年(2016-2020)中考1年模拟数学试题分项详解(原卷版+解析)(北京专用)

5年（2016-2020）中考1年模拟数学试题分项详解（北京专用）专题09三角形（共83题）五年中考真题五年中考真题一．填空题（共4小题）1．（2020•北京）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABCS△ABD（填“＞”，“＝”或“＜”）．2．（2020•北京）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是（写出一个即可）．3．（2019•北京）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝°（点A，B，P是网格线交点）．4．（2019•北京）如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为cm2．（结果保留一位小数）二．解答题（共6小题）5．（2020•北京）在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE＝a，BF＝b，求EF的长（用含a，b的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．6．（2019•北京）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH=3+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP＝∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON＝QP，并证明．7．（2017•北京）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．求证：AD＝BC．8．（2017•北京）在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．（1）若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．9．（2016•北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM＝MN；（2）∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．10．（2016•北京）在等边△ABC中，（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA＝PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明PA＝PM，只需证△APM是等边三角形；想法2：在BA上取一点N，使得BN＝BP，要证明PA＝PM，只需证△ANP≌△PCM；想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA＝PM，只需证PA＝CK，PM＝CK…请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA＝PM（一种方法即可）．一年模拟新题一年模拟新题一．选择题（共22小题）1．（2020•海淀区二模）如图，在△ABC中，AB＝3cm，通过测量，并计算△ABC的面积，所得面积与下列数值最接近的是（）A．1.5cm2 B．2cm2 C．2.5cm2 D．3cm22．（2020•丰台区二模）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，如果AD平分∠BAC，那么∠ADB的度数是（）A．35° B．70° C．85° D．95°3．（2020•北京二模）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（）A． B． C． D．4．（2020•朝阳区模拟）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，点D是BC的中点，DE⊥AD交BC于点E．若AC＝1，则△BDE的面积为（）A．124 B．116 C．1125．（2020•通州区一模）以AB＝2cm，BC＝3cm，CD＝2cm，DA＝4cm为边画出四边形ABCD，可以画出的四边形个数为（）A．0 B．1 C．2 D．无限多6．（2020•平谷区一模）如图是6×6的正方形网格，点A，B均在格点上．如果点C也在此正方形网格的格点上，且∠ACB＝90°，则满足条件的点C共有（）A．3个 B．4个 C．6个 D．8个7．（2020•延庆区一模）如图所示，△ABC中AB边上的高线是（）A．线段DA B．线段CA C．线段CD D．线段BD8．（2020•平谷区一模）已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧DE，交射线OB于点F，连接CF；（2）以点F为圆心，CF长为半径作弧，交弧DE于点G；（3）连接FG，CG．作射线OG．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠BOG＝∠AOB B．若CG＝OC，则∠AOB＝30° C．OF垂直平分CG D．CG＝2FG9．（2020春•海淀区校级期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．2，3，4 C．5，12，13 D．1，2，310．（2020春•西城区校级期中）为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备举办新年晚会，大林搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，开始梯脚与墙角的距离为1.5米，但高度不够．要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动（人的高度忽略不计）（）A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米11．（2020春•东城区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，则AB＝（）A．2 B．3 C．33 12．（2020春•朝阳区期末）已知O为数轴原点，如图，（1）在数轴上截取线段OA＝2；（2）过点A作直线n垂直于OA；（3）在直线n上截取线段AB＝3；（4）以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴于点C．根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①OC＝5；②OB=13；③3＜OC＜4；④ACA．①② B．①③ C．②③ D．②④13．（2020春•海淀区校级期末）如图，E、F是四边形ABCD两边AB、CD的中点，G、H是两条对角线AC、BD的中点，若EH＝6，则以下说法不正确的是（）A．EH∥GF B．GF＝6 C．AD＝12 D．BC＝1214．（2020春•海淀区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，0），点B（0，3），点C在坐标轴上，若三角形ABC的面积为6，则符合题意的点C有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个15．（2020春•东城区期末）如图，等腰△ABC中，点P是底边BC上的动点（不与点B，C重合），过点P分别作AB、AC的平行线PM、PN，交AC、AB于点M、N，则下列数量关系一定正确的是（）A．PM+PN＝AB B．PM+PN＝BC C．PM+PN＝2BC D．PM+PN＝AB+BC16．（2020春•西城区期末）下列各图中，线段CD是△ABC的高的是（）A． B． C． D．17．（2020春•东城区期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1，1，1 B．2，3，4 C．1，2，3 D．5，12，1318．（2020春•大兴区期末）已知点A（1，0），B（0，2），点P在x轴上，且三角形PAB的面积是3，则点P的坐标是（）A．（0，﹣4） B．（﹣2，0） C．（0，﹣4）或（0，8） D．（4，0）或（﹣2，0）19．（2020春•东城区校级期末）如图，为测量池塘边上两点A，B之间的距离，可以在池塘的一侧选取一点O，连接OA，OB，并分别取它们的中点D，E，连接DE，现测出DE＝20米，那么A，B间的距离是（）A．30米 B．40米 C．60米 D．72米20．（2020春•东城区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点Q在直线BC上，且AQ＝2，则线段BQ的长为（）A．3 B．5 C．3+1或3−1 D．5+121．（2020春•海淀区校级期末）下列线段能组成直角三角形的一组是（）A．1，2，2 B．3，4，5 C．3，2，5 D．5，6，722．（2020春•西城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．若D，E分别为边AC，BC的中点，则DE的长为（）A．10 B．5 C．4 D．3二．填空题（共26小题）23．（2020•丰台区三模）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，若△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积等于．24．（2020•昌平区二模）如图所示的网格是正方形网格，正方形网格边长为1，点A，B，C均在格点上，则S△ABC＝．25．（2020•平谷区二模）如图，直线l∥m，点A、B是直线l上两点，点C、D是直线m上两点，连接AC、AD、BC、BD，AD、BC交于点O，设△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，则S1S2（填＞，＜或＝号）．26．（2020•平谷区二模）如图所示，边长为1正方形网格中，点A、B、C落在格点上，则∠ACB+∠ABC的度数为．27．（2020•顺义区二模）如图，∠MAN＝30°，点B在射线AM上，且AB＝2，则点B到射线AN的距离是．28．（2020•顺义区二模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，在△ABC外取点D，E，使AD＝AB，AE＝AC，且α+β＝∠B，连结DE．若AB＝4，AC＝3，则DE＝．29．（2020•西城区二模）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，若△ADE的面积为1，则△ABC的面积等于．30．（2020•东城区二模）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6cm，AC＝5cm，则△ACE的周长为cm．31．（2020•大兴区一模）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边的中点，若DE＝2，则BC边的长为．32．（2020•海淀区二模）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，过点B作BD⊥BC，交AC于点D，若AD＝1，则CD的长度为．33．（2020•大兴区一模）如图所示的网格是正方形网格，△ABC的顶点A、B、C恰好落在正方形网格中的格点上，则∠ABC＝°．34．（2020•通州区一模）把图1中长和宽分别为3和2的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为．35．（2020•北京一模）如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD+∠BDC＝°．36．（2020•朝阳区三模）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝．37．（2020•西城区一模）如图，△ABC的顶点A，B，C都在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则AC的长为，BD的长为．38．（2020•丰台区一模）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝°（点A，B，P是网格线交点）．39．（2020•房山区一模）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB﹣∠PCD＝°．（点A，B，C，D，P是网格线交点）40．（2020•西城区校级模拟）如图所示的网格是正方形网格，则∠ABC+∠ACB＝．（点A，B，C是网格线交点）．41．（2020•丰台区模拟）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C均在格点上，则∠BAC+∠BCA＝°．42．（2020•丰台区模拟）如图所示的网格是正方形网格，则∠BAC﹣∠DAE＝°（点A，B，C，D，E是网格线交点）．43．（2020•丰台区模拟）在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为：A（1，4）、B（0，3）、C（3，0），若P为x轴上一点，且∠BPC＝2∠ACB，则点P的坐标为．44．（2020•海淀区校级模拟）如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BAC+∠CDE＝°．45．（2020•东城区校级模拟）如图，用6个边长为1的小正方形构造的网格图，角α，β的顶点均在格点上，则α+β＝．46．（2020•北京模拟）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAC+∠ACD＝°．47．（2020•房山区二模）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何？”译文：“有一根竹子，原高二丈（1丈＝10尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为6尺，问折断处离地面的高度为多少尺？”如图，我们用点A，B，C分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度BC＝x尺，则可列方程为．48．（2020•朝阳区校级模拟）如图，小巷左右两侧是竖直的墙．一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7m，顶端距离地面2.4m．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2m，则小巷的宽度为m．三．解答题（共2小题）49．（2020•怀柔区二模）已知：点A，D，C在同一条直线上，AB∥CE，AC＝CE，∠ACB＝∠E，求证：△ABC≌△CDE．50．（2020•朝阳区三模）如图，在△ABE中，C，D是边BE上的两点，有下面四个关系式：（1）AB＝AE，（2）BC＝DE，（3）AC＝AD，（4）∠BAC＝∠EAD．请用其中两个作为已知条件，余下两个作为求证的结论，写出你的已知和求证，并证明．已知：求证：证明：51．（2020•朝阳区三模）如图，点D是射线BC上的一定点，点P是线段AB上一动点，连接PD，作BQ垂直PD，交直线PD于点Q．小腾根据学习函数的经验，对线段PB，PD，BQ的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点P在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段PB，PD，BQ的长度的几组值，如表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7BP/cm0.001.002.003.004.005.006.00PD/cm2.001.220.981.562.433.384.35BQ/cm0.000.781.941.821.561.411.31在PB，PD，BQ的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当PD＞BQ时，PB长度范围是cm．52．（2020•西城区二模）如图，在△ABC中，AE平分∠BAC交BC于点E，D是AB边上一动点，连接CD交AE于点P，连接BP．已知AB＝6cm，设B，D两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为y1cm，A，P两点间的距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y2，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0123456y1/cm2.492.642.883.253.804.656.00y2/cm4.594.243.803.252.510.00（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出函数y1，y2的图象：（3）结合函数图象，回答下列问题：①当AP＝2BD时，AP的长度约为cm；②当BP平分∠ABC时，BD的长度为cm．53．（2020•顺义区二模）已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为线段BC上一动点（点D不与点B、C重合），点B关于直线AD的对称点为E，作射线DE，过点C作BC的垂线，交射线DE于点F，连接AE．（1）依题意补全图形；（2）AE与DF的位置关系是；（3）连接AF，小昊通过观察、实验，提出猜想：发现点D在运动变化的过程中，∠DAF的度数始终保持不变，小昊把这个猜想与同学们进行了交流，经过测量，小昊猜想∠DAF＝°，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法：想法1：过点A作AG⊥CF于点G，构造正方形ABCG，然后可证△AFG≌△AFE…想法2：过点B作BG∥AF，交直线FC于点G，构造▱ABGF，然后可证△AFE≌△BGC…请你参考上面的想法，帮助小昊完成证明（一种方法即可）．54．（2020•房山区二模）点C为线段AB上一点，以AC为斜边作等腰Rt△ADC，连接BD，在Rt△ABD外侧，以BD为斜边作等腰Rt△BED，连接EC．（1）如图1，当∠DBA＝30°时：①求证：AC＝BD；②判断线段EC与EB的数量关系，并证明；（2）如图2，当0°＜∠DBA＜45°时，EC与EB的数量关系是否保持不变？对于以上问题，小牧同学通过观察、实验，形成了解决该问题的几种思路：想法1：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段BD垂线，交BE延长线于点G，连接CG；通过证明△ADB≌△CDG解决以上问题；想法2：尝试将点D为旋转中心，过点D作线段AB垂线，垂足为点G，连接EG．通过证明△ADB∽△GDE解决以上问题；想法3：尝试利用四点共圆，过点D作AB垂线段DF，连接EF，通过证明D、F、B、E四点共圆，利用圆的相关知识解决以上问题．请你参考上面的想法，证明EC＝EB（一种方法即可）．55．（2020•房山区二模）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB交BC于点E，F是BD中点．求证：EF平分∠BED．56．（2020•东城区二模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是△ABC外一点，点D与点C在直线AB的异侧，且点D，A，C不共线，连接AD，BD，CD．（1）如图1，当α＝60°．∠ADB＝30°时，画出图形，直接写出AD，BD，CD之间的数量关系；（2）当α＝90°，∠ADB＝45°时，利用图2，继续探究AD，BD，CD之间的数量关系并证明；（提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中）（3）当∠ADB=α2时，进一步探究AD，BD，CD之间的数量关系，并用含57．（2020•东城区二模）如图，在△ABC中．以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝36°，求∠DAC的度数．58．（2020•海淀区二模）如图1，等边三角形ABC中，D为BC边上一点，满足BD＜CD，连接AD，以点A为中心，将射线AD顺时针旋转60°，与△ABC的外角平分线BM交于点E．（1）依题意补全图1；（2）求证：AD＝AE；（3）若点B关于直线AD的对称点为F，连接CF．①求证：AE∥CF；②若BE+CF＝AB成立，直接写出∠BAD的度数为°．59．（2020•大兴区一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC，AB＝10，CD＝4，DM⊥AB于点M．连接BD并延长到E，使DE＝BD，作EF⊥AB，交BA的延长线于点F．（1）求MB的长；（2）求AF的长．60．（2020•大兴区一模）已知：如图，∠QAN为锐角，H、B分别为射线AN上的点，点H关于射线AQ的对称点为C，连接AC，CB．（1）依题意补全图；（2）CB的垂直平分线交AQ于点E，交BC于点F．连接CE，HE，EB．①求证：△EHB是等腰三角形；②若AC+AB=112AE，求cos∠61．（2020•北京一模）△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC=2，M为BC边上的一个动点（不与点B，C重合），连接AM，以点A为中心，将线段AM逆时针旋转135°，得到线段AN，连接BN（1）依题意补全图1；（2）求证：∠BAN＝∠AMB；（3）点P在线段BC的延长线上，点M关于点P的对称点为Q，写出一个PC的值，使得对于任意的点M，总有AQ＝BN，并证明．62．（2020•丰台区一模）已知∠AOB＝120°，点P为射线OA上一动点（不与点O重合），点C为∠AOB内部一点，连接CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，且点Q恰好落在射线OB上，不与点O重合．（1）依据题意补全图1；（2）用等式表示∠CPO与∠CQO的数量关系，并证明；（3）连接OC，写出一个OC的值，使得对于任意点P，总有OP+OQ＝4，并证明．63．（2020•东城区一模）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，M是CD边上一动点（不与D点重合），点D与点E关于AM所在的直线对称，连接AE，ME，延长CB到点F，使得BF＝DM，连接EF，AF．（1）依题意补全图1；（2）若DM＝1，求线段EF的长；（3）当点M在CD边上运动时，能使△AEF为等腰三角形，直接写出此时tan∠DAM的值．64．（2020•丰台区一模）如图，在△ABC中，∠CAB＝∠CBA，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E．求证：AD＝BE．65．（2020•平谷区一模）如图，OG平分∠MON，点A是OM边上一点，过点A作AB⊥OG于点B，C为线段OA中点，连结BC．求证：BC∥ON．66．（2020•海淀区一模）如图，已知等边三角形ABC，延长BA至点D，延长AC至点E，使AD＝CE，连接CD，BE．求证：△ACD≌△CBE．67．（2020•平谷区一模）如图1，P是△ABC外部的一定点，D是线段BC上一动点，连接PD交AC于点E．小明根据学习函数的经验，对线段PD，PE，CD的长度之间的关系进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）对于点D在BC上的不同位置，画图、测量，得到了线段PD，PE，CD的长度的几组值，如表：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7位置8位置9PD/cm2.562.432.382.432.673.163.544.455.61PE/cm2.562.011.671.471.341.321.341.401.48CD/cm0.000.450.931.402.113.003.544.686.00在PD，PE，CD的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出图2中所确定的两个函数的图象；（3）结合函数图象，解决问题：连接CP，当△PCD为等腰三角形时，CD的长度约为cm．（精确到0.1）68．（2020•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（t，0），B（t+2，0），C（n，1），若射线OC上存在点P，使得△ABP是以AB为腰的等腰三角形，就称点P为线段AB关于射线OC的等腰点．（1）如图，t＝0，①若n＝0，则线段AB关于射线OC的等腰点的坐标是；②若n＜0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1，求n的取值范围；（2）若n=33，且射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，则t的取值范围是69．（2020•西城区一模）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．点P在线段BC上，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，连接AP，AQ．过点B作BD⊥AQ于点D，交AP于点E，交AC于点F．K是线段AD上的一个动点（与点A，D不重合），过点K作GN⊥AP于点H，交AB于点G，交AC于点M，交FD的延长线于点N．（1）依题意补全图1；（2）求证：NM＝NF；（3）若AM＝CP，用等式表示线段AE，GN与BN之间的数量关系，并证明．70．（2020•西城区校级模拟）在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，PC=3PA，设∠APB＝α，∠BPC＝β（1）如图1，当点P在△ABC内，①若β＝153°，求α的度数；小明同学通过分析已知条件发现：△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且PC=3PA，从而容易联想到构造一个顶角为120°的等腰三角形．于是，他过点A作∠DAP＝120°，且AD＝AP，连接DP，DB，发现两个不同的三角形全等：≌再利用全等三角形及等腰三角形的相关知识可求出α请利用小王同学分析的思路，通过计算求得α的度数为；②小王在①的基础上进一步进行探索，发现α、β之间存在一种特殊的等量关系，请写出这个等量关系，并加以证明．（2）如图2，点P在△ABC外，那么a、β之间的数量关系是否改变？若改变，请直接写出它们的数量关系；若不变，请说明理由．71．（2020•海淀区校级模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上一点，DE∥AB．交AC于点E，连结DE，过点E作EF⊥BC于点F．求证：F为线段CD中点．72．（2020•东城区校级模拟）如图，在平面内给定△ABC，AB＝AC，点O到△ABC的三个顶点的距离均等于c（c为常数），到点O的距离等于c的所有点组成图形G，过点A作AB的垂线交BC于点E，交图形G于点D，延长DA，在DA的延长线上存在一点F，使得∠ABF＝∠ABC．（1）依题意补全图形；（2）判断直线BF与图形G交点的个数并证明；（3）若AD＝4，cos∠ABF=45，求73．（2020•丰台区模拟）已知C为线段AB中点，∠ACM＝α．Q为线段BC上一动点（不与点B重合），点P在射线CM上，连接PA，PQ，记BQ＝kCP．（1）若α＝60°，k＝1，①如图1，当Q为BC中点时，求∠PAC的度数；②直接写出PA、PQ的数量关系；（2）如图2，当α＝45°时．探究是否存在常数k，使得②中的结论仍成立？若存在，写出k的值并证明；若不存在，请说明理由．5年（2016-2020）中考1年模拟数学试题分项详解（北京专用）专题09三角形（共83题）五年中考真题五年中考真题一．填空题（共4小题）1．（2020•北京）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为：S△ABC＝S△ABD（填“＞”，“＝”或“＜”）．【分析】分别求出△ABC的面积和△ABD的面积，即可求解．【解析】∵S△ABC=12×2×4＝4，S△ABD＝2×5−12∴S△ABC＝S△ABD，故答案为：＝．2．（2020•北京）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上（不与点B，C重合）．只需添加一个条件即可证明△ABD≌△ACD，这个条件可以是BD＝CD（写出一个即可）．【分析】由题意可得∠ABC＝∠ACD，AB＝AC，即添加一组边对应相等，可证△ABD与△ACD全等．【解析】∵AB＝AC，∴∠ABD＝∠ACD，添加BD＝CD，∴在△ABD与△ACD中AB=AC∠ABD=∠ACD∴△ABD≌△ACD（SAS），故答案为：BD＝CD．3．（2019•北京）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝45°（点A，B，P是网格线交点）．【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．【解析】延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，故答案为：45．4．（2019•北京）如图，已知△ABC，通过测量、计算得△ABC的面积约为1.9cm2．（结果保留一位小数）【分析】过点C作CD⊥AB的延长线于点D，测量出AB，CD的长，再利用三角形的面积公式即可求出△ABC的面积．【解析】过点C作CD⊥AB的延长线于点D，如图所示．经过测量，AB＝2.2cm，CD＝1.7cm，∴S△ABC=12AB•CD=12故答案为：1.9．二．解答题（共6小题）5．（2020•北京）在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线AC上一动点，连接DE．过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE＝a，BF＝b，求EF的长（用含a，b的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由三角形的中位线定理得DE∥BC，DE=12BC，进而证明四边形CEDF是矩形得DE＝CF（2）过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，证明△ADE≌△BDM得AE＝BM，DE＝DM，由垂直平分线的判定定理得EF＝MF，进而根据勾股定理得结论．【解析】（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，∴DE∥BC，DE=12∵∠ACB＝90°，∴∠DEC＝90°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴四边形CEDF是矩形，∴DE＝CF=12∴CF＝BF＝b，∵CE＝AE＝a，∴EF=C（2）AE2+BF2＝EF2．证明：过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，则∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°，∵D点是AB的中点，∴AD＝BD，在△ADE和△BDM中，∠AED=∠BMD∠ADE=∠BDM∴△ADE≌△BDM（AAS），∴AE＝BM，DE＝DM，∵DF⊥DE，∴EF＝MF，∵BM2+BF2＝MF2，∴AE2+BF2＝EF2．6．（2019•北京）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH=3+1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP＝∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON＝QP，并证明．【分析】（1）根据题意画出图形．（2）由旋转可得∠MPN＝150°，故∠OPN＝150°﹣∠OPM；由∠AOB＝30°和三角形内角和180°可得∠OMP＝180°﹣30°﹣∠OPM＝150°﹣∠OPM，得证．（3）根据题意画出图形，以ON＝QP为已知条件反推OP的长度．由（2）的结论∠OMP＝∠OPN联想到其补角相等，又因为旋转有PM＝PN，已具备一边一角相等，过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，即可构造出△PDM≌△NCP，进而得PD＝NC，DM＝CP．此时加上ON＝QP，则易证得△OCN≌△QDP，所以OC＝QD．利用∠AOB＝30°，设PD＝NC＝a，则OP＝2a，OD=3a．再设DM＝CP＝x，所以QD＝OC＝OP+PC＝2a+x，MQ＝DM+QD＝2a+2x．由于点M、Q关于点H对称，即点H为MQ中点，故MH=12MQ＝a+x，DH＝MH﹣DM＝a，所以OH＝OD+DH=3a+a=3+1，求得a＝1，故OP＝2．证明过程则把推理过程反过来，以【解析】（1）如图1所示为所求．（2）设∠OPM＝α，∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN∴∠MPN＝150°，PM＝PN∴∠OPN＝∠MPN﹣∠OPM＝150°﹣α∵∠AOB＝30°∴∠OMP＝180°﹣∠AOB﹣∠OPM＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α∴∠OMP＝∠OPN（3）OP＝2时，总有ON＝QP，证明如下：过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2∴∠NCP＝∠PDM＝∠PDQ＝90°∵∠AOB＝30°，OP＝2∴PD=12∴OD=∵OH=3∴DH＝OH﹣OD＝1∵∠OMP＝∠OPN∴180°﹣∠OMP＝180°﹣∠OPN即∠PMD＝∠NPC在△PDM与△NCP中∠PDM=∠NCP∠PMD=∠NPC∴△PDM≌△NCP（AAS）∴PD＝NC，DM＝CP设DM＝CP＝x，则OC＝OP+PC＝2+x，MH＝MD+DH＝x+1∵点M关于点H的对称点为Q∴HQ＝MH＝x+1∴DQ＝DH+HQ＝1+x+1＝2+x∴OC＝DQ在△OCN与△QDP中OC=QD∠OCN=∠QDP=90°∴△OCN≌△QDP（SAS）∴ON＝QP7．（2017•北京）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D．求证：AD＝BC．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝C＝72°，根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠DBC＝36°，∠BDC＝72°，根据等腰三角形的判定即可得到结论．【解答】证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝72°，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴∠ABD＝∠DBC＝36°，∴∠A＝∠ABD，∴AD＝BD，∵∠C＝72°，∴∠BDC＝72°，∴∠C＝∠BDC，∴BC＝BD，∴AD＝BC．8．（2017•北京）在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．（1）若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC＝∠B＝45°，∠PAB＝45°﹣α，由直角三角形的性质即可得出结论；（2）连接AQ，作ME⊥QB，由AAS证明△APC≌△QME，得出PC＝ME，△MEB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论．【解析】（1）∠AMQ＝45°+α；理由如下：∵∠PAC＝α，△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠B＝45°，∠PAB＝45°﹣α，∵QH⊥AP，∴∠AHM＝90°，∴∠AMQ＝180°﹣∠AHM﹣∠PAB＝45°+α；（2）PQ=2MB连接AQ，作ME⊥QB，如图所示：∵AC⊥QP，CQ＝CP，∴∠QAC＝∠PAC＝α，∴∠QAM＝45°+α＝∠AMQ，∴AP＝AQ＝QM，在△APC和△QME中，∠MQE=∠PAC∠ACP=∠QEM∴△APC≌△QME（AAS），∴PC＝ME，∵△MEB是等腰直角三角形，∴12PQ=2∴PQ=2MB方法二：也可以延长AC到D，使得CD＝CQ．则易证△ADP≌△QBM．∴BM＝PD=2CD=2QC=即PQ=2MB9．（2016•北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM＝MN；（2）∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．【分析】（1）根据三角形中位线定理得MN=12AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=（2）首先证明∠BMN＝90°，根据BN2＝BM2+MN2即可解决问题．【解答】（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，MN=12在RT△ABC中，∵M是AC中点，∴BM=12∵AC＝AD，∴MN＝BM．（2）解：∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝30°，由（1）可知，BM=12AC＝AM＝∴∠BMC＝∠BAM+∠ABM＝2∠BAM＝60°，∵MN∥AD，∴∠NMC＝∠DAC＝30°，∴∠BMN＝∠BMC+∠NMC＝90°，∴BN2＝BM2+MN2，由（1）可知MN＝BM=12∴BN=10．（2016•北京）在等边△ABC中，（1）如图1，P，Q是BC边上的两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P，Q运动的过程中，始终有PA＝PM，小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明PA＝PM，只需证△APM是等边三角形；想法2：在BA上取一点N，使得BN＝BP，要证明PA＝PM，只需证△ANP≌△PCM；想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA＝PM，只需证PA＝CK，PM＝CK…请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA＝PM（一种方法即可）．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠APQ＝∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB＝∠AQC，根据三角形外角的性质即可得到结论；（2）如图2根据等腰三角形的性质得到∠APQ＝∠AQP，由邻补角的定义得到∠APB＝∠AQC，由点Q关于直线AC的对称点为M，得到AQ＝AM，∠OAC＝∠MAC，等量代换得到∠MAC＝∠BAP，推出△APM是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠APB＝∠AQC，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BAP＝∠CAQ＝20°，∴∠AQB＝∠APQ＝∠BAP+∠B＝80°；（2）如图2，∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴∠APB＝∠AQC，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BAP＝∠CAQ，（将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA＝PM，只需证PA＝CK，PM＝CK…请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA＝PM）∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴AQ＝AM，∠QAC＝∠MAC，∴∠MAC＝∠BAP，∴∠BAP+∠PAC＝∠MAC+∠CAP＝60°，∴∠PAM＝60°，∵AP＝AQ，∴AP＝AM，∴△APM是等边三角形，∴AP＝PM．证明△ABP≌△ACM≌△BCK一年模拟新题一年模拟新题一．选择题（共22小题）1．（2020•海淀区二模）如图，在△ABC中，AB＝3cm，通过测量，并计算△ABC的面积，所得面积与下列数值最接近的是（）A．1.5cm2 B．2cm2 C．2.5cm2 D．3cm2【分析】过C作CD⊥AB于D，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解析】过C作CD⊥AB于D，通过测量，CD＝1.7cm，∴S△ABC=12AB•CD=12故选：C．2．（2020•丰台区二模）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，如果AD平分∠BAC，那么∠ADB的度数是（）A．35° B．70° C．85° D．95°【分析】先根据三角形的内角和定理得到∠BAC的度数，再根据角平分线的性质得到∠BAD的度数，最后再由三角形的内角和定理求得∠ADB的度数．【解析】∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，∴∠BAC＝180°﹣60°﹣50°＝70°．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠∵在△ABD中，∠BDA＝180°﹣∠B﹣∠BAD．∴∠BDA＝180°﹣60°﹣35°＝85°故选：C．3．（2020•北京二模）如图，用三角板作△ABC的边AB上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据高线的定义即可得出结论．【解析】A，C，D都不是△ABC的边AB上的高，故选：B．4．（2020•朝阳区模拟）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，点D是BC的中点，DE⊥AD交BC于点E．若AC＝1，则△BDE的面积为（）A．124 B．116 C．112【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB＝∠B＝45°，根据勾股定理得到AD=AC2+CD2=52，过D作DH⊥AB于H【解析】∵在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，∴∠CAB＝∠B＝45°，∵点D是BC的中点，AC＝1，∴CD＝BD=12，AB∴AD=A过D作DH⊥AB于H，∴△BDH是等腰直角三角形，∴DH=22BD∴AH=∵∠EDH+∠DEH＝∠EDH+∠ADH＝90°，∴∠DEH＝∠ADH，∴△ADH∽△AED，∴ADAE∴AE=A∴BE＝AB﹣AE=2∴△BDE的面积=1故选：A．5．（2020•通州区一模）以AB＝2cm，BC＝3cm，CD＝2cm，DA＝4cm为边画出四边形ABCD，可以画出的四边形个数为（）A．0 B．1 C．2 D．无限多【分析】根据三角形的三边关系和四边形的不稳定性即可得到结论．【解析】以AB＝2cm，BC＝3cm，CD＝2cm，DA＝4cm为边画出四边形ABCD，可以画出无限多个四边形，故选：D．6．（2020•平谷区一模）如图是6×6的正方形网格，点A，B均在格点上．如果点C也在此正方形网格的格点上，且∠ACB＝90°，则满足条件的点C共有（）A．3个 B．4个 C．6个 D．8个【分析】根据勾股定理求出AB的长，根据圆周角定理解答即可．【解析】由勾股定理得AB=22+以AB的中点为圆心，以5为半径作圆与正方形网格交于6个格点，如图所示，以6个格点为C，由圆周角定理可知，∠ACB＝90°，则满足条件的点C共有6个，故选：C．7．（2020•延庆区一模）如图所示，△ABC中AB边上的高线是（）A．线段DA B．线段CA C．线段CD D．线段BD【分析】直接利用高线的概念（从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高）得出答案．【解析】如图，∵CD⊥BD于D，∴△ABC中AB边上的高线是线段CD．故选：C．8．（2020•平谷区一模）已知锐角∠AOB如图，（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧DE，交射线OB于点F，连接CF；（2）以点F为圆心，CF长为半径作弧，交弧DE于点G；（3）连接FG，CG．作射线OG．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠BOG＝∠AOB B．若CG＝OC，则∠AOB＝30° C．OF垂直平分CG D．CG＝2FG【分析】依据作图即可得出△OCF≌△OGF（SSS），即可得到对应角相等；再根据等边三角形的性质，即可得到∠AOB＝30°；依据OC＝OE，FC＝FG，即可得出OF垂直平分CG，CG＝2MG＜2FG．【解析】由作图可得，OC＝OE，FC＝FG，OF＝OF，∴△OCF≌△OGF（SSS），∴∠BOG＝∠AOB，故A选项正确；若CG＝OC＝OG，则△OCG是等边三角形，∴∠COG＝60°，∴∠AOB=12∠COG＝30°，故∵OC＝OE，FC＝FG，∴OF垂直平分CG，故C选项正确；∴CG＝2MG＜2FG，故D选项错误；故选：D．9．（2020春•海淀区校级期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．2，3，4 C．5，12，13 D．1，2，3【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．【解析】A、42+52≠62，故不是直角三角形；B、22+32≠42，故不是直角三角形；C、52+122＝132，故是直角三角形；D、12+（2）2≠32，故不是直角三角形；故选：C．10．（2020春•西城区校级期中）为了迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备举办新年晚会，大林搬来一架高为2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米的墙上，开始梯脚与墙角的距离为1.5米，但高度不够．要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动（人的高度忽略不计）（）A．0.7米 B．0.8米 C．0.9米 D．1.0米【分析】仔细分析题意得：梯子、地面、墙刚好形成一直角三角形，梯高为斜边，利用勾股定理解此直角三角形即可．【解析】梯脚与墙角距离：2．5∵开始梯脚与墙角的距离为1.5米，∴要想正好挂好拉花，梯脚应向前移动：1.5﹣0.7＝0.8（米）．故选：B．11．（2020春•东城区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，则AB＝（）A．2 B．3 C．33 【分析】根据含30°角的直角三角形的性质定理得出AB＝2BC，代入求出即可．【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∵BC＝1，∴AB＝2，故选：A．12．（2020春•朝阳区期末）已知O为数轴原点，如图，（1）在数轴上截取线段OA＝2；（2）过点A作直线n垂直于OA；（3）在直线n上截取线段AB＝3；（4）以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴于点C．根据以上作图过程及所作图形，有如下四个结论：①OC＝5；②OB=13；③3＜OC＜4；④ACA．①② B．①③ C．②③ D．②④【分析】由勾股定理求得OB，进而得OC，AC，再判断结论的正误．【解析】根据题意得，OA＝2，AB＝3，∠OAB＝90°，∴OB=2故②正确；∵OC＝OB，∴OC=13∴③正确，①错误；∴AC＝OC﹣OA=13故④错误；故选：C．13．（2020春•海淀区校级期末）如图，E、F是四边形ABCD两边AB、CD的中点，G、H是两条对角线AC、BD的中点，若EH＝6，则以下说法不正确的是（）A．EH∥GF B．GF＝6 C．AD＝12 D．BC＝12【分析】由三角形中位线定理可得EH∥AD，EF=12AD，GF∥AD，GF=12AD，可得EH∥GF，EF＝GF＝6，【解析】∵E、F是AB、CD的中点，G、H是AC、BD的中点，∴EH∥AD，EF=12AD，GF∥AD，GF=∴EH∥GF，EF＝GF＝6，AD＝2EF＝12，故选：D．14．（2020春•海淀区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，0），点B（0，3），点C在坐标轴上，若三角形ABC的面积为6，则符合题意的点C有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】分类讨论：当C点在y轴上，设C（0，t），根据三角形面积公式得到12|t﹣3|•2＝6，当C点在x轴上，设C（m，0），根据三角形面积公式得到12|m+2|•3＝6，然后分别解绝对值方程求出t和m即可得到【解析】分两种情况：①当C点在y轴上，设C（0，t），∵三角形ABC的面积为6，∴12•|t解得t＝9或﹣3．∴C点坐标为（0，﹣3），（0，9），②当C点在x轴上，设C（m，0），∵三角形ABC的面积为6，∴12•|m解得m＝2或﹣6．∴C点坐标为（2，0），（﹣6，0），综上所述，C点有4个，故选：D．15．（2020春•东城区期末）如图，等腰△ABC中，点P是底边BC上的动点（不与点B，C重合），过点P分别作AB、AC的平行线PM、PN，交AC、AB于点M、N，则下列数量关系一定正确的是（）A．PM+PN＝AB B．PM+PN＝BC C．PM+PN＝2BC D．PM+PN＝AB+BC【分析】证明∠B＝∠BPN，得PN＝BN，证明四边形AMPN为平行四边形得PM＝AN，进而便可得PM+PN＝AB．【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵PN∥AC，∴∠BPN＝∠C＝∠B，∴PN＝BN，∵PM∥AB，PN∥AC，∴四边形AMPN是平行四边形，∴PM＝AN，∴PM+PN＝AN+BN＝AB，故选：A．16．（2020春•西城区期末）下列各图中，线段CD是△ABC的高的是（）A． B． C． D．【分析】根据三角形的高的定义即可求解．【解析】线段CD是△ABC的高的是．故选：B．17．（2020春•东城区期末）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．1，1，1 B．2，3，4 C．1，2，3 D．5，12，13【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解析】A、12+12≠12，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；C、12+22≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意；D、52+122＝132，能构成直角三角形，故符合题意．故选：D．18．（2020春•大兴区期末）已知点A（1，0），B（0，2），点P在x轴上，且三角形PAB的面积是3，则点P的坐标是（）A．（0，﹣4） B．（﹣2，0） C．（0，﹣4）或（0，8） D．（4，0）或（﹣2，0）【分析】根据三角形的面积求出AP的长，再分点P在点A的左边与右边两种情况讨论求解．【解析】∵点B（0，2），∴S△PAB=12解得AP＝3，若点P在点A的左边，则OP＝AP﹣OA＝3﹣1＝2，此时，点P的坐标为（﹣2，0），过点P在点A的右边，则OP＝AP+OA＝3+1＝4，此时，点P的坐标为（4，0），综上所述，点P的坐标为（4，0）或（﹣2，0），故选：D．19．（2020春•东城区校级期末）如图，为测量池塘边上两点A，B之间的距离，可以在池塘的一侧选取一点O，连接OA，OB，并分别取它们的中点D，E，连接DE，现测出DE＝20米，那么A，B间的距离是（）A．30米 B．40米 C．60米 D．72米【分析】利用三角形的中位线定理解决问题即可．【解析】连接AB，∵OD＝DA，OE＝EB，∴AB＝2DE＝40（米），故选：B．20．（2020春•东城区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点Q在直线BC上，且AQ＝2，则线段BQ的长为（）A．3 B．5 C．3+1或3−1 D．5+1【分析】由勾股定理求出CQ，分两种情况，即可得出答案．【解析】如图所示：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点Q在直线BC上，且AQ＝2，∴CQ=A当点Q在BC延长线上时，BQ＝CQ+BC=3当点Q在CB延长线上时，BQ＝CQ﹣BC=3故选：C．21．（2020春•海淀区校级期末）下列线段能组成直角三角形的一组是（）A．1，2，2 B．3，4，5 C．3，2，5 D．5，6，7【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．【解析】A、∵12+22≠22，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能组成直角三角形；B、∵32+42＝52，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故能组成直角三角形；C、∵（3）2+22≠（5）2，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能组成直角三角形；D、∵52+62≠72，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能组成直角三角形．故选：B．22．（2020春•西城区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．若D，E分别为边AC，BC的中点，则DE的长为（）A．10 B．5 C．4 D．3【分析】利用勾股定理求出AB，再利用三角形的中位线定理求出DE即可．【解析】∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB=A∵AD＝DC，CE＝EB，∴DE=12故选：B．二．填空题（共26小题）23．（2020•丰台区三模）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，若△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积等于3．【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE=12BC，证明△ADE∽△【解析】∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=12∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC=（DE∵△ADE的面积为1，∴△ABC的面积为4，∴四边形DBCE的面积等于3，故答案为：3．24．（2020•昌平区二模）如图所示的网格是正方形网格，正方形网格边长为1，点A，B，C均在格点上，则S△ABC＝3．【分析】根据三角形面积=1【解析】观察△ABC，底边AC是3，底边AC上的高是2，面积为：S△ABC=1故答案为：3．25．（2020•平谷区二模）如图，直线l∥m，点A、B是直线l上两点，点C、D是直线m上两点，连接AC、AD、BC、BD，AD、BC交于点O，设△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2，则S1＝S2（填＞，＜或＝号）．【分析】根据同底等高的两个三角形面积相等得到S△ACD＝S△BCD，结合图形计算，得到答案．【解析】∵l∥m，∴S△ACD＝S△BCD，∴S△ACD﹣S△OCD＝S△BCD﹣S△OCD，即S△AOC＝S△BOD，∴S1＝S2，故答案为：＝．26．（2020•平谷区二模）如图所示，边长为1正方形网格中，点A、B、C落在格点上，则∠ACB+∠ABC的度数为45°．【分析】根据三角形外角的性质，等腰直角三角形的判定与性质即可求解．【解析】如图，∠ACB+∠ABC＝∠CAD，∵∠ADC＝90°，AD＝CD＝3，∴∠CAD＝45°，∴∠ACB+∠ABC＝45°．故答案为：45°．27．（2020•顺义区二模）如图，∠MAN＝30°，点B在射线AM上，且AB＝2，则点B到射线AN的距离是1．【分析】如图，过点B作BC⊥AN于点C，则BC线段的长度即为所求，根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”解答．【解析】如图，过点B作BC⊥AN于点C，∵在直角△ABC中，∠A＝30°，AB＝2，∴BC=12AB=12×2=故答案是：1．28．（2020•顺义区二模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，在△ABC外取点D，E，使AD＝AB，AE＝AC，且α+β＝∠B，连结DE．若AB＝4，AC＝3，则DE＝5．【分析】根据直角三角形的性质得到∠DAE＝90°，根据勾股定理计算，得到答案．【解析】∵∠C＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵α+β＝∠B，∴α+β+∠BAC＝90°，即∠DAE＝90°，∵AD＝AB＝4，AE＝AC＝3，∴DE=A故答案为：5．29．（2020•西城区二模）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，若△ADE的面积为1，则△ABC的面积等于4．【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE=12BC，证明△ADE∽△【解析】∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=12∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC=（DE∵△ADE的面积为1，∴△ABC的面积为4，故答案为：4．30．（2020•东城区二模）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC＝6cm，AC＝5cm，则△ACE的周长为11cm．【分析】根据ED垂直平分AB，可以得到EA＝EC，然后即可得到EA+EC的长等于BC的长，从而可以求得△AEC的周长．【解析】∵ED垂直平分AB，∴EA＝EB，∵BC＝6cm，AC＝5cm，∴EB+EC＝6cm，∴EA+EC＝6cm，∴EA+EC+AC＝6+5＝11cm，即△ACE的周长是11cm，故答案为：11．31．（2020•大兴区一模）如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边的中点，若DE＝2，则BC边的长为4．【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【解析】∵D、E分别为AB、AC边的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE＝4，故答案为：4．32．（2020•海淀区二模）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，过点B作BD⊥BC，交AC于点D，若AD＝1，则CD的长度为2．【分析】由BD⊥BC，推出∠CDB＝90°，所以∠ABD＝∠ABC﹣∠CDB＝120°﹣90°＝30°，由AB＝BC，∠ABC＝120°，推出∠A＝∠C＝30°，所以∠A＝∠ABD，DB＝AD＝1，在Rt△CBD中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半．CD＝2AD＝2．【解析】∵BD⊥BC，∴∠CDB＝90°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CDB＝120°﹣90°＝30°，∵AB＝BC，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，∴∠A＝∠ABD，∴DB＝AD＝1，在Rt△CBD中，∵∠C＝30°，∴CD＝2AD＝2．故答案为2．33．（2020•大兴区一模）如图所示的网格是正方形网格，△ABC的顶点A、B、C恰好落在正方形网格中的格点上，则∠ABC＝135°．【分析】根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【解析】如图，∵△ABD是等腰直角三角形，∴∠ABD＝45°，∴∠ABC＝180°﹣45°＝135°，故答案为：135．34．（2020•通州区一模）把图1中长和宽分别为3和2的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成图2所示的正方形，则图2中小正方形ABCD的面积为1．【分析】根据线段的和差关系可求图2中小正方形ABCD的边长，再根据正方形面积公式即可求解．【解析】3﹣2＝1，1×1＝1．故图2中小正方形ABCD的面积为1．故答案为：1．35．（2020•北京一模）如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD+∠BDC＝90°．【分析】易证得Rt△AEC≌Rt△DAB，即可证得∠ACE＝∠ABD，进而证得∠EAC+∠ABD＝90°，得到∠AFB＝90°，即∠CFD＝90°，即可证得∠ACD+∠BDC＝90°．【解析】在Rt△AEC和Rt△DAB中AE=ADAC=BD∴Rt△AEC≌Rt△DAB（HL），∴∠ACE＝∠ABD，∵∠EAC+∠ACE＝90°，∴∠EAC+∠ABD＝90°，∴∠AFB＝90°，即∠CFD＝90°，∴∠ACD+∠BDC＝90°，故答案为90．36．（2020•朝阳区三模）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2＝45°．【分析】直接利用网格得出对应角∠1＝∠3，进而得出答案．【解析】如图所示：由题意可得：∠1＝∠3，则∠1+∠2＝∠2+∠3＝45°．故答案为：45°．37．（2020•西城区一模）如图，△ABC的顶点A，B，C都在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则AC的长为5，BD的长为3．【分析】根据图形和三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可．【解析】如图所示：由勾股定理得：AC=3S△ABC=12BC×AE=12∵AE＝3，BC＝5，即12解得：BD＝3．故答案为：5，3．38．（2020•丰台区一模）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝45°（点A，B，P是网格线交点）．【分析】根据图形，可知∠CPA＝45°，∠CPA＝∠PAB+∠PBA，从而可以得到∠PAB+∠PBA的值．【解析】∵∠CPA＝45°，∠CPA＝∠PAB+∠PBA，∴∠PAB+∠PBA＝45°，故答案为：45．39．（2020•房山区一模）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB﹣∠PCD＝45°．（点A，B，C，D，P是网格线交点）【分析】连接AE，PE，由图可知，∠EAB＝∠PCD，则∠PAB﹣∠PCD＝∠PAB﹣∠EAB＝∠PAE，然后根据勾股定理可以求得PA、PE、AE的长，再利用勾股定理的逆定理可以判断△PAE的形状，从而可以得到∠PAE的度数，然后即可得到∠PAB﹣∠PCD的度数．【解析】连接AE，PE，则∠EAB＝∠PCD，故∠PAB﹣∠PCD＝∠PAB﹣∠EAB＝∠PAE，设正方形网格的边长为a，则PA=a2+(2a)2=5a∵PA2+PE2＝5a2+5a2＝10a2＝AE2，∴△APE是直角三角形，∠APE＝90°，又∵PA＝PE，∴∠PAE＝∠PEA＝45°，∴∠PAB﹣∠PCD＝45°，故答案为：45．40．（2020•西城区校级模拟）如图所示的网格是正方形网格，则∠ABC+∠ACB＝45°．（点A，B，C是网格线交点）．【分析】延长BA交格点于D，连接CD，根据勾股定理得到AD2＝CD2＝1+22＝5，AC2＝12+32＝10，求得AD2+CD2＝AC2，于是得到∠ADC＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．【解析】延长BA交格点于D，连接CD，则AD2＝CD2＝1+22＝5，AC2＝12+32＝10，∴AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝45°．故答案为：45°．41．（2020•丰台区模拟）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C均在格点上，则∠BAC+∠BCA＝45°．【分析】构建等腰直角三角形ABD，根据三角形外角的性质可知，∠BAC+∠BCA＝∠ABD，可得结论．【解析】过点A作直线BC的垂线，垂足为D，则AD＝BD，∵∠ADB＝90°，∴∠ABD＝45°，∴∠BAC+∠BCA＝∠ABD＝45°，故答案为：45．42．（2020•丰台区模拟）如图所示的网格是正方形网格，则∠BAC﹣∠DAE＝45°（点A，B，C，D，E是网格线交点）．【分析】如图，连接CG、AG，根据勾股定理的逆定理可得∠CAG＝90°，从而知△CAG是等腰直角三角形，根据平行线的性质和三角形全等，可知：∠BAC﹣∠DAE＝∠ACG，即可得解．【解析】如图，连接CG、AG，由勾股定理得：AC2＝AG2＝12+22＝5，CG2＝12+32＝10，∴AC2+AG2＝CG2，∴∠CAG＝90°，∴△CAG是等腰直角三角形，∴∠ACG＝45°，∵CF∥AB，∴∠ACF＝∠BAC，在△CFG和△ADE中，∵CF=AD∠CFG=∠ADE=90°∴△CFG≌△ADE（SAS），∴∠FCG＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAE＝∠ACF﹣∠FCG＝∠ACG＝45°，故答案为：45．43．（2020•丰台区模拟）在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为：A（1，4）、B（0，3）、C（3，0），若P为x轴上一点，且∠BPC＝2∠ACB，则点P的坐标为（﹣4，0）或（4，0）．【分析】由已知可得ABC是直角三角形，作△ABC关于BC的轴对称图形，得到△BCN，过点A作AM⊥NC，由三角形ANC面积关系，可得12AM•NC=12×2AB•BC，AM=655，MC=855，可求tan∠ACN＝tan2∠ACB【解析】如图，∵A（1，4）、B（0，3）、C（3，0），∴AB=2，BC＝32，AC＝25，△ABC是直角三角形，∠ABC作△ABC关于BC的轴对称图形，得到△BCN，过点A作AM⊥NC，由三角形ANC面积关系，可得12AM•NC=12×2∴25AM＝2×2×3∴AM=6∴MC=8∴tan∠ACN＝tan2∠ACB=3∵∠BPC＝2∠ACB，∴tan∠BPC=3∴PO＝4，∴P（﹣4，0）或P（4，0），故答案为（﹣4，0）或（4，0）．44．（2020•海淀区校级模拟）如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BAC+∠CDE＝45°．【分析】连接AD，构建等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得：∠ADC＝90°，∠DAC＝∠ACD＝45°，最后根据平行线的性质可得结论．【解析】连接AD，由勾股定理得：AD2＝12+32＝10，CD2＝12+32＝10，AC2＝22+42＝20，∴AD＝CD，AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝∠ACD＝45°，∵AB∥DE，∴∠BAD+∠ADE＝180°，∴∠BAC+∠CDE＝180°﹣90°﹣45°＝45°，故答案为：45°．45．（2020•东城区校级模拟）如图，用6个边长为1的小正方形构造的网格图，角α，β的顶点均在格点上，则α+β＝45°．【分析】根据勾股定理列式求出EB2、EC2、BC2，然后利用勾股定理逆定理和全等三角形的判定与性质解答，可得答案．【解析】如图，由勾股定理得，EB2＝12+22＝5，EC2＝12+22＝5，BC2＝12+32＝10，∴EB2+EC2＝BC2，∴△EBC是直角三角形，∵EB＝EC，∴△EBC是等腰直角三角形，由SAS可证△BME≌△ANC，∴∠α＝∠EBA，∴∠α+∠β＝∠EBA+∠β＝45°．故答案为：45°．46．（2020•北京模拟）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D均落在格点上，则∠BAC+∠ACD＝90°．【分析】证明△DCE≌△ABD（SAS），得∠CDE＝∠DAB，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论．【解析】在△DCE和△ABD中，∵CE=BD=1∠E=∠ADB=90°∴△DCE≌△ABD（SAS），∴∠CDE＝∠DAB，∵∠CDE+∠ADC＝∠ADC+∠DAB＝90°，∴∠AFD＝90°，∴∠BAC+∠ACD＝90°，故答案为：90．47．（2020•房山区二模）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高二丈，末折抵地，去本六尺，问折者高几何？”译文：“有一根竹子，原高二丈（1丈＝10尺），现被风折断，竹梢触地面处与竹根的距离为6尺，问折断处离地面的高度为多少尺？”如图，我们用点A，B，C分别表示竹梢，竹根和折断处，设折断处离地面的高度BC＝x尺，则可列方程为x2+62＝（20﹣x）2．【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（20﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．【解析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（20﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+62＝（20﹣x）2．故答案为x2+62＝（20﹣x）2．48．（2020•朝阳区校级模拟）如图，小