2025届新高考数学冲刺精准复习正态分布

2025届新高考数学冲刺精准复习正态分布01课前自学02课堂导学目录【课时目标】了解正态分布在实际生活中的意义；掌握正态密度曲线

的特征；会求服从正态分布的随机变量的概率；能用正态分布在区间上

的概率解决简单的实际问题.【考情概述】正态分布是一种重要的概率分布，属于高考中的新增考

点，也是新的热点，难度不大，常与其他知识交汇考查，体现实际应用

价值.

知识梳理1.正态曲线

上方x

＝μ

③

曲线在

处达到峰值

⁠.④

当｜

x

｜无限增大时，曲线无限接近

⁠.⑤

曲线与

x

轴之间的面积为

⁠.⑥

当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着

的变化而沿

x

轴平移.⑦

当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ

，曲线越“瘦高”，表

示总体的分布越集中；σ

，曲线越“矮胖”，表示总体的分布

越分散.x

＝μ

x

轴1

μ

越小越大

X

～

N

（μ，σ2）均值标准差μ－σ

μ＋σ

μ－2σ

μ＋2σ

μ－3σ

μ＋3σ

回归课本1.判断：（1）

（RA选三P85思考改编）因为正态曲线的形状都是相似的，所以

它的形状与参数μ和σ无关.

（

✕

）（2）

（RA选三P84定义改编）由于正态密度曲线与

x

轴不相交，且向

两边无限延伸，所以曲线与

x

轴之间的面积大于1.

（

✕

）（3）

（RA选三P86性质改编）若

X

～

N

（μ，σ2），则

P

（μ－σ＜

X

≤μ＋σ）＞

P

（μ－σ＜

X

＜μ＋σ）.

（

✕

）（4）

（RA选三P86性质改编）已知

X

～

N

（μ，σ2），若

P

（

X

＜

a

）

＝

P

（

X

＞

b

），则

a

＋

b

＝2μ.

（

√

）✕✕✕√2.（RA选三教参P128本章学业水平测试题第4题）设随机变量

X

～

N

（2，σ2），

P

（0≤

X

＜4）＝0.3，则

P

（

X

＜0）的值为（

C

）A.0.65B.0.70C.0.35D.0.253.（RA选三P87习题7.5第2题改编）若随机变量

X

～

N

（0，22），

Y

～

N

（0，32），记

a

＝

P

（｜

X

｜≤1），

b

＝

P

（｜

Y

｜≤1），则

a

，

b

的大小关系是（

C

）A.

a

＜

b

B.

a

＝

b

C.

a

＞

b

D.无法比较CC4.（多选）（RA选三P85性质改编）下列说法正确的是（

ABD

）C.若

X

～

N

（μ，σ2），则

P

（

X

≤

a

）随

a

的增大先增大后减小D.若

X

～

N

（μ，σ2），

a

＞0，则

P

（μ＜

X

≤μ＋

a

）随着σ的增大而减

小ABD5.（RA选三教参P129本章学业水平测试题第8题）某学校高三年级数学

学业质量检测考试成绩

X

～

N

（80，25），如果规定成绩大于或等于85

分为A等，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的成绩为A等的

概率是

⁠.0.15865

A.10，8B.10，2C.8，10D.2，10B

（2）

某项调查结果的正态曲线如图所示，根据图中数据，可得

P

（｜

X

－47｜≤27）的值约为（参考数据：

P

（｜

X

－μ｜≤σ）≈0.6827，

P

（｜

X

－μ｜≤2σ）≈0.9545，

P

（｜

X

－μ｜≤3σ）≈0.9973）

（

A

）AA.0.9973B.0.9638C.0.8819D.0.9936解：由题图可知，σ＝9，μ＝47，所以

P

（｜

X

－47｜≤27）＝

P

（｜

X

－μ｜≤3σ）≈0.9973.

A.

X

～

N

（

b

，

a

）B.

X

～

N

（2

a

，

a

2）C.

f

（

a

）＝

g

（2

a

）D.

f

（2

a

）＋

g

（2

a

）＝

f

（

a

）＋

g

（

a

）BCD[对点训练]

A

A.

P

（

Y

≥μ2）≥

P

（

Y

≥μ1）B.

P

（

X

≤σ2）≤

P

（

X

≤σ1）C.函数

F

（

t

）＝

P

（

X

＞

t

）在R上单调递增D.

P

（μ1－2σ1＜

X

＜μ1＋2σ1）＝

P

（μ2－2σ2＜

Y

＜μ2＋2σ2）D解：由正态密度曲线的性质，得

X

，

Y

的正态密度曲线分别关于直线

x

＝μ1，

x

＝μ2对称.由题图，得μ1＜μ2，所以

P

（

Y

≥μ2）＜

P

（

Y

≥μ1）.故A错误.由题图，得

X

的正态密度曲线较

Y

的正态密度曲线“瘦

高”，所以0＜σ1＜σ2.所以

P

（

X

≤σ2）＞

P

（

X

≤σ1）.故B错误.由题

图，得函数

F

（

t

）＝

P

（

X

＞

t

）在R上单调递减.故C错误.根据3σ原则

可知，

P

（μ1－2σ1＜

X

＜μ1＋2σ1）＝

P

（μ2－2σ2＜

Y

＜μ2＋2σ2）.故D

正确.（3）

（多选）设随机变量

X

～

N

（0，1），

f

（

x

）＝

P

（

X

≤

x

），

其中

x

＞0，则下列结论正确的是（

ACD

）A.

f

（－

x

）＝1－

f

（

x

）B.

f

（2

x

）＝2

f

（

x

）C.

f

（

x

）在（0，＋∞）上是增函数D.

P

（｜

X

｜≤

x

）＝2

f

（

x

）－1ACD解：因为随机变量

X

服从正态分布

N

（0，1），所以正态曲线关于直线

x

＝0对称.因为

f

（

x

）＝

P

（

X

≤

x

），所以

f

（－

x

）＝

P

（

X

≤－

x

）＝

P

（

X

≥

x

）＝1－

f

（

x

）.故A正确.因为当

x

＝1时，

f

（1）＝

P

（

X

≤1）＞0.5，所以2

f

（1）＞1.又因为

f

（2）＜1，所以

f

（2）≠2

f

（1），即

f

（2

x

）＝2

f

（

x

）不成立.故B错误.结合正态曲线的性质，

易得

f

（

x

）在（0，＋∞）上是增函数.故C正确.

P

（｜

X

｜≤

x

）＝

P

（－

x

≤

X

≤

x

）＝1－2

f

（－

x

）＝1－2[1－

f

（

x

）]＝2

f

（

x

）－1.故

D正确.

ACD[变式演练]A.

Y

的数据较

X

的更集中C.

P

（

X

≤

c

）＜

P

（

Y

≤

c

）D.

P

（

X

＞

c

）＋

P

（

Y

≤

c

）＞1

（2）

假设生产状态正常，求

P

（54≤

Z

≤85.5）；

②

若

X

～

N

（μ，σ2），则

P

（｜

X

－μ｜≤σ）≈0.6827，

P

（｜

X

－

μ｜≤2σ）≈0.9545，

P

（｜

X

－μ｜≤3σ）≈0.9973.解：（3）

因为μ－3σ＝43.5，μ＋3σ

＝106.5，所以30∉[μ－3σ，μ＋3σ].又

因为

P

（μ－3σ≤

Z

≤μ＋3σ）

≈0.9973，所以该事件发生是小概率

的.所以这条生产线工作不正常.总结提炼

1.解决正态分布问题有三个关键点：（1）

对称轴为直线

x

＝μ；（2）

标准差σ；（3）

分布区间.2.利用对称性可求指定范围内的概率：由μ，σ，将分布区间的特征进

行转化，使分布区间转化为3σ内的特殊区间，从而求出所求概率.[对点训练]2.（2023·扬州模考）随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络

销售的新渠道.在凤梨销售旺季，某凤梨基地随机抽查了100个购物群的

销售情况，各购物群销售凤梨的数量情况如下：凤梨数量/盒[100，200）[200，300）[300，400）[400，500）[500，600]购物群数量/个12

m

2032

m

（1）

求实数

m

的值，并用组中值估计这100个购物群销售凤梨总量的平

均数.

（2）

假设所有购物群销售凤梨的数量

X

（单位：盒）服从正态分布

N

（μ，σ2）（σ＞0），其中μ为（1）中的平均数，σ2＝12100.若该凤梨基

地参与销售的购物群约有1000个，销售凤梨的数量不小于266盒且不大

于596盒的群为“一级群”，销售数量小于266盒的购物群为“二级

群”，销售数量大于596盒的购物群为“优质群”.该凤梨基地对每个

“优质群”奖励1000元，每个“一级群”奖励200元，“二级群”不奖

励，则该凤梨基地大约需要准备多少资金（群的个数按四舍五入取整

数）？参考数据：若

X

～

N

（μ，σ2），则

P

（｜

X

－μ｜≤σ）≈0.6827；

P

（｜

X

－μ｜≤2σ）≈0.9545；

P

（｜

X

－μ｜≤3σ）≈0.9973）.

对接高考1.（2022·新高考Ⅱ卷）