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文档简介

方法五构造法构造法就是利用已知条件和结论的特别性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较困难的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础学问和基本方法的积累，须要从一般的方法原理中进行提炼概括，主动联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中找寻灵感，构造出相应的函数、概率、几何等详细的数学模型，使问题快速解决．5.(1)[2024·全国甲卷]已知a＝，b＝cos，c＝4sin，则()A．c>b>aB．b>a>cC．a>b>cD．a>c>b(2)如图，已知球O的面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________．对接训练9.设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－1，0)C．(－∞，－1)D．(0，1)10．已知正四面体ABCD的外接球的体积为8π，则这个正四面体的表面积为________.方法五构造法[例5](1)解析：a－c＝－4sin＝1－－.不妨设f(x)＝1－x2－＝.令h(x)＝x－x3－sinx，则h′(x)＝1－x2－cosx．令g(x)＝1－x2－cosx，则g′(x)＝－3x＋sinx．当x∈时，sinx＜3x，所以当x∈时，g′(x)＜0，所以g(x)在上单调递减，所以当x∈时，g(x)＜g(0)＝0，所以当x∈时，h′(x)＜0，所以h(x)在上单调递减．所以当x∈时，h(x)＜h(0)＝0，所以当x∈时，f(x)＜0，所以f＜0，即a＜c.结合四个选项，解除B，C，D.故选A.(2)解析：如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以CD＝＝2R，所以R＝，故球O的体积V＝＝π.答案：Aπ对接训练9．解析：构造函数g(x)＝，则g′(x)＝，由题意知，当x>0时，g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上是减函数．∵f(x)是奇函数，f(－1)＝0，∴f(1)＝－f(－1)＝0.∴g(1)＝＝0，∴当x∈(0，1)时，g(x)>0，从而f(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g(x)<0，从而f(x)<0.又∵g(－x)＝＝＝＝g(x)，(x≠0)∴g(x)是偶函数，∴当x∈(－∞，－1)时，g(x)<0，从而f(x)>0；当x∈(－1，0)时，g(x)>0，从而f(x)<0.综上，所求x的取值范围是(－∞，－1)故选A.答案：A10．解析：将正四面体ABCD放在一个正方体内，设正方体的棱长为a，如图所示．设正四面体ABCD的外接球的半径为R，则πR3＝8π，得R＝.∵正四面体的外接球和正方体的外接球是同一个球，∴a＝2R＝2，∴a＝2，∵正四面体ABCD的每条棱

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