2024八年级数学下册重点突围专题08平行四边形及其性质含解析新版浙教版

Page1专题08平行四边形及其性质【考点一】多边求形的内角和及多边形的对角线例题：（河北石家庄·八年级期末）若凸n边形的内角和为1260°，则n＝_____；该多边形的对角线条数是_____．【答案】

9

27【解析】【分析】依据凸n边形的内角和为1260°，求出凸n边形的边数，然后依据对角线的条数的公式进行计算即可求解即可．【详解】解：∵凸n边形的内角和为1260°，∴（n−2）×180°＝1260°，解得n＝9，∴这个多边形的对角线的条数是×9×（9−3）＝27．故答案为：9，27．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理及多边形的对角线，熟记多边形的内角和计算公式是正确解答本题的基础．【变式训练】1．（四川省邻水中学九年级期中）若一个多边形的内角和是1260°，则这个多边形的边数是_______【答案】9【解析】【分析】依据多边形的内角和公式：n边形内角和等于（n-2）•180°；解答即可；【详解】解：设多边形边数为n，则（n-2）•180°=1260°，解得：n=9，故答案为：9．【点睛】本题考查了多边形的内角和与边数关系：多边形的内角和公式，都是利用转化思想而得，把多边形分成若干个三角形（如n边形内一点与n条边构成n个三角形，则n边形内角和等于n•180-360°），从而将多边形问题转化为三角形问题来解决，这种思想对于学好数学是极为重要的．2．（陕西·武功县教化局教化教学探讨室一模）若一个正多边形的内角和是其外角和的3倍，则该多边形每个外角的度数为______°．【答案】45【解析】【分析】先由多边形的内角和和外角和的关系推断出多边形的边数，即可得到结论．【详解】解：设多边形的边数为n，因为正多边形内角和为（n-2）•180°，正多边形外角和为360°，依据题意得：（n-2）•180°=360°×3，解得：n=8．∴这个正多边形的每个外角==45°．故答案为：45．【点睛】本题考查了正多边形的内角与外角，正多边形的性质；娴熟驾驭正多边形的性质，求出正多边形的边数是解决问题的关键．3．（山东济南·七年级期末）从n边形的一个顶点动身，分别连接这个点与同它不相邻的各个顶点，得到7个三角形，那么这个多边形为______边形．【答案】九【解析】【分析】依据从n边形的一个顶点动身，分别连接这个点与同它不相邻的各个顶点，得到(n-2)个三角形得出结果．【详解】解：依据题意，得n-2=7，解得n=9，故答案为九．【点睛】本题考查多边形与三角形的关系，依据从n边形的一个顶点动身可以得到（n-3）条对角线，（n-2）个三角形．4．（江苏盐城·七年级期中）如图，大建从A点动身沿直线前进8米到达B点后向左旋转的角度为，再沿直线前进8米，到达点C后，又向左旋转角度，照这样走下去，第一次回到动身地点时，他共走了72米，则每次旋转的角度为______°．【答案】【解析】【分析】依据共走了72米，每次前进8米且左转的角度相同，则可计算出该正多边形的边数，再依据外角和计算左转的角度．【详解】连续左转后形成的正多边形边数为：，则左转的角度．故答案是：40．【点睛】本题考查了多边形的外角计算，正确理解多边形的外角和是360°是关键．【考点二】利用平行四边形的性质求角及线段的长例题：（山东枣庄·三模）如图，▱ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连接EF交BD于O．(1)求证：BO＝DO；(2)若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG＝1时，求AD的长．【答案】(1)详见解析(2)详见解析【解析】【分析】（1）通过证明与全等即可证明；（2）由是等腰直角三角形得出.由得，所以与都是等腰直角三角形，从而求得、的长，然后由（1）中与全等得出，进而求得的长，的长即可求得．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∴，在与中∴，∴．(2)解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，由（1），∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形得判定和性质及平行线的性质，娴熟运用各定理是解决本题的关键．【变式训练】1．（四川南充·一模）如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD与BC交于E．若∠D＝50°，则∠AEC的大小为________度．【答案】【解析】【分析】利用平行四边形的性质，结合∠D＝50°，求得∠BAD的度数，然后利用角平分线的定义求得∠DAE的度数，最终利用平行线的性质即可．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∵∠D＝50°，∴，∵AE平分∠BAD，∴，∵，∴，∴，故答案为：115【点睛】本题考查了平行四边形的性质和角平分线的定义，熟记性质和定义是解题的关键．2．（山东菏泽·一模）如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，AC⊥BC，交BD于点O，则BD的长为_____．【答案】【解析】【分析】勾股定理求得的长，依据平行四边形的性质，对角线相互平分，可得，然后勾股定理求得的长，依据即可求解．【详解】解：∵四边形是平行四边形，AD＝6，∴，AB＝10，AC⊥BC，在中，故答案为：【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，驾驭平行四边形的性质是解题的关键．3．（北京市广渠门中学八年级阶段练习）如图，在中，对角线相交于点O，过点O作交于E，假如，则长为_________．【答案】【解析】【分析】连接CE，依据平行四边形的性质可得AO=CO，CD=AB=，然后推断出OE垂直平分AC，再依据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得CE=AE=4，利用勾股定理的逆定理得到∠CED=90°，得到△AEC是等腰直角三角形，依据勾股定理即可求得结论．【详解】解：连接，如图四边形是平行四边形，，，是线段的垂直平分线，，在中，，，，，（舍负）．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理及逆定理，正确作出帮助线证得∠CED=90°是解决问题的关键．4．（江苏扬州·八年级期中）在平面直角坐标系中，▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（﹣3，﹣4）、（2，﹣4），则顶点D的坐标是_____．【答案】（5，2）【解析】【分析】依据字母依次将点表示在坐标系中，依据平行四边形的性质即可求得的坐标．【详解】解：如图：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB，CD∥AB，∵▱ABCD的顶点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（﹣3，﹣4）、（2，﹣4），∴顶点D的坐标为（5，2）．故答案为：（5，2）．【点睛】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，数形结合是解题的关键．5．（四川·广元市利州区万达试验学校一模）如图，点E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，．(1)求证：AF＝CE；(2)若AC＝10，BC＝6，∠ACB＝30°，求平行四边形ABCD的面积．【答案】(1)见解析；(2)30，详见解析．【解析】【分析】（1）利用，以及平行四边形的性质，即可判定，可证得AF＝CE；（2）过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，依据30°角的直角三角形的性质求得AG，进而利用平行四边形的面积解答即可．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC，∵，∴，∵，∴，在和中，∵，∴≌（AAS），∴AF＝CE．(2)过A点作AG⊥BC，交CB的延长线于G，在Rt中，AC=10，∠ACB＝30°，∴AG=5，∴平行四边形ABCD的面积为：．故平行四边形ABCD的面积为30．【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是通过题中所给的条件得到全等三角形．6．（湖北十堰·八年级阶段练习）在中，．(1)若，，求；(2)若，，求的周长．【答案】(1)等于120；(2)的周长为24+24【解析】【分析】（1）依据平行四边形的对角线相互平分的性质和勾股定理的逆定理可得是直角三角形．∠ADO=90°，所以=ADBD，代入计算即可．（2）如图，过点D作AC的垂线，交AC与点E，由平行四边形的性质和有关角的度数得是等腰直角三角形，所以DE=AD，是含30°的直角三角形，所以DC=2DE，所以的周长=2(AD+DC)．(1)解：∵中，BD=10，AC=26，∴OD=5，OA=13，∵AD=12∴AD2+OD2=OA2，∴是直角三角形，即∠ADO=90°，∴=ADBD=120．答：等于120．(2)如图，过点D作AC的垂线，交AC与点E，在中，ABDC，ADBC∴∠ADC+∠BCD=180，∠DCA=∠DAC∵，，∴∠BCD=75°，∴，∵∠CDE=90°-30°=60°，∠ADE=∠ADC-∠CDE=45°，∴是等腰直角三角形，∴DE=AD=12=6，∵在Rt中，，∴DC=2DE=26=12，∴的周长=2(AD+DC)=2(12+12)=24+24．答：的周长为24+24．【点睛】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理的逆定理、含30°角的直角三角形的性质等学问点，解题的关键是知道等腰直角三角形直角边和斜边的比为1：，含30°角的直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．7．（江苏淮安·二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O任作直线分别交AB、CD于点E、F．(1)求证：OE＝OF；(2)若CD＝6，AD＝5，OE＝2，求四边形AEFD的周长．【答案】(1)见解析(2)15【解析】【分析】（1）依据平行四边形的性质得出AB//CD，OA＝OC，求出∠EAO＝∠FCO，依据ASA推出△AEO≌△CFO，即可得出答案；（2）由△AOE≌△COF（ASA），可得EF＝2OE＝4，DF+AF＝AB＝6，继而求得答案．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（ASA），∴OE＝OF；(2)∵△OAE≌△OCF，∴CF＝AE，∴DF+AE＝AB＝CD＝6，又∵EF＝2OE＝4，∴四边形AEFD的周长＝AD+DF+AE+EF＝5+6+4＝15．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．留意驾驭数形结合思想的应用．8．（江苏南通·一模）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且∠B＝∠AEB．(1)求证：AE＝CD；(2)试推断AC与ED的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)AC＝ED，见解析【解析】【分析】（1）首先依据平行四边形的性质，可得AB＝CD，再依据∠B＝∠AEB，可证得AE＝AB，据此即可证得结论；（2）依据平行四边形的性质，可得AB＝CD，∠B＝∠ADC，ADBC，可证得△ADC≌△DAE（SAS），即可证得AC＝ED．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∵∠B＝∠AEB，∴AE＝AB，∴AE＝CD；(2)解：AC＝ED；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠B＝∠ADC，ADBC，∴∠DAE＝∠AEB，∵∠B＝∠AEB，∴AE＝AB，∠B＝∠AEB＝∠DAE＝∠ADC，∴AE＝CD，且∠DAE＝∠ADC，AD＝AD，∴△ADC≌△DAE（SAS），∴AC＝ED．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，娴熟驾驭和运用平行四边形的性质是解决本题的关键．9．（四川泸州·八年级期中）已知，如图，在中，，垂足为，，点为的中点，点为上的一点，连接、、，．(1)求证：(2)若，，求的长；(3)求证：．【答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析【解析】【分析】（1）结合题意，由AAS即可证明两个三角形全等；（2）依据线段中点的性质，得；依据平行四边形的性质，得；再依据勾股定理的性质计算，即可得到答案；（3）依据和平行四边形的性质，得点G为CD的中点；分别延长AG、BC并相交于点M，通过证明，得，再依据直角三角形斜边中线、等腰三角形、三角形外角的性质计算，即可得到答案．(1)在和中∴；(2)∵，点为的中点∴∴∵∴∵，∴；(3)∵∴∵，∴，即点G为CD的中点如图，分别延长AG、BC并相交于点M∵∴∴在和中∴∴∵，即∴∴∴，即．【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形、平行四边形、平行线、三角形外角、等腰三角形直角三角形斜边中线的学问；解题的关键是娴熟驾驭全等三角形、直角三角形斜边中线、平行四边形的性质，从而完成求解．【考点三】利用平行四边形的性质求动点问题例题：（浙江·八年级期末）如图，在四边形中，，，，．点从点动身．以每秒的速度沿折线方向运动，点从点动身，以每秒的速度沿线段方向向点运动．已知动点、同时动身，当点运动到点时，、运动停止，设运动时间为．（1）求的长；（2）当四边形为平行四边形时，求四边形的周长；（3）在点、点的运动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积为？若存在，请求出全部满足条件的的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）16；（2）；（3）存在，t1＝，t2＝7.8【解析】【分析】（1）过A点作AM⊥CD于M，依据勾股定理可求得DM=6，进而求得DC=16；（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，依据题意可得BP=10-3t，DQ=2t，列出方程10-3t=2t，解得t=2，此时BP=DQ=4，CQ=12，在RT△CBQ中，依据勾股定理求出BQ即可；（3）分三种状况探讨：①当点P在线段AB上，②当点P在线段BC上，③当点P在线段CD上，依据三种状况点的位置，即可求得t的值．【详解】解：（1）过点A作AM⊥CD于M，如图1，依据勾股定理，AD＝10cm，AM＝BC＝8cm，∴DM==6（cm），∴CD＝16cm；（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，如图2，由题知：BP＝10-3t，DQ＝2t，∴10﹣3t＝2t，解得t＝2，此时，BP＝DQ＝4，CQ＝12，∴BQ==，∴四边形PBQD的周长＝2（BP+BQ）=；（3）①当点P在线段AB上时，即0≤t≤时，如图3，S△BPQ＝BP•BC＝(10−3t)×8＝20，∴t=．②当点P在线段BC上时，即＜t≤6时，如图4，BP＝3t-10，CQ＝16-2t，∴S△BPQ＝BP•CQ＝(3t-10)×(16-2t)＝20，化简得：3t2-34t+100＝0，△＝-44＜0，所以方程无实数解．③当点P在线段CD上时，如图5，若点P在Q的右侧，即6＜t＜，则有PQ＝34-5t，S△BPQ=（34-5t）×8＝20，t＝＜6，舍去，若点P在Q的左侧，即＜t≤8，则有PQ＝5t-34，S△BPQ＝(5t−34)×8＝20，t＝7.8．综上得，满足条件的t存在，其值分别为t1＝，t2＝7.8．【点睛】本题是四边形中的动点问题，考查了平行四边形的性质，勾股定理的应用以及三角形的面积等，分类探讨的思想是本题的关键．【变式训练】1．（福建福州·八年级期中）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝60°，AB=6，BC＝8，点P、E分别为AD、BC上两动点，且满足PB平分∠APE,当CE取得最大值时，BE的值为___．【答案】【解析】【分析】设CE=x，则BE=8-x，运用角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质得到BE=PE=8-x，说明当CE最大时BE最小，即PE最小；过点A作AE1⊥BC，运用勾股定理求得AE1的长即可解答．【详解】解：设CE=x，则BE=8-x，∵PB平分∠APE，∴∠APB=∠BPE，∵在平行四边形ACBD中，∴AD//BC，∴∠APB=∠PBE，∴∠BPE=∠PBE∴BE=PE=8-x∴当CE取最大值时，BE为最小值，即PE取最小值当PE⊥BC时，PE最小，如图：过点A作AE1⊥BC∵∠ABC=60°，∴∠BAE1=30°，∵AB=6，∴BE1=3，∴AE1=,即PE=，∴当CE取得最大值时，BE的值为．故答案为：．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质、垂线段最短等学问点，依据题意正确作出帮助线、构造直角三角形、运用勾股定理是解答本题的关键．2．（重庆八中八年级期中）如图，平行四边形ABCD中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝2，E为AB的中点，F分别为AD边上的动点，将∠A沿EF折叠，点A落在平面内的点处，且点在∠BAD外部，当折叠后重叠部分为等腰三角形时，则线段DF的长为__．【答案】【解析】【分析】过E作EH⊥AD，依据∠A＝45°，EH⊥AH得AH＝，设∠AFE＝∠A'FE＝a，可得＝45°+a，得a＝30°，在Rt△EFH中，可求出HF的长，从而得出答案．【详解】解：过E作EH⊥AD于H，∵AB＝4，E为AB的中点，∴AE＝EB＝2，∵∠A＝45°，EH⊥AH，∴△AHE为等腰直角三角形，∴AH2+EH2＝AE2＝4，2AH2＝4，∴AH＝，∵点A′在∠BAD外部，则由题意知△FQE为等腰三角形，∴∠FEB＝∠FQE，设∠AFE＝a，∵△EFA'为△EFA依据EF对折，∴∠AFE＝∠A'FE＝a，∴∠BEF＝，又∵∠BEF为△AEF的外角，∴∠BEF＝∠A+∠EFA＝45°+a，∴＝45°+a，∴a＝30°，在Rt△EHF中，∠AFE＝a＝30°，EH＝AH＝，∴EF＝，∴，又∵BC＝AD＝2，∴DF＝AD﹣AH﹣HF＝故答案为：．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，平行四边形的性质，翻折变换（折叠问题），含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够娴熟驾驭相关学问进行求解.3．（广东·深圳亚迪学校八年级阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，，∠ABC＝45°，点E为射线AD上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转60°得到BF，连接AF，则AF的最小值是_____．【答案】【解析】【分析】以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT=TK．证明△ABF≌△KBE（SAS），推出AF=EK，依据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，解直角三角形求出EK即可解决问题．【详解】解：如图，以AB为边向下作等边△ABK，连接EK，在EK上取一点T，使得AT＝TK．∵BE＝BF，BK＝BA，∠EBF＝∠ABK＝60°，∴∠ABF＝∠KBE，∴△ABF≌△KBE（SAS），∴AF＝EK，依据垂线段最短可知，当KE⊥AD时，KE的值最小，∵四边形ABCD是平行四边形，∴ADBC，∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝180°﹣∠ABC＝135°，∵∠BAK＝60°，∴∠EAK＝75°，∵∠AEK＝90°，∴∠AKE＝15°，∵TA＝TK，∴∠TAK＝∠AKT＝15°，∴∠ATE＝∠TAK+∠AKT＝30°，设AE＝a，则AT＝TK＝2a，ET＝a，在Rt△AEK中，∵AK2＝AE2+EK2，∴a2+（2a+a）2＝4，∴a＝，∴EK＝2a+a＝，∴AF的最小值为：．故答案为：．【点睛】本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理等学问，解题的关键是学会添加常用帮助线，构造全等的三角形解决问题，学会用转化的思想思索问题．4．（吉林·长春市解放大路学校九年级开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为边AB的中点．动点P从点A动身，沿折线AB一BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，同时动点Q从点C动身，以每秒1个单位长度的速度沿CA向终点A运动．以DP、DQ为邻边作▱PDQE，设点P运动的时间为t秒．（1）C、D两点之间的距离为_______；（2）求PB的长（用含t的代数式表示）；（3）当点E落在△ABC内部时，求t的取值范围．（4）连接CD，当CD平分▱PDQE的面积时，干脆写出t的值．【答案】（1）；（2），；，；（3）；（4）【解析】【分析】（1）依据勾股定理计算即可；（2）依据题意求出AD，计算即可；（3）当点P在BD上运动时和当点P在BC上运动两种状况探讨即可；（4）依据题意结合图象进行求解即可．【详解】解：（1）∵，AC=4，BC=3，∴，∵D为边AB的中点．∴，∴；故答案是：；（2）当P在AB边上时，即，由题意可知，∴；当P在BC边上运动时，即，由题可知，∴；（3）当P与D重合时，无法构成平行四边形，∴当P在BD边上运动时点E必落在△ABC内，此时，即，∴；当P在BC边上运动时，且时，点E恰落在AC上，∴保证点E必落在△ABC内，设BC的中点为M，则点P在BM上运动，∴，当时，∵D为AB的中点，∴M为BC的中点，∴，∴，∴t的取值范围是；（4）当点P与点C重合时，CD平分▱PDQE的面积，∴，∴．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是精确进行计算．5．（湖北省直辖县级单位·八年级期末）如图所示，在直角坐标系中，直线l与x轴y轴交于A、B两点，已知点A的坐标是（4，0），B的坐标是（0，3）．（1）求直线l的解析式；（2）若点C（3，0）是线段OA上确定点，点P（x，y）是第一象限内直线l上一动点，试求出点P在运动过程中△POC的面积S与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）在（2）问的条件下，若S＝，此时在坐标平面内是否存在点Q，使以A，C，P，Q为顶点，以AC为边的四边形是平行四边形？若存在，干脆写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，Q的坐标为或【解析】【分析】（1）利用已知点的坐标，待定系数法求一次函数的解析式即可；（2）依据S△POC＝×OC×，在直线上，依据（1）的结论表示出点的坐标，即可求得S与x之间的函数关系式；（3）依据条件以AC为边的四边形，则,即求得点的坐标即可【详解】解：（1）设直线l函数解析式为y＝kx+b（k≠0），由题意可得：，解得：，∴直线l函数解析式为，（2）点在直线上点的坐标为∵S△POC＝，∴S△POC＝×3×（－x+3）＝－x+（0＜x＜4）；（3）存在，理由如下：当S＝时，则＝﹣x+，∴x＝2，∴点P（2，），∵以A、C、P、Q为顶点，以AC为边的四边形是平行四边形，∴ACPQ，AC=PQ∵A（4，0），C（3，0），∴PQ=AC=4－3=1，∵P（2，）∴点Q（3，）或（1，）【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质与判定，娴熟以上学问点是解题的关键．【考点四】利用平行四边形的性质作图例题：（江西赣州·八年级期末）在平行四边形ABCD中，点E在AD上，仅用无刻度的直尺按要求作图（保留作图痕迹）．（1）如图1，在BC上找一点F，使AE＝CF．（2）如图2，若AB＝AE，作∠D的平分线DG．

【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）连接BD、AC，连接点E和BD、AC的交点，并延长交BC于F，点F即为所求；（2）连接BD、AC，连接点E和BD、AC的交点，并延长交BC于G，射线DG即为所求．【详解】.解：（1）如图1，连接BD、AC，连接点E和BD、AC的交点，并延长交BC于F，点F即为所求．（2）如图2，连接BD、AC，连接点E和BD、AC的交点，并延长交BC于G，射线DG即为所求．【点睛】本题考查困难作图，平行四边形的性质等学问．解题的关键是灵敏运用所学学问解决问题．【变式训练】1．（吉林·长春外国语学校八年级阶段练习）如图，在边长为1的5×5正方形网格中，小正方的顶点称之为格点，点A、点B均在格点上，依据题目要求作图．(1)以线段AB为对角线作面积为6的平行四边形ACBD（顶点字母按逆时针标注）；(2)AD的长是．【答案】(1)见解析；(2)【解析】【分析】（1）作底为3高为2的平行四边形即可．（2）利用勾股定理即可计算．(1)如图，平行四边形ACBD即为所求作．(2)故答案为【点睛】本题考查了作图实力、勾股定理、平行四边形的面积等学问点，正确理解题意，灵敏运用上述学问点是解答本题的关键．2．（重庆市凤鸣山中学九年级阶段练习）已知：如图，在平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°．(1)请用直尺和圆规作出∠DAB的角平分线AE，交DC于点E，交BD于点F，并标出交点E，F（请用2B铅笔作图并保留作图痕迹）；(2)在（1）的前提下，若∠DBA＝30°，DE＝4，求平行四边形ABCD的周长．【答案】(1)见解析；(2)平行四边形ABCD的周长【解析】【分析】（1）利用基本作图，作∠BAD的平分线即可；（2）证明∠DEA＝∠DAE得到DA＝DE＝4，再利用含30度的直角三角形三边的关系求出AB，然后计算平行四边形ABCD的周长．(1)解：如图，点E、F为所作；(2)解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴∠BAE＝∠DEA，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAE，∴∠DEA＝∠DAE，∴DA＝DE＝4，在△ABD中，∵∠ADB＝90°，∠ABD＝30°，∴AB＝2AD＝8，∴平行四边形ABCD的周长＝2（4+8）＝24．【点睛】本题考查了尺规作图——作已知角的平分线，平行四边形的性质，娴熟驾驭作已知角的平分线的作法，平行四边形的性质是解题的关键．3．（江苏·泰兴市济川初级中学九年级阶段练习）如图，中，点E在BC上