高中数学数学文化鉴赏与学习专题题组训练4欧拉教师版

专题4欧拉一、单选题1．1748年，瑞士数学家欧拉发觉了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式，这个公式在复变函数中有特别重要的地位，即闻名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则下列选项不正确的是（

） B． C． D．【答案】C【解析】【分析】依据可推断ABD，依据复数的乘法运算可推断C.【详解】因为所以，故A正确，，故B正确，故C错误，故D正确故选：C2．数学家欧拉通过探讨，建立了三角函数和指数函数之间的联系，得到闻名的欧拉公式(为虚数单位)，此公式被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，表示的复数在复平面中位于（

）A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】【分析】由题可知对应在复平面的点为，由可推断和的正负，进而得到答案.【详解】由题，，其对应点为,因为知，，，所以点在其次象限，故选：B3．欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇异的公式.它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得.依据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在第（

）象限.A．一 B．二 C．三 D．四【答案】C【解析】【分析】依据欧拉公式得到复数的代数形式，进而推断出复平面上所对应的点所在象限.【详解】依据题意，故其在复平面内对应的点的坐标为在第三象限，故选：C.4．欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士闻名数学家欧拉独创的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有特别重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，表示的复数位于复平面内（

）．A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】【分析】依据欧拉公式，得到，再利用复数的除法化简，然后利用复数的几何意义求解.【详解】解：因为，，所以复数在复平面中对应的点位于其次象限，故选：B．5．欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士闻名数学家欧拉独创的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有特别重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，表示的复数位于复平面内（

）．A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】【分析】依据定义可得，代入结合复数运算求解处理．【详解】∵，此复数在复平面中对应的点位于第四象限，故选：D．6．数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为随意的外心､重心､垂心，则下列各式确定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】依据三点共线和长度关系可知AB正误；利用向量的线性运算可表示出，知CD正误.【详解】依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，，，，A错误，B错误；，C错误；，D正确.故选：D.7．欧拉是18世纪最宏大的数学家之一，在很多领域都有杰出的贡献．由《物理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最宏大的公式”．其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特别状况．由欧拉公式，复数z满意，则z的虚部是（

）A．i B．1 C． D．【答案】D【解析】【分析】依据题意，化简可得复数z的表达式，依据复数的概念，即可得答案.【详解】由题意得，所以，所以，则z的虚部是.故选：D8．费马数是以法国数学家费马命名的一组自然数，具有形式为记做，其中为非负数．费马对，，，，的情形做了检验，发觉这组费马公式得到的数都是素数，便提出猜想：费马数是质数．直到年，数学家欧拉发觉为合数，宣布费马猜想不成立．数列满意，则数列的前项和满意的最小自然数是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依据题意得到，利用等比数列的前项和公式求得，进而求得的最小自然数，得到答案.【详解】由题意，可得数列满意，利用等比数列的前项和公式，可得数列的前项和，当时，可得；当时，可得，又由，所以单调递增，所以的最小自然数为.故选：B.9．有一个特别好玩的数列叫做调和数列，此数列的前n项和已经被探讨了几百年，但是迄今为止照旧没有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：当n很大时，，其中称为欧拉-马歇罗尼常数，……，至今为止都还不确定是有理数还是无理数．由于上式在n很大时才成立，故当n较小时计算出的结果与实际值之间是存在确定误差的，已知，．用上式估算出的与实际的的误差确定值近似为（

）A．0.073 B．0.081 C．0.122 D．0.657【答案】B【解析】【分析】依据所给数据求出的估计值，再依据对数的运算法则求出，即可得解；【详解】解：依题意所以，又所以估算出的与实际的的误差确定值近似为；故选：B10．欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞士闻名数学家欧拉发觉的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，依据此公式可知，在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】【分析】依据复数的几何意义，以及弧度制即可求解.【详解】解：，又，为其次象限角，故，故在复平面内对应的点位于其次象限.故选：B.11．欧拉是世纪最宏大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献．由《物理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最宏大的公式”．其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特别状况．依据欧拉公式，若复数z满意，则z的虚部是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】依据题意，化简可得复数z的表达式，依据复数的概念，即可得答案.【详解】由题意得，所以，所以，则z的虚部是1.故选：A12．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同始终线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，且，则的欧拉线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】因为，结合题意可知的欧拉线即为线段的垂直平分线，利用点斜式求方程．【详解】∵，结合题意可知的欧拉线即为线段的垂直平分线的中点为，斜率，则垂直平分线的斜率则的欧拉线的方程为，即故选：D．13．欧拉公式被称为世界上最完备的公式，欧拉公式又称为欧拉定理，是用在复分析领域的公式，欧拉公式将三角函数与复数指数函数相关联，即（）.依据欧拉公式，下列说法不正确的是（

）A．对随意的， B．在复平面内对应的点在其次象限C．的实部为 D．与互为共轭复数【答案】C【解析】【分析】利用复数的概念、几何意义、复数的模的概念及共轭复数的含义即得.【详解】对于A选项，，A正确；对于B选项，，而，，故在复平面内对应的点在其次象限，B正确；对于C选项，，实部为，C错误；对于D选项，，又，故与互为共轭复数，D正确.故选：C.14．大数学家欧拉发觉的公式把自然对数的底数e，虚数单位i和三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，这个公式被誉为“数学中的天桥”．若复数z的模是1，纯虚数（a是实数），则的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】由题目分析可求出，则，在复平面内对应点的坐标是，因为复数z的模是1，所以复数z在复平面内对应的点在单位圆上，即可求出的最大值.【详解】因为复数z的模是1，所以复数z在复平面内对应的点在单位圆上，又是纯虚数，所以，，在复平面内对应点的坐标是，所以的最大值是2．故选：B．15．形如的数被称为费马数，费马完成了,,,,的验证后，于1640年提出猜想：费马数都是质数，但由于及之后的费马数都实在太大了，费马也未能完成验证及证明.直到1732年才被数学家欧拉算出不是质数，从而宣告了费马数的猜想不成立.现设，若随意，使不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A．(1,+∞) B． C．(,+∞) D．【答案】B【解析】【分析】由题知，，进而依据裂项求和得，进而依据不等式恒成立即可得答案.【详解】解：因为，，所以，所以，所以，因为，，所以所以，对随意，使不等式恒成立，则.所以，实数的取值范围是.故选：B16．若正整数、只有为公约数，则称、互质.对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数.函数以其首名探讨者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，则下列说法正确的是（

）A．B．数列是等差数列C．D．数列的前项和为，则【答案】D【解析】【分析】利用题中定义可推断A选项；利用特别值法可推断B选项；求出的值，结合对数的运算性质可推断C选项；计算出，利用错位相减法可求得，可推断D选项.【详解】对于A选项，在不超过的正整数中，与互质的正整数有：、、、，故，A错；对于B选项，因为，，，明显、、不成等差数列，B错；对于C选项，为质数，在不超过的全部正整数中，能被整除的正整数的个数为，全部与互质的正整数的个数为，所以，，因此，，C错；对于D选项，因为为质数，在不超过的正整数中，全部偶数的个数为，所以，，所以，，则，所以，，上述两个不等式作差可得，所以，，D对.故选：D.17．在数学和很多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的常数､公式和定理，如：欧拉函数（）的函数值等于全部不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1），例如：；（与3互素有1､2）；（与9互素有1､2､4､5､7､8）.记为数列的前n项和，则=（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】依据欧拉函数定义得出，然后由错位相减法求得和，从而可得．【详解】因为与互素的数为1，2，4，5，7，8，10，11，，，共有，所以，则，于是①，②，由①-②得，则.于是.故选：A．18．欧拉是十八世纪宏大的数学家，他奇异地把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数和联系在一起，得到公式，这个公式被誉为“数学的天桥”.依据该公式，可得的最大值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【解析】【分析】利用题目所给公式写出表达式，然后利用复数的模长公式以及帮助角公式及正弦函数的性质即可得到最值.【详解】∵∴最大值为2，故选：C.19．对正整数a，函数表示小于或等于a的正整数中与a互质的数的数目，此函数以其首位探讨者欧拉命名，故称为欧拉函数．例如：因为均和8互质，所以．基于上述事实，（

）A．8 B．12 C．16 D．24【答案】C【解析】【分析】先由对数的运算计算，再由欧拉函数的定义求解即可.【详解】∵小于或等于32的正整数中与32互质的实数为，，共有16个，.故选：C20．1614年纳皮尔在探讨天文学的过程中为了简化计算而独创对数；1637年笛卡尔起先运用指数运算；1770年，欧拉发觉了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的独创先于指数，称为数学史上的珍闻，对数函数与指数函数互为反函数，即对数函数（且）的反函数为（且）．已知函数，，则对于随意的，有恒成立，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】依据题意构造函数为增函数，并利用导数得到关于实数k的不等式，进而求得实数k的取值范围【详解】由题意，的反函数．对于随意的，有，即，可转化为，则函数在上单调递增．设，则在上恒成立即在上恒成立又，则，故选：D．21．宏大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当时，，又依据泰勒绽开式可以得到，依据以上两式可求得（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由同时除以x，再利用绽开式中的系数可求出.【详解】由，两边同时除以x，得，又绽开式中的系数为，所以，所以．故选：A．二、填空题22．欧立公式（为虚数单位，为自然底数）是瑞士闻名数学家欧拉发觉的，它将指数函数的定义域扩大到复数，在复变函数论中占有特别重要的地位，被誉为“数学中的天桥"，若将其中取作就得到了欧拉恒等式，它将两个超越数——自然底数，圆周率，两个单位一虚数单位，自然数单位1，以及被称为人类宏大发觉之一0联系起来，数学家评价它是“上帝创建的公式”.由欧拉公式可知，若复数，则__________.【答案】【解析】【分析】本题可以依据复数乘法运算，也可以运用复数三角表示处理．【详解】解法一：则；解法二：∵∴故答案为：．23．欧拉恒等式:被数学家们惊羡为“上帝创建的等式”.该等式将数学中几个重要的数:自然对数的底数e，圆周率π，虚数单位i、自然数1和0完备地结合在一起，它是由欧拉公式:，令得到的.依据欧拉公式，在复平面内对应的点在第_____象限.【答案】二【解析】【分析】利用欧拉公式，结合三角函数在各个象限的符号，即可得到答案.【详解】依据欧拉公式，.因为，所以在复平面内对应的点在其次象限.故答案为：二24．欧拉公式：（是虚数单位）是由瑞士闻名数学家欧拉独创的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立起三角函数和指数函数之间的联系，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，求的最大值为_____【答案】【解析】【分析】依据欧拉公式和复数模的计算公式，求得，进而求得其最大值.【详解】由欧拉公式，可得，当时，取得最大值，最大值为.故答案为：.25．据记载，欧拉公式是由瑞士闻名数学家欧拉发觉的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，该公式被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式复数的虚部为__________．【答案】【解析】【分析】由题意可得，代入三角函数值即可得出结果．【详解】因为，所以，故虚部为．故答案为：26．数学家也有很多漂亮的错误，如法国数学家费马于1640年提出了是质数的猜想，直到1732年才被擅长计算的大数学家欧拉算出.

也就是说不是质数，这个猜想不成立．设是数列前n项和，若对恒成立，则m的最大值是______．【答案】##【解析】【分析】依据条件化简得，再求前n项和，依据不等式恒成立可求解.【详解】由题意可知，，，明显当时，m取到最大值为．故答案为：27．数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线．若△ABC中，，，则下列各式中正确的序号是______．①

②

③

④【答案】①③④【解析】【分析】依据欧拉线定理可推断①；利用向量的加、减运算可推断②；利用向量的数量积可推断③；利用向量的加法运算以及欧拉线定理可推断④．【详解】解：对于①，由题意得，即，故①正确；对于②，由是的重心，设为中点，可得，所以，故②错误；对于③，过的外心分别作，的垂线，垂足为，，如图，易知，分别是，的中点，则，故③正确；对于④，因为为的重心，所以，故，所以由欧拉线定理可得，所以，故④正确，故答案为：