浙江省杭州市2024-2025学年高二数学上学期10月阶段性监测试题

高二阶段性监测数学学科试卷(10月)考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！3．考试结束，只需上交答题卡．一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为(

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)A. B. C. D.已知直线l的一个方向向量m=(2,-1,3)，且直线l过A(0,y,3)和B(-1,2,z)两点，则y-z=(

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)A.0 B.1 C.32 D.3我国闻名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和探讨中，常用函数的图象来探讨函数的性质，也常用函数的解析式来探讨函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是(

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)A.f(x)=1|x-1| B.f(x)=1|x|-1 C.已知直线x+2ay-1=0与直线(a-1)x+ay+1=0平行，则实数a的值是(

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)A.32 B.32或0 C.0 已知点A(3,2)，B(4,-3)，若直线l过点P(0,1)与线段AB相交，则直线l的倾斜角的取值范围是(

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)A.[π3,5π6]如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，点E、F分别是棱A.45°B.60°C.90°D.120°已知a>0，b>0，直线l1:x+(a-4)y+1=0，l2:2bx+y-2=0，且l1⊥l2A.2B.4C.45D.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满意A.455B.3C.2二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）下列说法不正确的是(

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)A.y-y1x-x1=k不能表示过点Mx1,y1且斜率为k的直线方程

B.在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为xa+在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=AD=1，AA'=λ(λ>1)，则异面直线A'B与B'C所成角的大小可能为(

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)A.π6 B.π4 C.π3设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是(

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)A.若a=1，b=2，则A可以是π3

B.若A=π6，a=1，c=3，则b=1

C.若△ABC是锐角三角形，a=2，b=3，则边长c的取值范围是(5,13)将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，如图所示，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则．(

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)A.EF⊥BC

B.四面体A-BCD的表面积为4+23

C.四面体A-BCD的外接球的体积为823π

D.过EF且与BD三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事务A，B相互独立时，P(A∪B)＝___█_____.某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为10，6，8，5，6，则该组数据的方差为__█_____.直线的方程为：，若直线不经过其次象限，则实数的取值范围为__█_____.对于锐角α，若sinα-π12=3四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(本小题10.0分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=3(1)若C=5π6，△ABC的面积为32(2)若B=π3，求(本小题12.0分)如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=3，底面(1)求点B1到直线A(2)求平面B1A1B(本小题12.0分)已知直线l1，l2相互垂直，且相交于点(1)若l1的斜率为2，l2与x轴的交点为Q，点Ma,b在线段PQ(2)若l1，l2分别与y轴相交于点A，B，求(本小题12.0分)如图，已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切.过点B(－2，0)的动直线l与圆A交于M，N两点.(1)求圆A的方程；(2)当|MN|＝2eq\r(19)时，求直线l的方程.(本小题12.0分)

函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,0<ω<16,0<φ<π2)在R上的最大值为2，f(0)=1．

(1)若点(π8,2)在f(x)的图象上，求函数f(x)图象的对称中心；

(2)将函数y=f(x)的图象向右平移π4ω个单位，再将所得的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12(本小题12.0分)如图，四棱锥P-ABCD中，▵PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC//AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB=2，E(1)证明：CE/​/平面PAB；(2)求直线CE与平面PAB间的距离．高二年级数学学科试卷(10月)参考答案一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．1-8DABACBDB二.多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.BCD；10.AB；11.CD；12.BCD7.解：因为l_1⊥l_2，所以2b+a-4=0，即a+1+2b=5，因为a>0，b>0，所以a+1>0，2b>0，所以(a+2)/(a+1)+1/2b=1/(a+1)+1/2b+1=(1/(a+1)+1/2b)×1/5(a+1+2b)+1=1/5(2+2b/(a+1)+(a+1)/2b)+1≥1/5(2+2√(2b/(a+1)⋅(a+1)/2b))+1=4/5+1=9/5，当且仅当a=3/2，b=5/4时，等号成立．故选D．8.解：如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD_1为z轴，建立空间直角坐标系．设P(a,b,0)(0⩽a⩽2,0⩽b⩽2)，则D_1(0,0,2)，E(1,2,0)，B_1(2,2,2)，所以⃗(B_1P)=(a-2,b-2,-2)，⃗(D_1E)=(1,2,-2)，∵B_1P⊥D_1E，∴⃗(B_1P)⋅⃗(D_1E)=a-2+2(b-2)+4=0，∴a+2b-2=0，又由a=2-2b⩾0，得0⩽b⩽1，∴|⃗(B_1P)|=√((a-2)^2+(b-2)^2+4)=√(5b^2-4b+8)=√(5(b-2/5)^2+36/5)，当b=0时，|⃗(B_1P)|=2√2，当b=1时，|⃗(B_1P)|=3，当b=2/5时，|⃗(B_1P)|=(6√5)/5，∴由二次函数性质可得|⃗(B_1P)|∈[(6√5)/5,3]，∴线段B_1P的长度的最大值为3．故选B．10.解：如下图所示，连接CD'，由长方体的性质可知CD'//BA'，则∠B'CD'(或其补角)为异面直线A'B与B'C所成的角，则B'C=D'C=√(1+λ^2)，B'D'=√(1^2+1^2)=√2，cos∠B'CD'=(B'C^2+D'C^2-B'D'^2)/(2B'C•D'C)=λ^2/(1+λ^2)=1-1/(1+λ^2)，因为λ>1，所以1+λ^2>2，所以cos∠B'CD'∈(1/2,1)，所以∠B^'CD^'∈(0,π/3)．故选：AB．11.解：对于A，当A=π/3时，依据正弦定理a/("sin"A)=b/("sin"B)，得到sinB=√3不成立，故A错误；对于B，由余弦定理"cos"A=(b^2+c^2-a^2)/2bc，得到b^2-3b+2=0，∴b=1或b=2，故B错误；对于C，a=2,b=3，要使▵ABC是锐角三角形，需满意3^2+2^2>c^2,2^2+c^2>3^2，∴5<c^2<13，∴√5<c<√13，故C正确；对于D，由正弦定理角化边得：a^2≤b^2+c^2-bc，∴b^2+c^2-a^2≥bc，∴cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc≥1/2，∴0<A≤π/3，故D正确，故选CD．12.解：设O是BD的中点，则OA,OB,OC,OD两两相互垂直，二面角A-BD-C为直二面角，OC⊥BD⇒OC⊥平面ABD⇒OC⊥OF，对于A选项，连接BF,CF，BF=√(2^2+1^2)=√5,CF=√(〖(√2)〗^2+1^2)=√3，BC=2，所以三角形BFC不是等腰三角形，而E是BC的中点，所以EF与BC不垂直，A选项错误．对于B选项，AC=√(〖(√2)〗^2+〖(√2)〗^2)=2，所以三角形ABC和三角形ADC是等边三角形，所以四面体A-BCD的表面积为2^2+2×√3/4×2^2=4+2√3，B选项正确．对于C选项，由于OA=OB=OC=OD，所以O是四面体A-BCD外接球的球心，外接球的半径为√2，体积为4/3π×〖(√2)〗^3=(8√2)/3π，C选项正确．对于D选项，设G是CD中点，H是AB中点，画出图象如下图所示，HF//BD,EG//BD⇒HF//EG，H,F,E,G四点共面．由于EG//BD,BD⊄平面EFGH，EG⊂平面EFGH，所以BD//平面EFGH，EG=1/2BD=√2,FG=1/2AC=1，由于OD⊥OA,OD⊥OC,OC∩OA=O，所以OD⊥平面AOC，所以OD⊥AC，而FG//AC，所以FG⊥EG，所以截面面积为EG⋅FG=√2×1=√2.D选项正确．故选：BCD．三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.；；15.；16.-24/25.在此处键入公式。16.解：由α为锐角，α-π/12∈(-π/12,5π/12)，且"sin"(α-π/12)=3/5，可得cos⁡(α-π/12)=4/5，那么cos⁡(α+π/6)=cos⁡[(α-π/12)+π/4]=cos⁡(α-π/12)cos⁡π/4-sin⁡(α-π/12)sin⁡π/4=√2/10，于是cos⁡(2α+π/3)=2cos^2(α+π/6)-1=2×(√2/10)^2-1=-24/25.故答案为：-24/25．四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：(1)S_ΔABC=1/2absinC=1/2×a×√3×sin5π/6=√3/2，解得a=2，由余弦定理可得c=√(a^2+b^2-2abcosC)=√(2^2+(√3)^2-2×2×√3×cos5π/6)=√13；(2)由正弦定理得a/sinA=c/sinC=√3/(sinπ/3)=2，所以a=2sinA,c=2sinC，∵B=π/3，∴a=2sin(π/3+C)=√3cosC+sinC，∴2c-a=3sinC-√3cosC=2√3sin(C-π/6)，∵C∈(0,2π/3),C-π/6∈(-π/6,π/2)，∴sin(C-π/6)∈(-1/2,1)，∴2c-a的取值范围是(-√3,2√3)．18.解：(1)由题意易知BE⊥BC，则如图所示，分别以(BE)⃗、(BC)⃗、⃗(BB_1)为x，y，z轴建立坐标系，则E(2√3,0,0)，A_1(2√3,-2,3)，B_1(0,0,3)，B(0,0,0)，又因为⃗(A_1E)=(0,2,-3)，设⃗a=⃗(A_1B_1)=(-2√3,2,0)，⃗u=⃗(A_1E)/(|⃗(A_1E)|)=(0,2/√13,-3/√13)所以点B_1到直线A_1E的距离d=√(⃗a^2-(⃗a•⃗u)^2)=√(16-16/13)=(8√39)/13；(2)又⃗BE=(2√3,0,0)，⃗(BA_1)=(2√3,-2,3)，⃗(BB_1)=(0,0,3)，设平面EA_1B的一个法向量为⃗(n_1)=(x_1,y_1,z_1)，平面B_1A_1B的一个法向量为⃗(n_2)=(x_2,y_2,z_2)，则{■(⃗BE•⃗(n_1)=0@⃗(BA_1)•⃗(n_1)=0)┤，有{■(2√3x_1=0@2√3x_1-2y_1+3z_1=0)┤，解得{■(x_1=0@y_1=3/2z_1)┤，即可得⃗(n_1)=(0,3,2)，{■(⃗(BB_1)•⃗(n_2)=0@⃗(BA_1)•⃗(n_2)=0)┤,{■(3z_2=0@2√3x_2-2y_2+3z_2=0)┤,解得{■(z_2=0@y_2=√3x_2)┤，即可得⃗(n_2)=(1,√3,0)，设二面角B_1-A_1B-E的平面角为θ，可知θ为钝角，则|cosθ|=|(⃗(n_1)•⃗(n_2))/(|⃗(n_1)|•|⃗(n_2)|)|=(3√3)/(√(3^2+2^2)•√(3+1))=(3√39)/26，所以平面B_1A_1B与平面A_1BE夹角的余弦值是(3√39)/26．9.解：(1)由于l_1的斜率为2，则l_2的斜率为-1/2，则l_2的方程为y=-1/2(x-1)+2，令y=0，得Q(5,0)，(b-1)/(a+1)表示点M(a,b)与N(-1,1)连线的斜率，由于k_PN=1/2，k_QN=-1/6，所以，(b-1)/(a+1)的取值范围是[-1/6,1/2]．(2)由题可知，直线l_1，l_2的斜率均存在，且不为0，设l_1的斜率为k(k≠0)，则l_2的斜率为-1/k，直线l_1的方程为y=k(x-1)+2，令x=0，得y_A=2-k，直线l_2的方程为y=-1/k(x-1)+2，令x=0，得y_B=2+1/k，则|AB|=|y_B-y_A|=|1/k+k|=|1/k|+|k|⩾2，当且仅当k=±1时取“=”．故|AB|的最小值为2．20.如图，已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切.过点B(－2，0)的动直线l与圆A交于M，N两点.(1)求圆A的方程；(2)当|MN|＝219时，求直线l的方程.解(1)设圆A的半径为r.∵圆A与直线l：x＋2y＋7＝0相切，∴r＝|－1＋4＋7|5＝25.∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)①当直线l与x轴垂直时，直