初中数学轴对称图形与等腰三角形 作业设计一

■版本学科:沪科版・中学数学________________

・单元名称：《第15章轴对称图形与等腰三角形》

▲

目录

第一部分立足教材把握总体

-教材单元信息..................................................................1

二单元内容及教材分析............................................................1

1.内容体系...................................................................1

2.教材分析...................................................................2

3.学情分析...................................................................2

4.知识网络图................................................................2

三单元学习目标.................................................................2

1.学习目标..................................................................2

2.重难点....................................................................3

四单元作业目标.................................................................3

1.课程内容..................................................................3

2.学习水平..................................................................4

3.行为目的..................................................................4

五单元作业整体设计思路.........................................................5

第二部分关注学情夯实提升

第一节轴对称图形...............................................................6

本节知识要点与重难点.........................................................6

15.1.1轴对称图形.............................................................6

动手操作1：京剧脸谱....................................................8

15.1.2轴对称与线段的垂直平分线..............................................10

动手操作2：折纸数学...................................................11

15.1.3平面直角坐标系中的轴对称..............................................14

第二节线段的垂直平分线.........................................................18

本节知识要点与重难点.........................................................18

15.2.1线段垂直平分线的性质..................................................18

15.2.2线段垂直平分线的判定..................................................23

第三节等腰三角形..............................................................28

本节知识要点与重难点........................................................28

15.3.1等腰三角形的定义及性质................................................28

15.3.2等边三角形的性质......................................................32

15.3.3等腰三角形的判定......................................................56

动手操作3：图形分割...................................................37

15.3.4含30°角的直角三角形的性质...........................................40

第四节角的平分线..............................................................44

本节知识要点与重难点........................................................44

15.4.1角平分线的作法.........................................................44

15.4.2角平分线的性质........................................................48

15.4.3角平分线的判定........................................................56

单元质量检测....................................................................56

动手操作4：剪纸艺术...................................................62

数学与历史：我国古建筑中的“中轴对称美”........................................66

匚＞作业改计第15章轴对称图形与等腰三角形

第一部分：立足教材把握总体

教材单元信息

学科年级学期教材版本单元名称

基本信息轴对称图形与

数学八年级上学期沪科版

等腰三角形

单元组织方式自然单元口重组单元

章节课时名称对应教材内容

15.1.1轴对称图形15.1(P118-119)

第一R15.1.2轴对称与线段的垂直平分线15.1(P119-122)

15.1.3平面直角坐标系中的轴对称15.1(P123-124)

15.2.1线段垂直平分线的性质15.2(P128-129)

弟一T

15.2.2线段垂直平分线的判定15.2(P129-130)

15.3.1等腰三角形的定义及性质15.3(P132-133)

课时信息15.3.2等边三角形的性质15.3(P133)

第二T15.3.3等腰三角形的判定15.3(P136-137)

15.3.4含30°角的直角三角形的性

15.3(P137-138)

质

15.4.1角平分线的作法15.4(P141-142)

第四节15.4.2角平分线的性质15.4(P143-144)

15.4.3角平分线的判定15.4(P144)

小结单元质量检以J

单元内容及教材分析

本章主要内容共有四个部分：

1.内第一部分是轴对称图形，立足于学生的生活经验和数学活动经历，

容体系观察现实生活中的对称现象，给出了轴对称图形和轴对称的概念，并结

合成轴对称的两个图形上对称点关系的研究，给出了线段的垂直平分线

概念.归纳出轴对称性质以及讨论在坐标平面内关于坐标轴对称的点的

坐标关系.

第1页

本章第二部分是线段的垂直平分线.通过探索一条已知线段的垂直

平分线的作法，介绍线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，以及三角

形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.

本章第三部分是等腰三角形，首先利用叠合操作法研究等腰三角形

的轴对称性，给出等腰三角形的性质1及其证明，进而证明了判定两个

直角三角形全等的“HL”定理，研究了等腰三角形的判定定理及其推论，

得到“直角三角形中30°锐角所对边等于斜边的一半”这一性质.

本章第四部分是角的平分线.教科书通过探索一个已知角的平分线

的作法，介绍了角的平分线的性质定理及其逆定理，最后利用性质定理

及其逆定理证明三角形三个内角的平分线相交于一点，这点到三角形三

边距离相等.

(1)突出轴对称性的工具作用，教材将线段的垂直平分线、等腰三角

形和角平分线的性质的研究依次安排在轴对称之后，集中体现了轴对称

变换的工具性，以及这些内容的前后顺序和层次性.

2.教(2)注重操作实验的作用.本章体现的轴对称性，与实际操作密切相

材分析关，教材内容的呈现注重操作实验的作用，注意让学生从感性认识到理

性认识的深化

(3)注重数学思想方法的训练.本章内容以轴对称为主线串联，图形的

对称均可以转化为点的对称来讨论.线段的垂直平分线、等腰三角形和

角的平分线都是通过研究其对称性展开的，充分展示转化化归思想的应

用.

3学学生已学习了三角形的基本概念，掌握了全等三角形的的相关性质，并

情分析且对轴对称有具体的感知，在此基础上更加系统理论的研究轴对称图

形，并由此获得线段的垂直平分线、角平分线、等腰三角形的特殊性质.

技M1线段的霾飞4.

轴：•直平分线，，j性

4知识轴对尸质

网络图对：・叫称;角：角平分线—|当

称图担

(町援腰三角开立♦

单元学习目标

(1)通过具体实例了解轴对称概念，能够识别简单的轴对称图形，理解

学轴对称的基本性质知道对应点所连线段被对称轴垂直平分.

习(2)能够作出简单平面图形经过一次轴对称后的图形，了解基本图形(线

目段、角、等腰三角形)的轴对称性.认识轴对称在现实生活中的应用，能

标够利用轴对称进行简单的图案设计.

(3)了解线段垂直平分线概念，理解和掌握线段的垂直平分线的性质定

第2页

理和逆定理、角的平分线的性质定理和逆定理、等腰三角形(等边三角形)

的性质定理和逆定理，能够利用它们进行与之相关的证明和计算，发展学

生推理证明的能力.

(4)能够利用尺规作图作已知线段的垂直平分线和已知角的平分线，并

能证明其正确性.

(5)了解三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点

的距离相等；三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距

离相等等性质.掌握判定两个直角三角形全等的“HL”定理，以及“直角

三角形中30°锐角所对边等于斜边的一半”.

(6)能够应用所学知识解释生活中的对称现象，解决实际问题，在观察、

操作、论证的过程中，发展空间观念，激发学习图形的兴趣.

本章所研究的轴对称变换是基本的几何变换，线段的垂直平分线、角

平分线和等腰三角形等几何图形的性质与判定不仅可以直接用来解决实

重际问题，且对今后继续学习几何知识具有十分重要的意义.

难本章的学习重点是：轴对称的性质、线段的垂直平分线、角的平分线、

点等腰三角形性质和判定.

本章的学习难点是：轴对称和轴对称图形的区别和联系；线段的垂直

平分线、角的平分线尺规作法的正确性的证明；线段的垂直平分线、角的

平分线、等腰三角形的性质和判定的综合运用.

单元作业目标

课标依据：《义务教育数学课程标准(2011版)》规定了数学学科的课程

性质、课程目标、内容目标、实施建议的教学指导性文件.数学课程标准作为教

材、教学和评价的出发点和归宿，也是数学作业设计的出发点和归宿.因此，可

以依据数学课程标准凝聚出课程内容、学习水平、行为目的三个方面的课标依据

来展开本章的作业设计.

具体

内容依据课标的作业目标

维度

初中阶段安排了四个部分的本章为轴对称图形与等腰三角

课程内容，分别为：“数与代数”、形，主要属于图形与几何的部分，依

“图形与几何”、“统计与概率”、据课标中课程内容要求设计本章作业

课“综合与实践”.在《义务教育目标为：

标数学课程标准(2011版)》课程(1)让学生从现实生活中丰富的轴对

依

课程标准要求课程内容反映社会的需称图形中认识轴对称的相关概念；

据

内

容要、数学的特点，要符合学生的

认知规律.不仅包括数学的结果，

(2)能够识别简单的轴对称图形；

也包括数学结果的形成过程和蕴

含数学思想方法.课程内容的选

择要贴近学生的实际，有利于学(3)认识轴对称在现实生活中的应

生体验与理解、思考与探索.课用，能利用轴对称进行简单的图案设

计；

第3页

程内容的要求直接关系作业设计

的内容选择，作业内容的组织要

(4)认识垂直平分线、等腰三角形、

重视过程，处理好过程与结果的

角平分线等基本图形.

关系，要重视直观，处理好直观

与抽象的关系；要重视直接经验，

处理好直接经验与间接经验的关

系.

依据学习水平容要求设计本章作业目

在《义务教育数学课程标准标为：

(2011版)》课程标准要求中，(1)理解轴对称概念并能识别轴对称

不同的课程内容设置了不同学习图形，利用轴对称性质解决相关问题；

水平，旨在满足不同内容对学生(2)能够应用所学知识解释生活中的

发展的需要.在课程标准要求中，对称现象，解决简单的实际问题；

描述学习水平的主要行为动词(3)认识并理解线段垂直平分线概念

学

习如：了解、认识、理解、掌握、和性质，并能够解决相关几何问题；

水

平应用等，认识到不同内容要达到(4)理解并掌握角的平分线的性质定

的学习水平比盲目教学更重要，理和逆定理并能够解决相关问题；

准确把握不同教学内容的学习水(5)理解并掌握等腰三角形(等边三

平进行作业设计，可以更高效让角形)的性质定理和逆定理并能解决

学生完成发展要求，有效拓宽学相关问题；

生视野、引导学生进行深度思考、(6)能够利用尺规作图作已知线段的

更好地发展学生能力，学习对生垂直平分线和已知角的平分线；

活有用的数学.(7)能够灵活应用相关定理解决综合

类几何问题.

在《义务教育数学课程标准(1)思考并推理线段的垂直平分线、

(2011版)》数学课程标准中，等腰三角形、角的平分线性质的证明；

强调知识技能、数学思考、解决(2)能够利用它们进行与之相关的证

问题、情感态度四个方面的目标明和计算，解决相关的实际问题，发

实施，体验概念生成的过程，行展学生推理证明的能力；

行为

为目的是作业设计的必要要求.(3)通过作业的练习，培养学生独立

目

的

作业设计应着重考虑课程标思考以及反思总结的能力；

准的要求，根据课标内容设计作(4)体验克服困难的解决问题的过

业.探索相关的基本性质和判定，程，有克服困难的勇气，形成实事求

独立思考，体会基本思想和思维是的科学态度.

方法，分析问题和解决问题，初

步形成评价和反思意识.

第4页

HTJ.…单元作业整体设计思路

本单元作业整体设计思路符合分层设计和多元融合原则.

设计原则

分层设计多元融合

多兀融介理念要求作业的种类纷繁复杂.木单兀从数

作业情的分展，是指可以根据学生个体储况和

学教学内容的编排情况看，分为课时作业、单九作业，

对其发展要求的不同进行增减.对「作业后的

设计,应根据学生的发展展次小同，设计不同我们“J以从小同的便।面边彳」划分.从布竹竹业形式和

内容上看，可以分为口头作业、绘图作业、实践性作

作业;上合理把控做题时间.作业设计时要考

业等等,各类型之间互为补充、融合，为学生顺利完

虑学生的最近发展区，注重知识内在逻辑性.

成7：习11标提供居础的材料和用要坏\'i.

____________________________________________________________

（编写原则

坚持分发性.根据不同学生的学习特点进行分片布酉，学生也可以根

据自身实际的学习情况进行选择.基础选择题考疗木课简小知识点，

提升选择题加入一些分析材料的要求，挑战选择题中加入定理的熟练

运川以及综合分析能力.基础必做卜观战为对木方知识点简单看ft,

遨型设问也较简单，适合所有学习过本课的学生完成.挑战选做题有

•定难度，需要经过四考分析之后得出答案，俄炼学生分析向题、解

决问题的能力.）

O

评价建议

1.关注轴对称及其性质的理解和应用的评价；

2.关注对图形性质和判定等基础知识和基本技能的掌握程度的评价；

3.关注学生探索和证明图形性质、判定和证明命题思路等过程的评价;

4.关注学生推理论证的能力和水平的评价.

第5页

第二部分：关注学情夯实提升

第一节、:屈£噩陶

15.1.1轴对称图形

作业1（夯实巩固）

1.今年2月份国际奥林匹克冬季奥运会在北京顺利举行，不考虑颜色差异,

下列流行的冬奥会元素图案是轴对称图形的是（）

A.B-C.D.BEIJING202^

2.甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，后经发展，形成大篆、

小篆等多种文字，下列古文中，不是轴对称图形的是（）

第6页

4X

3.下图是由“。”和“『组成的轴对称图形，该图形的对称轴<:>/

」

^加

6:

是直线（）-\

/0、

0.0

A.I,B.AC.l3D.l4

hh

h

4.如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线1对称，请写出这个单词

BOOK-Q-0~/BOOK

5.晚上小明同学写完作业，看到镜子对面电子钟显示数的图像如图2口：|弓

这时的时刻应是

作业2（发展提升）

6.如图，将一个矩形纸片沿BC折叠，若NABC=24°,则NACD

的度数为一.

第7页

7.如图，有六个正六边形，在每个正六边形里有六个

顶点，要求用两个顶点连线（即正六边形的对角线）

将正六方形分成若干块，相邻的两块用黑白两色分

开.最后形成轴对称图形，图中已画出三个，请你继

续画出三个不同的轴对称图形（至少用两条对角线）.

0^0

8.（动手操作1）京剧脸谱：是一种具有中国文化特色的特殊化妆方式，历史

悠久，形态各异，多数为轴对称图形，是一种美与丑的艺术融合。每位同学动手

设计一款只有半边脸的简单面具，与同桌交换，完成另一半，比较下哪位同学的

设计的脸谱更加美观.

本行题后说明

【评价设计】一一作业评价表

等级

评价指标备注

ABC

A等，答案正确、过程正确；

答题的准确性B等，答案正确、过程有问题；

C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错

误、或无过程.

A等，过程规范，答案正确；

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确；

C等，过程不规范或无过程，答案错误.

A等，解法有新意和独到之处，答案正确；

解法的创新性B等，解法思路有创新，答案不完整或错误；

C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.

第8页

A等，及时反馈、认真订正，并记录整理错题，总结方法；

反馈的有效性B等，简单订正，未整理总结；

C等，错误不及时订正.

户4自评

药口参考：AAA、AAB综合评价为A等；ABB、BBB、AAC综

评价家长评合评价为B等；其余情况综合评价为C等；

z教师评评价者也可根据其他实际情况给予等级.

【作业分析】一一多维细目表

内题能力

□具体作业分析误区判断难度来源

容素养

根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线

折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫

1观察概念不清.0.95原创

做轴对称图形进行分析即可.此题主要考查了轴对

称图形，关键是找出图形中的对称轴.

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键

2观察是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.根据轴概念不清.0.95原创

对称图形的概念求解.

根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部

3推理分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条概念不清.0.75题库

直线叫做对称轴进行分析即可.

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能作图不严

轴4观察0.90改编

够互相重合，图形叫做轴对称图形.谨.

对

考查镜面对称，平面镜成像的特点之一就是左右上

称不懂得平面

下互换，数字时钟的像对应的时间一般从后面读数

图5分析镜成像规0.85题库

即为像对应的时间，也可将数字左右互换，并将每

形律.

一个数字左右反转，即为像对应的时间.

不会利用平

关键是掌握两直线平行，内错角相等.根据平行线

行线性质和

6推理的性质和折叠可得N2=24°,然后再算N0.75改编

找出相等

ACD=24°的度数即可.

角.

根据轴对称的定义和六边形的性质求解可得.本题想不出符合

7作图主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是掌握轴条件的多种0.80题库

对称变换的定义和性质及正六边形的性质.情况..

课本

8作图利用轴对称原来设计图形.缺乏美感和0.65

改编

设计感.

第9页

15.1.2轴对称与线段的垂直平分线

作业1（夯实巩固）

1,下列说法错误的是（）

A.关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合

B.线段是轴对称图形

C,全等的两个三角形一定关于某直线成轴对称

D.轴对称图形的对称轴至少有一条

《.：・图史与•标号二.的.三角形•成轴.对称的三•角形的个数.为™

第io页

5.从汽车的后视镜中看见某车车牌的后5位号码是Q|£dAfl该车的后5位号码

实际是_________.

BA62gQSdAfl

BA62f

作业2（发展提升）

6.在下列各图中分别补一个小正方形，使其成为不同的轴对称图形.

【参考答案】解：如图所示：

（图1）（图2）（图3）

【设计意图】此题主要考查了轴对称图形的性质，利用轴对称设计图案，加深学

生对轴对称的理解和认知，培养学生的动手操作能力和作图能力，增加学生的学

习兴趣.

7.（动手操作2）

折纸数学：从数学的角度去研究折纸，从数学教学的视角去开发折纸.折纸

数学，从事这一领域研究的科学家几乎一开始都被折纸过程中所蕴含的简单而纯

粹的美所吸引，他们的工作开启了一个科学和工程学的宝库.

折纸飞机是同学们都喜爱的一项小手工，小明将一张正方形纸片按如图顺序

折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），/AOB的度数是—.

第11页

8.如图a是长方形纸带，ZDEF=20°,将纸带沿EF折叠成图b,再沿BF折叠

成图c,则图c中的NCFE的度数.

VAD/7BCNDEF=4FB=2。，b

NGFC=180。-24FG=140cc/CFE=NGFC-NEFG=120。

NDEF=4FB=20。b/GFC=140。c

/CFE=/GFC-4FG

本节题后说明

【评价设计】一一作业评价表

等级

评价指标备注

ABC

A等，答案正确、过程正确；

B等，答案正确、过程有问题；

答题的准确性

C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错

误、或无过程.

A等，过程规范，答案正确；

答题的规范性B等，过程不够规范、完整，答案正确；

C等，过程不规范或无过程，答案错误.

A等，解法有新意和独到之处，答案正确；

解法的创新性B等，解法思路有创新，答案不完整或错误；

C等，常规解法，思路不清楚，过程复杂或无过程.

A等，及时反馈、认真订正，并记录整理错题，总结方法；

反馈的有效性B等，简单订正，未整理总结；

C等，错误不及时订正.

综合自评参考：AAA、AAB综合评价为A等；ABB,BBB、AAC综

第12页

评价家长评合评价为B等；其余情况综合评价为C等；

等级评价者也可根据其他实际情况给予等级.

教师评

【作业分析】一一多维细目表

内能力

题号具体作业分析误区判断难度来源

容素养

考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的概念以概念掌握不

1理解0.90题库

及性质是解题的关键.牢固.

对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴

上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，

2观察遗漏情况.0.85题库

对应的角、线段都相等.根据轴对称的性质结

合图形写出成轴对称的三角形即可.

本题考查的是利用轴对称设计图案，轴对称图

概念掌握不

3推理形是要寻找对称轴，沿对称轴对折后与两部分0.75改编

清.

完全重合即为所求.

轴考查了利用轴对称的性质，正确掌握轴对称图对轴对称

4观察的理解不够0.90改编

对形的性质是解题关键.

深入.

称

考查了镜面对称的知识，解决此类题应认真观

与与生活现象

察，注意技巧，难度一般.在平面镜中的像与

线5分析的联系不紧0.85题库

现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关

段密.

于镜面对称.

的

垂折叠中的轴

本题考查轴对称的性质；能够通过折叠理解角

直6推理对称的不熟0.75改编

之间的对称关系是解题的关键.

平练使用.

分

考查了轴对称图形的性质，利用轴对称设计图作图遗漏对

线7作图0.80题库

案，正确把握轴对称图形的性质是解题关键.应的情况.

翻折中的轴

考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠

对称的性质

8推理是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称0.65改编

不能熟练应

的性质，折叠前后图形的形状和大小不变.

用.

第13页

15.1.3平面直角坐标系中的轴对称

作业1(夯实巩固)

1.在平面直角坐标系中，点P(4,-2)关于y轴的对称点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.线段MN在平面直角坐标系中的位置如图，若线段M'N1与MN关于y不中…产“十十十

轴对称，则点M的对应点M,的坐标为()“浑莘二m

A.(4,2)B,(-4,2)二

C.(-4,-2)D.(4,-2)

3.已知点P(a+1,2a-3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是()

A.a<—1B.——C.—<a〈lD.a>—

222

【参考答案】B.点P关于X轴的对称点在第一象限，说明P在第四象限，第四：

象限点横坐标满足a+l>0,即a>T；纵坐标满足2a-3<0,即a3，二-；

22

【设计意图】本题给出含字母的点的坐标，提升了难度，需要学生加强对字母代？

替数字的认知，引导学生思维的发展，促进学生的理解层面，进一步加深对只是；

的深化理解并合理运用.

4.已知A,B两点关于x轴对称，且点A的坐标是(3,-1),则点A,B之间的

距离为.

第14页

5.如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使，得整个图形是以

虚线为对称轴的轴对称图形，则把阴影涂在图中标有数

字的格子内.

:75°4=65°，NC=180°-(65°-75°)=40°

「NCDE+NCED=180。-NC=140。

.：42=360°-(ZA-4+/+ZCED-NCDE)=3600-300°=60°

7.已知点A(2m+n,2),B(l,n-m),当m,n分别为何值时，则下列条件成

立？

(1)在图中作出AABC关于x轴的对称图形△ABG,并写出点儿，B„。的坐

标；(2)求4ABC的面积.

本打题后说明

【评价设计】一一作业评价表

等级

评价指标备注

ABC

A等，答案正确、过程正确；

等，答案正确、过程有问题；

答题的准确性B

C等，答案不正确,有过程不完整；答案不准确，过程错