2023-2024学年福建省龙岩市连城一中高一（下）月考数学试卷（5月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省龙岩市连城一中高一（下）月考数学试卷（5月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若(1+i)z−=1−3i( i为虚数单位)，则z=A.−1+2i B.−1−2i C.1+2i D.1−2i2.已知平面向量a=(1,0),b=(−1,k),c=(2,1)，若(A.1 B.−1 C.−14 3.已知△ABC是边长为1的正三角形，BD=2DC，AB+AC=2A.34 B.32 C.384.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是(    )(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式V=13A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸5.一组数据按从小到大的顺序排列为2，4，m，12，16，17，若该组数据的中位数是极差的35，则该组数据的第40百分位数是(

)A.4 B.5 C.6 D.96.在三棱锥P−ABC中，AB⊥BC，BC⊥CP，且BC=1，CP=2，AB=3，AP=14，则此三棱锥外接球的体积为(

)A.14π B.7143π7.如图是某人设计的产品图纸，已知四边形ABCD的三个顶点A，B，C在某圆上，且AD//BC，AD⊥CD，AD=4，BC=3，CD=1，则该圆的面积为(

)A.132π

B.172π

C.8.已知e1，e2是单位向量，且e1，e2的夹角为θ，若|e1A.[π3,2π3] B.[二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知某公司共有员工20000人，30岁以下的员工有8000人，30到50岁的员工10000人，为了了解公司员工的身体情况，进行分层抽样，抽取一个容量为2000的样本，得到身体健康状况良好的比例如下：30岁以下的员工占99%，30到50岁的员工占98%，其他员工占96%.下列说法正确的是(

)A.从50岁以上的员工抽取了200人

B.每名员工被抽到的概率为110

C.估计该公司员工身体健康状况良好率为97.7%(百分数保留一位小数)

D.身体健康状况欠佳的人数最多的年龄层是30岁到5010.如图所示，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是AD，CCA.当点P与A，B两点不重合时，平面PMN截正方体所得的截面是五边形

B.平面PMN截正方体所得的截面可能是三角形

C.△MPN一定是锐角三角形

D.△MPN面积的最大值是21

11.对任意两个非零的平面向量a和b，定义：a⊕b=a⋅b|a|2+|b|2；a⊙bA.1 B.32 C.54 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为2π3的扇形，则此圆锥的母线长为______．13.已知向量a和b满足：|a|=1，|b|=2，|2a−b14.如图，在扇形OAB中，半径OA=4，∠AOB=90°，C在半径OB上，D在半径OA上，E是扇形弧上的动点(不包含端点)，则平行四边形BCDE的周长的取值范围是______．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=4，∠BAC=60°，M，N分别为AC，BC上的两点AN=12AC，BM=13BC，AM，BN相交于点P．

(Ⅰ)求|AM16.(本小题15分)

某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.经过随机抽样，获得200户居民的年用水量(单位：吨)数据，按[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]分成九组，制成如图所示的频率分布直方图：

(1)求直方图中t的值；

(2)根据频率分布直方图估计该市60%的居民年用水量不超过m吨，求m的值；

(3)已知该市有100万户居民，规定：每户居民年用水量不超过50吨的正常收费，若超过50吨，则超出的部分每吨收1元水资源改善基金，请估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数约为多少.(每组数据以所在区间的中点值为代表)17.(本小题15分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2sinC−sinB=tanAcosB．

(1)求A；

(2)若a=2，求2c−b的取值范围．18.(本小题17分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB⊥BB1C1C，BC=1，AB=BB1=2，∠BCC1=π3．

(Ⅰ)求证：C1B⊥平面ABC；

(Ⅱ)P19.(本小题17分)

给出定义：对于函数f(x)=msinx+ncosx，则称向量a=(m,n)为函数f(x)的特征向量，同时称函数f(x)为向量a=(m,n)的特征函数．

(1)设向量p,q分别为函数f(x)=sinx+3cosx与函数g(x)=3sinx+cosx的特征向量，求p⋅q；

(2)设向量m=(1,3)的特征函数为ℎ(x)，且ℎ(θ)=43，θ∈(−π6,π3)，求sinθ的值；

(3)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，答案1.A

2.C

3.A

4.B

5.C

6.B

7.B

8.C

9.ABD

10.AD

11.AC

12.3

13.2314.(8,12]

15.解：(Ⅰ)因为BM=13BC，

所以AM=AB+BM=AB+13BC=AB+13(AC−AB)=23AB+13AC，

所以16.解：(1)由频率分布直方图得10×(0.003+0.008+0.022+0.024+0.007+0.003+0.003+2t)=1，

解得t=0.015；

(2)在200户居民年用水量频率分布直方图中，

前5组频率之和为0.03+0.08+0.15+0.22+0.24=0.72，

前4组频率之和为0.03+0.08+0.15+0.22=0.48，

所以40<m<50，

由m−4010=0.6−0.480.24，解得m=45；

(3)由题可知区间[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]内的居民年用水量分别取55，65，75，85为代表，

则他们的年用水量分别超出5吨，15吨，25吨，35吨，

则106×(0.15×5+0.07×15+0.03×25+0.03×35)=3.6×10617.解：(1)由题意知，2sinC−sinB=sinAcosA×cosB，

所以2cosAsinC−cosAsinB=sinAcosB，

则2cosAsinC=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC，

又C∈(0,π)，所以sinC≠0，所以cosA=12，

又A∈(0,π)，所以A=π3．

(2)由(1)得2sinC−sinB=sinAcosA×cosB，由正弦定理得2c−b=acosBcosA，

又a=2，A=π3，所以2c−b=4cosB．

18.(Ⅰ)证明：AB⊥侧面BB1C1C，得AB⊥C1B，

由BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=π3，

知∠C1BC=90°，即C1B⊥CB，

又CB∩BA=A，

故C 1B⊥平面ABC；

(Ⅱ)解：由已知AB⊥侧面BB1C1C，

知面ABB1A1⊥面BB1C1C，

过C1作C1P⊥BB1于P，

则C1P⊥面AA1B1B，

因C1P⊂面C1AP，

故平面C1AP⊥平面AA119.解：(1)给出定义：对于函数f(x)=msinx+ncosx，则称向量a=(m,n)为函数f(x)的特征向量，

因为向量p,q分别为函数f(x)=sinx+3cosx与函数g(x)=3sinx+cosx的特征向量，

根据定义得p=(1,3),q=(3,1)，

所以p⋅q=1×3+3×1=23；

(2)对于函数f(x)=msinx+ncosx，