2023-2024学年江苏省南通市海安实验中学高一（下）期末数学模拟试卷（6月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江苏省南通市海安实验中学高一（下）期末数学模拟试卷（6月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数i1−i的虚部为(

)A.−12i B.12i 2.已知一组数据分别是2.65，2.68，2.68，2.72，2.73，2.75，2.80，2.80，2.82，2.83，则它们的75百分位数为(

)A.2.75 B.2.80 C.2.81 D.2.823.甲、乙两人独立地解决某个数学难题，甲解决出该难题的概率为0.4，乙解决出该难题的概率为0.5，则该难题被解决出的概率为(

)A.0.9 B.0.8 C.0.7 D.0.24.在△ABC中，边长c=6，A=105°，B=45°，则△ABC的外接圆的面积是(

)A.6π B.24π C.26π5.已知α∈(0,π2)，若sin(α−πA.43−310 B.−4+336.已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列说法正确的是(

)A.若m⊥α，m⊥n，则n⊂α

B.若m，n与α所成的角相等，则m/​/n

C.若m/​/α，m//β，则α/​/β

D.若m/​/n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β7.已知一个古典概型，其样本空间中共有12个样本点，其中事件A有6个样本点，事件B有4个样本点，事件A+B有8个样本点，则下列说法正确的是(

)A.事件A与事件B互斥 B.P(B−)=13

C.P(AB)>P(AB−8.如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所制成的.已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，且圆台的母线与底面所成的角为π3，圆锥的底面是圆台的上底面，顶点在圆台的下底面上，则该工业部件的体积为(

)A.23π B.163π二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：

则下列结论中正确的是(

)A.招商引资后，工资性收入较前一年增加

B.招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍

C.招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的25

D.10.已知向量a=(x,1)，b=(−1,2)，下列结论中正确的是(

)A.若a/​/b，则x=−12

B.若a⊥b，则x=2

C.当x<2时，a与b的夹角为锐角

D.若x=111.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1A.AP与BD1始终保持垂直

B.PA+PD的最小值为6

C.经过AC1的平面截正方体所得截面面积的最小值为62

D.以三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a和b满足|a|=2，|b|=1，|a+b13.欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为eix=cosx+isinx，i是虚数单位.将指数函数的定义域扩大到复数集，则在复平面内，复数ei14.在△ABC中，P在边BC上且AP平分∠BAC，若∠BAC=2π3，AB=2AC=2，则线段AP的长为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能，为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式，同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性.苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一，提出了2023年交易金额达2万亿元的目标.现从使用数字人民币的市民中随机选出200人，并将他们按年龄(单位：岁)进行分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65]，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求直方图中a的值和第25百分位数；

(2)在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年䯍在[25,35)和[45,55)内抽取6位市民做问卷调查，并从中随机抽取两名幸运市民，求两名幸运市民年龄都在[25,35)内的概率．16.(本小题15分)

已知向量a=(1,−3)，向量b与a的夹角为23π，且|b|=2．

(1)求向量b的坐标；

(2)设向量c=(sinx,cosx)，(x∈R)，向量17.(本小题15分)

在①sinAsinBsinC=32(sin2A+sin2C−sin2B)；②1tanA+1tanB=sinC3sinAcosB；③设△ABC的面积为S，且43S+3(b2−a2)=3c2.这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上.并加以解答．18.(本小题17分)

如图，在三棱锥S−ABC中，平面SAB⊥平面SBC，∠CBA=90°，SA=AB=BC=2，SC=23，D、E分别为SB，AB的中点．

(1)求证：SB⊥BC；

(2)若点F在线段SC上，且DF/​/平面ABC，求SFFC；

(3)求二面角E−DC−B19.(本小题17分)

我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对(z1,z2)(z1,z2∈C)视为一个向量，记作α=(z1,z2).两个复向量α=(z1,z2)，β=(z3,z4)的线性运算定义为：mα+nβ=(mz1+nz3,mz2+nz4)，(m,n∈R)；两个复向量α=(z1,z2)，β=(z答案1.D

2.B

3.C

4.A

5.A

6.D

7.D

8.B

9.AD

10.ABD

11.AC

12.3413.四

14.2315.解：(1)(a+0.03+0.015+0.01×2)×10=1⇒a=0.035，

因为第一组的频率为0.01×10=0.1，0.1<0.25，

第二组的频率为0.03×10=0.3，0.1+0.3>0.25，

所以第25百分位数在第二组，设为x，则0.1+x−2510×0.3=0.25⇒x=30，

所以第25百分位数为30．

(2)年龄在[25,35)的市民人数为200×0.3=60，年龄在[45,55)的市民人数为200×0.15=30，

用分层随机抽样的方法抽取年龄在[25,35)的人数为6×6060+30=4人，年龄在[45,55)的人数为6×3060+30=2人，

设年龄在[25,35)的4人为A，B，C，D，年龄在[45,55)的2人为E，F，

从这6为市民中抽取两名的样本事件为{(AB),(AC),(AD),(AE),(AF),(BC),(BD),(BE),(BF),(CD),(CE),(CF),(DE),(DF),(EF)}，共15种，

其中2名年龄都在[25,35)内的样本事件有16.解：(1)设b=(p,q)，

由|b|=2．

则p2+q2=4，①

又向量a=(1,−3)，向量b与a的夹角为23π，

则a⋅b=|a||b|cos2π3=12+(−3)2×2×(−12)=−2，

即1×p+(−3)×q=−2，②

联立①②可得：p=−2q=0或p=1q=3，

即b的坐标为(−2,0)或(1,3)；

(2)已知向量m=(−3,1)，

又b⋅m=0，

当b=(−2,0)时，显然17.解：(1)选①，由题意利用正弦定理得acsinB=32(a2+c2−b2)，

由余弦定理可得acsinB=32×2accosB，

可得sinB=3cosB，

所以tanB=3，

因为B∈(0,π)，

故B=π3，

又b=23，a+c=6，

由余弦定理可得12=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac=36−3ac，

解得ac=8，

所以△ABC的面积S=12acsinB=12×8×32=23；

选②，因为1tanA+1tanB=sinC3sinAcosB，

所以cosAsinA+cosBsinB

=sinBcosA+cosBsinAsinAsinB

=sinCsinAsinB

=sinC3sinAcosB，

因为A，C∈(0,π)，

所以sinC≠0，sinA≠0，

所以sinB=3cosB，

所以tanB=3，

因为B∈(0,π)，

故B=π3，

又b=23，a+c=6，

由余弦定理可得12=a2+c2−ac=(a+c)2−3ac=36−3ac，

解得ac=8，

所以△ABC的面积S=12acsinB=12×8×32=23；

选③，设△ABC的面积为S，由题意可得43×12acsinB=318.解：(1)证明：因为SA=AB，D为SB的中点，所以AD⊥SB，

因为平面SAB⊥平面SBC，AD⊂平面SAB，平面SAB∩平面SBC=SB，

所以AD⊥平面SBC，又BC⊂平面SBC，所以AD⊥BC，

因为∠CBA=90°，所以AB⊥BC，又AD∩AB=A，AD⊂平面SAB，AB⊂平面SAB，

所以BC⊥平面SAB，又SB⊂平面SAB，所以SB⊥BC；

(2)因为F在线段SC上，且DF/​/平面ABC，

而平面SBC∩平面ABC=BC，DF⊂平面SBC，

所以DF/​/BC，

又D为SB的中点，

所以F为SC的中点，

故SFFC=1；

(3)取BD中点H，过H作HK⊥CD于K，连接EK，

因为E、H分别为AB、BD的中点，所以EH/​/AD，

由(1)知AD⊥SB，AD⊥BC，所以EH⊥SB，EH⊥BC，

又SB∩BC=B，SB⊂平面SBC，BC⊂平面SBC，

所以EH⊥平面SBC，即EH⊥平面BDC，又CD⊂平面BDC，所以EH⊥CD，

因为HK⊥CD，EH∩HK=H，EH⊂平面EHK，HK⊂平面EHK，

所以CD⊥平面EHK，又EK⊂平面EHK，所以CD⊥EK，

所以∠EKH为二面角E−DC−B的平面角，

在△SBC中，∠CBS=90°，BC=2，SC=23，所以SB=12−4=22，

在△SAB中，SA=AB=2，SB=22，所以SA⊥AB，

由(1)可知BC⊥平面SAB，SA⊂平面SAB，所以SA⊥BC，

又AB∩BC=B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以SA⊥平面ABC，

因为CE⊂平面ABC，所以SA⊥EC，

因为D、E分别为SB、AB的中点，所以DE//SA且DE=12SA=1，所以DE⊥EC，

在Rt△BEC中，BE=1，BC=2，所以EC=5，

在Rt△DEC中，DE=1，EC=5，所以DC=6，所以EK=56，

在Rt△ADB中，AD=19.解：(1)因为α=(3,4)，β=(1−i,i)，

所以α⋅