2023年上海洋泾中学高二下期中数学试卷及答案

高中高中上海市洋泾中学2022学年度第二学期高二数学期中考试试卷一、填空题（1—6题每题3分，7—10题每题4分，共34分）1.从4本不同的书中选出2本排成一列，则一共有__________种排法．2.某人抛硬币100次，其中10次正面向上，则正面向上的经验概率为__________．3.双曲线的离心率__________．4.已知圆锥的高为3，母线长为5，则该圆锥的体积为__________．5.函数驻点个数为__________．6.已知曲线在点处的瞬时变化率为，则点的坐标为__________．7.甲、乙两人各进行一次投篮，两人投中的概率分别为，已知两人的投中互为独立事件，则两人中至少有一个人投中的概率为__________．8.已知，，则__________．9.已知、、，点是圆上的动点，则的取值范围是___________.10.已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且对任意的恒成立，则不等式的解集为________．二、选择题（11—12题每题3分，13—14题每题4分，共14分）11.对于常数，“”是“方程的曲线是椭圆”的（）．A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件12.著名的古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理：把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面和侧面相切（该球也被称为圆柱的内切球），那么此时圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为定值，则该定值为（）．A. B. C. D.13.某舞台灯光设备有一种36头LED矩阵灯（如图所示），其中有2头LED灯出现故障，假设每头灯出现故障的概率是等可能的，则这2头故障LED灯相邻（横向相邻或纵向相邻）的概率为（）．A. B. C. D.14.已知函数，若，使得成立，则的取值范围为（）A B.C. D.三、解答题15.已知，其中．（1）求实数的值；（2）求的值．16.如图，长方体中，，，点为棱中点．（1）求证：直线∥平面；（2）求直线与直线所成角的大小．（用反三角表示）17.已知抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，它的准线过双曲线的左焦点，斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于不同两点，．（1）求抛物线的方程；（2）若，求的值．18.为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组概率为，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小（直接写出结果）．19.已知函数,其中.（1）求函数在点的切线方程;（2）函数是否存在极值点,若存在求出极值点,若不存在,请说明理由;（3）若关于的不等式在区间上恒成立,求实数的取值范围.

高中高中上海市洋泾中学2022学年度第二学期高二数学期中考试试卷一、填空题（1—6题每题3分，7—10题每题4分，共34分）1.从4本不同书中选出2本排成一列，则一共有__________种排法．【答案】12【解析】【分析】运用排列数计算即可.【详解】由题意知，从4本不同的书中选出2本排成一列共有种排法.故答案为：12.2.某人抛硬币100次，其中10次正面向上，则正面向上的经验概率为__________．【答案】0.1【解析】【分析】根据经验概率的计算公式即可算出答案。【详解】因为抛硬币100次，其中10次正面向上，所以正面向上的经验概率为.故答案为：0.1.3.双曲线的离心率__________．【答案】2【解析】【分析】由双曲线的方程写出、的值，再由离心率公式求得结果.【详解】由题意知，，，所以.故答案为：2.4.已知圆锥的高为3，母线长为5，则该圆锥的体积为__________．【答案】【解析】【分析】求出底面半径，根据圆锥体积公式计算即可.【详解】圆锥的高为，母线长为，则底面半径，圆锥的体积.故答案为：.5.函数的驻点个数为__________．【答案】2【解析】【分析】先求导，然后判断出导函数方程为零的解的个数即可求出驻点个数.【详解】，，，方程有2个解所以函数的驻点个数为2.故答案为：26.已知曲线在点处的瞬时变化率为，则点的坐标为__________．【答案】【解析】【分析】根据函数，求导，再令求解即可.【详解】解：由可得，由得，，所以点坐标为，故答案为：7.甲、乙两人各进行一次投篮，两人投中的概率分别为，已知两人的投中互为独立事件，则两人中至少有一个人投中的概率为__________．【答案】0.9##【解析】【分析】由条件计算两人都没有投中的概率，再得两人至少有一人投中的概率.【详解】由题，两人都没有投中的概率为，所以两人中至少有一个人投中的概率.故答案为：0.9.8.已知，，则__________．【答案】##0.75【解析】【分析】由条件概率公式求解即可.【详解】由题意得，而，得，而，解得，故答案为：.9.已知、、，点是圆上的动点，则的取值范围是___________.【答案】##【解析】【分析】将圆转化成参数方程，等价于，结合数量积公式和辅助角公式即可求解.【详解】因为点是圆上的动点，可设为，又因为、、，则，，，因为，所以，所以.故答案为：10.已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且对任意的恒成立，则不等式的解集为________．【答案】【解析】【分析】由已知构造函数，并得出函数在上单调递减，再求解不等式即可.【详解】令，则在上恒成立，所以在上单调递减.又，即，又，即，所以，解得，所以不等式的解集为．故答案为：.【点睛】方法点睛：构造函数是解决抽象不等式的基本方法，根据题设的条件，并借助初等函数的导数公式和导数的基本运算法则，相应地构造出辅助函数.通过进一步研究辅助函数的有关性质，给予巧妙的解答.利用导数构造函数时，不仅要牢记两个函数u(x)和v(x)的积、商的导数公式的特点，还需要牢记常用函数的导数的特征.二、选择题（11—12题每题3分，13—14题每题4分，共14分）11.对于常数，“”是“方程的曲线是椭圆”的（）．A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】运用椭圆方程的一般形式求得m、n的范围，结合两集合的包含关系判断即可.【详解】因为“方程的曲线是椭圆”，则，又因为，但，所以“”是“方程的曲线是椭圆”的必要不充分条件.故选：B.12.著名的古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理：把一个球放在一个圆柱形的容器中，如果盖上容器的上盖后，球恰好与圆柱的上、下底面和侧面相切（该球也被称为圆柱的内切球），那么此时圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为定值，则该定值为（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据已知条件可得，结合圆柱与球的体积公式计算即可.【详解】设圆柱的母线长为l，内切球的半径为r，如图所示，则其轴截面如图所示，则，所以圆柱的内切球体积为，圆柱体积为，所以圆柱的内切球体积与圆柱体积之比为.故选：D.13.某舞台灯光设备有一种36头LED矩阵灯（如图所示），其中有2头LED灯出现故障，假设每头灯出现故障的概率是等可能的，则这2头故障LED灯相邻（横向相邻或纵向相邻）的概率为（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出横向、纵向相邻的LED灯总对数，再应用古典概型的概率求法求概率.【详解】每列相邻的LED灯共5对，共有6列，故横向相邻有种；同理纵向相邻也有种，所以这2头故障LED灯相邻的概率为.故选：A.14.已知函数，若，使得成立，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由，使得成立，可得函数的值域包含的值域.利用二次函数的性质与导数分析和时，函数的单调性，进而求得的值域和的值域，从而求解.【详解】由，使得成立，则函数的值域包含的值域.当时，函数开口向上，对称轴，所以在上单调递减，且，所以；当时，，则，①若，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，所以，即，解得；②若，则，在上单调递增，此时值域为，符合题意.③当时，的值域为，不符合题意.综上所述，实数的取值范围为.故选：B.三、解答题15.已知，其中．（1）求实数的值；（2）求的值．【答案】（1）9（2）19682【解析】【分析】（1）利用二项式展开式的通项公式即可求解；（2）利用赋值法，令求得所有项的系数和，再令得到，即可得出答案.【小问1详解】二项式的展开式的通项公式为，又，则令得：，解得：，所以的值为.【小问2详解】由（1）得：，令得：，令得：，则.16.如图，长方体中，，，点为棱的中点．（1）求证：直线∥平面；（2）求直线与直线所成角的大小．（用反三角表示）【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面平行判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，按照空间向量的坐标运算即可求解直线与平面所成的角．【小问1详解】证明：设交BD于点O，连接PO，因为四边形ABCD为正方形，所以O为BD的中点，又因为P为的中点，所以，又因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.【小问2详解】以D为原点，建立如图空间直角坐标系，则，，，，，因为，，设直线与直线PB所成的角为，则，所以直线与直线PB所成的角为.17.已知抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴，它的准线过双曲线的左焦点，斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于不同两点，．（1）求抛物线的方程；（2）若，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得双曲线的左焦点为，设抛物线的方程为，所以，由此可求得抛物线的方程；（2）直线的方程为，代入抛物线方程后应用韦达定理得，利用抛物线定义及，得出的关系，与韦达定理结合可求得.【小问1详解】双曲线，即，可知左焦点为，故抛物线的准线方程为，又因为抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，设抛物线的方程为，所以，解得，所以抛物线的方程为；【小问2详解】抛物线的方程为，则其焦点，设直线的方程为，，由，可得：，，，根据抛物线定义，，，又，代入得(舍)或，.18.为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“k合1检测法”，即将k个人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现有100人，已知其中2人感染病毒．（1）①若采用“10合1检测法”，且两名患者在同一组，求总检测次数；②已知10人分成一组，分10组，两名感染患者在同一组的概率为，定义随机变量X为总检测次数，求检测次数X的分布列和数学期望E(X)；（2）若采用“5合1检测法”，检测次数Y的期望为E(Y)，试比较E(X)和E(Y)的大小（直接写出结果）．【答案】（1）①20次；②分布列见解析；期望（2）【解析】【分析】(1)①由题设条件还原情境，即可得解；②求出X的取值情况，求出各情况下的概率，进而可得分布列，再由期望的公式即可得解；(2)求出两名感染者在一组的概率，进而求出，即可得解.【小问1详解】①对每组进行检测，需要10次；再对结果为阳性的组每个人进行检测，需要10次；所以总检测次数为20次；②由题意，可以取20，30，，，则X的分布列:X2030P所以；【小问2详解】由题意，Y可以取25，30，两名感染者在同一组的概率为，不在同一组的概率为，则.19.已知函数,其中.（1）求函数在点的切线方程;（2）函数是否存在极值点,若存在求出极值点,若不存在,请说明理由;（3）若关于的不等式在区间上恒成立,求实数的取值范围.【答案】（1）（2）,不存在极值点;,存在一个极小值点,无极大值点（3）【解析】【分析】(1)对求导,求出切点斜率,再根据切点求出切线方程即可;(2)令,对进行求导,再讨论及时导函数的正负及极值点即可;(3)将代入,先讨论时的取值范围,再全分离,构造新函数,求导求单调性求最值,即可得出的取值范围.【小问1详解】解:由题知,,所以在点的切线方程为,即;【小问2详解】设,定义域,,当时,恒成立,所以在单调递增,所以不存在极值点,当时,令