高中数学函数六大题型22个

高中数学函数六大题型22个专题

题型一：切线型

1.求在某处的切线方程

2.求过某点的切线方程

3.已知切线方程求参数

题型二：单调型

1.主导函数需“二次求导”型

2.主导函数为“一次函数”型

3.主导函数为“二次函数”型

4.已知函数单调性，求参数范围

题型三：极值最值型

1.求函数的极值

2.求函数的最值

3.已知极值求参数

4.已知最值求参数

题型四：零点型

1.零点（交点，根）的个数问题

2.零点存在性定理的应用

3.极值点偏移问题

题型五：恒成立与存在性问题

1.单变量型恒成立问题

2.单变・型存在性问题

3.双变・型的恒成立与存在性问题

4.等式型恒成立与存在性问题

题型六：与不等式有关的证明问题

1.单变■型不等式证明

2.含有e*与Inx的不等式证明技巧

3.多元函数不等式的证明

4.数列型不等式证明的构造方法

题型一切线型

I会在基々卜的切纬方程

例1.12015重庆理20】求函数的在点(1,/U))处的切线方程.

解：由心尸生.得/'0)=至匚①，切点为(1,-).斜率为/'(1)=3

e*evee

Ltl/D=",得切点坐标为(1，3),由，(1)=3,得切线斜率为'：

eeee

，切线方程为v—'=*—I),即3x—勺=().

ee

例2.求/、)=/(1+2)在点(1,41))处的切线方程.

x

解：由小)=e1+2),得八X)=9(T+1+2)

XX2X

由川)=3e,得切点坐标为(1.3e),由/,(l)=2e,得切线斜率为2e；

切线方程为j,—3e=2e(x—I),即2ex—j+e=().

例3.求於)=/〃?在点(0,川)))处的切线方程.

l+.v

解：由f(x)=hr--=ln(1—.r)—//?(1+.v).得/'(x)=-7^---

I+x1-xI+.v

由＜0)=0,得切点坐标为(0,0),由/(0)=-2,得切线斜率为一2：

，切线方程为)-=-2x,即2t+y=0.

例4.[2015全国新课标理20(1)]在直角坐标系xoj中，曲线C:产:与

内线/：.产履+。(。＞0)交手W,N两点，当4=0时，分别求C在点A/与N处的

切线方程.

解：由题意得:a=—.则、=±2如.EfJM(—2\ja,a),N(2^la,a),

4

由.")=?，得/'(x)=：，

42

当切点为,M-2g,〃)时，切线斜率为/＜-20)=一%，

此时切线方程为：“zv+y+a=0：

当切点为N20,。)时，切线斜率为./(2茹)=4，

此时切线方程为：\[ax-y-〃=0：

解顾楼板一I七左甘办66刖住士担

小XL木丸口1仕

⑴写出/(.V)；

⑵求出/'(.V);

⑶写出切点(.0,刎);

⑷切线斜率A=/(")；

⑸切线方程为「一人\»)=/'(.V")(x—X").

2.求过某点的切线方程

点P在曲线I:

Step\设切点为3”儿\»)),则切线斜率/'(.s),切线方程为：

J-/(X")=/'(Xu)(X-x<>)

Step!因为切线过点(a.b),所以6—/U,)=/'(.g)(a—r“.解得和=力或xo=3

Step?.当.Yo=.vi时，切线方程为y—A-Vi)=/Vo)(-v-.ri)

当X0=X2时,切线方程为—A.v：)=/'(Ao)(.V—X2)

例1.求心•)=¥+：过点尸(2,4)的切线方程.

解：设切点为(心，+3+：),则切线斜率/5)=.*

所以切线方程为：)一；v()3+：=x，(y—Y(J),

由切线外id.点/，(2.4)’可得4一(2一工”)，整理得：3.市+4

=0,解得.3=-1或Xo=2

当的=一1时，切线方程为：A—v+2=0：

当x(>=2时，切线方程为：4x—j,—4=0.

例2.求力2=.\3—4./+米-4过点(2,一2)的切线方程.

解：设切点为(.“，MJ—4x『+5xo—4),则切线斜率/'(.3=3底一切)+5,

所以切线方程,为：j,一(.vn3—4xo2+5AO—4)=(3xo;-8x(>+5)(x—xo),

由切线经过点P(2,4).可得4—(.v<i5—4.v()2+5xo—4)=(3x(r—8.r()+5)(2—xo).

解得x<，=l或x(>=2

当x)=l时，切线方程为：2jr+r-2=0:

当x0=2时，切线方程为：.\一1-4=0.

例3.过,4(1,〃?)(〃#2)可作3k的三条切线，求m的取值范围.

解：设切点为5,需一3怎)),则切线斜率/'(.")=3x/一3,切线方程为

y—(x<F—3.xo)=(3.r()2—3)(x—x<))

•••切线经过点尸(LM，

.■./»―(.xo?-4,ro2+5.Xi।-4)=(3xo2-8x0+5)(1-.ro)»

即：-2x(P+一3一〃?=0,即m=-2A■(?+3x『—3

；过点A(\,，"X"?W2)可作Jlx)=xi-3x的三条切线，

••・方程，”=-2YJ+3XJ—3,有一:个不同的实数根.

，曲线"(g)=-ZrJ+3xJ—3与直线)=ni有三个不同交点，

/r(xn)=­6.x()2+6.vo=­6.YII(.X(I—I)

令"(xo)>O，则OVxoVl：令〃*(.*)VO,则x(V0或XD>1

.•〃(沏)在(-8,0)递减,在(0.1)递增,在(I,+8)递减,

.•・〃(府)的极小值=〃(0)=—3,"(Xo)的极大值=〃(1)=-2,

由题意得一3VxV—2.

例4.由点(一。，e—2)可向曲线1作几条切线，并说明理由.

解：设切点为(a，Z/m-.v,-1),则切线斜率/'(斯))=,一1，切线方程为

X0

)(/〃")-M)-1)=(---1)(戈一国))，

Xo

,切线经过点(一e,e—2),

.*4?-2-(lnx()-x()-1)=(---1)(—e—xo),即lnxo=-

X。xo

・・尸/心与i=-只有个交点

x

・•・方程〃小=幺行唯一的实数根

X0

丁.由点(一。，e—2)可向曲线儿”=/〃.¥—.v—1作一条切线.

解题模板二求过某点的切线方程

⑴设切点为3”4加)，则切线斜率/'(X。)，切线方程为：

,r-7(.Vo)—f'(Xo)(.LXo)

⑵因为切线过点(〃，b),所以Z>一/Uli)〒/'，的)("一x"，解得或."=

⑶当Xo=.Vi时，切线方程为「一/U-|)=V'(MI)(N—M)

当Xo=.V2时，切线方程为V—JlXl)=/，(A||)(.V—V2)

3.已知切线方程求参数

解题模板三已知切线方程求参数

已知直线—+6r+c=()与曲线2相切

⑴设切点横坐标为x。，则

f(K")=--

［切点纵坐标=切点纵坐标B

I切线斜率=切线斜率即/'3，)=一4

B

⑵解方程组得X"及参数的值.

例1.函数噜+"在(1,7U))处的切线方程为x+2j-3=0,求a,〃的值.

x+1X

缶3.9\alnxh.~al"b

斛：./(A)=--+-<・：/(】•)=----------；

x+lX(x+l)2『

川)=1[6=1

由题意知：/(|)=_发即卜—竹

「。=b=1

3一1

例24\)=符7心+----在(1,川))处的切线方程为J，=«L1)+2,求〃，h的值.

x

kpX~II|I

解：.'")=aexlnxT-----,.J'(x)=aex(一~1~/〃3)+6婷一|(H--)

XXX2X

〜［川)=2f/)=2

由题意知力“尸一e，即Le=e

.•・〃=1,6=2

例3.若直线j=Ax+6是广/小+2的切线，也是.尸/〃(.v+l)的切线，求。

解：设尸=4+6与j=/nr+2相切的切点横坐标为.□♦y=fcv+b与产历(x+I)相

切的切点横坐标为不，

lnx\+2=kjc\+b①

/〃"2+1)=上心+6③，由②③得：M=M+1，

由①一③得：/〃XI—/〃(X2+1)+2=A(XLX2),将上式代入得:k=2

.*=；,代入①得：一/〃2+2=1+力

.*./)=I—M2.

制1芒〃，4=、。八八=用本日在赤占才卜育珏同的切第6，，和泣初储

i/uT.4=IgrS3>uq口x，xxML-人尔zj-r，、irHJRX，v、“'ix"刃乂

方程.

\!xo=alnx(>①

解：设切点横坐标为xo,则」尸=旦②，由②得点=2口，

2出uJRJ

2

代人①得：xt>=e.

・•・切点为Q2,e),切线斜率为［,••.切线方程为x-2*+e2=0.

例5.已知函数HK)=.P+M+：,当«为何值时，.r轴为曲线方程j寸灯的切线.

例6.已知函数八X)=》z+亿、+力和g(x)=ev(cv+rf)都过点打0,2)且在。处有相同切

线j=lv+2,求"，h,c,〃的值.

题型二单调型

1.主导函数需“二次求导.'型

1不含参求单调区间

例1.求函数)=.V(/—1)—#的单调区间.

解：4V)的定义域为/?

f'(x)=ex(I+.v)—I—x=(x+1)(ex+1)

令./”(x)>0,得》<一1或x>0：令/(x)V0,得一1<XV0

J(x)的增区间为(一oo,-1)和(0,4-00),减区间为(一1,0).

例2.求函数斤)=(1+、/(">())在(一工，0)上的单调性

X

八、

府午：/X川'JAU人」以7（—8，

（戈）=0、（一旦+2+I）=?片+"五一4）

.VXX2

令/，（x）>0,得x<-—严工令/,（x）〈0,得-一yEzo

<x）的增区间为（一，，减区间为（一、一产石,0）。

解题模版二求解函数的单调区间

⑴求出函数人\）的定义域;

⑵求八X）；

⑶判断了'（、）的正负；

f'（x）=kx+b

注：导函数的形式是有限的

,二次求导型

⑷写出函数的单调区间.

注：①求单调区间结论一定叙述为4D单调区间为…

讨论单调性可叙述为**）在某区间增（减）

②多个相同单调性区间要用逗号隔开，不能用U

③单调区间书写时用中括号还是小括号问题

II.主导函数需“二次求导”型

例1.讨论函数_/U）=（X+I）〃N—X+I的单调性.

解：<x）的定义域为（0,4-00）

f'（x）=lnx+^—I=标+1

XX

令夕(X)=/".V+-*>0),则0'(K)=­

令夕(x)>0,则x>l：令Mx)V0,则OVxVl,

.•必x)在(0,1)上递减,在(1,+，)上递增.

.,必彻(0)=1>0,从而/'(x)>0

....(\・)在(0,+s)上递增.

例2.求函数/U)=x/r'+eN的单调区间.

解：JU)的定义域为R

/'(x)=(1—x)/r+e

令3(x)=(1—.r)e;-,+e»则9'(x)=(x-2)e2r

当x£(-oo,2)时,0'(x)VO,3⑶在(一oo,2)」二递减;

当一£(2,+QO)时,"(幻>0,少⑶在(2,+8)上递增;

工左夕(2)=-1+e>0

・・・«v)单调增［乂间为几无减区间.

例3.求函数儿、)=蛆吐”的单调区间.

x

解：.儿V)的定义域为(-1,0)5(),4-00)

△、)=x—(x+l)/〃(x+1)

A-u+1yx2

令9(x)=x—(x+1)/，Kx+I).则夕(x)=—/"(.v+1)

当xG(-1,0)时，.(x)>0,则夕(x)在(-1,0)上递增

/.^(x)<^(0)=0

・・/(x)<0

/..X-v)在(一1，0)上递减

当xG(0,+<»)时,q>'(x)<Q,—x)在(0,+8)上递减;

.,.0(x)V夕(0)=0

.V'(-r)<0

/./.V)在(0,+♦)上递减

综上所述：7U)单调递减区间为(一I,0)和(0,+(»).

例4.求函数=*+C的单调区间.

-//7.V-4-+C0<x<l

解：如)=/〃x—W+C.吟1

、与x=()，1)时，

xLxe一'

令3(x)=-e“-x+2AxG(0,I)

则夕'(x)=-2/*—1+4x

“'(x)=-4e-'+4=-4(e2'-l)<0.

.,.”(x)在(0,1)上递减

/./(.v)<^'(0)=-3<0

.,必刈加(0,1)上递减

，S(x)V夕(0)=-IV0,即“(x)VO

：.H(x)在(()，I)上递减

1|—Y-k7v*

当xe(l,+s)时，W'(.v)=-L—L-^=-~W-

xelx心

令夕(x)=e*-x+2x\xG(1.+oo)

则8(.v)=2/，-1+4.v

Vx>l

...“(x)>0

.•«X)在(I,+8)上递增

.•«x)>0(l)=n+I>0.即H'(.v)>0

.,.〃(》)在(1,+oo)上递增

综上所述:〃(x)由0,I)上递减，(1,+oo)上递增

重要方法V二次求导求函数单调性

当无法通过不等式判断一阶导函数的正负时，可对“主导”函数再次求导,

这种“再构造，再求导”是破解函数综合问题的强大武器。

⑴通过判断/的符号，来判断/'(2的单调性；

⑵通过赋特殊值找到了'(2的零点，进而得到/'(x)的正负区间.

2.主导函数为“一次函数,•型

例1.求函数./(')=9'—化1+1的单调区间.

解：.仆)的定义域为火

/'(工)=产-4

当把0时，r(x)>0恒成立，・,・贸2的增区间为/?

当a>0时，令/(工)〉0,则工〉/〃出令/b)V0,则xV加a：

.\Xx)的增区间为(/〃a，+QO),减区间为(一8,Ina)。

综上所述：当a<()时，|t)的增区间为R

当〃>0时，.心)的增区间为(/〃m+ao),减区间为(一JO,!na)o

例2.求函数/U)=〃ix—亿v+卜的单调区间.

解：人工)的定义域为(0，+，)

八戈)=L-q+x=(:v+L)-a

XX

当咨时，/")K)恒成立，.；心)的增区间为(0，+/)

当a>2时，令，(x)=0,则》=仁乒^或》=史*H

令/，(x)>0,则OVxV"J三或x>S"

<>/'(x)<0,则k仍=<x<a+声=

...«、)的增区间为(0.。一尸)和”尸.+«»,

减区间为Ki用，力尸）

综上所述:当咨时，乂X）的增区间为（0,4-00）

当。＞2时，小）的增区间为（。，g-甲）和（二"+00）,

减区间为（匚归，我近三）

22

例3.求函数/U）=〃z—av的单调区间.

解：＜x）的定义域为（0,+8）

f'（x}=~~a

X

当go时，八x）＞0,〉.危）的增区间为（0,4-00）

当。＞0时，令/'（x）＞0,则OVx〈l；令/'（x）＜0,则x＞1：

aa

1.H、）的增区间为（0,1）•减区间为（1，+s）.

aa

综上所述:当把0时，.儿丫）的增区间为（0,+s）

当a＞0时，儿\。的增区间为（0,-）♦减区间为（1,+s）。

aa

例4.求函数/（N）=at—（〃+1）/〃（》+1）（e一1）的单调区间.

解：4t）的定义域为（一1，+8）

〃+]_办_1

f\x)=a

x+1x+1

当一1＜6?＜0时，av—1＜0,即/'（戈）00

・・』（工）的减区间为（-1,+oo）

当。＞0时，令/，（x）＞0,则x＞L令/（x）VO,则一IVxvL

aa

...（丫）的增区间为（L+s）,减区间为（-1.

aa

综上所述:当一1H0时，风0的减区间为（-1,+8）

当。＞0时，心・）的增区间为（L+，），减区间为（一1,4

aa

例5.求函数/k）=x*（RO）的单调区间.

解：的定义域为〃

/'（x）=（1+6）*

当A＞0时，儿¥）的增区间为（一+oo）,减区间为（-8,—i）,

kk

io

当A<0时，危）的增区间为（一g,一1）,减区间为（一1，+吟.

kk

综上所述："iA>0时，危）的地区间为（一；，+s）,减区间为（一s,--J-）

kk

当《<0时，，/12的增区间为（一心，—7）»减区间为（一1，+s）.

kk

例6.求函数./U）=K—（“G/?）的单调区间.

解：<X）的定义域为（0，+8）

f（x}=I-—=---

XX

当OSO时，/W，则一X）的增区间为（0,4-00）

当a>0时,>/'（.r）>0,则x>a,令/，（x）V0,则OVxVa.

.•.JU）的增区间为m，+刈，减区间为（（），a）

综卜.所述：当的时，/x）的增区间为（0，+8）.

当a>0时，危）的增区间为（a,4-00）,减区间为（0,a）.

至要方法二一次函数型（一）

当导函数可表示为常见已知函数，（例如：。',x+LL寸-2A）与一个常参数（例

XX

如：“，2AJ,一“）的差的形式时，可通过画出已知函数与常值函数图像的方法

（I

对参数进行分类讨论.

重要方法三〔一次函数型（二）二级分类法

当导函数为一次函数（一次项系数为参数）时，可用二级分类法

⑴判断最高次项系数的正负；

⑵判断一次方程的根与定义域端点值的大小.

3.主导函数为“二次函数”型

例1.求函数2x+〃/〃.v的单调区间.

解：<幻的定义域为（0,+ao）

,（2=入―21-2y+“_4一（-~犷+加

XXX

当“［时，/'。e0,则<x）的增区间为（0,+8）

I—x1A-2。

当OVqV；时，令/，（x）=0,则巾-2a+/|

?2

令/，（x）＞0,则OVxV匕亚三无，或x＞:+WW

22

令n.v）＜0,则匕正&＜x＜止叵，

22

11

•收的增区间为（。，刁三）和（1^户，+8）

减区间为（匕年1,制三）

当空0时，令，（x）＞0,则x＞J+业―2、

令/，(x)<0,则ovx<J+«T"

.♦•Av）的地区间为（1±年每，+8）,减区间为（0,1+3―吗

综上所述：当时，儿”的增区间为（（），+%）,

当0＜。＜；时，斤）的增区间为（0，I」；_2"）和（1+@-2a,+8）

—22

减区间为（匕士二M,止严）

当困）时，＜x）的增区间为（1+飞-%,+/）,减区间为（0,1±*必）

—2

例2.求函数小尸帝AX）单调区间.

解：＜x）的定义域为R

(')―(x*2+k)2-(片+A)2-(x2+k)2

当Q1时，/'(X巨0,危)的增区间为A

当0V4VI时，令/〈x)=0,则xi=l—注=1+7^

令/心)>0,则OVxVl一41一上或x>l+-\[l-k

令/'(-v)<0,则1-\[\^k<x<1+\f^k.

.；4x)的增区间为(0,I—'71-A)fll(1+\j\—k,+cc)

减区间为(I—y/l—k.1+A/|—k)

综上所述:当后1时,一X）的增区间为R

当0V—V1时.危）的增区间为（0,1—/7）和（1+/7,4-00）

减区间为（1—yjl—k,I+\J]—k）

例3.讨论函数_/（x）=x—~+〃（2—加1）的单调性.

X

解：＜x）的定义域为（O.+cc）

2

c.,2a.r2—av+2'一二一"

/'0）=1+~-——=--------=_i_

22

XXXx

当好23时./'（2N0,小）的增区间为（0,+8）

当。＞2/时，令/,（x）=0,则*=匕亘，x2=°+g

2一

令r（x）＞0,则OVxV厂后、或、＞生生二1

22

令f'M＜0,则匕匹＜x＜生他三1

22

心）的增（X：间为（0.。一尸）和（。+尹,+，）

减区间为（纥豆三，也一）

22

综上所述：当空2迫时，.心）的增区间为（O.+s）,

当。>2/时，<x）的增区间为（0,a—*—8）和尸+?-8,+◎

减区间为（9二

22

重要方法四二次函数型（一）

当导函数可表示为常见已知函数（例如：eSx+LL.—一太）与一个常参数（例如：

XX

U，2k,I,一〃）的差的形式时，可通过画出已知函数与常值函数图像的方法对参

a

数进行分类讨论.

例如：2——2x+〃，XE（0,+QO）可化为〃一（一2一+2丫）

13

X2—Zv+A,x^R

X2-av+2,x£(0,+公)

例4,求函数/U-）=（x-A）咛的单调区间.

<r

解：.仆）的定义域为/?

/'（x）=[2x-2A+Vx?-2外+六）]3=4（工2—八—

kekk（T

当A>0时，<x）的增区间为（-8,—A）和（A,+oo）,减区间为（一A,A）

当AVO时，/x）的增区间为出一k）,减区间为（一8,A）和（一A,+QO）.

综上所述:当Q>0时,—的增区间为（一划一〃）和（A,+夕），

减区间为（一—一

当AVO时,—的增区间为（A,T）,

减区间为（一8,A）和（-A,+co）.

例5.求函数八工）=//tv+心，+M“6/?）的单调区间.

解：处0的定义域为（0,+oo）

2ar+x+l

f,(x)=~+2ax+1=

xx

当色o时，/'（x）＞o,则.小）的增区间为（0,+®）.

人,，，、niiiii_1+业一8a—1一3一8。

当a＜0时,令/'(x)=0，则xi=---------s--------,xz=---------s--------

4a4a

（此处X|V0〈X2），故将X|舍去.

（注意：此处xi*=J＜0，可知一根为正，一根为负）

2a

令/,（x）＞0,则0VXV士配通，（灯的增区间为（0,―一^^）

4a4a

令/''（x）＞0,则/（x）的减区间为（一1一11—8。,+oo）

4a4a

综上所述：当色0时，贝工）的增区间为（0，+8）.

当。＜0时，/X）的增区间为（0,二

4a

减区间为（+⑼.

4a

例6.求函数/工）=心一）—2/ztv的单调区间.

x

解：.心）的定义域为（0.+s）

rw=«+---=av2-lv+a

X2X

14

当空0时，/'（x）VO,则4v）的减区间为（0,+/）.

（注意：此处GVO,—ZvVO,aVO,故ad—2r+4V0）

当〃＞0时，由小、-2x+a=0,得△=4一4炉

⑴当△口，即的1时，八••乐幻的增区间为（0,+oo）

⑵当△＞（）,即OVaVI时，令/'（x）=0,则Xin二^二"二,.次=J+0一”：

aa

令/（x）＞0,则ovxv［一在』x＞!+正三

令/，(x)<0,则]一/—」<,<]+辿.

aa

.・«，)的增区间为(。，i-yj)和(世正工+oo)

aa

讨br]“1~J1-a21+3—

碱区同为(——N---------,——Y---------)

aa

综上所述：当好0时，<工)的减区间为(0，+8).

当OVqVl时，«Y)的增区间为(0,1一)1一"2)和([+[|-.,+s)

aa

减区间为(匕亚三，1+尸)

aa

当在]时,{x)的增区间为(0,+co)

例7.求函数凡0=”/心+51的单调区间.

解：的定义域为(0,+8).

.a.2a(.v+l)2+2x。炉+(2。+2代+。

/r(ilA)=-H------=----------=---------------

X(x+1yMx+l)2x(x+1)2

⑴当应0时，八x)>0,的增区间为(0,+oo).

(注:此处因的0,x>0,所以*>0,(2a+2>>0,。>0,即八x)>0)

⑵当aVO时，由6。+(2。+2戊+°=0,得△=84+4

①当△0)即心一；时，/'(x)V(),.寸、)的减区间为(0,+oo).

②当△>()即一：VaVO时,令/'(x)=0.

——(。+1)+42«­1

15

(注：此处由X|+X2=1>O,X「X2=一M里=-2—2>0,则Xl>0,X2>0)

aa

令/(x)>0,则0VxV-("+1或x>(。+1)+^1

令/，（x）<0,则一（/ILxv_（"+1）+31

aa

..."）的增区间为（0.-9+1）一^1）和（一（a+1）+^Fl,+,）

aa

减区间为(())

aa

综上所述：当生0时,<x)的地区间为(0,+«)).

当一，<oV0时，

仆)的增区间为(0,1吐上和(一伍+D+g,+s)

aa

减区间为(-8+1~~~)

aa

当g一；时，.左)的减区间为(0，+s)

重要方法五二次函数型(二)

当二次函数的最高次项系数含有字母时，且不能进行因式分解

⑴判断最高次项系数与零的关系，分为三类

(1=(),〃>(),ff<0

⑵当”=0时，很容易判断正负；

当">0时，可考虑每一项都为正，从而导数大于0;

当“V0时，考虑△及根与定义域端点值的大小.

♦—A

例如：.——(时0);

x

2at?+x+l,JV£(0,+s);

亿/一2v+〃，.v£(0,+oo)；

ax2+(2a+2)x+(bxG(0,+r)；

例8.求函数yu)=(i—〃)〃z—x+y的单调区间.

解：ao的定义域为(0,+QO)

16

II一；v+I])[ax+(4­])]

/f(.v)=—

X

(注1：此处主导函数为欧幻=奴2-x+1-a的△=(2d—1闫))

(注2：分类讨论的思想依据①最高次的系数。=0；②△=(),则a=；：③对应方

程的两个根相等，K[J1=—,则。=!；④让其中的根和区间端点相等，即()=

a2

—.即a=l。至此，a的取值被分成J'7类，即aVO,a=0,0<a<-.a=L

a22

1,1.1)

-2<a<a=a>

⑴当aVO时，<x)的增区间为(0,1),减区间为(1,4-oo)

(注3：此处上N<O<I)

a

⑵当a=0时，回x)的增区间为(0,I),减区间为(1,+s)

⑶当0<。<1时，小)的增区间为(0,1)和(上N，+s),减区间为(I,

2n

(注4：此处0VIV上士)

a

(4)当时，/x)的增区间为(0,+ao)

(5)当』V〃V1时,心竹的增M间为(0,匕9)和(1，+/)，减区间为(上士，1)

2aa

(注5：此处0V上±V1)

a

(6)当。=1时，_/x)的增区间为(I,+a>),减区间为(0,I)

(注6：此处上N<0VI)

a

(7)当a>l时，<x)的增区间为(1,4-00),减区间为(0,I)

(注7：⑴⑵类可以合并，(6X7)可以可并)

综上所述：当空0时，7(x)的增区间为(0,I),减区间为(1,4-oo)

力0<。<!时，儿\)的增区间为(0,1)和(上士，+s),减区间为(1,—)

17

当4=J时，启)的增区间为(0,+s)

当，时，儿丫)的增区间为(()，口)和(I,+s),减区间为(匕21)

2aa

当。=1时，.仆)的增区间为(1,+s),减区间为(0,1)=

例9.求函数7(》)=；".—一(2"+lw+2加K的单调区间.

解：/幻的定义域为(0,+oo)

.工(2a+l)x+2_(x—2)(ax—1)

/r(.v)—av-(2〃十I--=--------------=-----------

XxX

(注I：此处主导函数是箕=五一(2々+1田+2,△=(2«+l)-8a=(2a-|)\0,

故主导函数是可以因式分解的)

(注2：分类的思想①4=0：②△=(),即③两根相等1=2,即。=1：④其

2a2

中根与端点相等，即工=0，则。和!就可■以将数轴分成5部分，即需要分成5

a2

类)

⑴当凶)时，可幻的增区间是(0,2),减区间(2,+oo)

⑵当0VaV+h心)的增区间是(0,2)和(L+，)，减区间(2,-)

2aa

⑶当a=；时，(r)的增区同是(0.+s)

⑷当心!时，仆)的增区间足(0,4和(2,+oo),减区间(L2)

2aa

综上所述：当比。时，/x)的增区间是(0,2),减区间(2,4-00)

当OVaV』时,儿、)的增区间是(0，2)和(L+s),减区间(2,-)

2aa

当。=；时，加r)的增区间是(0,+/)

当时，Hx)的增区间是(0,1)和(2,+))，减区间(L2)

2aa

例10.求函数｛v）=/，z—仆+7—1,d:的单调区间.

x2

重要方法六二次函数型（三）

当二次函数的判别式^羽时，可采用四级分类法.

⑴判断最高次项系数与零的关系.

⑵判断根的判别式与零的关系.

⑶两根的大小比较.

（4）根与定义域端点值的大小比较.

例如：化——x+（l—〃），.tW（0,+S）;

-av2+x+w-LxW（0,+x）；

av2+（2w+l）.v+2,.v€（0,+，）；

例11.求函数仆）=.S—a（$2+x）的单调区间.

解：八）的定义域为我

f\x）=（1+工）产-4（1+*）=（3+1）（公一。）

⑴当把0时，令/，（x）＞0,则X＞-1：令/，（x）VO,则XV-1：

增区间为（一1，+8）,减区间为（一8,—1）

⑵当々V0时，令/（r）=0,则工i=-1,&=/〃〃

1'勺时，仆）的增M间是（一8,—1）和（/〃〃，+8）,减区间（一］,hui）

e

②当4=1时，仆］的增区间是/?

e

③时，仆）的增区间是（一8,/〃〃）和（一I,+oo）,减区间（/〃4,—1）

e

综上所述：当"W0时，JU）增区间为（一1，+，）,减区间为（一8,-1）

当。＞1时，仆）的增区间是（一8,—I）和（/〃〃，4-00）,减区间（-1,Ina）

e

当时，（v）的增区间是在

e

当OVav［时，儿丫）的增区间是（一g,/〃.）和（-1,+QO）,减区间（/〃〃，—1）

e

例12.求函数/（x）=（x—加x+cosv,x£（0,4），〃＞：的单调区

解:JU）的定义域为（0,乃）

/'（、）=sms+（X―a）cosv-sinx=（工一a）cosx

⑴当a沙时，令/'（x）＞0,则xG（］力：＞/'（v）＜0.则xG（O,"

的增区间为（，，%），城区间为（0，今

“、出多/八/_口.卜aCal'in—八iu!li/n—\£iu^.

八，JUJj口idl“J，八n•upI/HMZXr*j/y^v,

综上所述：当心r时，.仆)的增区间为《，力减区间为(0,1)

当;v4V乃时，咒V)的地区间为g，4)，减区间为(0，：)和(。，乃)

例13.求函数J[X)=((LX2—v)//i.\-jav24-A(〃£A)的单调区间.

解：1K)的定义域为(0,+8)

/'(工)=(2ax-1)lnx+ax-1-av+1=(2av-I)lnx

⑴当好0时，<x)的增区间是(0,1),减区间是(1,+8)

(2)当4>0时

①当Jvi,即。>《时，_Xx)的增区间是(0,J)和(I,+oo)>

2a22a

19

减区间是(J,I)

2a

②当4=1,即。=为寸，而)的增区间是(0，4-ao)

2a2

③当二•>1,即OVaV,时,")的增区间是(0,1)和(J,4-ao),

2a22a

减区间是(I,J)

综上所述:当比0时，川r)的增区间是(0,I),减区间是(I,+oo)

当时，Ax)的增区间是(0,[)和(1，+刈，减区间是(J,1)

22a2a

当。=:时，7U)的增区间是(0，+8)

当OVq<1时./U)的增区间是(0,1)和(1~,+8),减区间是(1.—)

22a2a

重要方法也二次函数型(四)

主导函数类似于二次函数形式.

例如：/(t)=(x+l)e-〃)；

/'(x)=(x—x£(0,不)，〃>：;

/r(x)=(2av-l)Z//x,xG(O,+ao)；

4.已知函数单调性，求参数范围

例1.函数尺)=上〕(，，>0)为H上单调函数，求，，的取值范围.

e'g'-2ax+I)

解:/'(x)=

(ax2+\f

函数y=ax1—2ax+Itf(过点(0,I)

.")壮/?上单调

••./'。左0在R上恒成立,即ax2-2ax+1对在/?上恒成立

⑴当a=0时，符合题意

(2)当。<0时，不符合题意

(3)当a>0时,只需△=4#-4但)，即OVgl

综上所述:a的取值范围为［0,1］

例2.函数/")=//*+在［2,+，)上是单调函数，求”的取值范围.

x

解：-

xx2

⑴若/X)在2+oc)上是单调递增,

Wij/'(x)=---+o>0在［2.+s)上恒成立

XX2

—,[2.+oo)

.Vx

令/=L