高中数学苏教版选修23教学案12　排列

i.r排列

第1课时排列与排列数公式

预

习

导入门答辩——辨析问题解疑惑

引

区新知自解——自读教材找关键

自主学习梳理主干zizfiux.ueK_ishulizfiugan

知识点1排列的定义

入口奈科

1.甲、乙两名同学参加一项活动，其中一名参加上午的活动，另外一名参加下午的活动.

问题1:甲在上午和乙在上午是相同的安排法吗？

提不：不是.

问题2：有几种不同的排法？

提示：两种.甲上午，乙下午；甲下午，乙上午.

2.若从甲、乙、丙三名同学中选出两名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学

参加下午的活动.

问题3：让你去安排这项活动，需要几步？

提示：分两步.

问题4：它们是什么？

提示：第一步确定上午的同学，第二步确定下午的同学.

问题5：有几种排法？

提示：上午有3种，下午有2种，因分步完成共3X2=6种.

问题6：这些排法相同吗？

提不：不相同，它们是有顺序的.

3.从4、氏C中任取两个元素，按照一定的顺序排成一列.

问题7：共有多少种不同的排列方法？

提示：3X2=6种.

问题8：试写出它们的排列.

提示：ab,ac,ba,be,ca,cb.

////.lf\iaa解，〃〃

排列的定义

一般地，从〃个不同的元素中取出〃QW〃）个元素，按照一定的顺序排成一列,叫做从〃个不同元素

中取出m个元素的一个排列.

知识点2排列数与排列数公式

勿勿入门答料,〃

己知数字1,2,3,4,5,6.

问题1：从1,2,3,4,5,6中选出两个数字,能构成多少个没有重复数字的两位数？

提示：有6X5=30（个）.

问题2：从1,2,3,4,5,6中选出三个数字,能构成多少个没有重复数字的三位数？

提示：有6X5X4=120（个）.

问题3：从1,2,3,4,5,6中选出四个数字,能构成多少个没有重复数字的四位数？

提示：有6X5X4X3=360（个）.

问题4：若从"个不同元素中取出个元素排成一列，有多少种不同的排法？

提示：有〃（“一1）（"-2）…（〃一〃?+1）（个）.

新知育解

排列数全排列

从〃不同元素中取出，”个

〃个不同元素全部取出的一个

元素的所有排列的

定义排列,叫做〃个不同元素的一

个数,叫做从〃个不同元素

个全排列

中取出机个元素的排列数

表示法A；；1A：：

乘积A；；,=M（n—1）（n—

1）（〃—2）•…・3/2T

形式2）…（〃一加+1）

公式

阶乘

ft!

A7=〃！

07—M!

形式

性质AS=1;0!=1

备注n,inGN*,且机

［归纳•升华•领悟］

1.判断一个具体问题是不是排列问题主要看从〃个元素中取出，"个元素后，在安排机个元素时，是

有序还是无序，有序是排列，无序就不是排列.也就是说排列与元素的顺序有关，与元素顺序无关的不是

02/14

排列.

2.排列与排列数是两个不同的概念，排列是一个具体的排法，不是数；排列数是所有排列的个数,

它是一个数.

课

堂

突破考点总结规律

互

II动

高考为标提炼技法

把握热点考向贵在学有所悟区

shisficnggongyantupozfiongnan师生共研突破更难

排列的概念

I例1］下列哪些问题是排列问题：

(1)从10名学生中抽2名学生开会；

⑵从2,3,5,7,II中任取两个数相乘；

(3)以圆上的10个点为端点作弦；

(4)10个车站，站与站间的车票.

［思路点拨］利用排列的定义去判断，关键是看取出的元素是否与顺序有关.

［精解详析］(1)2名学生开会没有顺序，不是排列问题.

(2)两个数相乘，与这两个数的顺序无关，不是排列问题.

(3)弦的端点没有先后顺序，不是排列问题.

(4)车票使用时，有起点和终点之分，故车票的使用是有顺序的，是排列问题.

［一点通］判断一个具体问题是否有顺序的方法：变换元素的位置，看结果有无变化，若有变化，则

与元素的顺序有关，是排列问题；否则，为非排列问题.

加”也.鱼靠钝〃〃/

1.更改例题的各条件如下，请重新判断是不是排列问题：

(1)抽2名学生当正、副班长；

(2)取两个数相除；

(3)以圆上10个点为端点作有向线段；

(4)10个车站间站与站的票价.

解：(1)2名学生当正、副班长是有顺序的，故是排列问题.

(2)两个数有除数和被除数之分，有顺序，是排列问题.

(3)有向线段有起点和终点之分，有顺序，是排列问题.

(4)两车站间来回的票价一样，故与顺序无关，不是排列问题.

2.判断下列问题是否为排列问题.

(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；

(2)选2个小组分别去植树和种菜；

(3)选2个小组去种菜；

(4)选10人组成一个学习小组；

(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；

(6)某班40名学生在假期相互通信.

解：(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题.

(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.

(3)、(4)不存在顺序问题，不属于排列问题.

(5)中每个人的职务不同，例如，甲当班长与当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.

(6)A给3写信与8给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题.

所以在上述各题中(2)、(5),(6)属于排列问题.

用列举法解排列问题

［例2］A,B,C,。四名同学站成一排照相，写出A不站在两端的所有可能站法.

［思路点拨］解决本题可通过树形图法，画出依题意的形状，便可写出不同的站法.

［精解详析J如图所示的树形图：

cc

l

nlB

oA

.

—

M

O

I

D£

故所有可能的站法是BACZ),BADC,BCAD,BDAC,CABD,CADB,CBAD,CDAB,DABC,DACB,

DBAC,DCAB,共12种.

［一点通］“树形图”是解决简单排列问题的有效方法，特别是元素较少时.在具体操作中，先将元

素按一定顺序排出，然后以安排哪个元素在首位为分类标准，进行分类，在每类中再在前面元素不变的情

况下定第二位元素，依次一直进行到完成一个排列.

〃〃//应依,集利〃〃/

3.A,B,C三个同学站成一排照相留念，写出所有排列.

解：由题意作树形图如图所示：

04/14

故所有的才非列为：ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA.

4.A,B,C,。四名同学重新换位(每个同学都不能坐其原来的位子)，试列出所有可能的换位方法.

解：假设4,B,C,。四名同学原来的位子分别为1,2,3,4号，列出树形图如图：

位置编号

1BxD

^

2z-\//A

AcDADAC

'

—

—

—--/

n

3DDADBA

—

—

—

—

—

—uI

4cAcBcBA

换位后，原来1,2,3,4号座位上坐的同学的所有可能排法有：BADC,BCDA,BDAC,CADB,CDAB,

CDBA,DABC,DCAB,DCBA.

考点3有关排列数的计算

什留2AH7AI.A；；Z-

[例3]计算：⑴⑵A；；=!'

［思路点拨I利用公式7T化简变形.

2AH7At

I精解详析］

(1)AI-AG

2X8X7X6X5X4+7X8X7><6><5

8X7X6X5X4X3X2X1-9X8><7><6X5

8X7X6X5X(8+7)

8X7X6X5X(24-9)

(IT—])!I

(2)原式=[(“一])一(07—1)]!•("—'")!,("一])!

(〃一1)!1

=(…)-(„-l)!=L

［一点通］应用排列数公式应注意以下几个方面:

(1)准确展开：应用排列数公式展开时要注意展开式的项数要准确.

(2)合理约分：若运算式是分式形式，则要先约分后计算.

(3)合理组合：运算时要结合数据特点，应用乘法的交换律、结合律，进行数据的组合，可以提高运算

n—111

的速度和准确性，如：n!=n(n—1)!;nn\=(〃+1)!~n!;-y—=(〃_］)一「一了厂等.

〃〃，罪做爰钝〃

5.如果A；；'=15X14X13X12X11X10,那么”=,m=.

解析：V15X14X13X12X11X1O=A?5,，〃=15,胆=6.

答案：156

6.eq=________

12X11X10X...X6X512

解析:原式=11X10X---X5X4~~4~3

答案：3

7.解下列方程：

(l)3AH2Ai+i+6A?；

(2)5A》=6A「.

解：⑴由3A?=2A，i+6Ai,

得3x(x—1)(九-2)=2。+l)x+6x。-1).

.”23,

・•・3(L1)(X-2)=2(x+l)+6(x-l),

即3?-17x+10=0.

2

解得x=5或x=](舍去)，.\x=5.

--5X4!6X5!

⑵由5AA6As,H(4_v),=(6_v),

化简得x2—'llx+24=0,解得》=3,X2=8,

；xW4,且X-1W5,.•.原方程式的解为x=3.

［方法•规律•小结］

1.排列数公式的特点

(1)第一个因数是〃；

(2)每个因数都比它前面的因数少1：

(3)最后一个因数是n—/n+l；

(4)一共有m个连续的自然数相乘.

2.应用排列数公式应注意的问题

⑴排列数的第一个公式A；7="(〃-1)…(”一根+1)适用于具体计算以及解当m较小时的含有排列数的

方程和不等式.

V］I

(2)排列数的第二个公式A7=,、।适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等式等，在具体

运用时，则应注意先提取公因式，再计算，同时还要注意隐含条件“〃2W〃且〃iWN*”的运用.

06/14

训

练

提

能

区

）

升（三

力提

课下能

题

填空

一、

：

题中

列问

1.下

；

一本

每人

学，

名同

给10

书分

同的

本不

①10

；

电话

一次

互通

同学

②10位

信；

一封

互通

同学

③10位

段.

成的线

的点构

点共线

任何三

个没有

©10

填上）

确序号

.（将正

的是

问题

排列

属于

其中

.

列问题

③是排

以①和

，所

变化

发生

结果

序，

换顺

素交

个元

中两

和③

：①

解析

：①③

答案

序号）

.（填

法为

有站

的所

一排

站成

两人

中选

三人

乙、丙

甲、

2.从

甲；

，丙

，甲丙

乙甲

乙，

①甲

甲；

，乙丙

乙丙

②甲

乙；

，丙

丙甲

丙，

，乙

乙甲

甲丙，

乙，

③甲

乙丙.

甲丙，

乙，

④甲

确.

③正

，故

站法

两种

的是

对应

两人

任意

关，

顺序有

，与

问题

排列

一个

：这是

解析

：③

答案

.

=

,则"

132

AZ=

已知

3.

0,

132=

〃一

,即/一

132

-1）=

»（/?

：AH=

解析

.

”=12

所以

N’,

为"G

又因

：12

答案

种.

有

的排法

则不同

排，

成一

人站

出3

中选

个人

从5

4.

法.

的排