人教版 九年级上数学 第23章-24章同步测试题含答案

人教版九年级上数学第23章测试题含答案

23.1图形的旋转

一、选择题

1.如图，将△OAB绕点0逆时针旋转得到4045,使点8恰好落在边AB上.已

知45=4cm,（9B=1cm,ZB'=60°,那么48的长是（）

个

A.4cmB.3cm

C・2小cmD.（4—、/5）cm

2.如图，在△ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,将△ABC绕点A逆时针旋转,

使点。落在线段AB上的点E处，点8落在点。处，则&。两点间的距离为（）

D

C

A.V10B.2加

C.3D.2小

3.2018•绵阳在平面直角坐标系中，以原点为旋转中心，把点43,4）逆时针旋

转90。，得到点8,则点8的坐标为（）

A.（4,-3）B.（-4,3）

C.（一3,4）D.（一3,—4）

4.如图，将线段AB先向右平移5个单位长度，再将所得线段绕原点顺时针旋转

90°,得到线段AE,则点3的对应点9的坐标是（）

A.（-4,1）（T，2）

C.（4,-1）（1，-2）

5.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1,木）,以原点为中心，将点A顺时针

旋转30。得到点4,则点4的坐标为（）

A.（小，1）B.（小，-1）C.（2,1）D.（0,2）

6.如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，ZAO

B=NB=30°,OA=2,将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B，

的坐标是（）

H/B

Ax

A.（-1,2+小）B.（一小，3）

C.（一小，2+小）D.（-3,小）

7.如图，RSOCB的斜边在y轴上，OC=®含30。角的顶点与原点重合，直

角顶点C在第二象限，将RtAOCB绕原点顺时针旋转120。后得到△OCE,则

点B的对应点方的坐标是（）

A.（小，-1）B.（1,一小）

C.（2,0）D.胞0）

8.如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把^ADE绕点A顺时针旋转90°

到的位置，若四边形AECF的面积为20,DE=2,则AE的长为（）

B.2小

D.2#

9.如图，将△ABC绕点8逆时针旋转a,得到△EB。，若点A恰好在研>的延长

线上，则NC4。的度数为（）

A.90°-a180°-aD.2a

10.如图，在RtXABC中，ZACB=90°,将^ABC绕顶点C逆时针旋转得到

△A'B'C,M是BC的中点，P是A，B，的中点，连接PM.若BC=2,NA=30。，

则线段PM的最大值是（）

二、填空题

11.在平面直角坐标系中，将点44,2）绕原点按逆时针方向旋转90。后，其对应

点的坐标为.

12.一副三角尺如图放置，将三角尺ADE绕点A逆时针旋转a（0°<a<90°）,使

得三角尺ADE的一边所在的直线与BC垂直，则a的度数为.

13.把二次函数y=(x—1)2+2的图象绕原点旋转180。后得到的图象的解析式为

14.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=ZBCD=90°,连接AC.若

AC=6,则四边形ABCD的面积为.

15.2018•陕西如图，点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD>AB,E,F

是AB边上的点，且EF=^AB；G,H是BC边上的点，且GH=^BC.若Si,S2

分别表示^EOF和^GOH的面积，则Si与S2之间的等量关系是患=.

三、解答题

16.如图，将一个钝角三角形ABC(其中/ABC=120。)绕点B顺时针旋转得到

△AiBG,使得点C落在AB的延长线上的点G处，连接A41.

⑴写出旋转角的度数；

(2)求证：ZAiAC=ZCi.

Ay

AG

B

17.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直

角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为4),B(l,1),C(3,1).

(1)画出△ABC关于x轴对称的△AiBCi；

(2)画出△ABC绕点。逆时针旋转90。后得到的4A282c2；

(3)在(2)的条件下，求点A所经过的路径长(结果保留K).

18.如图，在△ABC中，NBAC=90。，AB=AC,D,E是BC边上的点，WAABD

绕点A逆时针旋转得到^ACO.

(1)求的度数；

⑵当ND4E=45。时，求证：DE=D'E.

19.如图，等腰直角三角形OEE的直角顶点。为正方形A8CO的中心，点C,D

分别在OE和。尸上，现将△。所绕点。逆时针旋转角a(0°<a<90°),连接AF,

。风如图②).

(1)在图②中，ZAOF=；(用含a的式子表示)

⑵猜想图②中AF与OE的数量关系，并证明你的结论.

20.已知：如图，在四边形ABCD中，ZADC=60°,NABC=30。，AD=CD.

求证：BD2=AB2+BC2.

人教版九年级数学23.1图形的旋转针对训

练-答案

一'选择题

1.【答案】B［解析］•.•旋转前、后的两个图形是全等图形，AB=4cm,OB=lcm,

.,.A,B,=AB=4cm,OB,=OB=1cm.

在ZkOBB中,"：ZB'=6Q°,OB'=OB,

...△OBB是等边三角形，/.BB,=OB=1cm,

A'B=A'B'—BB'=4—1=3(cm).

2.【答案】A［解析］•.•在RtaABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,/.AB=5.

•.•将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点

D处，

/.AE=4,DE=3,.*.BE=1.

在RtABED中，BD=A/BE2+DE2=®.故选A.

3.【答案】B［解析］如图所示，建立平面直角坐标系，点B的坐标为(一4,3).

4.【答案】D

5.【答案】A［解析］如图，过点A作AE_Ly轴于点E,过点A，作AT，x轴于

点F,

/.ZAEO=ZATO=90o.

•••点A的坐标为（1,小），，AE=1,0E=V3,

，0A=2,ZAOE=30°,由旋转可知NAOA，=30。，0Af=0A=2,/.ZAZOF

=90。-30。-30。=30。，.*.A,F=|oA,=l,0F=小，1）.

故选A.

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】D［解析］由旋转可得,S正方形ABCD=S四边形AECF=20,即AD--20,

AD=2小.

VDE=2,.•.在RtZiADE中，AE=NAD2+DE2=2诬故选D.

9.【答案】C［解析］由题意可得NCBD=a,ZC=ZEDB.

VZEDB+ZADB=180°,

.,.ZC+ZADB=180°.

由四边形的内角和定理，得NCAD+NCBD=180。.

，/CAD=180°—NCBD=1800-a.故选C.

10.【答案】B［解析］连接PC.

在RtAABC中，•；ZA=30°,BC=2,

，AB=4.

根据旋转的性质可知，NA，CB，=90。，A,B,=AB=4.

•.•P是AB的中点，，PC=；AB=2.

TM是BC的中点，.,.CM=|BC=1.

又〈PMSPC+CM,

即PM<3,

；.PM的最大值为3(此时点P,C,M共线).

故选B.

二、填空题

11.【答案】(一2,4)

12.【答案】15。或60。［解析］分情况讨论：

①若DELBC,设此时直线AD与BC交于点F,则NBFA=9()o—45o=45。，

二/BAD=180。-60。-45°=75°,.*.a=90o-ZBAD=15°；

②若ADJ_BC,则NBAD=30°,.，.a=90°-ZBAD=60°.

故答案为15。或60°.

13.【答案】y=-x2-2x-3［解析］旋转前二次项的系数a=l,抛物线的顶点坐

标是(1,2),旋转后二次项的系数a=-l,抛物线的顶点坐标是(一1,—2),I.

新抛物线的解析式为y=—(x+l)2—2,即y=-x2—2x—3.

14.【答案】18［解析］如图.VZBAD=ZBCD=90°,/.ZB+ZADC=180°.

又•.•AB=AD,.•.将△ABC绕点A逆时针旋转90。后点B与点D重合，点C的

对应点E落在CD的延长线上，I.AE=AC=6,NCAE=90°，,S四边形ABCD=SAACE

=；ACAE=gx6x6=18.

3［解析广/52_GH_\

15.【答案】5

5ABOCBC3

，Si=]§△AO8,S2=~^S^BOC.

•・•点O是口ABC。的对称中心,

।S]3

==：

••SAAOB=SABOC~^S平行四边形ABCO,••^2,

三、解答题

16.【答案】

解：(1)旋转角的度数为60。.

(2)证明：由旋转的性质知NABC=NAiBCi=120。，ZC=ZCi,AB=AiB」.•点

A,B,A在同一直线上,ZABCi=180°,Z.ZABAi=ZCBCi=60°,AZ

AiBC=60°,

VAB=AiB,.•.△ABAi是等边三角形，

.,.ZAAiB=ZAiBC=60°,

/.AAi/ZBC,.,.ZAiAC=ZC.

又Y/CnNCi,.*.ZAIAC=ZCI.

17.【答案】

解：⑴如图.

(2)如图.

(3)如图，:AO=A2O=。42+12=行,NAOA2=90。，.•.点A所经过的路径长

=1x27T\/n="^7l.

18.【答案】

解：(1)..•将△ABD绕点A逆时针旋转，得到AACD，,

.,.ZDADZ=ZBAC,

VZBAC=90°,.,.ZDAD,=90°.

(2)证明：；AABD绕点A逆时针旋转得到^ACD,

AD=AD\NDAD，=NBAC=90。.

■:NDAE=45。，

ZD,AE=ZDAD'—ZDAE=90°—45°=45°,

/.ZD,AE=ZDAE.

(AE=AE,

在^AED与^AED，中，｛ZDAE=ZD,AE,

IAD=AD,,

AAED^AAEDXSAS),

/.DE=D,E.

19.【答案】

解：(1)：Z\OEF绕点O逆时针旋转角a,

/.ZDOF=ZCOE=a.

•.•四边形ABCD为正方形，

.,.ZAOD=90°,

/.ZAOF=90o-a.

故答案为90°-a.

(2)猜想：AF=DE.

证明：•••四边形ABCD为正方形，

AZAOD=ZCOD=90°,OA=OD.

VZDOF=ZCOE=a,

/.ZAOF=ZDOE.

VAOEF为等腰直角三角形，

/.OF=OE.

在^AOF和^DOE中，

[OA=OD,

<ZAOF=ZDOE,

l0F=0E,

AAOF^ADOE（SAS）,

，AF=DE.

20.【答案】

证明：如图，将△ADB绕点D顺时针旋转60。，得到4CDE,连接BE,

则NADB=NCDE,ZA=ZDCE,AB=CE,BD=DE.

又•.•NADC=60°,.,.ZBDE=60°,

.•.△DBE是等边三角形，

，BD=BE.

又ZECB=360°-ZBCD-ZDCE=360°—NBCD—NA=360°一(360°-Z

ADC-ZABC)=90°,

.'.△ECB是直角三角形，

/.BE2=CE2+BC2,B|jBD2=AB2+BC2.

23.2中心对称

一、选择题

1.下面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

C*用

2.如图，AB//CD//EF,AF//ED//BC,若画一条直线将这个图开2分成面积相

等的两个部分，则符合要求的直线可以画（）

A.1条B.2条C.3条D.无数条

3.如图，六边形A8CDEF的内角都相等，z_DAB=6ff,AB=DE,则下列结论

①AB//DE;（2）EF//AD//BC;③AF=C。；④四边开2AC。b是平彳亍四边形；⑤

六边形ABCDEF既是中心对称图形，又是轴对称图形.

A.2B.3C.4D.5

4、下列命题中真命题是（）

A、两个等腰三角形一定全等

B、正多边形的每一个内角的度数随边数增多而减少

C、菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形

D、两直线平行，同旁内角相等

5.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

6.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（)

AB.

7、下列图形中是轴对称而不是中心对称图形的是（）

A、平行四边形B、线段

C、角D、正方形

8.若点A关于原点对称点的坐标为（a,b）,则点A的坐标是（）

A.（a,b）-b}C.（-a,b}D.fa,-b}

9、X‘3'C’关于点o对称，下列结论不正确的是（）.

A、AO=X'0

B、AB〃A'B'

C、CO=BO

D、NBAC=NB'A'C

10、等边三角形与它本身重合，需绕着它的三边中线的交点旋转至少（）.

A、60°B、180°C、360°D、120°

11、关于成中心对称的两个图形的性质，下列说法正确的是（）

A.连接对应点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分

B.成中心对称的两个图形的对应线段不一定相等

C.对应点的连线不一定都经过对称中心

D.以上说法都不对

12、如图是一个以。为对称中心的中心对称图形，若ZA=3O。，ZC=9O。，AC=1,则AB的

长为（）

A.4

2V3

c.—

二、填空题

13、如图，在平面直角坐标系中，^ABC绕旋转中心顺时针旋转90。后得到△A'B'C',则其

14.点A(-6,m)与点A，(n,3)关于原点中心对称，则m+n的值是__.

15.在平面直角坐标系中，点(-3,2)关于原点对称的点的坐标是______.

16、关于中心对称的两个图形，对称点的连线经过________并被平分.

三、解答题

18.如图，有四张背面完全相同的卡片4B,C,。，小伟将这四张卡片背面朝上

洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张.

(1)用树状图(或列表法)表示两次摸出卡片所有可能出现的结果(卡片可用

A,B,C,。表示)；

(2)求摸出两张卡片所表示的几何图形是轴对称图形而不是中心对称图形的概

率.

ABCD

口□△O

平行四正方形正三角形园

邂

19、请你把下面这个图形补画成中心对称图形，并且用点0表示对称中心(最少画三个).

20.在平面直角坐标系中，ZXABC三个顶点的坐标分别是A(-3,1),8(-1,4),

C(0,l).

(1)将△ABC绕点。旋转180。，请画出旋转后对应的AAiBiC；

(2)将aAiBiC沿着某个方向平移一定的距离后得到△&4C2,已知点A的对应

点4的坐标为(3,-1),请画出平移后的AA282G;

(3)若△ABC与△4&G关于某一点中心对称，则对称中心的坐标为.

21、已知点A的坐标为(6，0),把点A绕着坐标原点顺时针旋转135。到点

B,求点B的坐标.

22.如图所示，^ABC中，M、N是边BC的三等分点，BE是AC边上的中线，连

接AM、AN,分别交BE于F、G,求BF：FG：CE的值.

23、如图，在中，/。必=9伊，OA=OB,将AQ"绕点。沿逆时

针方向旋转90。得到A°4星,连结以匕，求证：四边形°如圈是平行四边形.

答案

1.D

2.D

3.D

4、C

5.D

6.C

7、C

8.B

9、C

10、D

11、A

12、D

13、(1,-1)

14.3

15.(3,-2)

16、对称中心；对称中心

三、解答题

17、如图所示,

c

A'

18.(1)画树状图得:

第一次ABcD

第）A^B^D/TV.

ABCDABCDABCD

则共有16种等可能的结果;

(2)■.,是轴对称图形而不是中心对称图形情况数C、C,

二是轴对称图形而不是中心对称图形的概率=2.

19、

20.（1）ZkAiBiC］如图所示；

（2）AAZB2c2,如图所示;

（3）VA（-3,1）,8（-1,4）,C（0,l）,A（3,-1）,B2（l,-4）,C2（0,-l）

...△ABC与2c2关于原点对，对称中心坐标为（0,0）,

21、解：把A(淄，0)绕坐标原点顺时针旋转135。到点B,则点B在第三

象限且与y轴夹角为45。，所以点B的坐标为(-1,-1).

22.解：如答图所示.

作已知图形的中心对称图形，以E为对称中心.令BF=a,FG=b,GE=c.

因为M'C〃AM,N'C〃AN所以a：(2b+2c)=BM：MC=1：2

S3

所以a=b+c,而(a+b)：2c=BN：NC=2：1所以：a+b=4c,所以a=—c,b=—c.

22

所以BF：FG：GE=5：3：2.

23、证明：：在&AQS中，NCU8=90°,OA=OBf：.ZJ05=NB=45°,

结合图形旋转的性质可知：0A=.4B=AxBlf乙4。4=90’,

s=s

=ABOA=45=Z5=45...AAOBX+=180

‘4星,...四边形0虫1及是平行四边形.

人教版九年级数学上册24章测试题含答案

24.1圆的有关性质

一、选择题

1.M,N是。0上的两点，己知0M=3cm,那么一定有（）

A.MN>6cmB.MN=6cm

C.0cm<MN<6cmD.0cm<MN<6cm

2.如图，四边形ABCD内接于GD,F是而上一点，且笳=R,连接CF并延长交AD的延长线

于点E,连接AC,若ZABC=1O5°,/BAC=25°,则ZE的度数为()

A.45°B.50°C.55°D.60°

3.如图，A5是。。的直径，弦CO_L48于点E,则下列结论正确的是（）

A.OE=BEB.BC=BD

C.△8。。是等边三角形D.四边形ODBC是菱形

4.如图，4?是。。的直径,CO是。。的弦，NABD=59°,则NC等于（)

A.29°B.31°C.59°D.62°

5.如图，在。0中，已知/0AB=22.5°,则/C的度数为（)

A.135°B.122.5°C.115.5°D.112.5°

6.如图，直线以直线11上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线11,

12于点B,C,连接AC,BC.若/ABC=54°,则/I等于（）

A.36°B.54°C.72°D.73°

7.如图，是。。的半径，8为OA上一点（不与点。，A重合），过点8作04

的垂线交。。于点C.以08,为边作矩形08CD,连接BD若80=10,BC=

8,则A3的长为（）

8.如图，以。为圆心的两个同心圆中，小圆的弦A3的延长线交大圆于点C若

AB=4,BC=\,则下列整数与圆环面积最接近的是（）

9.如图，已知09的半径为5,弦修所对的圆心角分别是/COD,若〃0B与"0D

互补，弦切=6,则弦的长为（）

10.如图，在△ABC中，/ACB=90°,NA=40。，以点C为圆心，CB的长为半径的圆交AB

于点D,连接CD,则/ACD的度数为（）

A.10°B.15°C.20°D.25°

二、填空题

11.2019•随州如图，点A,B,C在。0上，点C在施上.若N0BA=50°,则NC的度数为

12.如图，圆内接四边形ABCD中两组对边的延长线分别相交于点E,F,且NA=55。，ZE

13.如图，在。0的内接五边形ABCDE中，ZCAD=35°,则/B+/E=

14.如图，点A,B,C都在。0上，0C10B,点A在R上，且OA=AB,贝lJ/ABC=

15.在RtaABC中，/C=90。，BC=3,AC=4,点P在以点C为圆心，5为半径的圆上，连

接PA,PB.若PB=4,则PA的长为.

三、解答题

16.如图，已知。。上依次有A,B,C,D四个点，AD=BC,连接AB,AD,BD,延长AB到

点E,使BE=AB,连接EC,F是EC的中点，连接BF.求证：BF=3D.

•o

17.如图，在。0中，B是。0上的一点，ZABC=120°,弦AC=2，§,弦BM平分NABC交

AC于点D连接MA,MC.

(1)求。。的半径；

(2)求证:AB+BC=BM.

18.如图为一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB=80米，桥拱到水面的最大高度为20

米.

(1)求桥拱的半径；

(2)现有一艘宽60米，船舱顶部为长方形并高出水面9米的轮船要经过这里，这艘轮船能顺

利通过这座拱桥吗？请说明理由.

AB

19.如图，ZXABC和aABD都是直角三角形，且/C=ND=90°.求证：A,B,C,D四点在

同一个圆上.

D

C

AR

20.如图，点E是△ABC的内心，线段AE的延长线交8C于点F(NAFCW90。)，

交△ABC的外接圆于点D

(1)求点/与^ABC的内切圆。E的位置关系；

(2)求证：ED=BD；

(3)若N84C=90。，△ABC的外接圆的直径是6,求3。的长；

(4)8,C,E三点可以确定一个圆吗？若可以，则它们确定的圆的圆心和半径分

别是什么？若不可以，请说明理由.

人教版九年级数学24.1圆的有关性质针对

训练-答案

一、选择题

1.【答案】D［解析］；0M=3cm,二。。的半径为3cm,二。。的直径为6cm,

即。0中最长的弦的长度为6cm,

；.MN最长为6cm>0cm<MN^6cm.

2.【答案】B【解析】•••四边形四⑶是圆内接四边形，乙4a'=105。，.•./4%=75°,：

DF=BC,胡C=〃g25°,；.NE=4ADC-HCF=500.

3.【答案】B［解析］A3是。。的直径，弦于点E,由垂径定理可以得

到CE=DE,BC=BD,忿=。.但并不一定能得到OE=BE,OC=BC,从而A,

C,D选项都是错误的.

故选B.

4.【答案】B

5.【答案】D［解析］；OA=OB,；

ZA0B=180°-22.50-22.5°=135°

.••ZC=180°-1xi35o=112.5°.

6.【答案】c

7.【答案】C

8.【答案】C［解析］如图，连接OA,0C,过点。作OO_LAB,垂足为£>,则

AD=BD=2,

•,.£>C=2+1=3.5圜环=n0C2~n。价=n(OD2+DC2-OZ)2-/1Z)2)=n(32-22)

=5Ji215.7.

@c

9.【答案】B［解析］如图，延长A。交。。于点E,连接BE,

D

在

则ZAOB+ZBOE=180°.

又,?ZAOB+ZCOD=180°,

：.ZBOE=ZCOD,

：.BE=CD=6.

为。。的直径，AZABE=9Q°,

；.AB=7AE2—BE2=8.

10.【答案】A［解析］：/人05=90°,ZA=40°,

.".ZB=50°.

VCD=CB,；./BDC=NB=50°,

/BCD=180°—2x50°=80°,

ZACD=90o-80°=10°.

二、填空题

11.【答案】40°

12.【答案】40［解析］：/1^口=180°—NA=125°,/CBF=/A+NE=85°,，/F=N

BCD—/CBF=125°—85°=40°.

13.【答案】215［解析］连接CE,则NB+/AEC=180°,/DEC=NCAD=35°,AZB+

/AED=(NB+NAEC)+NDEC=180°+35°=215°.

14.【答案】15［解析］：OC_LOB,.*.ZC0B=90°.

又•..OC=OB,.,.△COB是等腰直角三角形，

；.N0BC=45°.

：OA=AB,OA=OB,，OA=AB=OB,

.♦.△AOB是等边三角形，AZ0BA=60°,

.".ZABC=Z0BA-Z0BC=15°.

15.【答案】3或班［解析］如图，连接CP,PB的延长线交。C于点P，.

：PC=5,BC=3,PB=4,

；.BC2+PB2=PC2,

...△CPB为直角三角形，且/CBP=90°,

即CB_LPB,；.PB=P，B=4.

VZACB=90°,APB//AC.

又：PB=AC=4,

四边形ACBP为平行四边形.

又；ZACB=90°,.*.°ACBP为矩形,

.\PA=BC=3.

在Rt/XAPP，中，VPA=3,PP，=8,

；.P，A=、82+32=班.

综上所述，PA的长为3或小5.

三、解答题

16.【答案】

证明：连接AC.

VAB=BE,F是EC的中点,

ABF^AEAC的中位线，

1

.,.BF=-AC.

VAD=BC,

.\AD4-AB=BC+AB,即第=R,

；.BD=AC,.\BF=-BD.

17.【答案】

解：⑴连接OA,0C,过点。作0HLAC于点H,如图①.

图①

VZABC=120°,

AZAMC=180°-ZABC=60°,

.\ZA0C=2ZAMC=120°.

V0H1AC,

・・・AH=CH=；AC=/,ZA0H=|zA0C=60°,

.\Z0AH=30°,AOH=|oA.

在RtZkAOH中,由勾股定理，得OH2+AH2=OA2,即6)A)2+(/)2=0A2,

解得0A=2(负值已舍去)，

故。。的半径为2.

(2)证明：在BM上截取BE=BC,连接CE,如图②.

图②

VZABC=120°,BM平分NABC,

ZMBC=ZABM=|ZABC=60°.

XVBE=BC,

•••△EBC是等边三角形，

.\EC=BC=BE,ZBCE=60°,

/.ZBCD+ZDCE=60°.

・・•ZACM=ZABM=60°,

/.ZECM+ZDCE=60°,

AZECM=ZBCD.

VZMAC=ZMBC=60°,ZAMC=60°,

AZMAC=ZAMC=ZACM,

••.△ACM是等边三角形，

，AC=MC.

AC=MC,

在AACB和中，＜NBCA=NECM,

BC=EC,

/.△ACB^AMCE,

AAB=ME.

・・・ME+BE=BM,

.,.AB+BC=BM.

18.【答案】

解：(1)如图①，设点E是桥拱所在圆的圆心，连接AE,过点E作EFLAB于点F,延长EF

交症于点D.

根据垂径定理知F是AB的中点，D是点的中点，DF的长是桥拱到水面的最大高度，

.,.AF=FB=1AB=40米，EF=DE-DF=AE-DF.

由勾股定理，知AE2=AF2+EF2=AF2+(AE-DF)2.

设桥拱的半径为r米,则r2=402+(r—20)2,

解得r=50.

答：桥拱的半径为50米.

、、「

EE

图①图②

(2)这艘轮船能顺利通过这座拱桥.理由如下：

如图②，由题意，知DEJ_MN,PM=$N=30米，EF=50—20=30(米).

在RtAPEM中，PE=^EM2-PM2=40米，

PF=PE—EF=40—30=10(米).

V10米＞9米，.•.这艘轮船能顺利通过这座拱桥.

19.【答案】

证明：如图，取AB的中点0,连接OC,0D.

「△ABC和aABD都是直角三角形，且/ACB=/ADB=90°,

；.0C,0D分另lj为RtAABC和RtAABD斜边上的中线，

；.OC=OA=OB,OD=OA=OB,

.,.OA=OB=OC=OD,

:.A,B,C,D四点在同一个圆上.

20.【答案】

解：(1)设。E切3c于点M,连接EM,则EM_L3C又线段AE的延长线交8C

于点凡NAF*90。，：.EF>EM,点尸在△ABC的内切圆。E外.

(2)证明：•.•点E是△ABC的内心，

/.ZBAD=ZCAD,ZABE=ZCBE.

■:ZCBD=ZCAD,:.NBAD=ZCBD.

VZBED=ZABE+ABAD,ZEBD=ZCBE+

ZCBD,

：.NBED=NEBD,：.ED=BD.

(3)如图①，连接CD

设△ABC的外接圆为。O.

'：ZBAC=90°,...BC是。。的直径，

：.ZBDC=90°.

的直径是6,...BC=6.

,:E为4ABC的内切圆的圆心，

:./BAD=NCAD,：.BD=CD.

又•.•8。2+。。2=8。2,:.BD=CD=3y[2.

图②

(4)B,C,E三点可以确定一个圆.

如图②，连接CD

•.•点E是△ABC的内心,

：.ZBAD=ZCAD,

：.BD=CD.

又由(2)可知ED=BD,

：.BD=CD=ED,

：.B,C,E三点确定的圆的圆心为点O,半径为8。(或ED,CD)的长度.

24.2点和圆、直线和圆的位置关系

1.如图I,AB和。0相切于点B,ZAOB=60°,则NA的大小为（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

2如图，△ABC是。。的内接三角形，ZA=119°,过点C的圆的切线交80的

延长线于点P,则NP的度数为（）

A.32°D.61°

3.在数轴上，点A所表示的实数为5,点8所表示的实数为a,。4的半径为3,

要使点3在。A内，则实数a的取值范围是（）

A.a>2B.«>8

C.2<a<8D.aV2或a>8

4.在公园的。处附近有E,F,G,H四棵树，位置如图所示（图中小正方形的边

长均相等）.现计划修建一座以。为圆心，OA长为半径的圆形水池，要求池中

不留树木，则E,F,G,"四棵树中需要被移除的为（）

A.E,F,GB.F,G,H

C.G,H,ED.H,E,F

5.如图，在矩形A8CD中，AB=3,A£>=4.若以点A为圆心，4为半径作。A,

则下列各点中在。A外的是（）

4\D

B1--------

A.点AB.点B

C.点CD.点D

6.如图，AC,BE是。。的直径，弦AD与BE交于点F,下列三角形中，外心

不是点0的是（）

A.△ABEB.△AC/

C.AABDD.△ADE

7.如图，边长为2行的等边△ABC的内切圆的半径为

B.6

C.2D.2百

8.如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位长度）选取9个格点（格线的

交点称为格点）.如果以点A为圆心，「为半径画圆，选取的格点中除点A外恰

好有3个在圆内，则/■的取值范围为（）

图

A.2V2<r<V17B，Vn<r<3V2

C.V17<r<5D.5</<729

二、填空题

9.如图，在平面直角坐标系中，已知C(3,4),以点C为圆心的圆与y轴相切.点

A,B在x轴上，且OA=OB.P为。C上的动点，ZAPB=90°,则AB长的最大

值为________

10.如图，为。。的直径，圆周角NA8C=40。，当NBCD=。时，CD

为。。的切线.

11.如图，PA、PB是。的切线，A、B为切点，NOAB=38。，则NP=

12.如图，是。。的直径，。。交8c于点。，DE_LAC,垂足为E,要使DE

是。0的切线，则图中的线段应满足的条件是.

13.如图，正方形ABC。的边长为8,M是AB的中点，尸是8c边上的动点，连接PM,以

点P为圆心，PM长为半径作。P.当OP与正方形ABC。的边相切时，3尸的长为.

14.如图，半圆的圆心。与坐标原点重合，半圆的半径为1,直线/的解析式

为丁=》+九若直线/与半圆只有一个公共点，则，的取值范围是

三、解答题

15.如图，点0在NAP3的平分线上，。。与巩相切于点C.求证：直线PB与

。。相切.

16.如图所示，是。。的直径，C为。。上一点，过点8作垂足为

D,连接8C,平分NABD

求证：CD为。。的切线.

17.如图，的直径AB=10cm,弦BC=6cm,NACB的平分线交。。于点

D,交AB于点£,P是AB延长线上一点，且PC=PE.

(1)求证：PC是。。的切线；

(2)求AC,AO的长.

D

18.如图，已知AB是。。的直径，弦CD与48相交，/BAC=38。.

(1)如图①，若。为伞的中点，求N48C和NA8O的大小；

(2)如图②，过点。作。。的切线，与A8的延长线交于点P,DP//AC,求NOCO的大

19.如图，正方形ABCD的边长是5,OD的半径是3,在OD上任取一点P,连接AP,将

AP绕点A顺时针旋转90。到AP，的位置，连接BP1

发现：不论点P在。D上的什么位置，BP，的长度不变，BP，的长是.

思考：(1)求AAPD的最大面积；

(2)求点P与点P，之间的最小距离；

(3)当点P与点B之间的距离最大时，求NCBP，的度数.

探究：当AP与。D相切时，求^CDP，的面积.

人教版九年级数学24.2点和圆、直线和圆的

位置关系课后训练•答案

—v选择题

1.【答案】B【解析】〈AB和。。相切于点3,...OBLAB,.../45。=90。,

ZAOB=60°,：.ZA=90°-Z=90°-60°=30°.

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】A［解析］设小正方形的边长为1个单位长度,

所以OA='\/l2+22=V5.

因为OE=2<04,所以点E在。。内；

OF=2<OA,所以点尸在。。内；

OG=l<OA,所以点G在。。内;

OW=^/22+22=2\［2>OA,

所以点”在。。外.

故选A.

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】A

【解析】设△ABC的内心为。，连接AO、BO,CO的延长线交AB于H,如图,

•••ZXABC为等边三角形，

，CH平分NBC4,AO平分ZBC4,：△4BC为等边三角形，

AZC4JB=60°,CH±AB,：.ZOAH=30°,AH=BH=>AB=/

2

在RtAAO〃中，,?tanZOAH=-=tan30°,/.OH=—x^=l,

AH3

即ZXABC内切圆的半径为1.故选A.

8.【答案】B［解析］如图，'：AD=2也，AE=AF=\［ii,AB=3市,

：.AB>AE=AF>AD,

当板VrV36时，以点A为圆心，「为半径画圆，选取的格点中除点A外

恰好有3个在圆内.

二、填空题

9.【答案】16

10.【答案】50［解析］连接0c.

VOC=OB,：.ZOCB=ZABC=4Qa.

VZBCD=50°,：.ZOCD=90°,

...CD为。。的切线.

11.【答案】76

【解析】VPA、PB是。的切线，

PA=PB,PALOA,

NPAB=NPBA,ZOAP=90°,

ZPBA=ZPAB=900-ZOAB=90°-38°=52°,

/.ZP=180°-52°-52°=76°,故答案为：76.

12.【答案】8O=CO或AB=AC(答案不唯一)

［解析］(1)连接0D要使DE是。。的切线，结合OE_LAC,只需OD〃AC,根据

。是A8的中点，只需即可；

(2)根据(1)中探求的条件，要使8。=。。，则连接A。，由于NAO3=90°,只需

AB=AC,根据等腰三角形的三线合一即可.

13.【答案】3或4小［解析］如图①，当。P与。。边相切时,

设PC=PM=x.

在RtAPBM中，

PM2=BM2+BP2,

.'.x2=42+(8—%)2,

；.x=5,：.PC=5,

：.BP=BC~PC=8-5=3.

如图②，当。尸与AO边相切时.设切点为K,连接尸K,则PKLA。，四边形

PKQC是矩形,

：.PM=PK=CD=2BM,

：.BM=4,PM=8,

在RtAPBM中,BP=y/82-42=4小.

综上所述，BP的长为3或44.

14.【答案】r=6或一13<1［解析］若直线与半圆只有一个公共点，则有两种

情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线过点B结束(不包括直

线过点A).

直线y=x+r与x轴所形成的锐角是45°.

当点。到直线/的距离OC=1时，直线/与半圆。相切，设直线/与y轴交

于点D,则0D=也,即t=6.

当直线过点A时，把A(—1,0)代入直线/的解析式，得/=y—x=l.

当直线过点8时，把3(1,0)代入直线/的解析式，得/=y—x=-1.

即当『=让或一13V1时，直线和半圆只有一个公共点.

故答案为t=巾或-13V1.

三、解答题

15.【答案】

证明：如图，连接OC,过点O作OD上PB于点D.

与胆相切于点C,

：.OC1PA.

•.•点。在NAPB的平分线上，OC，%,ODLPB,

：.OD=OC,二直线与。。相切.

16.【答案】

证明：连接。C.：3C平分乙钻D,

：.ZOBC=ZDBC.

VOB=OC,：.4OBC=/OCB,

：.ZOCB=ZDBC,

：.OC//BD.

VBD1CD,AOC1CD,为。。的切线.

17.【答案］

解：(1)证明：连接OC,如图所示.

'：AB是。O的直径，

：.ZACB=90°.

•.•CD平分NACB,

：.ZACD=ZBCD=45°.

,:PC=PE,

：./PCE=NPEC.

"：NPEC=ZEAC+ZACE=ZEAC+45°,

而NE4c=90°-ZABC,ZABC=ZOCB,

；.NPCE=90°-ZOCB+450=90°-(ZOCE+450)+45°,

：.ZOCE+ZPCE=90°,

即NPCO=90°,

：.OC±PC,

...PC为。0的切线.

(2)连接80,如图所示.

在Rt^ACB中，AB=10cm,BC=6cm,

：.AC=y)AB2-BC2=y]\02-62=8(cm).

VZACD=ZBCD=45°,

：.ZDAB=ZDBA=45°,

.".△ADB为等腰直角三角形,

:.AD=*AB=5巾(cm).

18.【答案】

解：(1)如图①，连接0D

•.•A8是。。的直径，

，ZACB=90°,

oo

：.ZABC=90-ZJBAC=90°-38=52°.

为检的中点，ZAOB=180°,

：.NAO。=90。，

/.ZABD=^ZAOD=45°.

(2)如图②，连接0D

切。。于点。，

：.OD±DP,即NOOP=90°.

'."DP//AC,NBAC=38°,

.•.NP=N8AC=38。.

,/ZAOD是^ODP的一个外角，

ZAOD=NP+NODP=128°,

ZACD=64°.

VOC=OA,ZBAC=38°,

AZOCA=ZBAC=38°,

.•.ZOCD=ZACD-ZOCA=64°-38°=26°.

19.【答案】

解：发现：3

思考：⑴如图①所示，当POUD时，的面积最大，最大值为m5x3=

7.5.

(2)当点尸在AO上时，PP最小,此时点P，在4?上，AP'=AP=5~3=2.

'：ZR\P'=90°,

：.PP'=y]^+2^=2yj2.

(3)如图②所示